加练12 “十字”模型-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

加练12 “十字”模型 1．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论： ①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠AED＝∠FBC.正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH为（　　） A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4 3．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为　 ． 4．如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H，下列结论中：①H为线段BG的中点；②∠DEF＝∠BGC；③BG＝EF；④AE+FC＝DG，正确的结论有　 　． 5．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PE＝CE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为．其中正确的有　 　．（填写序号） 6．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为对称轴将△ABE对折得到△AFE，再将AD与AF重合折叠，折痕与BF的延长线交于点H，BH与AE交于点G，连接DH，CH． （1）设BH与CD交于点I，证明：△ABE≌△BCI； （2）探索AH，CH和DH之间的数量关系，并加以证明； （3）如图2，若正方形边长为4，点E在射线BC上运动，当时，请直接写出△ADH的面积的值． 7．【数学模型】：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF，求证：DE＝CF； 【模型迁移】：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD上，且BE⊥MN，求的值； 【模型应用】：（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，，AB＝BC，AD＝CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，求的值． 8．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为　 　； （2）【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E，F分别是边AD，BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF，DG，若EF⊥DG，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，连接AC，若∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，则3BH+4EF的最小值为　 　． 参考答案 1.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，∵CE＝DF，∴DE＝AF，在△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）；∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠AFB+∠EAF＝90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；假设AO＝OE，∵AE⊥BF，∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；∵AE⊥BF，在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2，∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2，∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF，∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2，∴2AO2＝2BO×FO，∴AO2＝BO×FO，故④正确 2.B【解析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE交于点O，则NF＝AB，MH＝BC，∴∠ENF＝∠GMH＝90°，∵EF⊥GH，∴∠GHM+∠HOE＝∠EFN+∠FOM＝90°，又∵∠HOE＝∠FOM，∴∠GHM＝∠EFN，∴△MHG∽△NFE，∴EF：GH＝NF：HM＝AB：BC＝2：3． 3.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABG＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BGE＝90°，∴ ∠BGE＝∠C，又∵∠EBG＝∠FBC，∴△EBG∽△FBC，∴，∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，∴BF，∴，∴． 4.②③④【解析】①如图，当点E，D重合，F，C重合时， 则点G，H与点C重合，此时BG＝BH，故①错误； ②∵BG⊥EF，∴∠CBG+∠BFH＝∠CBG+∠BGC＝90°，∴∠BFH＝∠BGC，∵AD∥BC，∴∠BFH＝∠DEF，∴∠DEF＝∠BGC，故②正确； ③过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME是矩形， ∴AB＝EM，∵AB＝BC，∴BC＝EM，∵∠CBG+∠BFH＝∠FEM+∠BFH＝90°，∴∠CBG＝∠FEM，∵∠C＝∠EMF＝90°，∴△BCG≌△EMF（ASA），∴BG＝EF，故③正确； ④∵FM＝CG，BM＝AE，∵CD＝BC，∴AE+CF＝BC﹣FM，DG＝CD﹣CG，∴AE+FC＝DG，故④正确． 5.①【解析】连接AE，作EH⊥AB于H，由题意可得：∠B＝∠C＝∠D＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∵EH⊥AB，∴四边形BCEH是矩形，∴EH＝BC＝AB，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC，故②错误；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理可得，当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7，因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO、CO，∴，∵，∴，∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC≥OC﹣OP，∴PC的最小值＝OC﹣OP，作OM⊥CD于M，则OM∥AD，由题意可得：∴，，∴，∴，∴PC的最小值为，故④错误． 6.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABG+∠CBI＝90°， 由轴对称的性质得：BG＝FG，AE⊥BF， ∴∠ABG+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBI， 在△ABE和△BCI中， ∴△ABE≌△BCI（ASA）； （2）解：AH，CH和DH之间的数量关系为：AHDH+CH，证明如下： 过点C作CR⊥BH于点R，作CT⊥DH交DH延长线于点T，如图所示： 由折叠的性质得：∠BAE＝∠FAE，∠FAH＝∠DAH，BG＝FG，AE⊥BF，AB＝AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴AF＝AD，∠FAE+∠FAH∠BAD＝45°， ∴△AGH是等腰直角三角形， ∴∠FHA＝45°，AHHG， 根据折叠的性质可得△FAH≌△DAH， ∴DH＝FH，∠DHA＝∠FHA＝45°， ∴∠DHF＝45°+45°＝90°， ∵∠BIC＝∠HID， ∴∠CBI＝∠CDT， ∵∠BAE＝∠CBI， ∴∠BAG＝∠CDT＝∠CBR， 在△AGB和△DTC中， ， ∴△AGB≌△DTC（AAS）， ∴CT＝BG＝FG， 在△BRC和△DTC中， ， ∴△BRC≌△DTC（AAS）， ∴CT＝CR， ∴CH平分∠RHT， ∴∠CHT（180°﹣∠DHF）（180°﹣90°）＝45°， ∴△CTH是等腰直角三角形， ∴CTCH，AHHG（HF+FG）（DHCH）DH+CH； （3）解：如图，ECBC，CD和BH交于点I，由折叠的性质得：DH＝FH， 由（2）可知，△AGH是等腰直角三角形，∠DHF＝90°， ∵正方形ABCD的边长为4，CEBC， 则AB＝BC＝4， ∴CE＝1，BE＝3， ∴AE5， ∵cos∠BAE， ∴AG＝GH． ∵∠DHI＝∠AGH＝90°， ∴DH∥AE． 又∵AB∥CD，把DC平移至直线AB上，即可由DH∥AE则同位角相等得出∠HDI＝∠BAE． ∴cos∠HDI， 由（1）△ABE≌△BCI可知BE＝IC，则DI＝CD﹣IC＝CD﹣BE＝1． ∴DH， ∴S△ADHDH•GH． 故△ADH的面积为． 7.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠CDF+∠AED＝90°＝∠CDF+∠DFC， ∴∠AED＝∠DFC， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF； （2）解：如图2，过点N作NH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵HN⊥AB， ∴四边形BCNH是矩形， ∴NH＝BC＝5，∠NHB＝∠NHM＝90°＝∠A， ∵∠NMB+∠ABE＝90°＝∠AEB+∠ABE， ∴∠AEB＝∠NMH， ∴△MNH∽△EBA， ∴； （3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB的延长线于点M， ∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD， ∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴AM＝CN，AN＝CM， 在△BAD和△BCD中， ， ∴△BAD≌△BCD（SSS）， ∴∠BCD＝∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠MBC＝∠ADC， ∵∠CND＝∠M＝90°， ∴△BCM∽△DCN， ∴， 设BM＝2y，则DN＝3y，设AB＝BC＝2x，则AD＝CD＝3x， ∴CN＝2x+2y， 在Rt△CND中，由勾股定理得：DN2+CN2＝CD2， ∴（3y）2+（2x+2y）2＝（3x）2， 解得5x＝13y（x＝﹣y舍去）， ∴． 8.解：（1）如图1， 设CF，DE交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF， 故答案为：DE＝CF； （2）如图2， 作CX∥EF，交AD于X， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形EFCX是平行四边形， ∴EF＝CX， ∵EF⊥GH， ∴CX⊥DZ， 同理（1）可得：∠AGD＝∠CXD， ∴△DCX∽△ADG， ∴， ∴； （3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥直线CV于点W， ∴∠V＝∠W＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴四边形ABWV是矩形， ∴VW∥AB， ∴∠BCW＝∠ABC， ∴sin∠BCMsin∠ABC， ∴， ∴BM， 又CE⊥BF， 由（2）知， ∴； （4）如图4， aBH+bEF＝a（BH+）， 连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR， 由对称性可得， BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF， 由（2）得，， ∴BGEF， 当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长， ∴BH+BG的最小值为AR的长， ∴BHEF的最小值为AR的长， ∵AB＝3，BC＝CR＝8，∠ABC＝90°， ∴AR， ∴3（BHEF）的最小值为3， ∴3BH+4EF的最小值3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 加练12 “十字”模型 1．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论： ①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠AED＝∠FBC.正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，∵CE＝DF，∴DE＝AF，在△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）；∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠AFB+∠EAF＝90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；假设AO＝OE，∵AE⊥BF，∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；∵AE⊥BF，在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2，∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2，∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF，∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2，∴2AO2＝2BO×FO，∴AO2＝BO×FO，故④正确 2．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH为（　　） A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4 2.B【解析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE交于点O，则NF＝AB，MH＝BC，∴∠ENF＝∠GMH＝90°，∵EF⊥GH，∴∠GHM+∠HOE＝∠EFN+∠FOM＝90°，又∵∠HOE＝∠FOM，∴∠GHM＝∠EFN，∴△MHG∽△NFE，∴EF：GH＝NF：HM＝AB：BC＝2：3． 3．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为　 ． 3.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABG＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BGE＝90°，∴ ∠BGE＝∠C，又∵∠EBG＝∠FBC，∴△EBG∽△FBC，∴，∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，∴BF，∴，∴． 4．如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H，下列结论中：①H为线段BG的中点；②∠DEF＝∠BGC；③BG＝EF；④AE+FC＝DG，正确的结论有　 　． 4.②③④【解析】①如图，当点E，D重合，F，C重合时， 则点G，H与点C重合，此时BG＝BH，故①错误； ②∵BG⊥EF，∴∠CBG+∠BFH＝∠CBG+∠BGC＝90°，∴∠BFH＝∠BGC，∵AD∥BC，∴∠BFH＝∠DEF，∴∠DEF＝∠BGC，故②正确； ③过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME是矩形， ∴AB＝EM，∵AB＝BC，∴BC＝EM，∵∠CBG+∠BFH＝∠FEM+∠BFH＝90°，∴∠CBG＝∠FEM，∵∠C＝∠EMF＝90°，∴△BCG≌△EMF（ASA），∴BG＝EF，故③正确； ④∵FM＝CG，BM＝AE，∵CD＝BC，∴AE+CF＝BC﹣FM，DG＝CD﹣CG，∴AE+FC＝DG，故④正确． 5．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PE＝CE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为．其中正确的有　 　．（填写序号） 5.①【解析】连接AE，作EH⊥AB于H，由题意可得：∠B＝∠C＝∠D＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∵EH⊥AB，∴四边形BCEH是矩形，∴EH＝BC＝AB，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC，故②错误；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理可得，当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7，因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO、CO，∴，∵，∴，∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC≥OC﹣OP，∴PC的最小值＝OC﹣OP，作OM⊥CD于M，则OM∥AD，由题意可得：∴，，∴，∴，∴PC的最小值为，故④错误． 6．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为对称轴将△ABE对折得到△AFE，再将AD与AF重合折叠，折痕与BF的延长线交于点H，BH与AE交于点G，连接DH，CH． （1）设BH与CD交于点I，证明：△ABE≌△BCI； （2）探索AH，CH和DH之间的数量关系，并加以证明； （3）如图2，若正方形边长为4，点E在射线BC上运动，当时，请直接写出△ADH的面积的值． 6.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABG+∠CBI＝90°， 由轴对称的性质得：BG＝FG，AE⊥BF， ∴∠ABG+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBI， 在△ABE和△BCI中， ∴△ABE≌△BCI（ASA）； （2）解：AH，CH和DH之间的数量关系为：AHDH+CH，证明如下： 过点C作CR⊥BH于点R，作CT⊥DH交DH延长线于点T，如图所示： 由折叠的性质得：∠BAE＝∠FAE，∠FAH＝∠DAH，BG＝FG，AE⊥BF，AB＝AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴AF＝AD，∠FAE+∠FAH∠BAD＝45°， ∴△AGH是等腰直角三角形， ∴∠FHA＝45°，AHHG， 根据折叠的性质可得△FAH≌△DAH， ∴DH＝FH，∠DHA＝∠FHA＝45°， ∴∠DHF＝45°+45°＝90°， ∵∠BIC＝∠HID， ∴∠CBI＝∠CDT， ∵∠BAE＝∠CBI， ∴∠BAG＝∠CDT＝∠CBR， 在△AGB和△DTC中， ， ∴△AGB≌△DTC（AAS）， ∴CT＝BG＝FG， 在△BRC和△DTC中， ， ∴△BRC≌△DTC（AAS）， ∴CT＝CR， ∴CH平分∠RHT， ∴∠CHT（180°﹣∠DHF）（180°﹣90°）＝45°， ∴△CTH是等腰直角三角形， ∴CTCH，AHHG（HF+FG）（DHCH）DH+CH； （3）解：如图，ECBC，CD和BH交于点I，由折叠的性质得：DH＝FH， 由（2）可知，△AGH是等腰直角三角形，∠DHF＝90°， ∵正方形ABCD的边长为4，CEBC， 则AB＝BC＝4， ∴CE＝1，BE＝3， ∴AE5， ∵cos∠BAE， ∴AG＝GH． ∵∠DHI＝∠AGH＝90°， ∴DH∥AE． 又∵AB∥CD，把DC平移至直线AB上，即可由DH∥AE则同位角相等得出∠HDI＝∠BAE． ∴cos∠HDI， 由（1）△ABE≌△BCI可知BE＝IC，则DI＝CD﹣IC＝CD﹣BE＝1． ∴DH， ∴S△ADHDH•GH． 故△ADH的面积为． 7．【数学模型】：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF，求证：DE＝CF； 【模型迁移】：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD上，且BE⊥MN，求的值； 【模型应用】：（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，，AB＝BC，AD＝CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，求的值． 7.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠CDF+∠AED＝90°＝∠CDF+∠DFC， ∴∠AED＝∠DFC， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF； （2）解：如图2，过点N作NH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵HN⊥AB， ∴四边形BCNH是矩形， ∴NH＝BC＝5，∠NHB＝∠NHM＝90°＝∠A， ∵∠NMB+∠ABE＝90°＝∠AEB+∠ABE， ∴∠AEB＝∠NMH， ∴△MNH∽△EBA， ∴； （3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB的延长线于点M， ∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD， ∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴AM＝CN，AN＝CM， 在△BAD和△BCD中， ， ∴△BAD≌△BCD（SSS）， ∴∠BCD＝∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠MBC＝∠ADC， ∵∠CND＝∠M＝90°， ∴△BCM∽△DCN， ∴， 设BM＝2y，则DN＝3y，设AB＝BC＝2x，则AD＝CD＝3x， ∴CN＝2x+2y， 在Rt△CND中，由勾股定理得：DN2+CN2＝CD2， ∴（3y）2+（2x+2y）2＝（3x）2， 解得5x＝13y（x＝﹣y舍去）， ∴． 8．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为　 　； （2）【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E，F分别是边AD，BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF，DG，若EF⊥DG，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，连接AC，若∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，则3BH+4EF的最小值为　 　． 8.解：（1）如图1， 设CF，DE交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF， 故答案为：DE＝CF； （2）如图2， 作CX∥EF，交AD于X， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形EFCX是平行四边形， ∴EF＝CX， ∵EF⊥GH， ∴CX⊥DZ， 同理（1）可得：∠AGD＝∠CXD， ∴△DCX∽△ADG， ∴， ∴； （3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥直线CV于点W， ∴∠V＝∠W＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴四边形ABWV是矩形， ∴VW∥AB， ∴∠BCW＝∠ABC， ∴sin∠BCMsin∠ABC， ∴， ∴BM， 又CE⊥BF， 由（2）知， ∴； （4）如图4， aBH+bEF＝a（BH+）， 连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR， 由对称性可得， BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF， 由（2）得，， ∴BGEF， 当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长， ∴BH+BG的最小值为AR的长， ∴BHEF的最小值为AR的长， ∵AB＝3，BC＝CR＝8，∠ABC＝90°， ∴AR， ∴3（BHEF）的最小值为3， ∴3BH+4EF的最小值3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $