加练14 与圆有关的最值-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

加练14 与圆有关的最值 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，以AB为直径的⊙O中，AB＝6，点C为AB上一点，且BC＝2，CD⊥AD，射线BD交⊙O于E，则AE的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1 C．1+3 D．1 5．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 　 　． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　，最小值为 　 　． 7．如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　 　． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向右运动，同时动点F从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿DA向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接EF，过点C作CG⊥EF于点G，则CG的最大值为　 　． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为　 　． 10．如图，在五边形ABCDE中，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC． （1）求证：△ACD是等边三角形； （2）求证：BD＝BA+BC； （3）若∠AED＝45°，AC＝2，求△ADE面积的最大值． 11．如图，以AB为直径的⊙O中，AC＝BC，点D为⊙O上一动点． （1）如图1所示，AD＝6cm，BD＝8cm时，求AC的长． （2）如图2所示，移动点D使它和边BC上的点E满足OE⊥BD且DE∥AB．四边形OBED是什么四边形，请说明理由； （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6cm，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝2，求AE的最大值． 12．如图所示，ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点E为BC上一动点，AE与BD交于点F，将线段AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H． （1）求线段BD的长； （2）连接DG，若∠DGF＝90°，求BE的长； （3）连接AH，AH与BD交于点K，求△AKF面积的最小值． 13.在中，，，点是边上一点，连接，平分交于E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，F为的中点，交于G，求证： ； (3)如图3，H为边上一点，且满足，于点M，连接，当最短时，请直接写出的值. 参考答案 1.C【解析】∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°∴点F在以AB为直径的圆上．如解图，取AB的中点M，连接DM与⊙M交于点F'，则当点F在F'处时，DF取得最小值．在Rt△ADM中，由勾股定理得：，∴，即DF的最小值为. 2．B【解析】如解图，连接AC，过点G作GM⊥AC于点M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB．在Rt△AGO中，AG＝2OG，，∴∠GAO＝30°，，∠AGO＝60°．由条件可∠GCA＝∠GAC．∠GCA＝∠GAC＝30°，∴，．∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，点F在以AC为直径的⊙M上运动，∴．当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为． 3．D【解析】以AC为直径作圆M，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴D在圆M上，当BE与圆M相切于D时，AE长最大，连接MD，∴半径MD⊥BE，∵AB是圆O的直径，∴∠E＝90°，∴AE⊥BE，∴DM∥AE，∴△BMD∽△BAE，∴BM：BA＝MD：AE，∵AB＝6，BC＝2，∴AC＝6﹣2＝4，∴MC＝MDAC＝2，∴MB＝2+2＝4，∴4：6＝2：AE，∴AE＝3，∴AE的最大值是3． 4．D【解析】如解图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OHOC＝1，CH，在Rt△CKH中，CK，∴CQ的最大值为1. 5．2【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），如解图，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 6．2，2【解析】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，∵ABAC＝3，∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小．①如解图①，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴AD2，∵，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此时AE＝21，即AE的最大值为21，②如解图②，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，同理可得AD＝2，DE＝1，此时AE＝21，即AE的最小值为21. 7．22【解析】点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，如解图，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，∵AE：EB＝1：2，AB＝3，∴BE＝2，AE，∵OE＝OB，OH⊥BE，∴∠EOH∠BOE，EHBE，∵∠BOE＝2∠BPE＝120°，∴∠EOH＝60°，∵tan∠EOH＝tan60°，∴OH＝1，∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°，∴PO＝OE＝2OH＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠AMO＝∠AHO＝90°，∴四边形AHOM是矩形，∴AM＝OH＝1，OM＝AH，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣1＝4，∵AH＝AE+EH＝2，∴OM＝2，∴OD2，∴PD＝PO﹣OP＝22．∴PD的最小值是22． 8．【解析】如解图，在AD，BC上截取线段AM，BN，使得AM＝BN，连接MN交EF于点K．连接CK，CK的中点为O．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∠A＝90°，∵AM＝BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴∠AMN＝∠MNB＝90°，AB＝MN＝3，∵FM∥EN，∴△MKF∽△NKE，∴，∴KNMN3，∵∠CNK＝90°，CN＝4，∴CK，∵CG⊥EF，∴∠CGK＝90°，∵OK＝OC，∴OG＝OK＝OC＝ON，∴点G在⊙O上运动，∴CG的最大值＝CK． 9．2【解析】∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，如解图，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OBAB＝2，∴OC，∴PC＝OC﹣OP2，∴线段CP长的最小值为2． 10．（1）证明：∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC， ∴， ∵，， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°， ∴∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形； （2）证明：延长AB至F，使BF＝BC，如解图1， ∴△BCF是等腰三角形， ∵∠CBF＝180°﹣∠ABD﹣∠CBD＝60°， ∴△BCF是等边三角形，∴CF＝CB，∠FCB＝60°， 由（1）知，CA＝CD，∠ACD＝60°， ∴∠FCB+∠BCA＝∠ACD+∠BCA，即∠FCA＝∠BCD， 在△FCA和△BCD中， ∴△FCA≌△BCD（SAS），∴FA＝BD， ∵FA＝AB+BF＝AB+BC，∴BD＝AB+BC； （3）解：设△ADE的外心为M，连接AM，DM， ∴AM＝MD， ∵∠AED＝45°，∴∠AMD＝90°，∴点M为定点， ∵AD＝AC＝2， ∴点E在以M为圆心，为半径的圆上，如解图2， 在等腰直角三角形ADM中，MN⊥AD于点N，MN＝1， 当点E，M，N三点共线时，△ADE的面积最大， ∴，∴， ∴． 11．解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AD＝6cm，BD＝8cm， ∴AB10（cm）， ∵AC＝BC，∴ACcm＝5cm； （2）四边形OBED是菱形，理由如下： ∵OE⊥BD，∴BF＝DF， ∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠OBF，∠BOF＝∠DEF， ∴△DEF≌△BOF（AAS），∴EF＝OF， ∴四边形OBED是平行四边形， ∵OE⊥BD，∴四边形OBED是菱形； （3）如图3，连接CE， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的圆上， ∴∠AEC＝∠ABC＝45°， ∵线段CD绕点C在平面内旋转，且CD＝2， ∴点D在以C为圆心，2为半径的圆上， ∴当AE为⊙C相切时，AE的值最大， 此时，CD⊥AE，∴∠ADC＝∠CDE＝90°， ∵CA＝CB＝6cm， ∴AD4（cm），CD＝DE＝2cm， ∴AE的最大值是（42）cm． 12．解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝4，AD＝3， ∴BD5； （2）方法一：如解图所示，过点F作AB的垂线分别交AB、CD于点M，Q过点G作CD的平行线分别交AD、MQ的延长线于点P，N． 设AM＝a，MF＝b， ∵AF＝FG，∠AMF＝∠AFG＝∠FNG＝90°， ∴△AMF≌△FNG（AAS）， ∴FN＝AM＝a，GN＝MF＝b， ∴PG＝a﹣b，DP＝a+b﹣3＝QN， ∵∠DPG＝∠DGF＝∠GNF＝90°， ∴△DPG∽△GNF， ∴，∴①， 化简得a2+b2﹣3a＝0， ∵MF∥AD，∴△MBF∽△ABD， ∴，∴， 化简得 3a+4b＝12 ②， 由①②得，b， ∵MF∥/BE，∴△AMF∽△ABE， ∴BE2； 方法二：如解图，过点G作GQ⊥BD，AR⊥BD， 设BF＝x， ∵AD＝3，AB＝4， ∴BD＝5，，RB， ∴RFx， ∵FA＝FG， ∴△AFR≌△FGQ（AAS）， ∴，QG＝RFx， ∴DQ＝BD﹣QF﹣BF＝5xx， ∵∠DGF＝90°，∴GQ2＝DQ•QF， ∴（x）2＝（x），解得x＝2， ∴DF＝3＝DA，∴BF＝BE＝2； （3）如解图所示，作△AFK的外接圆⊙O，连接OA，OK，OF，过点A作AR⊥BD，过点O作OS⊥BD， E ∵∠AFH＝∠ADH＝90°， ∴四边形ADHF四点共圆， ∴∠HAF＝∠FDH 为定值， ∵OS⊥KF， ∴∠KOS＝∠FOS，KS＝SF， ∵∠KOF＝2∠KAF＝2∠FDH， ∴∠KOS＝∠FDH， 又∵∠OSK＝∠BCD＝90°， ∴△KOS∽△BDC，∴， 设⊙O的半径为r， 由（1）值BD＝5， ∴， ∴，∴，OSr， ∴KFr，∴， ∴， 由图可知 AO+OS≥AR， ∴，解得， ∴， 当A，O，F共线即AK＝AF时取等号，即△AKF 的面积的最小值为． 13.（1）解：如解图所示，过点D作于点F，则， ∵在中，，， ∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如解图所示，过点D作于点O，连接，， ∵F为的中点，，， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 即． （3）解：作于V，作，交的延长线于W，如图，    ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， 那么，点M在以为直径的上运动， 连接，交于，当点M在处时最短，如图， 作于R，设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得，则， ∵平分， ∴点E到和的距离相等， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 加练14 与圆有关的最值 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 1.C【解析】∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°∴点F在以AB为直径的圆上．如解图，取AB的中点M，连接DM与⊙M交于点F'，则当点F在F'处时，DF取得最小值．在Rt△ADM中，由勾股定理得：，∴，即DF的最小值为. 2．如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．B【解析】如解图，连接AC，过点G作GM⊥AC于点M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB．在Rt△AGO中，AG＝2OG，，∴∠GAO＝30°，，∠AGO＝60°．由条件可∠GCA＝∠GAC．∠GCA＝∠GAC＝30°，∴，．∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，点F在以AC为直径的⊙M上运动，∴．当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为． 3．如图，以AB为直径的⊙O中，AB＝6，点C为AB上一点，且BC＝2，CD⊥AD，射线BD交⊙O于E，则AE的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 3．D【解析】以AC为直径作圆M，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴D在圆M上，当BE与圆M相切于D时，AE长最大，连接MD，∴半径MD⊥BE，∵AB是圆O的直径，∴∠E＝90°，∴AE⊥BE，∴DM∥AE，∴△BMD∽△BAE，∴BM：BA＝MD：AE，∵AB＝6，BC＝2，∴AC＝6﹣2＝4，∴MC＝MDAC＝2，∴MB＝2+2＝4，∴4：6＝2：AE，∴AE＝3，∴AE的最大值是3． 4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1 C．1+3 D．1 4．D【解析】如解图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OHOC＝1，CH，在Rt△CKH中，CK，∴CQ的最大值为1. 5．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 　 　． 5．2【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），如解图，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　，最小值为 　 　． 6．2，2【解析】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，∵ABAC＝3，∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小．①如解图①，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴AD2，∵，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此时AE＝21，即AE的最大值为21，②如解图②，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，同理可得AD＝2，DE＝1，此时AE＝21，即AE的最小值为21. 7．如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　 　． 7．22【解析】点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，如解图，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，∵AE：EB＝1：2，AB＝3，∴BE＝2，AE，∵OE＝OB，OH⊥BE，∴∠EOH∠BOE，EHBE，∵∠BOE＝2∠BPE＝120°，∴∠EOH＝60°，∵tan∠EOH＝tan60°，∴OH＝1，∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°，∴PO＝OE＝2OH＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠AMO＝∠AHO＝90°，∴四边形AHOM是矩形，∴AM＝OH＝1，OM＝AH，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣1＝4，∵AH＝AE+EH＝2，∴OM＝2，∴OD2，∴PD＝PO﹣OP＝22．∴PD的最小值是22． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向右运动，同时动点F从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿DA向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接EF，过点C作CG⊥EF于点G，则CG的最大值为　 　． 8．【解析】如解图，在AD，BC上截取线段AM，BN，使得AM＝BN，连接MN交EF于点K．连接CK，CK的中点为O．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∠A＝90°，∵AM＝BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴∠AMN＝∠MNB＝90°，AB＝MN＝3，∵FM∥EN，∴△MKF∽△NKE，∴，∴KNMN3，∵∠CNK＝90°，CN＝4，∴CK，∵CG⊥EF，∴∠CGK＝90°，∵OK＝OC，∴OG＝OK＝OC＝ON，∴点G在⊙O上运动，∴CG的最大值＝CK． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为　 　． 9．2【解析】∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，如解图，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OBAB＝2，∴OC，∴PC＝OC﹣OP2，∴线段CP长的最小值为2． 10．如图，在五边形ABCDE中，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC． （1）求证：△ACD是等边三角形； （2）求证：BD＝BA+BC； （3）若∠AED＝45°，AC＝2，求△ADE面积的最大值． 10．（1）证明：∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC， ∴， ∵，， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°， ∴∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形； （2）证明：延长AB至F，使BF＝BC，如解图1， ∴△BCF是等腰三角形， ∵∠CBF＝180°﹣∠ABD﹣∠CBD＝60°， ∴△BCF是等边三角形，∴CF＝CB，∠FCB＝60°， 由（1）知，CA＝CD，∠ACD＝60°， ∴∠FCB+∠BCA＝∠ACD+∠BCA，即∠FCA＝∠BCD， 在△FCA和△BCD中， ∴△FCA≌△BCD（SAS），∴FA＝BD， ∵FA＝AB+BF＝AB+BC，∴BD＝AB+BC； （3）解：设△ADE的外心为M，连接AM，DM， ∴AM＝MD， ∵∠AED＝45°，∴∠AMD＝90°，∴点M为定点， ∵AD＝AC＝2， ∴点E在以M为圆心，为半径的圆上，如解图2， 在等腰直角三角形ADM中，MN⊥AD于点N，MN＝1， 当点E，M，N三点共线时，△ADE的面积最大， ∴，∴， ∴． 11．如图，以AB为直径的⊙O中，AC＝BC，点D为⊙O上一动点． （1）如图1所示，AD＝6cm，BD＝8cm时，求AC的长． （2）如图2所示，移动点D使它和边BC上的点E满足OE⊥BD且DE∥AB．四边形OBED是什么四边形，请说明理由； （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6cm，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝2，求AE的最大值． 11．解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AD＝6cm，BD＝8cm， ∴AB10（cm）， ∵AC＝BC，∴ACcm＝5cm； （2）四边形OBED是菱形，理由如下： ∵OE⊥BD，∴BF＝DF， ∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠OBF，∠BOF＝∠DEF， ∴△DEF≌△BOF（AAS），∴EF＝OF， ∴四边形OBED是平行四边形， ∵OE⊥BD，∴四边形OBED是菱形； （3）如图3，连接CE， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的圆上， ∴∠AEC＝∠ABC＝45°， ∵线段CD绕点C在平面内旋转，且CD＝2， ∴点D在以C为圆心，2为半径的圆上， ∴当AE为⊙C相切时，AE的值最大， 此时，CD⊥AE，∴∠ADC＝∠CDE＝90°， ∵CA＝CB＝6cm， ∴AD4（cm），CD＝DE＝2cm， ∴AE的最大值是（42）cm． 12．如图所示，ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点E为BC上一动点，AE与BD交于点F，将线段AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H． （1）求线段BD的长； （2）连接DG，若∠DGF＝90°，求BE的长； （3）连接AH，AH与BD交于点K，求△AKF面积的最小值． 12．解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝4，AD＝3， ∴BD5； （2）方法一：如解图所示，过点F作AB的垂线分别交AB、CD于点M，Q过点G作CD的平行线分别交AD、MQ的延长线于点P，N． 设AM＝a，MF＝b， ∵AF＝FG，∠AMF＝∠AFG＝∠FNG＝90°， ∴△AMF≌△FNG（AAS）， ∴FN＝AM＝a，GN＝MF＝b， ∴PG＝a﹣b，DP＝a+b﹣3＝QN， ∵∠DPG＝∠DGF＝∠GNF＝90°， ∴△DPG∽△GNF， ∴，∴①， 化简得a2+b2﹣3a＝0， ∵MF∥AD，∴△MBF∽△ABD， ∴，∴， 化简得 3a+4b＝12 ②， 由①②得，b， ∵MF∥/BE，∴△AMF∽△ABE， ∴BE2； 方法二：如解图，过点G作GQ⊥BD，AR⊥BD， 设BF＝x， ∵AD＝3，AB＝4， ∴BD＝5，，RB， ∴RFx， ∵FA＝FG， ∴△AFR≌△FGQ（AAS）， ∴，QG＝RFx， ∴DQ＝BD﹣QF﹣BF＝5xx， ∵∠DGF＝90°，∴GQ2＝DQ•QF， ∴（x）2＝（x），解得x＝2， ∴DF＝3＝DA，∴BF＝BE＝2； （3）如解图所示，作△AFK的外接圆⊙O，连接OA，OK，OF，过点A作AR⊥BD，过点O作OS⊥BD， E ∵∠AFH＝∠ADH＝90°， ∴四边形ADHF四点共圆， ∴∠HAF＝∠FDH 为定值， ∵OS⊥KF， ∴∠KOS＝∠FOS，KS＝SF， ∵∠KOF＝2∠KAF＝2∠FDH， ∴∠KOS＝∠FDH， 又∵∠OSK＝∠BCD＝90°， ∴△KOS∽△BDC，∴， 设⊙O的半径为r， 由（1）值BD＝5， ∴， ∴，∴，OSr， ∴KFr，∴， ∴， 由图可知 AO+OS≥AR， ∴，解得， ∴， 当A，O，F共线即AK＝AF时取等号，即△AKF 的面积的最小值为． 13.在中，，，点是边上一点，连接，平分交于E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，F为的中点，交于G，求证： ； (3)如图3，H为边上一点，且满足，于点M，连接，当最短时，请直接写出的值. 13.（1）解：如解图所示，过点D作于点F，则， ∵在中，，， ∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如解图所示，过点D作于点O，连接，， ∵F为的中点，，， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 即． （3）解：作于V，作，交的延长线于W，如图，    ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， 那么，点M在以为直径的上运动， 连接，交于，当点M在处时最短，如图， 作于R，设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得，则， ∵平分， ∴点E到和的距离相等， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $