加练11 特殊四边形的性质与判定-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

加练11 特殊四边形的性质与判定 1．如图，在矩形ABCD和矩形BEFG中，AB＝BE，且点A，B，E三点共线，点D，G，E三点也共线． （1）求证：△DGC≌△GEF． （2）连结AC，当AB，AD＝2时，求∠AHE的度数． 1.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠DCG＝90°， ∵AB＝BE， ∴DC＝BE， ∵四边形BEFG是矩形， ∴GF＝BE，∠F＝90°，FG∥BE， ∴DC＝GF，∠DCG＝∠F， ∵FG∥BE， ∴∠DGC＝∠GEF， 在△DGC和△GEF中， ∴△DGC≌△GEF（AAS）； （2）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是矩形， ∴∠DAE＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2， ∴∠EBG＝180°﹣90°＝90°， ∵AB＝BE， ∴AE＝2AB＝2， ∴AD：AE＝1：，AB：BC＝1：， ∴AD：AE＝AB：BC， ∵∠DAE＝∠ABC， ∴△DAE∽△ABC， ∴∠ACB＝∠AED， ∵∠CGH＝∠BGE， ∴∠CHG＝∠EBG＝90°， ∴∠AHE＝180°﹣90°＝90°． 2．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：△BEC是等腰三角形； （2）若AB＝1，∠AEB＝45°，求BC的长． 2.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BE＝BC， ∴△BEC是等腰三角形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝1，∠AEB＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴AB＝AE＝1， ∴BE， 由（1）知：BE＝BC， ∴BC． 3．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F． （1）求证：四边形AEDF是矩形； （2）连接BD，若AB＝AE＝2，tan∠ADF＝2，求BD的长． 3.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF∥EA， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AE⊥DE， ∴∠E＝90°， ∴四边形AEDF是矩形； （2）解：如图， ∵四边形AEDF是矩形， ∴AE＝DF＝2，∠F＝90°， ∴， ∴AF＝2DF＝4， ∴BF＝AB+AF＝6， ∴在Rt△BDF中， ． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长． 4.（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°， ∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，BC＝12， ∴BD＝CDBC＝6， 由（1）可知：四边形ADCE是矩形， ∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC10， ∵EF⊥AC，∴S△AECAC•EFAE•CE， ∴EF4.8， 即EF的长为4.8． 5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形； （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠E＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积． 5.（1）证明：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD，四边形EBOA是菱形， ∴OA＝OB， ∴，， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形EBOA是菱形， ∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2AO＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴． 6．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 6.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵EF＝DA，∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°， ∴平行四边形BCEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∵CF＝4，DF＝5， ∴CD2+CF2＝DF2， ∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°， ∴△CDF的面积DF×CECF×CD， ∴CE， 由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形， ∴∠FBC＝90°，BF＝CE， ∴BC， ∴EF． 7．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF． （1）证明：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝8，求菱形的面积． 7.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 又∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠1＝90°， ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AFAD，ECBC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∴AF∥EC且AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵∠1＝90°， ∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）解：在Rt△ABE中，AE4， 所以，S菱形ABCD＝8×432． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接CD，BE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）若BC＝2，连接AE，EC，求△AEC的面积． 8.解：（1）选择小星的做法： 证明：∵DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DC＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形，∴BC＝DC， ∴四边形BCDE是菱形，∴EC⊥AB； 选择小红的做法： 证明：连接EC， ∵DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DC＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝DC． ∴四边形BCDE是菱形， ∴AB垂直平分EC．∴AE＝AC； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠ACE＝60°， 由（1）知△AEC是等腰三角形， ∵BC＝2，∴EC＝AC＝2， 设EC与AB相交于点O， ∴AO＝3．∴S△AEC23＝3． 9．如图，在△ABC中，过A点作AD∥BC，交∠ABC的平分线于点D，点E在BC上，DE∥AB． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）当BC＝6，AB＝4时，求DF的长． 9.（1）证明：∵DE∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形； （2）解：∵四边形ABED是菱形，AB＝4， ∴DE＝EB＝AD＝4，DE∥AB， ∴△CEF∽△CBA，∴， ∵BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝2， ∴，∴EF， ∴DF＝DE﹣EF＝4． 10．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF⊥AD于点E，交BC于点F，OE＝OF，连接OC，∠FOC＝∠ODA． （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）若AB＝1，BD＝3EF，求OC的长． 10.（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵点O为对角线BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵EF⊥AD，∴∠OED＝90°， ∴∠ODA+∠DOE＝90°， ∵∠FOC＝∠ODA， ∴∠FOC+∠DOE＝90°， ∴∠COD＝180°﹣90°＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝1，OA＝OCAC， ∵EF⊥AD， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AD•EF， ∵BD＝3EF， ∴AC•3EF＝AD•EF，即AC×3＝1， ∴AC， ∴OCAC，即OC的长为． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）已知菱形ABCD的对角线AC＝24，点E、F分别是菱形的边CD、BC的中点，连接EF，若EF＝5，求菱形的周长． 11.（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． （2）连接BD，交AC于点O，如图： ∵点E、F分别是边CD、BC的中点， ∴BD＝2EF＝10， ∵AC、BD是菱形的对角线，且AC＝24，BD＝10， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝12，OB＝OD＝5． 在Rt△AOD中． ∵OA＝12，OD＝5． ∴， ∴菱形的周长为：4AD＝4×13＝52． 12．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE＝DF．添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC． （1）你添加的条件是 　②　（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，若∠A＝45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长． 12.解：（1）②． 证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠CEB＝90°， 在△CFD和△CEB中 ∴△CFD≌△CEB（AAS）， ∴CD＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． （2）如图，连接CP， 由（1）知△CFD≌△CEB， ∴CF＝CE， 在Rt△CEP和Rt△CFP ∴Rt△CEP≌Rt△CFP（HL）， ∴PE＝PF， 在菱形ABCD中，∠A＝45°， ∴∠BCD＝45°， ∵∠CFD＝∠CEB＝90°， ∴∠BFP＝∠DEP＝90°， ∴∠CBE＝∠BPF＝∠BCD＝45°， ∴BE＝CE，BF＝PF， ∵△BFP的周长为4， ∴BP+PF+BF＝BP+PE+BF＝BE+BF＝CE+BF＝CF+BF＝BC＝4． 即菱形的边长为4． 13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：△BAE≌△CDE； （2）求∠AEB的度数． 13.（1）证明：∵△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠EAB＝∠EDC＝150°， 在△BAE和△CDE中 ∴△BAE≌△CDE（SAS）； （2）∵AB＝AD，AD＝AE， ∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠EAB＝150°， ∴∠AEB（180°﹣150°）＝15°． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 14.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8√2， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 加练11 特殊四边形的性质与判定 1．如图，在矩形ABCD和矩形BEFG中，AB＝BE，且点A，B，E三点共线，点D，G，E三点也共线． （1）求证：△DGC≌△GEF． （2）连结AC，当AB，AD＝2时，求∠AHE的度数． 2．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：△BEC是等腰三角形； （2）若AB＝1，∠AEB＝45°，求BC的长． 3．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F． （1）求证：四边形AEDF是矩形； （2）连接BD，若AB＝AE＝2，tan∠ADF＝2，求BD的长． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长． 5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形； （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠E＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积． 6．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 7．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF． （1）证明：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝8，求菱形的面积． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接CD，BE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）若BC＝2，连接AE，EC，求△AEC的面积． 9．如图，在△ABC中，过A点作AD∥BC，交∠ABC的平分线于点D，点E在BC上，DE∥AB． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）当BC＝6，AB＝4时，求DF的长． 10．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF⊥AD于点E，交BC于点F，OE＝OF，连接OC，∠FOC＝∠ODA． （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）若AB＝1，BD＝3EF，求OC的长． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）已知菱形ABCD的对角线AC＝24，点E、F分别是菱形的边CD、BC的中点，连接EF，若EF＝5，求菱形的周长． 12．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE＝DF．添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC． （1）你添加的条件是 　②　（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，若∠A＝45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长． 13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：△BAE≌△CDE； （2）求∠AEB的度数． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 详解详析 1.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠DCG＝90°， ∵AB＝BE， ∴DC＝BE， ∵四边形BEFG是矩形， ∴GF＝BE，∠F＝90°，FG∥BE， ∴DC＝GF，∠DCG＝∠F， ∵FG∥BE， ∴∠DGC＝∠GEF， 在△DGC和△GEF中， ∴△DGC≌△GEF（AAS）； （2）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是矩形， ∴∠DAE＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2， ∴∠EBG＝180°﹣90°＝90°， ∵AB＝BE， ∴AE＝2AB＝2， ∴AD：AE＝1：，AB：BC＝1：， ∴AD：AE＝AB：BC， ∵∠DAE＝∠ABC， ∴△DAE∽△ABC， ∴∠ACB＝∠AED， ∵∠CGH＝∠BGE， ∴∠CHG＝∠EBG＝90°， ∴∠AHE＝180°﹣90°＝90°． 2.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BE＝BC， ∴△BEC是等腰三角形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝1，∠AEB＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴AB＝AE＝1， ∴BE， 由（1）知：BE＝BC， ∴BC． 3.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF∥EA， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AE⊥DE， ∴∠E＝90°， ∴四边形AEDF是矩形； （2）解：如图， ∵四边形AEDF是矩形， ∴AE＝DF＝2，∠F＝90°， ∴， ∴AF＝2DF＝4， ∴BF＝AB+AF＝6， ∴在Rt△BDF中， ． 4.（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°， ∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，BC＝12， ∴BD＝CDBC＝6， 由（1）可知：四边形ADCE是矩形， ∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC10， ∵EF⊥AC，∴S△AECAC•EFAE•CE， ∴EF4.8， 即EF的长为4.8． 5.（1）证明：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD，四边形EBOA是菱形， ∴OA＝OB， ∴，， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形EBOA是菱形， ∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2AO＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴． 6.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵EF＝DA，∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°， ∴平行四边形BCEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∵CF＝4，DF＝5， ∴CD2+CF2＝DF2， ∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°， ∴△CDF的面积DF×CECF×CD， ∴CE， 由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形， ∴∠FBC＝90°，BF＝CE， ∴BC， ∴EF． 7.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 又∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠1＝90°， ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AFAD，ECBC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∴AF∥EC且AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵∠1＝90°， ∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）解：在Rt△ABE中，AE4， 所以，S菱形ABCD＝8×432． 8.解：（1）选择小星的做法： 证明：∵DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DC＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形，∴BC＝DC， ∴四边形BCDE是菱形，∴EC⊥AB； 选择小红的做法： 证明：连接EC， ∵DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DC＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝DC． ∴四边形BCDE是菱形， ∴AB垂直平分EC．∴AE＝AC； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠ACE＝60°， 由（1）知△AEC是等腰三角形， ∵BC＝2，∴EC＝AC＝2， 设EC与AB相交于点O， ∴AO＝3．∴S△AEC23＝3． 9.（1）证明：∵DE∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形； （2）解：∵四边形ABED是菱形，AB＝4， ∴DE＝EB＝AD＝4，DE∥AB， ∴△CEF∽△CBA，∴， ∵BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝2， ∴，∴EF， ∴DF＝DE﹣EF＝4． 10.（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵点O为对角线BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵EF⊥AD，∴∠OED＝90°， ∴∠ODA+∠DOE＝90°， ∵∠FOC＝∠ODA， ∴∠FOC+∠DOE＝90°， ∴∠COD＝180°﹣90°＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝1，OA＝OCAC， ∵EF⊥AD， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AD•EF， ∵BD＝3EF， ∴AC•3EF＝AD•EF，即AC×3＝1， ∴AC， ∴OCAC，即OC的长为． 11.（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． （2）连接BD，交AC于点O，如图： ∵点E、F分别是边CD、BC的中点， ∴BD＝2EF＝10， ∵AC、BD是菱形的对角线，且AC＝24，BD＝10， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝12，OB＝OD＝5． 在Rt△AOD中． ∵OA＝12，OD＝5． ∴， ∴菱形的周长为：4AD＝4×13＝52． 12.解：（1）②． 证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠CEB＝90°， 在△CFD和△CEB中 ∴△CFD≌△CEB（AAS）， ∴CD＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． （2）如图，连接CP， 由（1）知△CFD≌△CEB， ∴CF＝CE， 在Rt△CEP和Rt△CFP ∴Rt△CEP≌Rt△CFP（HL）， ∴PE＝PF， 在菱形ABCD中，∠A＝45°， ∴∠BCD＝45°， ∵∠CFD＝∠CEB＝90°， ∴∠BFP＝∠DEP＝90°， ∴∠CBE＝∠BPF＝∠BCD＝45°， ∴BE＝CE，BF＝PF， ∵△BFP的周长为4， ∴BP+PF+BF＝BP+PE+BF＝BE+BF＝CE+BF＝CF+BF＝BC＝4． 即菱形的边长为4． 13.（1）证明：∵△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠EAB＝∠EDC＝150°， 在△BAE和△CDE中 ∴△BAE≌△CDE（SAS）； （2）∵AB＝AD，AD＝AE， ∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠EAB＝150°， ∴∠AEB（180°﹣150°）＝15°． 14.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8√2， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 1 学科网（北京）股份有限公司 $