加练8 二次函数的性质探究-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

加练8 二次函数的性质探究 1．已知函数y＝x2﹣2mx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标与点C的坐标； （2）当AB＝4时，求函数的表达式； （3）当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6，求m的值． 解：（1）当m＝3时，y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣12）． 令x＝0，得y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）． （2）设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0）， ∴x1+x2＝2m，x1x2＝﹣3． ∵AB＝4， ∴|x1﹣x2|＝4， ∴4m2+12＝16， 解得m＝±1， ∴函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3或y＝x2+2x﹣3． （3）由题意得，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的对称轴为直线xm． 若m≤﹣1， ∵当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6， ∴当x＝﹣1时，y＝x2﹣2mx﹣3取得最小值， ∴1+2m﹣3＝﹣6， 解得m＝﹣2； 若﹣1＜m＜1， ∵当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6， ∴当x＝m时，y＝x2﹣2mx﹣3取得最小值， ∴m2﹣2m2﹣3＝﹣6， 解得m（舍去）； 若m≥1， ∵当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6， ∴当x＝1时，y＝x2﹣2mx﹣3取得最小值， ∴1﹣2m﹣3＝﹣6， 解得m＝2． 综上所述，m的值为﹣2或2． 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）． （1）若二次函数的图象经过点（2，6），求二次函数的表达式； （2）若a＜0，当x时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，求a的值． 解：（1）把点（2，6）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a中得﹣3a＝6，故a＝﹣2； ∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，且a＜0， 则当x＞1时，y随着x的增大而减小， 又∵x时，y随着x的增大而减小， ∴1，解得m≥2． （3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1， 当a＞0时，开口向上，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5， ∴当x＝1时，ymin＝a﹣2a﹣3a＝﹣5，解得a； 当a＜0时，开口向下，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5， ∴当x＝4时，ymin＝16a﹣8a﹣3a＝﹣5，解得a＝﹣1， 故a的值为﹣1或． 3．已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）． （1）求二次函数解析式及其对称轴； （2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值； （3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值． 解：（1）将（1，﹣4）代入函数表达式得：﹣4＝1+b﹣3，则b＝﹣2， 即抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 则抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0）， 则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1（4t﹣t），则t， 则点A、B的坐标分别为：（，0）、（，0）， 则新抛物线的表达式为：y＝（x）（x）＝x2﹣2x﹣3， 即m； （3）由（1）知，抛物线的顶点为（1，﹣4）， 当x＝n﹣1＜1时，即n＜2， 抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2； 当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4， 则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n， 解得：n＝0（舍去）或6（舍去）， 综上，n＝﹣2． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，5），与y轴交于点B． （1）直接写出点B的坐标； （2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N． ①若N＝2，求抛物线的表达式； ②若2＜a＜9，结合函数图象，直接写出N的取值范围． 解：（1）令x＝0，则y＝2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）①根据题意，当N＝2时，该抛物线的顶点为（0，2）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+2， ∵抛物线过点A（1，5）， ∴a+2＝5，即a＝3， ∴抛物线的解析式为：y＝3x2+2； ②∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过点A（1，5）， ∴5＝a+b+2， ∴b＝3﹣a， ∴y＝ax2+（3﹣a）x+2， ∴N， ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0， ∴a2+b2≥2ab， ∴N≤﹣22， 当且仅当时，即a＝3，N有最大值为2， 当a＝2时，N，当a＝9时，N＝1， ∴1＜N≤2． 5．已知二次函数，c为常数）的图象经过点A（3，2），对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当0≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值的差为，求t的取值范围． 解：（1）∵对称轴是直线， ∴， ∵的图象经过点A（3，2）， ∴c＝2， ∴； （2）∵， ∴其最大值为； （3）∵的对称轴是直线， ∴当时，二次函数取得最大值， 当 x＝0 时，二次函数值为2， 而， ∴当时，恰好符合， 根据二次函数的对称性可得，当时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 t＝0 时对应的函数值，亦符合， 故． 6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P（m，y1），Q（m+3，y2）在该抛物线上，已知当点P在点C处时，点Q恰与点B重合． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当点P在第二象限内时，求y2的取值范围． （3）若点也在该抛物线上，且恒有y2＜y1＜3≤y3，求m的取值范围． 解：（1）由题可知OB＝3， 即B（3，0）， 将B（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3得，a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式y＝﹣x2+2x+3； （2）∵点P在第二象限， ∴﹣1＜m＜0， ∴2＜m+3＜3， ∴点Q在对称轴直线 x＝1 的右侧，y随x的增大而减小， 当x＝2时，y＝3，当x＝3时，y＝0， ∴0＜y2＜3； （3）令y＝﹣x2+2x+3＝3， 解得x＝0或x＝2， ∵y3≥3， ∴， 解得， ∵y2＜y1＜3所以符合条件的两种情况如图所示： ①当点P、Q位于对称轴两侧时，如图1， ∴， 解得， ∴； ②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2， ∴， 解得； 综上，或． 7．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，且a≠0）的图象经过点A（2，﹣3）． （1）若a＝1，求二次函数的解析式； （2）若a＜0，当0≤x≤3时，y的最小值为﹣4，求a的值； （3）已知M（m，y1），N（n，y2）是该二次函数图象上的两点．若对于﹣2≤m≤﹣1，n＝2a，总有y1＞y2，请直接写出a的取值范围． 解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣3＝﹣3， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， ∵二次函数的图象经过点（2，﹣3）， ∴二次函数图象的对称轴为直线x1， ∴1， ∵a＝1， ∴b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∵b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3， ∵y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3， ∴若a＜0，当0≤x≤3时，y的最小值为x＝3时的函数值， ∴3a﹣3＝﹣4， ∴a； （3）∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴M（m，y1）关于对称轴的对称点为（2﹣m，y1）， ∵﹣2≤m≤﹣1， ∴3≤2﹣m≤4， 当a＞0时，二次函数图象开口向上， 若对于﹣2≤m≤﹣1，n＝2a，总有y1＞y2，则， ∴， ∴a的取值范围是0； 当a＜0时，二次函数图象开口向下， 若对于﹣2≤m≤﹣1，n＝2a，总有y1＞y2，则2a＜﹣2或2a＞4， 解得a＜﹣1或a＞2， ∴a的取值范围是a＜﹣1； 综上，a的取值范围是0或a＜﹣1． 8．已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 解：（1）y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1， 令（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3， 在抛物线y1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1中，令x＝1，得 y＝0，令x＝3，得 y＝2， ∴抛物线y1的图象经过定点（1，0）和（3，2）． （2）①依题意，（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称， 故， 设函数y2上的任意一点坐标为（x，y2），则（x，y2）关于（x，kx）的对称点为（x，2kx﹣y2）， 依题意（x，2kx﹣y2）必在函数， 代入y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1，得， 化简得， 令k＝2，得， ②y1的图象经过定点（1，0），（3，2）， 根据（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称，k＝2，可得y2必过定点A（1，4），B（3，10）， 故xA≤x≤xB，即1≤x≤3． y1对称轴为直线，y2对称轴为直线． i）当m＞0时，y1的图象开口向上，在对称轴右侧y1随x增大而增大， 则1时满足题意， 解得：， 当m＞0时，y2的图象开口向下，在对称轴左侧y2随x增大而增大， 则时满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． ii）当m＜0时，y1的图象开口向下，在对称轴左侧y1随x增大而增大， 则满足题意， 解得， 当m＜0时，y2的图象开口向上，在对称轴右侧y2随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． 综上所述，当1≤x≤3，y1与y2都随x增大而增大，或O满足题意． 9．将抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点（1，5）． （1）求原抛物线的函数表达式． （2）已知点P（m，y1），Q（m+3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3上． ①求证：； ②若y2＜y1＜3，直接写出m的取值范围． （1）解：由题意得，y＝ax2﹣2ax+3＝a（x2﹣2x+1）﹣a+3＝a（x﹣1）2﹣a+3， ∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣a+4． 又∵图象经过点（1，5）， ∴5＝﹣a+4． ∴a＝﹣1． ∴原抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）①证明：由（1）抛物线为y＝﹣x2+2x+3， ∵点P（m，y1），Q（m+3，y2）在y＝﹣x2+2x+3上， ∴y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3． ∴y1+y2＝﹣m2+2m+3﹣（m+3）2+2（m+3）+3 ＝﹣2m2﹣2m+3 ＝﹣2（m）2． ∵对于任意的实数m都有﹣2（m）2≤0， ∴y1+y2＝﹣2（m）2． ②解：方法一： 令﹣x2+2x+3＝3， 解得x＝0或2， ∵m+3＞m， ∴点Q在点P右侧， Ⅰ，当P和Q在对称轴同侧时，如图， 此时很明显，m＞2； Ⅱ，当点P和点Q在对称轴两侧时，此时点P在轴左，点Q在轴右，如图， 点P（m，y1）关于对称轴对称点为P'（2﹣m，y1）， ∴2＜2﹣m＜m+3， 解得m＜0； 综上，m＞2或m＜0． 方法二：由①知，y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3， ∵y2＜y1＜3， ∴， ∴ 解得，m＞2或m＜0． 10．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，m），B（x2，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝h． （1）若抛物线经过点（2，4），求h的值； （2）若m＝3，n＝6，h＝1，求a的取值范围； （3）若对于x1＝h﹣4，x2＝3h，都有m＞n，求h取值范围； （4）若对于h﹣4≤x1≤h+2，x2≤1或x2≥12，存在m＞n，直接写出h的取值范围． 解：（1）由题意可得：4a+2b+4＝4， ∴b＝﹣2a， ∴； （2）当h＝1时，对称轴为直线x＝1，设y＝a（x﹣1）2+k， 由y＝ax2+bx+4（a＞0）可得，抛物线经过点（0，4）， ∴a（0﹣1）2+k＝4，解得k＝4﹣a， ∴y＝a（x﹣1）2+4﹣a， 又∵m＝3，n＝6， ∴点A（x1，3），且x1＞0， 将点A（x1，3）代入解析式可得， ∴， 又∵a＞0， ∴a﹣1＞0，即a＞1； （3）∵a＞0， ∴开口向上， 当3h≤h，即h≤0时，都有m＞n， 则h﹣4＜3h， ∴h＞﹣2， ∴﹣2＜h≤0； 当3h＞h，即h＞0时，都有m＞n， 则， 解得h＜2， ∴0＜h＜2； ∴﹣2＜h＜2； （4）∵， ∴b＝﹣2ah， ∴y＝ax2﹣2ahx+4， ∵h﹣4≤x1≤h+2， ∴ah2﹣2ah2+4≤m≤a（h﹣4）2﹣2ah（h﹣4）+4， 即4﹣ah2≤m≤16a+4﹣ah2， 当h≤1或h≥12时，n最小值为ah2﹣2ah2+4＝4﹣ah2， ∴一定存在m＞n， 当1＜h＜12时，当x2取1或者12时n有最小值， 即n的最小值为a﹣2ah+4或144a﹣24ah+4， ∵存在m＞n， ∴a﹣2ah+4＜16a+4﹣ah2或144a﹣24ah+4＜16a+4﹣ah2， ∴ah2﹣2ah﹣15a＜0或ah2﹣24ah+128＜0， ∵a＞0， ∴（h﹣5）（h+3）＜0或（h﹣8）（h﹣16）＜0， ∴﹣3＜h＜5或8＜h＜16， 综上所述，h＜5或h＞8． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）． （1）抛物线的对称轴为直线　x＝1　； （2）当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b， ①求a和b的值； ②抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； ③将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为G，将G在直线y＝t下方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为Q．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为y1，y2，若y1﹣y2＜6，求t的取值范围． 解：（1）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）， ∴函数的对称轴为直线， ∴x＝1， 故答案为：x＝1； （2）①函数对称轴为x＝1，当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b， 故y＝﹣4是函数的最小值，即抛物线的顶点为（1，﹣4）， 将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 则b＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5； ②∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为（1，﹣4）， x2﹣2x﹣3＝6， 解得：， 故点P的坐标为 或； ③设图象折叠后顶点M的对应点为M′，点H是x＝4函数所处的位置，图象Q为C′M′NH区域， 点M（1，﹣4），点H（4，5），则点M′（1，2t+4）， 当点M′在点H下方时，， 函数Q的最高点为H，最低点为N， 则5﹣t＜6． 解得t＞﹣1． ∴， 当点M′在点H上方时，同理可得， 故﹣1＜t＜2． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）． （1）求抛物线C1的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为 　6　． ②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 解：（1）把A（0，﹣3），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， ∴抛物线C1的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3， 把D（d，0）代入y＝x2﹣2x﹣3，得： y＝x2﹣2x﹣3， 解得：d1＝﹣1，d2＝3（不合题意，舍去）， ∴D（﹣1，0）， ∴d＝﹣1； （2）①∵B（3，0），D（﹣1，0）， ∴BD＝3﹣（﹣1）＝4， ∵当点M到x轴的距离为3时， ∴， 故答案为：6； ②过点M作MP⊥x于P，连接MA，MB，如图2， ∵A（0，﹣3），B（3，0）， ∴， 设点M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵点M在第四象限内， ∴MP＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，OP＝x，BP＝3﹣x， ∴AB•MN＝S△ABM＝S梯形OAMP+S△MPB﹣S△AOB， ∴MN， ∴MN， ∵， ∴当时，MN有最大值， ∴当时，x2﹣2x﹣3， ∴当线段MN最大时，此时点M的坐标为； （3）实数t的所有整数值的和为3；理由如下： ∵抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4沿x轴翻折，得到抛物线C2， ∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0， ∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下，当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，当x＝1时，y 有最大值4； 当t+1≤1，即t≤0时， 在t﹣1≤x≤t+1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数值为0； ②当t﹣1＜1 且t+1＞1，即0＜t＜2时， 在t﹣1≤x≤t+1时， i）当0＜t≤1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为1； ii）当1＜t＜2时， ∴t无整数解； ③当t﹣1≥1，即t≥2时，最大值m＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4t）﹣（﹣t2+4）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为2； 综上，若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，实数t的所有整数值的和为0+1+2＝3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/18 10:37:16；用户：账号26；邮箱：hxnts26@xyh.com；学号：28339488 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 加练8 二次函数的性质探究 1．已知函数y＝x2﹣2mx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标与点C的坐标； （2）当AB＝4时，求函数的表达式； （3）当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6，求m的值． 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）． （1）若二次函数的图象经过点（2，6），求二次函数的表达式； （2）若a＜0，当x时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，求a的值． 3．已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）． （1）求二次函数解析式及其对称轴； （2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值； （3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，5），与y轴交于点B． （1）直接写出点B的坐标； （2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N． ①若N＝2，求抛物线的表达式； ②若2＜a＜9，结合函数图象，直接写出N的取值范围． 5．已知二次函数，c为常数）的图象经过点A（3，2），对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当0≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值的差为，求t的取值范围． 6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P（m，y1），Q（m+3，y2）在该抛物线上，已知当点P在点C处时，点Q恰与点B重合． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当点P在第二象限内时，求y2的取值范围． （3）若点也在该抛物线上，且恒有y2＜y1＜3≤y3，求m的取值范围． 7．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，且a≠0）的图象经过点A（2，﹣3）． （1）若a＝1，求二次函数的解析式； （2）若a＜0，当0≤x≤3时，y的最小值为﹣4，求a的值； （3）已知M（m，y1），N（n，y2）是该二次函数图象上的两点．若对于﹣2≤m≤﹣1，n＝2a，总有y1＞y2，请直接写出a的取值范围． 8．已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 9．将抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点（1，5）． （1）求原抛物线的函数表达式． （2）已知点P（m，y1），Q（m+3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3上． ①求证：； ②若y2＜y1＜3，直接写出m的取值范围． 10．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，m），B（x2，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝h． （1）若抛物线经过点（2，4），求h的值； （2）若m＝3，n＝6，h＝1，求a的取值范围； （3）若对于x1＝h﹣4，x2＝3h，都有m＞n，求h取值范围； （4）若对于h﹣4≤x1≤h+2，x2≤1或x2≥12，存在m＞n，直接写出h的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）． （1）抛物线的对称轴为直线　 　； （2）当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b， ①求a和b的值； ②抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； ③将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为G，将G在直线y＝t下方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为Q．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为y1，y2，若y1﹣y2＜6，求t的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）． （1）求抛物线C1的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为 　 　． ②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 参考答案 1．解：（1）当m＝3时，y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣12）． 令x＝0，得y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）． （2）设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0）， ∴x1+x2＝2m，x1x2＝﹣3． ∵AB＝4， ∴|x1﹣x2|＝4， ∴4m2+12＝16， 解得m＝±1， ∴函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3或y＝x2+2x﹣3． （3）由题意得，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的对称轴为直线xm． 若m≤﹣1， ∵当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6， ∴当x＝﹣1时，y＝x2﹣2mx﹣3取得最小值， ∴1+2m﹣3＝﹣6， 解得m＝﹣2； 若﹣1＜m＜1， ∵当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6， ∴当x＝m时，y＝x2﹣2mx﹣3取得最小值， ∴m2﹣2m2﹣3＝﹣6， 解得m（舍去）； 若m≥1， ∵当﹣1≤x≤1时，函数有最小值﹣6， ∴当x＝1时，y＝x2﹣2mx﹣3取得最小值， ∴1﹣2m﹣3＝﹣6， 解得m＝2． 综上所述，m的值为﹣2或2． 2．解：（1）把点（2，6）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a中得﹣3a＝6，故a＝﹣2； ∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，且a＜0， 则当x＞1时，y随着x的增大而减小， 又∵x时，y随着x的增大而减小， ∴1，解得m≥2． （3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1， 当a＞0时，开口向上，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5， ∴当x＝1时，ymin＝a﹣2a﹣3a＝﹣5，解得a； 当a＜0时，开口向下，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5， ∴当x＝4时，ymin＝16a﹣8a﹣3a＝﹣5，解得a＝﹣1， 故a的值为﹣1或． 3．解：（1）将（1，﹣4）代入函数表达式得：﹣4＝1+b﹣3，则b＝﹣2， 即抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 则抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0）， 则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1（4t﹣t），则t， 则点A、B的坐标分别为：（，0）、（，0）， 则新抛物线的表达式为：y＝（x）（x）＝x2﹣2x﹣3， 即m； （3）由（1）知，抛物线的顶点为（1，﹣4）， 当x＝n﹣1＜1时，即n＜2， 抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2； 当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4， 则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n， 解得：n＝0（舍去）或6（舍去）， 综上，n＝﹣2． 4．解：（1）令x＝0，则y＝2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）①根据题意，当N＝2时，该抛物线的顶点为（0，2）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+2， ∵抛物线过点A（1，5）， ∴a+2＝5，即a＝3， ∴抛物线的解析式为：y＝3x2+2； ②∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过点A（1，5）， ∴5＝a+b+2， ∴b＝3﹣a， ∴y＝ax2+（3﹣a）x+2， ∴N， ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0， ∴a2+b2≥2ab， ∴N≤﹣22， 当且仅当时，即a＝3，N有最大值为2， 当a＝2时，N，当a＝9时，N＝1， ∴1＜N≤2． 5．解：（1）∵对称轴是直线， ∴， ∵的图象经过点A（3，2）， ∴c＝2， ∴； （2）∵， ∴其最大值为； （3）∵的对称轴是直线， ∴当时，二次函数取得最大值， 当 x＝0 时，二次函数值为2， 而， ∴当时，恰好符合， 根据二次函数的对称性可得，当时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 t＝0 时对应的函数值，亦符合， 故． 6．解：（1）由题可知OB＝3， 即B（3，0）， 将B（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3得，a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式y＝﹣x2+2x+3； （2）∵点P在第二象限， ∴﹣1＜m＜0， ∴2＜m+3＜3， ∴点Q在对称轴直线 x＝1 的右侧，y随x的增大而减小， 当x＝2时，y＝3，当x＝3时，y＝0， ∴0＜y2＜3； （3）令y＝﹣x2+2x+3＝3， 解得x＝0或x＝2， ∵y3≥3， ∴， 解得， ∵y2＜y1＜3所以符合条件的两种情况如图所示： ①当点P、Q位于对称轴两侧时，如图1， ∴， 解得， ∴； ②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2， ∴， 解得； 综上，或． 7．解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣3＝﹣3， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， ∵二次函数的图象经过点（2，﹣3）， ∴二次函数图象的对称轴为直线x1， ∴1， ∵a＝1， ∴b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∵b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3， ∵y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3， ∴若a＜0，当0≤x≤3时，y的最小值为x＝3时的函数值， ∴3a﹣3＝﹣4， ∴a； （3）∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴M（m，y1）关于对称轴的对称点为（2﹣m，y1）， ∵﹣2≤m≤﹣1， ∴3≤2﹣m≤4， 当a＞0时，二次函数图象开口向上， 若对于﹣2≤m≤﹣1，n＝2a，总有y1＞y2，则， ∴， ∴a的取值范围是0； 当a＜0时，二次函数图象开口向下， 若对于﹣2≤m≤﹣1，n＝2a，总有y1＞y2，则2a＜﹣2或2a＞4， 解得a＜﹣1或a＞2， ∴a的取值范围是a＜﹣1； 综上，a的取值范围是0或a＜﹣1． 8．解：（1）y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1， 令（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3， 在抛物线y1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1中，令x＝1，得 y＝0，令x＝3，得 y＝2， ∴抛物线y1的图象经过定点（1，0）和（3，2）． （2）①依题意，（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称， 故， 设函数y2上的任意一点坐标为（x，y2），则（x，y2）关于（x，kx）的对称点为（x，2kx﹣y2）， 依题意（x，2kx﹣y2）必在函数， 代入y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1，得， 化简得， 令k＝2，得， ②y1的图象经过定点（1，0），（3，2）， 根据（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称，k＝2，可得y2必过定点A（1，4），B（3，10）， 故xA≤x≤xB，即1≤x≤3． y1对称轴为直线，y2对称轴为直线． i）当m＞0时，y1的图象开口向上，在对称轴右侧y1随x增大而增大， 则1时满足题意， 解得：， 当m＞0时，y2的图象开口向下，在对称轴左侧y2随x增大而增大， 则时满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． ii）当m＜0时，y1的图象开口向下，在对称轴左侧y1随x增大而增大， 则满足题意， 解得， 当m＜0时，y2的图象开口向上，在对称轴右侧y2随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． 综上所述，当1≤x≤3，y1与y2都随x增大而增大，或O满足题意． 9．（1）解：由题意得，y＝ax2﹣2ax+3＝a（x2﹣2x+1）﹣a+3＝a（x﹣1）2﹣a+3， ∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣a+4． 又∵图象经过点（1，5）， ∴5＝﹣a+4． ∴a＝﹣1． ∴原抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）①证明：由（1）抛物线为y＝﹣x2+2x+3， ∵点P（m，y1），Q（m+3，y2）在y＝﹣x2+2x+3上， ∴y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3． ∴y1+y2＝﹣m2+2m+3﹣（m+3）2+2（m+3）+3 ＝﹣2m2﹣2m+3 ＝﹣2（m）2． ∵对于任意的实数m都有﹣2（m）2≤0， ∴y1+y2＝﹣2（m）2． ②解：方法一： 令﹣x2+2x+3＝3， 解得x＝0或2， ∵m+3＞m， ∴点Q在点P右侧， Ⅰ，当P和Q在对称轴同侧时，如图， 此时很明显，m＞2； Ⅱ，当点P和点Q在对称轴两侧时，此时点P在轴左，点Q在轴右，如图， 点P（m，y1）关于对称轴对称点为P'（2﹣m，y1）， ∴2＜2﹣m＜m+3， 解得m＜0； 综上，m＞2或m＜0． 方法二：由①知，y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3， ∵y2＜y1＜3， ∴， ∴ 解得，m＞2或m＜0． 10．解：（1）由题意可得：4a+2b+4＝4， ∴b＝﹣2a， ∴； （2）当h＝1时，对称轴为直线x＝1，设y＝a（x﹣1）2+k， 由y＝ax2+bx+4（a＞0）可得，抛物线经过点（0，4）， ∴a（0﹣1）2+k＝4，解得k＝4﹣a， ∴y＝a（x﹣1）2+4﹣a， 又∵m＝3，n＝6， ∴点A（x1，3），且x1＞0， 将点A（x1，3）代入解析式可得， ∴， 又∵a＞0， ∴a﹣1＞0，即a＞1； （3）∵a＞0， ∴开口向上， 当3h≤h，即h≤0时，都有m＞n， 则h﹣4＜3h， ∴h＞﹣2， ∴﹣2＜h≤0； 当3h＞h，即h＞0时，都有m＞n， 则， 解得h＜2， ∴0＜h＜2； ∴﹣2＜h＜2； （4）∵， ∴b＝﹣2ah， ∴y＝ax2﹣2ahx+4， ∵h﹣4≤x1≤h+2， ∴ah2﹣2ah2+4≤m≤a（h﹣4）2﹣2ah（h﹣4）+4， 即4﹣ah2≤m≤16a+4﹣ah2， 当h≤1或h≥12时，n最小值为ah2﹣2ah2+4＝4﹣ah2， ∴一定存在m＞n， 当1＜h＜12时，当x2取1或者12时n有最小值， 即n的最小值为a﹣2ah+4或144a﹣24ah+4， ∵存在m＞n， ∴a﹣2ah+4＜16a+4﹣ah2或144a﹣24ah+4＜16a+4﹣ah2， ∴ah2﹣2ah﹣15a＜0或ah2﹣24ah+128＜0， ∵a＞0， ∴（h﹣5）（h+3）＜0或（h﹣8）（h﹣16）＜0， ∴﹣3＜h＜5或8＜h＜16， 综上所述，h＜5或h＞8． 11．解：（1）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）， ∴函数的对称轴为直线， ∴x＝1， 故答案为：x＝1； （2）①函数对称轴为x＝1，当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b， 故y＝﹣4是函数的最小值，即抛物线的顶点为（1，﹣4）， 将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 则b＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5； ②∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为（1，﹣4）， x2﹣2x﹣3＝6， 解得：， 故点P的坐标为 或； ③设图象折叠后顶点M的对应点为M′，点H是x＝4函数所处的位置，图象Q为C′M′NH区域， 点M（1，﹣4），点H（4，5），则点M′（1，2t+4）， 当点M′在点H下方时，， 函数Q的最高点为H，最低点为N， 则5﹣t＜6． 解得t＞﹣1． ∴， 当点M′在点H上方时，同理可得， 故﹣1＜t＜2． 12．解：（1）把A（0，﹣3），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， ∴抛物线C1的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3， 把D（d，0）代入y＝x2﹣2x﹣3，得： y＝x2﹣2x﹣3， 解得：d1＝﹣1，d2＝3（不合题意，舍去）， ∴D（﹣1，0）， ∴d＝﹣1； （2）①∵B（3，0），D（﹣1，0）， ∴BD＝3﹣（﹣1）＝4， ∵当点M到x轴的距离为3时， ∴， 故答案为：6； ②过点M作MP⊥x于P，连接MA，MB，如图2， ∵A（0，﹣3），B（3，0）， ∴， 设点M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵点M在第四象限内， ∴MP＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，OP＝x，BP＝3﹣x， ∴AB•MN＝S△ABM＝S梯形OAMP+S△MPB﹣S△AOB， ∴MN， ∴MN， ∵， ∴当时，MN有最大值， ∴当时，x2﹣2x﹣3， ∴当线段MN最大时，此时点M的坐标为； （3）实数t的所有整数值的和为3；理由如下： ∵抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4沿x轴翻折，得到抛物线C2， ∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0， ∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下，当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，当x＝1时，y 有最大值4； 当t+1≤1，即t≤0时， 在t﹣1≤x≤t+1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数值为0； ②当t﹣1＜1 且t+1＞1，即0＜t＜2时， 在t﹣1≤x≤t+1时， i）当0＜t≤1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为1； ii）当1＜t＜2时， ∴t无整数解； ③当t﹣1≥1，即t≥2时，最大值m＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4t）﹣（﹣t2+4）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为2； 综上，若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，实数t的所有整数值的和为0+1+2＝3． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $