加练9 全等、相似三角形的判定与构造-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

加练9 全等、相似三角形的判定与构造 类型1 全等三角形的判定与构造 1．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN＝2AN，AB＝6，则AD＝（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 3．如图，点P在∠AOB的平分线上，且∠MPN与∠AOB互补，将∠MPN绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点F，作DE⊥AC，垂足为E，连接AD，若∠BAD＝90°，AD＝4，AC＝7，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．如图，在△ABC中，D为AC上一点，BD＝CD，E为BD上一点，∠A＝∠DEC，若要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道（　　） A．AD﹣ED的值 B．AB﹣ED的值 C．BC﹣BE的值 D．CD﹣BE的值 6．如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点（点P不与点B，C重合），AH⊥DP于G，并交CD于点H，过C作CF⊥AH交AH延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，连接CD，在BC的左侧作BE∥AC，且BE＝AD，连接CE．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBDC的面积为（　　） A．120 B．240 C．360 D．480 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝90°，BE＝AD＝4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D．2 9．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是BC的中点，点E是CA延长线上一点，连接EB，ED，AB与ED相交于点F．若AE＝CD，则DF的长为 　 　． 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接BD，AB＝2，AD＝1，，点E，F分别在边BC，CD上，且DF＝CE，分别连接BF，DE．若CD＝3，则BF+DE的最小值为 　 　． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点N为线段BM上一点，连接CN，过点N作DN⊥AB交BC于点D，连接DM，若∠CDM＝∠A，AN＝4，则CN的长为 　 　． 12．如图，已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∠DAC＝45°，DE垂直平分BC，DF⊥AC于点F，AB＝3，DF＝1，则AC＝ 　 　． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是AC的中点，E是BC上一动点，若以DE为边在其右侧作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为 　 　． 14．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E； （1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 15．如图1，△OAB，△OCD都是等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，连接AC和BD相交于点E，连接OE． （1）求证：AC＝BD； （2）求证：EO平分∠AED； （3）如图2，若∠AOB＝60°，点F为BD上一点，DF＝CE，连接OF，OF＝BE，AC交OB于点G，求证：AC⊥OB． 16．综合探究 问题情境：△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD＝CE，连接AE、DE． 猜想证明：（1）如图1，当点D是AC的中点时，DB 　 　DE；（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）若点D为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与△CDE全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作DF∥BC，交AB于点F．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图3，当点D是AC边上任意一点时，取BD的中点F，连接AF．求∠FAE的度数． 类型2 相似三角形的判定与构造 17．如图，矩形ABCD中，tan∠BAC＝2，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作以∠EGF为直角的Rt△GEF，使得∠GFE＝30°，连接CG，当CG最小时，的值为（　　） A． B． C． D． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 19．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（　　） A． B． C． D． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC，点E为边AC上的点，且CE＝2，点E关于边AB的对称点为点F，连接CF，则CF的长为（　　） A． B．5 C． D． 21．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过点E作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F，若AB＝3，BC＝4，BE＝1，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 22．如图，△ACD中，AD，CD，BC⊥AC于C，AC＝2BC，则BD的最大值为 　 　． 23．如图，在等边△ABC中，，点E在BC边上，且，点F为AB边上一点，连接EF，在EF的右侧作∠FEP＝60°，且EP＝2EF，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 24．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CD＝2，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝ 　 　． 25．矩形ABCD中，点E是BC的中点，DF⊥AE于点F，若CE＝3，CF＝4，则DF的长度是　 　． 26．综合与探究： （1）【类比探究】如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，BF相交于点P，AE⊥BF．若BE＝1，则CF＝　　； （2）【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，BF相交于点P，∠D＝∠EPF．求证：． 小明发现，以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明△AQE∽△BCF．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ． ∵AB＝AQ， ∴∠ABC＝∠AQB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°， ∴∠AQB+∠C＝180°． ∵∠AQB+∠AQE＝180°， ∴∠AQE＝∠C． 请你补全余下的证明过程． （3）【拓展迁移】如图④，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝5，CD＝4，点E在边BC上，F为CD的中点，连结AE，BF相交于点P．若∠D＝∠EPF＝60°，则AE的长为　 　． 27．如图1，矩形ABCD中，∠ADB＝60°，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转OE，OF，且OE⊥OF时，求的值； （3）如图3，当DO：OB＝1：4时，过点O作OE⊥OF，OE交DA的延长线于点E，OF交AB的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 28．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点 D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE*CD＝AB2是否成立　 　（填“成立”或“不成立”）；若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． 【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF＝∠ADB，求证：△ADE∽△ACF； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD＝120°．点F为BC边上一点，若∠EAF的另一边与BD相交于点E，且满足∠EAF＝∠ADB．若BF＝9cm，直接写出线段DE的长． 29．已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，点E在边AB上，AE＝1，BE＝2，联结DE． （1）如图1，联结EC，求△EAD与△EBC的面积之比； （2）如图2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值； （3）如图3，联结AC交DE于点F，如果DA2＝DF•DE，且，求边BC的长． 30．在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上，BF＝FE＝AG，且AGAB，GF、DE的延长线相交于点P． （1）如图1，当点E与点C重合时，求∠P的度数； （2）如图2，当点E与C不重合时，过D作DN⊥GP于点N，若DN＝4，求DP长； （3）在（2）的条件下，连接CN、BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求的值． 参考答案 1．A【解析】如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ． ∵BN＝2AN，AB＝6， ∴AN＝2，BN＝4， ∵M是BC的中点，J是CN的中点， ∴CM＝MB，CJ＝JN， ∴JM∥BN，JNBN＝2， ∴MJ＝AN， ∵MJ∥AN， ∴∠OMJ＝∠OAN， 在△AON和△MOJ中， ， ∴△AON≌△MOJ（AAS）， ∴OJ＝ON， ∵AD∥CN，CD∥AB， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴AD＝CN， ∵AM平分∠DAB， ∴∠DAM＝∠MAB， ∵AD∥CN， ∴∠DAM＝∠AON， ∴∠MAB＝∠AON， ∴ON＝AN＝2， ∴CJ＝JN＝4， ∴AD＝CN＝8． 2．C【解析】如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴四边形AEDF的面积， 故选：C． 3．C【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE＝PF， 在Rt△POE和Rt△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确， ∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故③正确， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE， ∴OM+ON为定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形， ∵PM的长度是变化的， ∴MN的长度是变化的，故④错误， 故选：C． 4．A【解析】作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，则∠H＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴DA⊥BA， ∵BD平分∠ABC，且DA⊥BA，DH⊥BC， ∴HD＝AD＝4， ∵DE⊥AC于点E，∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠ACB＝90°， ∴DE∥BC，∠DEC＝∠H， ∴∠EDC＝∠HCD， 在△EDC和△HCD中， ， ∴△EDC≌△HCD（AAS）， ∴EC＝HD＝4， ∵AC＝7， ∴AE＝AC﹣EC＝7﹣4＝3， 在Rt△HBD和Rt△ABD中， ， ∴Rt△HBD≌Rt△ABD（HL）， ∴∠HDB＝∠ADB， ∵∠H＝∠ACB＝90°， ∴DH∥AC， ∴∠HDB＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFD， ∴AF＝AD＝4， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣3＝1， 故选：A． 5．A【解析】在AD上取一点F，使∠BFD＝∠BDF，则BF＝BD，∠AFB＝∠EDC ∵BD＝CD， ∴BF＝CD， 在△AFB和△EDC中， ， ∴△AFB≌△EDC（AAS） ∴AB＝CE， ∴△ABD和△ECD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝（CE+CD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝AD﹣DE． 要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道AD﹣DE的值． 故选：A． 6．C【解析】如图，过点D作DM⊥DF交AF于点M，过点A作AE⊥AF交FD延长线于点E， ∵正方形ABCD， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵DM⊥DF， ∴∠MDF＝90°， ∴∠ADC＝∠MDF， ∴∠ADC﹣∠MDC＝∠MDF﹣∠MDC，即∠ADM＝∠CDF， ∵CF⊥AH， ∠CFH＝90°， ∴∠ADH＝∠CFH， 又∵∠AHD＝∠CHF， ∴∠DAM＝∠DCF， ∴△DAM≌△DCF（ASA）， ∴DM＝DF， ∴△DMF是等腰直角三角形， ∴∠DFM＝45°， ∵AH⊥DP， ∴∠DGF＝90°， ∴∠GDF＝90°﹣∠DFM＝45°， ∴∠GDF＝∠DFM， ∴DG＝FG， ∴△GDF是等腰直角三角形，， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAF＝∠BAD，∠E＝90°﹣∠DFM＝45°， ∴∠EAD+∠DAF＝∠BAF+∠DAF，∠E＝∠DFM， ∴∠EAD＝∠BAF，AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形，， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴DE＝BF， ∴， ∴． 故选：C． 7．B【解析】作AF⊥BC于点F，CP⊥AB于点P，CQ⊥BE于点Q，则∠AFB＝∠BPC＝∠BQC＝90°， ∵AB＝AC＝26，BC＝20， ∴∠ACB＝∠CBA，BF＝CFBC＝10， ∴AF24， ∴S△ABCBC•AF20×24＝240， ∵BE∥AC，且BE＝AD， ∴∠CBE＝∠ACB＝∠CBA， ∴在△CBQ和△CBP中， ， ∴△CBQ≌△CBP（AAS）， ∴CQ＝CP， ∴S△BCEBE•CQAD•CP＝S△ACD， ∴S四边形EBDC＝S△BCE+S△BCD＝S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝240， 故选：B． 8．A【解析】连接DE，过E作EH⊥CD于H， ∵CE平分∠BCD，∠B＝90°， ∴BE＝EH＝4， ∵BE＝AD， ∴EH＝AD， 在Rt△ADE与Rt△HED中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△HED（HL）， ∴AE＝DH， 在Rt△BCE与Rt△HCE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△HCE（HL）， ∴BC＝CH， ∵BC与CD的差为1， ∴BC﹣CD＝CH﹣CD＝DH＝1， ∴AE＝DH＝1， 故选：A． 9．【解析】如图，过点D作DG⊥AC于G，过点D作DH∥AC交AB于H，连接AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝BC＝4， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝2， ∴∠ADC＝90°， ∴AD2， Rt△ADG中，∠DAG＝30°， ∴DGAD， ∵DH∥AC， ∴∠DHB＝∠BAC＝60°＝∠ABC，∠EAF＝∠FHD， ∴BD＝DH， ∵AE＝CD＝BD， ∴AE＝DH， ∴△AEF≌△HDF（AAS）， ∴EF＝FD， Rt△ADG中，AG3， ∴EG＝2+3＝5， ∴ED2， ∴DFED． 10．2【解析】延长AD至点H使CD＝DH，连接FH，BH，如图， ∵AB＝2，AD＝1，， ∴BD2＝AB2+AD2， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴AH∥BC， ∴∠ECD＝∠HDF， 在△DCE和△HDF中， ， ∴△DCE≌△HDF（SAS）， ∴HF＝DE， ∴BF+DE＝BF+HF， ∵BF+HF的最小值为BH， ∴BF+DE的最小值为BH， 在Rt△ABH中AB＝2，AH＝AD+DH＝1+3＝4， ∴BH2， 即BF+DE的最小值为2． 11．5【解析】∵CM平分∠ACB， ∴∠DCM＝∠ACM， 在△DCM和△ACM中， ， ∴△DCM≌△ACM（AAS）， ∴CD＝CA， 如图，过点C作CE⊥CN，交ND的延长线于点E， ∵∠ACB＝∠ECN＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCN＝∠ECN﹣∠DCN，即∠NCA＝∠ECD， ∵DN⊥AB， ∴∠BND＝90°， ∴∠B+∠BDN＝90°， ∵∠B+∠A＝90°， ∴∠BDN＝∠A， 又∠CDE＝∠BDN， ∴∠CDE＝∠A， 在△DCE和△ACN中， ， ∴△DCE≌△ACN（ASA）， ∴CE＝CN，DE＝AN， ∵∠ECN＝90°， ∴△ECN为等腰直角三涌形， 由勾股定理得CE2+CN2＝EN2，设CN＝CE＝x， ∵DN， ∴EN＝DN+DE， ∴， ∴x＝±5（负值舍去），即CN＝5， 故答案为：5． 12．5【解析】如图，连接DB，DC，过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠BAC＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠DAH＝∠DAF， ∵DH⊥AH，DF⊥AF， ∴DF＝DH， ∵∠DHA＝∠DFA＝∠HAF＝90°， ∴四边形AHDF是矩形， ∴DH＝DF， ∴四边形AHDF是正方形， ∴DF＝AF＝AH＝DH＝1， ∵DE垂直平分线段BC， ∴DB＝DC， 在Rt△DHB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DHB≌Rt△DFC（HL）， ∴BH＝FC， ∵BH＝AB+AH＝3+1＝4， ∴CF＝4， ∴AC＝AF+FC＝1+4＝5． 故答案为：5． 13．【解析】以CD为边，在CD右侧作等边三角形CDK，连接FK并延长，交AC延长线于T，过A作AF'⊥KT于F'，如图： ∵△CDK，△DEF是等边三角形， ∴CD＝CK，DE＝DF，∠CDK＝60°＝∠EDF， ∴∠CDE＝∠KDF， ∴△CDE≌△KDF（SAS）， ∴∠DCE＝∠DKF＝90°， ∴F在过K且与DK垂直的直线上运动， ∴当F于F'重合时，AF最小， ∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴ACAB＝2， ∵D是AC的中点， ∴CDAC＝1＝CK， ∵∠CKT＝∠DKT﹣∠DKC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠T＝∠DCK﹣∠CKT＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CKT＝∠T， ∴CT＝CK＝1， ∴AT＝AC+CT＝2+1＝3， ∴AF'AT，即AF最小为； 故答案为：． 14．（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACF＝90°． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC＝AB，∠CAF+∠BAO＝90°，∠AFC＝∠BAC， ∴∠ACF＝∠BAO． 在△ACF和△ABO中， ， ∴△ACF≌△ABO（AAS） ∴CF＝OA＝1，AF＝OB＝2 ∴OF＝1 ∴C（﹣1，﹣1）； （2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G， ∴∠ACG＝∠BAC＝90°， ∴∠AGC+∠GAC＝90°． ∵∠CAG+∠BAO＝90°， ∴∠AGC＝∠BAO． ∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAO＝90°， ∴∠ADO＝∠BAO， ∴∠AGC＝∠ADO． 在△ACG和△BAD中 ∴△ACG≌△BAD（AAS）， ∴CG＝AD＝CD． ∵∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠DCE＝∠GCE＝45°， 在△DCE和△GCE中， ， ∴△DCE≌△GCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDE； （3）解：在OB上截取OH＝OD，连接AH 由对称性得AD＝AH，∠ADH＝∠AHD． ∵∠ADH＝∠BAO． ∴∠BAO＝∠AHD． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABO＝∠EBO， ∵∠AOB＝∠EOB＝90°． 在△AOB和△EOB中， ， ∴△AOB≌△EOB（ASA）， ∴AB＝EB，AO＝EO， ∴∠BAO＝∠BEO， ∴∠AHD＝∠ADH＝∠BAO＝∠BEO． ∴∠AEC＝∠BHA． 在△AEC和△BHA中， ， ∴△ACE≌△BAH（AAS） ∴AE＝BH＝2OA ∵DH＝2OD ∴BD＝2（OA+OD）． 15．（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS） ∴AC＝BD； （2）证明：过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图1所示： ∴∠OMA＝∠ONB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAM和△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS） ∴OM＝ON， ∴EO平分∠AED； （3）证明：∵△AOC≌△BOD， ∴∠OCE＝∠ODF 在△OCE 和△ODF中， ， ∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE ＝OF， ∵OF＝BE， ∴OE＝BE， 在△OAG中，∠AOB＝60°， ∴∠OAC+∠AGO＝180°﹣∠AOB＝120°， ∵∠OAC＝∠OBD，∠AGO＝∠BGE， ∴∠OBD+∠BGE＝120°， 在△BEG中，∠BEG＝180°﹣（∠OBD+∠BGE）＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠BEG＝120°， 由（2）可知：EO平分∠AED， ∴∠OEGAED＝60°， ∴∠BEG＝∠OEG＝60°， 即EG是∠OEB的平分线， 又∵OE＝BE， ∴AC⊥OB． 16．（1）当点D是AC的中点时，DB＝DE，理由如下： 如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠60°，AB＝AC＝BC， ∵点D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，AD＝CD， ∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠CDE+∠CED＝2∠CED， ∴60°＝2∠CED， ∴∠CED＝30°， ∴∠CBD＝∠CED＝30°， ∴DB＝DE， 故答案为：＝； （2）如图2，过点D作DF∥BC，交AB于点F， ∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°， ∴∠AFD＝∠ADF＝60°， ∴△AFD是等边三角形， ∴AD＝DF＝AF， ∵AB＝AC， ∴AB﹣AF＝AC﹣AD， ∴FB＝CD， ∵AD＝CE， ∴DF＝CE， 又∵∠AFD＝∠ACB＝60°， ∴∠DFB＝∠ECD＝120°， 在△FBD和△CDE中， ， ∴△FBD≌△CDE（SAS）， ∴DB＝DE； （3）延长AF到G，是FG＝AF，连接BG，如图3所示： ∵点F是BD的中点， ∴FB＝FD， 在△BFG和△DFA中， ， ∴△BFG≌△DFA（SAS）， ∴BG＝AD，∠G＝∠DAF， ∴BG∥AC， ∴∠GBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABG＝∠ABC+∠GBC＝120°， 又∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠ABG＝∠ACE＝120°， 又∵AD＝CE，BG＝AD， ∴BG＝CE， 在△ABG和△ACE中， ， ∴△ABG≌△ACE（SAS）， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAG＝∠BAC＝60°． 17．B【解析】∵∠ABC＝∠EGF＝90°， ∴点E、B、F、G四点共圆， ∴∠EBG＝∠EFG＝30°， ∴G点在直线BG上运动， 当CG⊥BG时，CG最小，此时∠BCG＝30°， ∵tan∠BAC＝2， 设AB＝3a，则BC＝6a， ∴BG＝3a，CG＝3a， 设CF＝x，则FHx，CHx， 过F作FH⊥CG交于H点， ∴∠FGH＝∠BFE， ∴， ∴x＝6a（舍）或xa， ∴． 故选：B． 18．B【解析】∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且， ∴AB＝2，， 如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC的延长线于G． ∴，∠CNT＝∠CTN＝45°， ∵等腰直角三角形MNQ， ∴，∠MNQ＝45°， ∴∠MNC＝∠QNT， ∴△MNC∽△QNT， ∴∠MCN＝∠QTN＝90°， ∴∠CTQ＝45°， ∵Q在射线TQ上， ∴当CQ⊥TQ时，CQ最短， ∵∠ACB＝90°＝∠TCN＝∠TCG， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 19．C【解析】如图，过F作PF∥BC，交AE于P，过H作HQ∥BC，交AD于Q， ∴， ∵BF是AC边的中线， ∴AF＝FC， ∴AP＝PE， ∴CE＝2PF， ∵D、E是BC边的三等分点， ∴BD＝DE＝EC， ∴BE＝4FP， ∵FP∥BE， ∴△PFH∽△EBH， ∴， ∴， ∵HQ∥BE， ∴△AQH∽△ADE，△HGQ∽△BGD， ∴， ∴， ∴FH：HG：GB＝2：3：5， ∵AF＝FC， ∴， ∴． 故选：C． 20．C【解析】如图，过点B作BTAC于点T，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作EH⊥AC于点H． ∵AB＝AC＝5，BC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD， ∵•BC•AD•AC•BT， ∴BT3， ∴AT4， ∵AC＝5，CE＝2， ∴AE＝5﹣2＝3， ∵∠EAO＝∠BAT，∠AOE＝∠ATB＝90°， ∴△AOE∽△ATB， ∴， ∴， ∴OE， ∵E，F关于AB对称， ∴EF＝2OE＝2， ∵∠EFH+∠FEH＝90°，∠BAT+∠FEH＝90°， ∴∠EFH＝∠BAT， ∵∠FHE＝∠ATB＝90°， ∴△FHE∽△ATB， ∴， ∴， ∴EH，FH， ∴CH＝EH+EC2， ∴CF． 故选：C． 21．C【解析】过点F作FG⊥BC交于点G，如图， ∵CF平分∠BCD， ∴， ∵FG⊥BC， ∴∠B＝∠FGE＝90°， ∴∠FCG＝∠CFG＝45°， ∴GC＝GF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠BCD＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEG+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴△ABE∽△EGF， ∴， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理，得， 故选：C． 22．【解析】如图，过点C作CE⊥CD，且CE＝2CD＝2，连接AE，DE， ∴DE， ∵∠ECD＝∠BCA＝90°， ∴∠ECA＝∠BCD， 又∵， ∴△ACE∽△BCD， ∴2， ∴AE＝2BD， 在△ADE中，AE＜AD+DE， ∴当点D在线段AE上时，AE有最大值为2， ∴BD的最大值为， 故答案为：． 23．9【解析】在等边△ABC中，，点E在BC边上，且，如图，将BE绕点E旋转60°，交AB于点M，倍长EM至点D，连接DP，交AB于点H，则：∠BEM＝60°，DE＝2BE，DM＝EM， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BME＝60°， ∴△BME为等边三角形， ∴BM＝BE＝EM， ∵∠FEP＝60°＝∠BEM， ∴∠DEP＝∠BEH＝60°+∠DEF， ∵DE＝2BE，EP＝2EF， ∴， ∴△DEP∽△BEF， ∴∠D＝∠B＝60°， ∴点P在射线DH上运动， ∵∠DMH＝∠BME＝60°，∠D＝60°， ∴∠DHM＝60°， ∴△DMH为等边三角形， ∴MH＝DM＝EM＝BE＝BM， ∴， ∴， 过点A作AG⊥DH， ∵∠AHG＝∠DHM＝60°， ∴∠HAG＝30°， ∴， ∴， ∵点P在射线DH上运动， ∴当点P与点G重合时，AP的值最小，即为AG的长， ∴AP的最小值为9． 故答案为：9． 24．【解析】在BH上截取BE＝CH，连接OE，如图所示： ∵∠ACB＝90°， ∴在Rt△ACD中，BC＝6，CD＝2， 由勾股定理得：AD， ∵∠ACB＝90°，CH⊥BD， ∴∠DCH+∠BCH＝90°，∠DBC+∠BCH＝90°， ∴∠DCH＝∠DBC， 又∵∠CDH＝∠BDC， ∴△CDH∽△BDC， ∴， ∴， ∴CH，DH ∴BE＝CH， ∴EH＝BD﹣BE﹣DH， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点O是AB中点， ∴OC⊥AB，OB＝OA＝OC，∠ABC＝45°，∠ACO＝45°， ∴∠EBO+∠DBC＝45°，∠DCH+∠HCO＝45°， ∵∠DCH＝∠DBC， ∴∠EBO＝∠HCO， 在△EBO和△HCO中， ， ∴△EBO≌△HCO（SAS）， ∴OE＝OH，∠EOB＝HOC， ∵OC⊥AB， ∴∠COE+∠EOB＝90°， ∴∠COE+∠HOC＝90°， 即∠EOH＝90°， ∴△EOH是等腰直角三角形， 由勾股定理得：EHOH， ∴OHEH． 25．【解析】延长AE、DC交于点H， ∵点E是BC的中点，CE＝3，CF＝4， ∴BE＝CE＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，∠ADH＝90°， ∴∠BAE＝∠H， 在△ABE和△HCE中， ， ∴△ABE≌△HCE（AAS）， ∴AB＝HC， ∴DC＝HC， ∵DF⊥AE于点F， ∴∠AFD＝∠DFH＝90°， ∴HD＝2CF＝8， ∴AH10， ∵∠AFD＝∠ADH，∠FAD＝∠DAH， ∴△AFD∽△ADH， ∴， ∴DFHD8， 故答案为：． 26解：（1）∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°． 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝AD＝5， ∴∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABE＝∠C＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△BCF， ∴， ∵BE＝1， ∴CF． 故答案为：； （2）证明：以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ，如图， 则AB＝AQ， ∴∠ABC＝∠AQB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°， ∴∠AQB+∠C＝180°． ∵∠AQB+∠AQE＝180°， ∴∠AQE＝∠C． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠D+∠C＝180°， ∵∠EPF＝∠D， ∴∠EPF+∠C＝180°． ∵∠EPF+∠PEC+∠C+∠CFP＝360°， ∴∠PEC+∠CFP＝180°， ∵∠PEB+∠PEC＝180°， ∴∠PEB＝∠CFP． ∴△AQE∽△BCF， ∴． ∵AB＝AQ， ∴； （3）解：过点C作CG⊥AD于点G，过点BH⊥AD于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，延长BF，交AD的延长线于点Q，如图， ∵∠D＝60°，CG⊥AD， ∴GDCD＝2，CGCD＝2， ∵AD∥BC，CG⊥AD，BH⊥AD， ∴四边形BCGH为矩形， ∴GH＝BC＝5，BH＝CG＝2， ∴AH＝AD﹣GD﹣GH＝1， ∴AB． ∵F为CD的中点， ∴CF＝DF＝2， ∵AD∥BC， ∴∠FBM＝∠Q，∠FCM＝∠D＝60°， ∴CMCF＝1，FMCF， ∴BM＝BC+CM＝6， ∴BF． 在△BFC和△QFD中， ， ∴△BFC≌△QFD（AAS）， ∴BF＝QF，BC＝DQ＝5， ∴AQ＝AD+DQ＝13 ∵∠D＝∠EPF， ∴∠QDF＝∠QPA． ∵∠Q＝∠Q， ∴△QDF∽△QPA， ∴， ∴， ∴QP， ∴BP＝BQ﹣QP＝2QF﹣PQ， ∵AD∥BC， ∴△BPE∽△QPA， ∴， ∴BE． 过点A作AN⊥CB，交CB的延长线于点N，则四边形ANBH为矩形， ∴BN＝AH＝1，AN﹣BH＝2， ∴EN＝BN+BE， ∴AE． 故答案为：． 27．解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，DO＝BO， ∵∠ADB＝60°， ∴tan∠ADB＝tan60°， ∵OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F， ∴OE∥AB，OF∥AD， ∴AE＝DE，AF＝BF， ∴OE，OF是△ABD的中位线， ∴OEAB，OFAD， ∴； （2）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N， ∴∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°， ∴四边形AMON是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OME＝∠ONF＝90°， ∴△OME∽△ONF， ∴， 由（1）知，， ∴； （3）的值的变化，； 证明：过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N， ∴∠OMD＝∠DAB＝90°， ∴OM∥AB， ∴△DOM∽△DBA， ∴， ∵DO：OB＝1：4， ∴， ∴OMAB， ∵∠ONF＝∠DAB＝90°， ∴ON∥AD， ∴△OBN∽△DBA， ∴， ∴ONAD， ∵∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°， ∴四边形AMON是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OME＝∠ONF＝90°， ∴△OME∽△ONF， ∴， ∵ADAB， ∴， 28．（1）解：结论BE•CD＝AB2成立； 理由：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠FAG＝45°， ∵∠DAC＝∠CAE+45°，∠AEB＝∠CAE+45°， ∴∠DAC＝∠AEB， ∵∠B＝∠C， ∴△BEA∽△CAD， ∴， ∴AB•AC＝BE•CD， ∵AC＝AB， ∴BE•CD＝AB2， 故答案为：成立； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD＝∠ACB＝∠ADB＝45°， ∵∠EAF＝∠ADB， ∴∠EAF＝∠CAD＝45°， ∴∠CAF+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， ∴∠CAF＝∠DAE， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴△ADE∽△ACF； （3）解：如图，在DE上取一点M，使∠MAD＝30°，过M作MN⊥AD于N， 在菱形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠CAD＝∠ACB＝∠ADC＝60°， ∴∠MDA∠ADC＝30°， ∴∠MAD＝∠MDA＝30°， ∴∠AME＝60°， ∴∠AME＝∠ACB＝60°， ∵∠CAD＝60°， ∴∠MAD＝30°， ∴∠CAM＝30°， ∵∠EAF＝∠ADB， ∴∠EAF＝∠CAM＝30°， ∴∠CAF＝∠MAE， ∴△ACF∽△AME， ∴， ∵ANAD，ANAM， ∴MA＝MDAD， ∵AD＝AC， ∴ACAM， ∴， ∴CFME， ∵菱形ABCD的边长为12cm， ∴BC＝AD＝12（cm）， ∵BF＝9cm， ∴CFME＝3（cm）， ∴ME（cm）， ∴MDAD12＝4（cm）， ∴DE＝ME+MD5（cm）， 当AE在AF左侧时，如图，过点A作AG⊥BC于G，过点E作EH⊥AB于H， 同理△AFG∽AEH， ∴2，AH＝2EH， ∵BHEH，AB＝12，BH＝4，BE， ∴DE＝12， 故答案为：5或． 29．解：（1）如图1，延长DE，交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△FBE， ∴， ∵BC＝4AD， ∴BC＝2BF， ∴， ∴； （2）如图2， 延长DE，交CB的延长线于点F，作EG⊥CF于G， ∵∠DEC＝∠DCB， ∴∠F+∠ECF＝∠DCE+∠ECF， ∴∠DCE＝∠F， ∵∠CDE＝∠CDF， ∴△CDE∽△FDC， ∴， ∴CD2＝DE•DF， 由（1）知， △ADE∽△FBE， ∴，， ∴EF＝2DE， ∴DF＝3DE， ∴CD2＝3DE2， ∴， ∵∠EDC＝90°， ∴∠CED＝60°， ∴∠DCB＝60°，∠F＝30°， 在Rt△CDF中，设CD＝3a，则CF＝6a，DF＝3， ∴BF＝2a，EF＝2， 在Rt△EFG中， EG，FG3a， ∴BG＝FG﹣BF＝3a﹣2a＝a， ∴tanB， （3）如图3， 设AD＝a，AT＝b， 以D为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于点H，作DT⊥AH于T， ∴DH＝AD＝a， ∴AH＝2AT＝2TH＝2b，∠H＝∠HAD， ∵AD∥BC， ∴∠B＝HAD，∠DAC＝∠ACB， ∴∠H＝∠B， ∵DA2＝DF•DE，∠ADF＝∠ADE， ∴△ADF∽△EDA， ∴∠DAC＝∠AED， ∴∠AED＝∠ACB， ∴△HED∽△BCA， ∴， ∵cos∠DAH＝cosB， ∴， ∴， ∴， ∴a， ∴BC＝4a＝2． 30．解：（1）∵EF＝BF＝AG，E与C重合， ∴BF＝CF＝BG＝AG， ∴∠BGF＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠P＝∠BGF＝45°． （2）如图2，过D作DN⊥GP于点N，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC． 在正方形ABCD中，OC＝OB，∠OCF＝∠OBG＝45°， 又∵AG＝BF， ∴BG＝CF， ∴△OCF≌△OBG（SAS）． ∴OG＝OF，∠COF＝∠BOG， ∴∠GOF＝∠BOC＝90°， ∴△GOF为等腰直角三角形． 又∵O，F分别是BD，BE的中点， ∴OF∥DE， ∴∠P＝∠OFG＝45°， ∵DN⊥GP， ∴△DNP是等腰直角三角形， ∴NP＝DN＝4， ∴DP4； （3）如图3所示，取DP中点Q，连接NQ，BD，MQ， 由题意可得，△DNP为等腰直角三角形， ∵Q为DP中点， ∴NQ⊥DP． 设∠CDP＝α，则∠NDC＝45°+α，∠BDP＝45°﹣α， ∵M，Q分别是BP，DP的中点， ∴MQ∥BD， ∴∠MQP＝∠BDP＝45°﹣α， ∴∠NQM＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠NQM＝∠NDC． 又∵，， ∴， 又∵△NQD为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴△NQM∽△NDC． ∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 加练9 全等、相似三角形的判定与构造 类型1 全等三角形的判定与构造 1．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN＝2AN，AB＝6，则AD＝（　A　） A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ． ∵BN＝2AN，AB＝6， ∴AN＝2，BN＝4， ∵M是BC的中点，J是CN的中点， ∴CM＝MB，CJ＝JN， ∴JM∥BN，JNBN＝2， ∴MJ＝AN， ∵MJ∥AN， ∴∠OMJ＝∠OAN， 在△AON和△MOJ中， ， ∴△AON≌△MOJ（AAS）， ∴OJ＝ON， ∵AD∥CN，CD∥AB， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴AD＝CN， ∵AM平分∠DAB， ∴∠DAM＝∠MAB， ∵AD∥CN， ∴∠DAM＝∠AON， ∴∠MAB＝∠AON， ∴ON＝AN＝2， ∴CJ＝JN＝4， ∴AD＝CN＝8． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　C　） A．18 B． C．9 D． 【解析】如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴四边形AEDF的面积， 故选：C． 3．如图，点P在∠AOB的平分线上，且∠MPN与∠AOB互补，将∠MPN绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变，其中正确的有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE＝PF， 在Rt△POE和Rt△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确， ∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故③正确， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE， ∴OM+ON为定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形， ∵PM的长度是变化的， ∴MN的长度是变化的，故④错误， 故选：C． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点F，作DE⊥AC，垂足为E，连接AD，若∠BAD＝90°，AD＝4，AC＝7，则EF的长为（　A　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解析】作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，则∠H＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴DA⊥BA， ∵BD平分∠ABC，且DA⊥BA，DH⊥BC， ∴HD＝AD＝4， ∵DE⊥AC于点E，∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠ACB＝90°， ∴DE∥BC，∠DEC＝∠H， ∴∠EDC＝∠HCD， 在△EDC和△HCD中， ， ∴△EDC≌△HCD（AAS）， ∴EC＝HD＝4， ∵AC＝7， ∴AE＝AC﹣EC＝7﹣4＝3， 在Rt△HBD和Rt△ABD中， ， ∴Rt△HBD≌Rt△ABD（HL）， ∴∠HDB＝∠ADB， ∵∠H＝∠ACB＝90°， ∴DH∥AC， ∴∠HDB＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFD， ∴AF＝AD＝4， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣3＝1， 故选：A． 5．如图，在△ABC中，D为AC上一点，BD＝CD，E为BD上一点，∠A＝∠DEC，若要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道（　A　） A．AD﹣ED的值 B．AB﹣ED的值 C．BC﹣BE的值 D．CD﹣BE的值 【解析】在AD上取一点F，使∠BFD＝∠BDF，则BF＝BD，∠AFB＝∠EDC ∵BD＝CD， ∴BF＝CD， 在△AFB和△EDC中， ， ∴△AFB≌△EDC（AAS） ∴AB＝CE， ∴△ABD和△ECD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝（CE+CD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝AD﹣DE． 要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道AD﹣DE的值． 故选：A． 6．如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点（点P不与点B，C重合），AH⊥DP于G，并交CD于点H，过C作CF⊥AH交AH延长线于点F，则的值为（　C　） A． B． C． D． 【解析】如图，过点D作DM⊥DF交AF于点M，过点A作AE⊥AF交FD延长线于点E， ∵正方形ABCD， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵DM⊥DF， ∴∠MDF＝90°， ∴∠ADC＝∠MDF， ∴∠ADC﹣∠MDC＝∠MDF﹣∠MDC，即∠ADM＝∠CDF， ∵CF⊥AH， ∠CFH＝90°， ∴∠ADH＝∠CFH， 又∵∠AHD＝∠CHF， ∴∠DAM＝∠DCF， ∴△DAM≌△DCF（ASA）， ∴DM＝DF， ∴△DMF是等腰直角三角形， ∴∠DFM＝45°， ∵AH⊥DP， ∴∠DGF＝90°， ∴∠GDF＝90°﹣∠DFM＝45°， ∴∠GDF＝∠DFM， ∴DG＝FG， ∴△GDF是等腰直角三角形，， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAF＝∠BAD，∠E＝90°﹣∠DFM＝45°， ∴∠EAD+∠DAF＝∠BAF+∠DAF，∠E＝∠DFM， ∴∠EAD＝∠BAF，AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形，， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴DE＝BF， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，连接CD，在BC的左侧作BE∥AC，且BE＝AD，连接CE．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBDC的面积为（　B　） A．120 B．240 C．360 D．480 【解析】作AF⊥BC于点F，CP⊥AB于点P，CQ⊥BE于点Q，则∠AFB＝∠BPC＝∠BQC＝90°， ∵AB＝AC＝26，BC＝20， ∴∠ACB＝∠CBA，BF＝CFBC＝10， ∴AF24， ∴S△ABCBC•AF20×24＝240， ∵BE∥AC，且BE＝AD， ∴∠CBE＝∠ACB＝∠CBA， ∴在△CBQ和△CBP中， ， ∴△CBQ≌△CBP（AAS）， ∴CQ＝CP， ∴S△BCEBE•CQAD•CP＝S△ACD， ∴S四边形EBDC＝S△BCE+S△BCD＝S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝240， 故选：B． 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝90°，BE＝AD＝4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（　A　） A．1 B． C． D．2 【解析】连接DE，过E作EH⊥CD于H， ∵CE平分∠BCD，∠B＝90°， ∴BE＝EH＝4， ∵BE＝AD， ∴EH＝AD， 在Rt△ADE与Rt△HED中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△HED（HL）， ∴AE＝DH， 在Rt△BCE与Rt△HCE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△HCE（HL）， ∴BC＝CH， ∵BC与CD的差为1， ∴BC﹣CD＝CH﹣CD＝DH＝1， ∴AE＝DH＝1， 故选：A． 9．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是BC的中点，点E是CA延长线上一点，连接EB，ED，AB与ED相交于点F．若AE＝CD，则DF的长为 　　． 【解析】如图，过点D作DG⊥AC于G，过点D作DH∥AC交AB于H，连接AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝BC＝4， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝2， ∴∠ADC＝90°， ∴AD2， Rt△ADG中，∠DAG＝30°， ∴DGAD， ∵DH∥AC， ∴∠DHB＝∠BAC＝60°＝∠ABC，∠EAF＝∠FHD， ∴BD＝DH， ∵AE＝CD＝BD， ∴AE＝DH， ∴△AEF≌△HDF（AAS）， ∴EF＝FD， Rt△ADG中，AG3， ∴EG＝2+3＝5， ∴ED2， ∴DFED． 故答案为：． 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接BD，AB＝2，AD＝1，，点E，F分别在边BC，CD上，且DF＝CE，分别连接BF，DE．若CD＝3，则BF+DE的最小值为 　2　． 【解析】延长AD至点H使CD＝DH，连接FH，BH，如图， ∵AB＝2，AD＝1，， ∴BD2＝AB2+AD2， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴AH∥BC， ∴∠ECD＝∠HDF， 在△DCE和△HDF中， ， ∴△DCE≌△HDF（SAS）， ∴HF＝DE， ∴BF+DE＝BF+HF， ∵BF+HF的最小值为BH， ∴BF+DE的最小值为BH， 在Rt△ABH中AB＝2，AH＝AD+DH＝1+3＝4， ∴BH2， 即BF+DE的最小值为2， 故答案为：2． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点N为线段BM上一点，连接CN，过点N作DN⊥AB交BC于点D，连接DM，若∠CDM＝∠A，AN＝4，则CN的长为 　5　． 【解析】∵CM平分∠ACB， ∴∠DCM＝∠ACM， 在△DCM和△ACM中， ， ∴△DCM≌△ACM（AAS）， ∴CD＝CA， 如图，过点C作CE⊥CN，交ND的延长线于点E， ∵∠ACB＝∠ECN＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCN＝∠ECN﹣∠DCN，即∠NCA＝∠ECD， ∵DN⊥AB， ∴∠BND＝90°， ∴∠B+∠BDN＝90°， ∵∠B+∠A＝90°， ∴∠BDN＝∠A， 又∠CDE＝∠BDN， ∴∠CDE＝∠A， 在△DCE和△ACN中， ， ∴△DCE≌△ACN（ASA）， ∴CE＝CN，DE＝AN， ∵∠ECN＝90°， ∴△ECN为等腰直角三涌形， 由勾股定理得CE2+CN2＝EN2，设CN＝CE＝x， ∵DN， ∴EN＝DN+DE， ∴， ∴x＝±5（负值舍去），即CN＝5， 故答案为：5． 12．如图，已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∠DAC＝45°，DE垂直平分BC，DF⊥AC于点F，AB＝3，DF＝1，则AC＝ 　5　． 【解析】如图，连接DB，DC，过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠BAC＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠DAH＝∠DAF， ∵DH⊥AH，DF⊥AF， ∴DF＝DH， ∵∠DHA＝∠DFA＝∠HAF＝90°， ∴四边形AHDF是矩形， ∴DH＝DF， ∴四边形AHDF是正方形， ∴DF＝AF＝AH＝DH＝1， ∵DE垂直平分线段BC， ∴DB＝DC， 在Rt△DHB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DHB≌Rt△DFC（HL）， ∴BH＝FC， ∵BH＝AB+AH＝3+1＝4， ∴CF＝4， ∴AC＝AF+FC＝1+4＝5． 故答案为：5． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是AC的中点，E是BC上一动点，若以DE为边在其右侧作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为 　　． 【解析】以CD为边，在CD右侧作等边三角形CDK，连接FK并延长，交AC延长线于T，过A作AF'⊥KT于F'，如图： ∵△CDK，△DEF是等边三角形， ∴CD＝CK，DE＝DF，∠CDK＝60°＝∠EDF， ∴∠CDE＝∠KDF， ∴△CDE≌△KDF（SAS）， ∴∠DCE＝∠DKF＝90°， ∴F在过K且与DK垂直的直线上运动， ∴当F于F'重合时，AF最小， ∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴ACAB＝2， ∵D是AC的中点， ∴CDAC＝1＝CK， ∵∠CKT＝∠DKT﹣∠DKC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠T＝∠DCK﹣∠CKT＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CKT＝∠T， ∴CT＝CK＝1， ∴AT＝AC+CT＝2+1＝3， ∴AF'AT，即AF最小为； 故答案为：． 14．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E； （1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． （1）解：过点C作CF⊥y轴于点F， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACF＝90°． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC＝AB，∠CAF+∠BAO＝90°，∠AFC＝∠BAC， ∴∠ACF＝∠BAO． 在△ACF和△ABO中， ， ∴△ACF≌△ABO（AAS） ∴CF＝OA＝1，AF＝OB＝2 ∴OF＝1 ∴C（﹣1，﹣1）； （2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G， ∴∠ACG＝∠BAC＝90°， ∴∠AGC+∠GAC＝90°． ∵∠CAG+∠BAO＝90°， ∴∠AGC＝∠BAO． ∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAO＝90°， ∴∠ADO＝∠BAO， ∴∠AGC＝∠ADO． 在△ACG和△BAD中 ∴△ACG≌△BAD（AAS）， ∴CG＝AD＝CD． ∵∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠DCE＝∠GCE＝45°， 在△DCE和△GCE中， ， ∴△DCE≌△GCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDE； （3）解：在OB上截取OH＝OD，连接AH 由对称性得AD＝AH，∠ADH＝∠AHD． ∵∠ADH＝∠BAO． ∴∠BAO＝∠AHD． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABO＝∠EBO， ∵∠AOB＝∠EOB＝90°． 在△AOB和△EOB中， ， ∴△AOB≌△EOB（ASA）， ∴AB＝EB，AO＝EO， ∴∠BAO＝∠BEO， ∴∠AHD＝∠ADH＝∠BAO＝∠BEO． ∴∠AEC＝∠BHA． 在△AEC和△BHA中， ， ∴△ACE≌△BAH（AAS） ∴AE＝BH＝2OA ∵DH＝2OD ∴BD＝2（OA+OD）． 15．如图1，△OAB，△OCD都是等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，连接AC和BD相交于点E，连接OE． （1）求证：AC＝BD； （2）求证：EO平分∠AED； （3）如图2，若∠AOB＝60°，点F为BD上一点，DF＝CE，连接OF，OF＝BE，AC交OB于点G，求证：AC⊥OB． （1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS） ∴AC＝BD； （2）证明：过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图1所示： ∴∠OMA＝∠ONB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAM和△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS） ∴OM＝ON， ∴EO平分∠AED； （3）证明：∵△AOC≌△BOD， ∴∠OCE＝∠ODF 在△OCE 和△ODF中， ， ∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE ＝OF， ∵OF＝BE， ∴OE＝BE， 在△OAG中，∠AOB＝60°， ∴∠OAC+∠AGO＝180°﹣∠AOB＝120°， ∵∠OAC＝∠OBD，∠AGO＝∠BGE， ∴∠OBD+∠BGE＝120°， 在△BEG中，∠BEG＝180°﹣（∠OBD+∠BGE）＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠BEG＝120°， 由（2）可知：EO平分∠AED， ∴∠OEGAED＝60°， ∴∠BEG＝∠OEG＝60°， 即EG是∠OEB的平分线， 又∵OE＝BE， ∴AC⊥OB． 16．综合探究 问题情境：△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD＝CE，连接AE、DE． 猜想证明：（1）如图1，当点D是AC的中点时，DB 　＝　DE；（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）若点D为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与△CDE全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作DF∥BC，交AB于点F．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图3，当点D是AC边上任意一点时，取BD的中点F，连接AF．求∠FAE的度数． （1）当点D是AC的中点时，DB＝DE，理由如下： 如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠60°，AB＝AC＝BC， ∵点D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，AD＝CD， ∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠CDE+∠CED＝2∠CED， ∴60°＝2∠CED， ∴∠CED＝30°， ∴∠CBD＝∠CED＝30°， ∴DB＝DE， 故答案为：＝； （2）如图2，过点D作DF∥BC，交AB于点F， ∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°， ∴∠AFD＝∠ADF＝60°， ∴△AFD是等边三角形， ∴AD＝DF＝AF， ∵AB＝AC， ∴AB﹣AF＝AC﹣AD， ∴FB＝CD， ∵AD＝CE， ∴DF＝CE， 又∵∠AFD＝∠ACB＝60°， ∴∠DFB＝∠ECD＝120°， 在△FBD和△CDE中， ， ∴△FBD≌△CDE（SAS）， ∴DB＝DE； （3）延长AF到G，是FG＝AF，连接BG，如图3所示： ∵点F是BD的中点， ∴FB＝FD， 在△BFG和△DFA中， ， ∴△BFG≌△DFA（SAS）， ∴BG＝AD，∠G＝∠DAF， ∴BG∥AC， ∴∠GBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABG＝∠ABC+∠GBC＝120°， 又∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠ABG＝∠ACE＝120°， 又∵AD＝CE，BG＝AD， ∴BG＝CE， 在△ABG和△ACE中， ， ∴△ABG≌△ACE（SAS）， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAG＝∠BAC＝60°． 类型2 相似三角形的判定与构造 17．如图，矩形ABCD中，tan∠BAC＝2，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作以∠EGF为直角的Rt△GEF，使得∠GFE＝30°，连接CG，当CG最小时，的值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】∵∠ABC＝∠EGF＝90°， ∴点E、B、F、G四点共圆， ∴∠EBG＝∠EFG＝30°， ∴G点在直线BG上运动， 当CG⊥BG时，CG最小，此时∠BCG＝30°， ∵tan∠BAC＝2， 设AB＝3a，则BC＝6a， ∴BG＝3a，CG＝3a， 设CF＝x，则FHx，CHx， 过F作FH⊥CG交于H点， ∴∠FGH＝∠BFE， ∴， ∴x＝6a（舍）或xa， ∴． 故选：B． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　B　） A． B． C． D． 【解析】∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且， ∴AB＝2，， 如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC的延长线于G． ∴，∠CNT＝∠CTN＝45°， ∵等腰直角三角形MNQ， ∴，∠MNQ＝45°， ∴∠MNC＝∠QNT， ∴△MNC∽△QNT， ∴∠MCN＝∠QTN＝90°， ∴∠CTQ＝45°， ∵Q在射线TQ上， ∴当CQ⊥TQ时，CQ最短， ∵∠ACB＝90°＝∠TCN＝∠TCG， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 19．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（　C　） A． B． C． D． 【解析】如图，过F作PF∥BC，交AE于P，过H作HQ∥BC，交AD于Q， ∴， ∵BF是AC边的中线， ∴AF＝FC， ∴AP＝PE， ∴CE＝2PF， ∵D、E是BC边的三等分点， ∴BD＝DE＝EC， ∴BE＝4FP， ∵FP∥BE， ∴△PFH∽△EBH， ∴， ∴， ∵HQ∥BE， ∴△AQH∽△ADE，△HGQ∽△BGD， ∴， ∴， ∴FH：HG：GB＝2：3：5， ∵AF＝FC， ∴， ∴． 故选：C． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC，点E为边AC上的点，且CE＝2，点E关于边AB的对称点为点F，连接CF，则CF的长为（　C　） A． B．5 C． D． 【解析】如图，过点B作BTAC于点T，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作EH⊥AC于点H． ∵AB＝AC＝5，BC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD， ∵•BC•AD•AC•BT， ∴BT3， ∴AT4， ∵AC＝5，CE＝2， ∴AE＝5﹣2＝3， ∵∠EAO＝∠BAT，∠AOE＝∠ATB＝90°， ∴△AOE∽△ATB， ∴， ∴， ∴OE， ∵E，F关于AB对称， ∴EF＝2OE＝2， ∵∠EFH+∠FEH＝90°，∠BAT+∠FEH＝90°， ∴∠EFH＝∠BAT， ∵∠FHE＝∠ATB＝90°， ∴△FHE∽△ATB， ∴， ∴， ∴EH，FH， ∴CH＝EH+EC2， ∴CF． 故选：C． 21．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过点E作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F，若AB＝3，BC＝4，BE＝1，则EF的长为（　C　） A． B． C． D． 【解析】过点F作FG⊥BC交于点G，如图， ∵CF平分∠BCD， ∴， ∵FG⊥BC， ∴∠B＝∠FGE＝90°， ∴∠FCG＝∠CFG＝45°， ∴GC＝GF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠BCD＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEG+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴△ABE∽△EGF， ∴， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理，得， 故选：C． 22．如图，△ACD中，AD，CD，BC⊥AC于C，AC＝2BC，则BD的最大值为 　　． 【解析】如图，过点C作CE⊥CD，且CE＝2CD＝2，连接AE，DE， ∴DE， ∵∠ECD＝∠BCA＝90°， ∴∠ECA＝∠BCD， 又∵， ∴△ACE∽△BCD， ∴2， ∴AE＝2BD， 在△ADE中，AE＜AD+DE， ∴当点D在线段AE上时，AE有最大值为2， ∴BD的最大值为， 故答案为：． 23．如图，在等边△ABC中，，点E在BC边上，且，点F为AB边上一点，连接EF，在EF的右侧作∠FEP＝60°，且EP＝2EF，连接AP，则AP的最小值为 　9　． 【解析】在等边△ABC中，，点E在BC边上，且，如图，将BE绕点E旋转60°，交AB于点M，倍长EM至点D，连接DP，交AB于点H，则：∠BEM＝60°，DE＝2BE，DM＝EM， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BME＝60°， ∴△BME为等边三角形， ∴BM＝BE＝EM， ∵∠FEP＝60°＝∠BEM， ∴∠DEP＝∠BEH＝60°+∠DEF， ∵DE＝2BE，EP＝2EF， ∴， ∴△DEP∽△BEF， ∴∠D＝∠B＝60°， ∴点P在射线DH上运动， ∵∠DMH＝∠BME＝60°，∠D＝60°， ∴∠DHM＝60°， ∴△DMH为等边三角形， ∴MH＝DM＝EM＝BE＝BM， ∴， ∴， 过点A作AG⊥DH， ∵∠AHG＝∠DHM＝60°， ∴∠HAG＝30°， ∴， ∴， ∵点P在射线DH上运动， ∴当点P与点G重合时，AP的值最小，即为AG的长， ∴AP的最小值为9． 故答案为：9． 24．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CD＝2，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝ 　　． 【解析】在BH上截取BE＝CH，连接OE，如图所示： ∵∠ACB＝90°， ∴在Rt△ACD中，BC＝6，CD＝2， 由勾股定理得：AD， ∵∠ACB＝90°，CH⊥BD， ∴∠DCH+∠BCH＝90°，∠DBC+∠BCH＝90°， ∴∠DCH＝∠DBC， 又∵∠CDH＝∠BDC， ∴△CDH∽△BDC， ∴， ∴， ∴CH，DH ∴BE＝CH， ∴EH＝BD﹣BE﹣DH， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点O是AB中点， ∴OC⊥AB，OB＝OA＝OC，∠ABC＝45°，∠ACO＝45°， ∴∠EBO+∠DBC＝45°，∠DCH+∠HCO＝45°， ∵∠DCH＝∠DBC， ∴∠EBO＝∠HCO， 在△EBO和△HCO中， ， ∴△EBO≌△HCO（SAS）， ∴OE＝OH，∠EOB＝HOC， ∵OC⊥AB， ∴∠COE+∠EOB＝90°， ∴∠COE+∠HOC＝90°， 即∠EOH＝90°， ∴△EOH是等腰直角三角形， 由勾股定理得：EHOH， ∴OHEH． 25．矩形ABCD中，点E是BC的中点，DF⊥AE于点F，若CE＝3，CF＝4，则DF的长度是　　． 【解析】延长AE、DC交于点H， ∵点E是BC的中点，CE＝3，CF＝4， ∴BE＝CE＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，∠ADH＝90°， ∴∠BAE＝∠H， 在△ABE和△HCE中， ， ∴△ABE≌△HCE（AAS）， ∴AB＝HC， ∴DC＝HC， ∵DF⊥AE于点F， ∴∠AFD＝∠DFH＝90°， ∴HD＝2CF＝8， ∴AH10， ∵∠AFD＝∠ADH，∠FAD＝∠DAH， ∴△AFD∽△ADH， ∴， ∴DFHD8， 故答案为：． 26．综合与探究： （1）【类比探究】如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，BF相交于点P，AE⊥BF．若BE＝1，则CF＝　　； （2）【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，BF相交于点P，∠D＝∠EPF．求证：． 小明发现，以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明△AQE∽△BCF．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ． ∵AB＝AQ， ∴∠ABC＝∠AQB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°， ∴∠AQB+∠C＝180°． ∵∠AQB+∠AQE＝180°， ∴∠AQE＝∠C． 请你补全余下的证明过程． （3）【拓展迁移】如图④，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝5，CD＝4，点E在边BC上，F为CD的中点，连结AE，BF相交于点P．若∠D＝∠EPF＝60°，则AE的长为　 　． 解：（1）∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°． 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝AD＝5， ∴∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABE＝∠C＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△BCF， ∴， ∵BE＝1， ∴CF． 故答案为：； （2）证明：以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ，如图， 则AB＝AQ， ∴∠ABC＝∠AQB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°， ∴∠AQB+∠C＝180°． ∵∠AQB+∠AQE＝180°， ∴∠AQE＝∠C． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠D+∠C＝180°， ∵∠EPF＝∠D， ∴∠EPF+∠C＝180°． ∵∠EPF+∠PEC+∠C+∠CFP＝360°， ∴∠PEC+∠CFP＝180°， ∵∠PEB+∠PEC＝180°， ∴∠PEB＝∠CFP． ∴△AQE∽△BCF， ∴． ∵AB＝AQ， ∴； （3）解：过点C作CG⊥AD于点G，过点BH⊥AD于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，延长BF，交AD的延长线于点Q，如图， ∵∠D＝60°，CG⊥AD， ∴GDCD＝2，CGCD＝2， ∵AD∥BC，CG⊥AD，BH⊥AD， ∴四边形BCGH为矩形， ∴GH＝BC＝5，BH＝CG＝2， ∴AH＝AD﹣GD﹣GH＝1， ∴AB． ∵F为CD的中点， ∴CF＝DF＝2， ∵AD∥BC， ∴∠FBM＝∠Q，∠FCM＝∠D＝60°， ∴CMCF＝1，FMCF， ∴BM＝BC+CM＝6， ∴BF． 在△BFC和△QFD中， ， ∴△BFC≌△QFD（AAS）， ∴BF＝QF，BC＝DQ＝5， ∴AQ＝AD+DQ＝13 ∵∠D＝∠EPF， ∴∠QDF＝∠QPA． ∵∠Q＝∠Q， ∴△QDF∽△QPA， ∴， ∴， ∴QP， ∴BP＝BQ﹣QP＝2QF﹣PQ， ∵AD∥BC， ∴△BPE∽△QPA， ∴， ∴BE． 过点A作AN⊥CB，交CB的延长线于点N，则四边形ANBH为矩形， ∴BN＝AH＝1，AN﹣BH＝2， ∴EN＝BN+BE， ∴AE． 故答案为：． 27．如图1，矩形ABCD中，∠ADB＝60°，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转OE，OF，且OE⊥OF时，求的值； （3）如图3，当DO：OB＝1：4时，过点O作OE⊥OF，OE交DA的延长线于点E，OF交AB的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，DO＝BO， ∵∠ADB＝60°， ∴tan∠ADB＝tan60°， ∵OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F， ∴OE∥AB，OF∥AD， ∴AE＝DE，AF＝BF， ∴OE，OF是△ABD的中位线， ∴OEAB，OFAD， ∴； （2）过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N， ∴∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°， ∴四边形AMON是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OME＝∠ONF＝90°， ∴△OME∽△ONF， ∴， 由（1）知，， ∴； （3）的值的变化，； 证明：过O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N， ∴∠OMD＝∠DAB＝90°， ∴OM∥AB， ∴△DOM∽△DBA， ∴， ∵DO：OB＝1：4， ∴， ∴OMAB， ∵∠ONF＝∠DAB＝90°， ∴ON∥AD， ∴△OBN∽△DBA， ∴， ∴ONAD， ∵∠OMA＝∠MAN＝∠ONA＝90°， ∴四边形AMON是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OME＝∠ONF＝90°， ∴△OME∽△ONF， ∴， ∵ADAB， ∴， 28．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点 D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE*CD＝AB2是否成立　成立　（填“成立”或“不成立”）；若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． 【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF＝∠ADB，求证：△ADE∽△ACF； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD＝120°．点F为BC边上一点，若∠EAF的另一边与BD相交于点E，且满足∠EAF＝∠ADB．若BF＝9cm，直接写出线段DE的长． （1）解：结论BE•CD＝AB2成立； 理由：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠FAG＝45°， ∵∠DAC＝∠CAE+45°，∠AEB＝∠CAE+45°， ∴∠DAC＝∠AEB， ∵∠B＝∠C， ∴△BEA∽△CAD， ∴， ∴AB•AC＝BE•CD， ∵AC＝AB， ∴BE•CD＝AB2， 故答案为：成立； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD＝∠ACB＝∠ADB＝45°， ∵∠EAF＝∠ADB， ∴∠EAF＝∠CAD＝45°， ∴∠CAF+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， ∴∠CAF＝∠DAE， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴△ADE∽△ACF； （3）解：如图，在DE上取一点M，使∠MAD＝30°，过M作MN⊥AD于N， 在菱形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠CAD＝∠ACB＝∠ADC＝60°， ∴∠MDA∠ADC＝30°， ∴∠MAD＝∠MDA＝30°， ∴∠AME＝60°， ∴∠AME＝∠ACB＝60°， ∵∠CAD＝60°， ∴∠MAD＝30°， ∴∠CAM＝30°， ∵∠EAF＝∠ADB， ∴∠EAF＝∠CAM＝30°， ∴∠CAF＝∠MAE， ∴△ACF∽△AME， ∴， ∵ANAD，ANAM， ∴MA＝MDAD， ∵AD＝AC， ∴ACAM， ∴， ∴CFME， ∵菱形ABCD的边长为12cm， ∴BC＝AD＝12（cm）， ∵BF＝9cm， ∴CFME＝3（cm）， ∴ME（cm）， ∴MDAD12＝4（cm）， ∴DE＝ME+MD5（cm）， 当AE在AF左侧时，如图，过点A作AG⊥BC于G，过点E作EH⊥AB于H， 同理△AFG∽AEH， ∴2，AH＝2EH， ∵BHEH，AB＝12，BH＝4，BE， ∴DE＝12， 故答案为：5或． 29．已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，点E在边AB上，AE＝1，BE＝2，联结DE． （1）如图1，联结EC，求△EAD与△EBC的面积之比； （2）如图2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值； （3）如图3，联结AC交DE于点F，如果DA2＝DF•DE，且，求边BC的长． 解：（1）如图1，延长DE，交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△FBE， ∴， ∵BC＝4AD， ∴BC＝2BF， ∴， ∴； （2）如图2， 延长DE，交CB的延长线于点F，作EG⊥CF于G， ∵∠DEC＝∠DCB， ∴∠F+∠ECF＝∠DCE+∠ECF， ∴∠DCE＝∠F， ∵∠CDE＝∠CDF， ∴△CDE∽△FDC， ∴， ∴CD2＝DE•DF， 由（1）知， △ADE∽△FBE， ∴，， ∴EF＝2DE， ∴DF＝3DE， ∴CD2＝3DE2， ∴， ∵∠EDC＝90°， ∴∠CED＝60°， ∴∠DCB＝60°，∠F＝30°， 在Rt△CDF中，设CD＝3a，则CF＝6a，DF＝3， ∴BF＝2a，EF＝2， 在Rt△EFG中， EG，FG3a， ∴BG＝FG﹣BF＝3a﹣2a＝a， ∴tanB， （3）如图3， 设AD＝a，AT＝b， 以D为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于点H，作DT⊥AH于T， ∴DH＝AD＝a， ∴AH＝2AT＝2TH＝2b，∠H＝∠HAD， ∵AD∥BC， ∴∠B＝HAD，∠DAC＝∠ACB， ∴∠H＝∠B， ∵DA2＝DF•DE，∠ADF＝∠ADE， ∴△ADF∽△EDA， ∴∠DAC＝∠AED， ∴∠AED＝∠ACB， ∴△HED∽△BCA， ∴， ∵cos∠DAH＝cosB， ∴， ∴， ∴， ∴a， ∴BC＝4a＝2． 30．在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上，BF＝FE＝AG，且AGAB，GF、DE的延长线相交于点P． （1）如图1，当点E与点C重合时，求∠P的度数； （2）如图2，当点E与C不重合时，过D作DN⊥GP于点N，若DN＝4，求DP长； （3）在（2）的条件下，连接CN、BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求的值． 解：（1）∵EF＝BF＝AG，E与C重合， ∴BF＝CF＝BG＝AG， ∴∠BGF＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠P＝∠BGF＝45°． （2）如图2，过D作DN⊥GP于点N，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC． 在正方形ABCD中，OC＝OB，∠OCF＝∠OBG＝45°， 又∵AG＝BF， ∴BG＝CF， ∴△OCF≌△OBG（SAS）． ∴OG＝OF，∠COF＝∠BOG， ∴∠GOF＝∠BOC＝90°， ∴△GOF为等腰直角三角形． 又∵O，F分别是BD，BE的中点， ∴OF∥DE， ∴∠P＝∠OFG＝45°， ∵DN⊥GP， ∴△DNP是等腰直角三角形， ∴NP＝DN＝4， ∴DP4； （3）如图3所示，取DP中点Q，连接NQ，BD，MQ， 由题意可得，△DNP为等腰直角三角形， ∵Q为DP中点， ∴NQ⊥DP． 设∠CDP＝α，则∠NDC＝45°+α，∠BDP＝45°﹣α， ∵M，Q分别是BP，DP的中点， ∴MQ∥BD， ∴∠MQP＝∠BDP＝45°﹣α， ∴∠NQM＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠NQM＝∠NDC． 又∵，， ∴， 又∵△NQD为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴△NQM∽△NDC． ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/21 17:10:29；用户：账号26；邮箱：hxnts26@xyh.com；学号：28339488 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $