加练5 方程（组）与不等式的实际应用（含综合与实践）-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

加练5 方程（组）与不等式的实际应用（含综合与实践） 类型1 购买、分配问题 1．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 2．火树银花不夜天，璀璨多姿中国年．沙坪坝区某街道计划在部分道路挂上迎春灯饰，已知甲种灯笼每个30元，乙种灯笼每个20元．若采购甲、乙两种灯笼共440个，且这两种灯笼的采购费共为11200元． （1）求采购甲、乙两种灯笼各多少个？ （2）某灯笼供应商为了支持迎春灯饰工作，现将甲、乙两种灯笼都降价a元．但街道在实际采购中分别用于这两种灯笼的采购费将保持不变，且采购甲、乙两种灯笼的数量相同，求a的值． 3．某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： （1）根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； （2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（a＞15）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 4．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． （1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x＝500．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 5．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了5%，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 6．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 7．周末小明在家开启日常锻炼，第一组运动是30个开合跳，40个深蹲，完成后，运动检测软件显示共消耗热量47大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做40个开合跳，30个深蹲，完成后，软件显示两组运动下来共消耗热量91大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）． （1）小明每做一个开合跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ （2）若小明只做开合跳和深蹲两个动作，每个开合跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少75大卡，至少要做多少个深蹲？ 8．[综合与实践] 【阅读资料】 随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克 说明： ①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费． 首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算） 例如：寄往市内一件6.8千克的物品，运费总额为：10×1+3×[（6﹣1）+0.5+0.5]＝28元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12×1+8×[（3﹣1）+0.5]＝32元． 【提出问题】 （1）小华寄往市内一件3千克的物品，应付运费 　 　元；寄往市外另一件3.9千克的物品，需付运费 　 　元． （2）小彤寄往市内一件甲物品，其质量的整数部分是a千克，且a大于2，小数部分小于0.5，则应付运费 　 　元（用含a的代数式表示）；寄往市外一件乙物品，其质量的整数部分是b千克，且b大于2，小数部分大于0.5，则需付运费 　 　元（用含b的代数式表示）． 【学以致用】 （3）某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的质量不是整数，小华的运费比小彤的运费多57元，物品的质量比小彤多2.5千克，则小华和小彤共需付运费多少元？ 类型2 工程问题 9．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产 　 　件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 10．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成． （1）甲队单独施工半个月能完成总工程的　 　； （2）乙队单独施工多少个月可以完成这项筑路工程？ 11．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． （1）第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ （2）由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 12．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． （1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； （2）若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； （3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 类型3 行程问题 13．小明每天早上要到距家1000m的学校去上学．一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 14．金鸡湖环湖步道风景如画，漫步其中可以领略到湖光山色与都市繁华的交相映衬，感受到现代与自然的交融之美．甲从小木屋驿站（金鸡驿01）出发，逆时针环湖步行，甲出发0.6h后，乙从小木屋驿站出发沿相同路线环湖跑步，两人同时到达望湖角驿站（金鸡驿06）．已知小木屋驿站与望湖角驿站的路程为5.6km，甲的平均速度是4km/h． （1）求乙的平均速度； （2）当甲、乙两人的路程相差1.2km时，求甲步行的时间． 15．如图是两张不同类型火车的车票：（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）： （1）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离； （2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km． 16．今年11月东莞马拉松成功举办，甲乙丙三人想沿着市民服务中心到松山湖的这条马拉松路线跑步，用自己的脚步来丈量东莞这座城市．甲从路线一端（记为A）出发向距离30千米的另一端（记为B）跑步，甲出发40分钟时乙从路线B端出发，两人相向而行，已知甲的平均速度为4千米/时，乙的平均速度为6千米/时．设甲跑步的时间为x小时，请解决下列问题： （1）在甲从公路A端到B端跑步过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的距离为　 　千米，乙离开B端的距离为　 　千米； （2）当甲、乙二人相遇时，求x的值； （3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，丙的平均速度为8千米/时．甲到达B端后停止跑步，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间恰好相距2千米时，求x的值． 类型4 面积问题 17．如图，学校有一块长为6米，宽为3米的长方形草坪，计划将绿地面积增加到原来的两倍，且扩大后的草坪仍然是长方形． （1）如果将长方形草坪的长增加2米，那么宽要增加多少米才能达到要求？ （2）学校为保护草坪，准备在扩大后的长方形草坪四周修一条宽为1.5米的小路，那么小路的面积是多少平方米？ 18．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为28m），其他的边用总长55m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若设车棚宽AB为x m，则车棚长BC为 　 　m； （2）若车棚面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽． 19．[综合与实践] 【项目主题】“校庆主题”草坪设计 【项目情境】为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 【项目任务】 活动任务一：请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边． （1）小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积S甲，S乙，S丙，S丁的大小关系　 　； 活动任务二：为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三：为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形ABCD，且AB＜BC，如图． （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．AB应设计成多少米？（参考数据：；，结果取整数） 20． [综合与实践] 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中a米为空中的士的机身长度）． 任务一计算材料成本 （1）如图2所示，请用含a代数表达式表示起降位的边长 　 　米． （2）若a＝16，请计算下列问题： ①操作区的面积是 　 　平方米，起降位的面积是 　 　平方米，安全区（阴影部分）的面积是 　 　平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是 　 　元． 任务二预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足a＝16的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用＝甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 21．[综合与实践] 下面是小艾进行数学学科项目学习时记录的部分内容． 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 项目探究：如图1，图中是小艾家放置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 如图是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板①，②，两种长方形纸板宽均为a cm（a＜50cm）． 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为 　 　cm； 任务二：利用任务一计算所得的数据a，进一步探究． （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求裁去角上4个相同的小正方形的边长； （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2，求小长方形的边FJ的长． 类型5 其他问题 22．[综合与实践] 八年级篮球赛中，A、B、C三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班53：43；A班对C班47：52，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） （1）求出A班的总得失分率； （2）当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以50：57落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了．假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 23．[综合与实践] 根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个60g的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：100g谷物、100g牛奶和100g鸡蛋的部分营养成分如表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于60g． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A 80g 250g 150g B 50g 300g 180g 问题解决： （1）若一份早餐包含一个60g的鸡蛋、200g牛奶和150g谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； （2）若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的7.35%，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为400g，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ （3）为平衡膳食，请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算） 　 　（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天；②A套餐2天、B套餐3天；③A套餐3天、B套餐2天；④A套餐4天、B套餐1天． 24．[综合与实践] 虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为40cm，甲容器下方垫有一高度为h cm的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为30cm，乙容器内无水，若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） （1）①当甲容器内水位下降10cm，则乙容器内水位上升　 　cm； ②当h＝30时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？ 直接写出答案：　 　（填：“会”或“不会”）； （2）当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度h的值； （3）小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可）： ①　 　； ②　 　． 25．[综合与实践] 体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 算法一 女性理想体重 身高×身高×22 男性理想体重 身高×身高×22 算法二 （100×身高﹣70）×0.6 （100×身高﹣80）×0.7 算法三 （100×身高﹣158）×0.5+52 （100×身高﹣170）×0.6+62 （1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同！你认为正确吗？请说明理由． （2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别． 实际体重 类别 大于理想体重的120% 肥胖 介于理想体重的110%～120% 过重 介于理想体重的90%～110% 正常 介于理想体重的80%～90% 过轻 小于理想体重的80% 消瘦 ①一名身高为h米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出h的取值范围 　 　． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 参考答案 1．解：设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg化工原料， 根据题意得，解得x＝120， 经检验，x＝120为原方程的解，且符合题意， 则x+30＝150， 答：A型机器人每小时搬运150kg化工原料，B型机器人每小时搬运120kg化工原料． 2．解：（1）设采购x个甲种灯笼，y个乙种灯笼， 根据题意得，解得． 答：采购240个甲种灯笼，200个乙种灯笼； （2）根据题意得， 解得a， 经检验，a是所列方程的解，且符合题意． 答：a的值为． 3．解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x，y元， 由题意得， 解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）由题意知，80a+15b＝1800（a＞15）， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴15＜a＜22.5，a，b为正整数， 当a＝18时，b＝24； 当a＝21，b＝8； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根． 4．解：（1）小红的说法不正确，理由如下： 200+20x＝500， 解得x＝15， ∴30﹣15＝15元， ∵15元＜16元， ∴亏本， ∴小红的说法不正确． （2）①两人的说法都正确，理由如下： 依题意得（30﹣x﹣16）（200+20x）＝2860， 整理得x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴降价1元或3元都能达到期望目标， ∴两人的说法都正确； ②由于增加销售量可以减少库存， ∴应采取王经理的意见． 5．解：（1）设去年A品牌足球售价为x元，则B品牌足球售价为（x+12）元， 由题意得1.5，解得x＝48． 经检验，x＝48是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+12＝60， 答：A品牌足球售价为48元，B品牌足球售价为60元； （2）设学校要购买y个A品牌足球，则学校要购买（50﹣y）个B品牌足球， 由题意得48×（1﹣5%）y+60×（1+10%）（50﹣y）（2880+2400）， 解得y，∵y为正整数，∴y的最小值为33， 答：学校至少要购买33个A品牌足球． 6．解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得， 解得， 答：1个A部件的质量为0.6吨，1个B部件的质量为0.8吨； （2）设该货车一次可运输m套这种设备， 根据题意得（0.6+0.8×3）•m+6≤49， 解得m≤14， ∵m为正整数， ∴m的最大值为14， 答：该货车一次最多可运输14套这种设备． 7．解：（1）设小明每做一个开合跳消耗热量x大卡，每做一个深蹲消耗热量y大卡， 由题意得， 解得， 答：小明每做一个开合跳消耗热量0.5大卡，每做一个深蹲消耗热量0.8大卡． （2）设小明做m个深蹲， 由题意得， 解得m≥50， 答：至少要做50个深蹲． 8．解：（1）10×1+3×（3﹣1）＝16（元）， 12×1+8×[（3﹣1）+0.5+0.5]＝36（元）， 故答案为：16，36； （2）10×1+3×[（a﹣1）+0.5]＝（3a+8.5）元， 12×1+8×[（b﹣1）+1]＝（8b+12）元， 故答案为：（3a+8.5），（8b+12）； （3）设小彤所寄物品的质量的整数部分为x千克，则小华所寄物品的质量为（x+2.5）千克， 当x大于1且x的小数部分不大于0.5时：3x+8.5+57＝8（x+2）+12， 解得x＝7.5（不合题意，舍去）， 当x大于1且x的小数部分大于0.5时：10+3x+57＝12+8（x+2+0.5）， 解得x＝7， 当x不大于1且x的小数部分不大于0.5时：10+57＝8（x+2）+12， 解得x（不合题意，舍去）， 当x不大于1且x的小数部分大于0.5时：10+57＝12+8（x+2+0.5）， 解得x（不合题意，舍去）， ∴2×（10+3×7）+57＝119， 答：小华和小彤共需付运费119元． 9．解：（1）由题意可得， 更新设备后每天生产产品为：x（1+25%）＝1.25x（件）， 故答案为：1.25x； （2）由题意可得， 1， 解得x＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解， ∴1.25x＝125， 答：更新设备后每天生产125件产品． 10．解：（1）， 所以甲队单独施工半个月能完成总工程． 故答案为：； （2）设乙队单独施工1个月能完成总工程量的，由题意可得 ， 解得x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解， ∴乙队单独施工1个月可以完成这项筑路工程． 11．解：（1）设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得， 解得， 答：甲工作了4天，乙工作了6天； （2）设丙每天可完成的工作量是m平方米，则丁每天可完成的工作量是（m﹣5）平方米， 由题意得2， 解得m＝25， 经检验，m＝25是原方程的解，且符合题意， ∴m﹣5＝20， 答：丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米． 12．解：（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，则乙队单独完成此项工程需要（80﹣x）天， 根据题意得，3（55﹣x）﹣5＝x， 解得x＝40， ∴55﹣40＝15， 答：甲队单独完成此项工程需要40天，则乙队单独完成此项工程需要15天； （2）设与公司派来的乙工程队再合作y天可完成此项工程， 根据题意得，， 解得y＝6， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程； （3）设甲工作a天，则甲完成工程量是， 乙完成工程量是1， 乙的工作天数为15， 根据题意有：800a+100021800， 解得a＝16， 答：甲工程队参加工作16天． 13．解：设爸爸追上小明用了x min， 根据题意，得180x＝80（x+5）， 解方程，得x＝4， ∴1000﹣180x＝1000﹣180×4＝280（m）． 答：爸爸追上小明用了4min，追上小明时，距离学校还有280m． 14．解：（1）根据题意得5.6÷（5.6÷4﹣0.6） ＝5.6÷（1.4﹣0.6） ＝5.6÷0.8 ＝7（km/h）． 答：乙的平均速度是7km/h； （2）设甲步行的时间为x h， 根据题意得4x＝1.2或4x﹣7（x﹣0.6）＝1.2， 解得x＝0.3或x＝1． 答：甲步行的时间为0.3或1h． 15．解：（1）设A，B两地之间的距离为x km， 由题意可得1， 解得x＝600， 答：A，B两地之间的距离为600km； （2）设高铁出发m小时，两车相距100km， 200（m+1）﹣300m＝100， 解得m＝1， 11+1＝12， 即12：00时两车相距100km． 16．解：（1）甲与A端之间的距离为4x千米， ∵甲出发40分钟时乙从赛道B端出发， ∴乙与B端之间的距离为千米． 故答案为：4x；（6x﹣4）； （2）根据题意得，4x+6x﹣4＝30， 解得x＝3.4， 故答案为：3.4． （3）由题意可得甲出发40+20＝60（分钟），即甲出发1小时后丙出发， ∴丙离开B端的路程为8（x﹣1）千米． 当甲、丙相遇前，两人相距2千米时，则4x+8（x﹣1）＝30﹣2， 解得x＝3； 当甲、丙相遇后，两人相距2千米时，4x+8（x﹣1）＝30+2， 解得． ∴x的值是3或． 17．解：（1）计划将绿地面积增加到原来的两倍，设宽要增加x米才能达到要求， 由题意得（6+2）×（3+x）＝2×6×3， 解得x＝1.5， 故宽要增加1.5米才能达到要求； （2）（6+2+1.5+1.5）×（3+1.5+1.5+1.5）﹣3×6×2＝82.5﹣36＝46.5（平方米）， 故小路的面积是46.5平方米． 18．解：（1）根据题意得车棚长BC为55﹣（3x﹣2）＝（57﹣3x）m． 故答案为：（57﹣3x）； （2）根据题意得x（57﹣3x）＝270， 整理得x2﹣19x+90＝0， 解得x1＝9，x2＝10， 当x＝9时，57﹣3x＝57﹣3×9＝30＞28，不符合题意，舍去； 当x＝10时，57﹣3x＝57﹣3×10＝27＜28，符合题意． 答：自行车车棚的长为27m，宽为10m． 19．解：（1）设小路的宽度为a米， 由平移的性质可得，四幅图的面积都可以看作是一个长为 （40﹣a）m，宽为 （30﹣a）m的长方形面积， ∴S甲＝S乙＝S丙＝S丁； （2）设小路的宽为x m， 由题意得（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得，x2﹣70x+136＝0， 解得x＝2或x＝68（不合题意，舍去）， ∴小路的宽为2m； （3）设矩形宽AB＝x m，长BC＝y m， ∴2x+y＝40， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴AB应设计成11米． 20．解：（1）根据题意得起降位的边长为a+3×2＝（a+6）米． 故答案为：（a+6）； （2）①当a＝16时，操作区的面积是（a）2＝（16）2＝576（平方米）； 起降位的面积是（a+6）2＝（16+6）2＝900（平方米）， ∴安全区（阴影部分）的面积是900﹣576＝324（平方米）． 故答案为：576，900，324； ②根据题意得500×576+100×324＝320400（元）， ∴建设一个起降位的基础材料成本是320400元． 故答案为：320400； （3）设乙队工作了x天，则甲队工作了（x+10）天， 根据题意得40（x+10）+30x＝900×2， 解得x＝20， ∴8（x+10）+6x＝8×（20+10）+6×20＝360（万元）， ∵360＞350，360﹣350＝10（万元）， ∴这笔预算施工费用不够，需要追加10万元． 21．解：任务一：（1）图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2＝5（cm）， ∴a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm）， 故答案为：40； 任务二：（1）设小正方形的边长为a cm， 由题意得（50﹣2a）（40﹣2a）＝936， 整理得a2﹣45a+266＝0， 解得a1＝7，a2＝38，（不合题意，舍去）， 答：裁去角上4个相同的小正方形的边长为7cm； （2）设小长方形的边FJ的长为x cm，且0＜x＜20，则小长方形的另一边的长为， 由题意得， 解得x1＝11，x2＝59（不合题意，舍去）， 答：小长方形的边FJ的长为11cm． 22．解：（1）A班总得失分率； （2）①B班总得失分率； ②C班总得失分率， 由题易知x≥50， ∴53+x≥103＞95， ∴A班总得失分率＞B班总得失分率， ∵A班出线， ∴A班总得失分率＞C班总得失分率， ∴， 整理得， ∴95x+4940＜10400， 解得x＜57， ∵x为整数， ∴50≤x≤57，且x为整数． 23．解：（1）由题意得，150×9%+200×3%+60×12% ＝26.7（g）； 答：该份早餐中蛋白质总含量为26.7g； （2）设该早餐中牛奶xg，谷物3g，列方程组得 ， 解得， 答：该早餐中牛奶140g，谷物200g； （3）A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克， 一周按5天计算， ①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为250+300×4＝1450克，肉类总量为80+50×4＝280克； ②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为250×2+300×3＝1400克，肉类总量为80×2+50×3＝310克； ③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为250×3+300×2＝1350克，肉类总量为80×3+50×2＝340克； ④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为250×4+300＝1300克，肉类总量为80×4+50＝370克． 只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于280×5＝1400克，肉类不少于60×5＝300克， 故选：②． 24．解：（1）①设乙容器底面积是s，则甲容器底面积是2s， ∴乙容器内水位上升的高度为20cm， 故答案为：20； ②乙容器内的水不会溢出； 理由为：当乙容器内的水满时，甲容器水位下降为20cm， 这时甲容器中水位离桌面距离为30﹣20+30＝40cm＝40cm， ∴当h＝30时，乙容器内的水不会溢出． 故答案为：不会； （2）设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为x cm，则乙容器内水位深度是3x cm， ∴3x＝2（30﹣x）， 解得x＝12， ∴长方体木块高度h＝3x﹣x＝2x＝2×12＝24cm． （3）根据探究过程发现： ①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等； ②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度+h＝乙容器水位深度． 故答案为：当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等；当虹吸现象结束时，甲容器水位深度+h＝乙容器水位深度． 25．解：（1）不正确，理由如下： 设女性的身高为x米，假设甲说的正确， 由题意得22x2＝（100x﹣70）×0.6， 整理得11x2﹣30x+21＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×11×21＝﹣24＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲说的不正确； （2）①由题意得（100h﹣80）×0.7≥70， 解得h≥1.8， 故答案为：h≥1.8米； ②根据算法三小王的父亲的理想体重为：（100×1.75﹣170）×0.6+62＝65（公斤）， 1.12＝112%， 由表（二）可知，他可能被归类为过重类别， 答：根据算法三小王的父亲的理想体重为65公斤，他可能被归类为过重类别． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 加练5 方程（组）与不等式的实际应用（含综合与实践） 类型1 购买、分配问题 1．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 解：设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg化工原料， 根据题意得，解得x＝120， 经检验，x＝120为原方程的解，且符合题意， 则x+30＝150， 答：A型机器人每小时搬运150kg化工原料，B型机器人每小时搬运120kg化工原料． 2．火树银花不夜天，璀璨多姿中国年．沙坪坝区某街道计划在部分道路挂上迎春灯饰，已知甲种灯笼每个30元，乙种灯笼每个20元．若采购甲、乙两种灯笼共440个，且这两种灯笼的采购费共为11200元． （1）求采购甲、乙两种灯笼各多少个？ （2）某灯笼供应商为了支持迎春灯饰工作，现将甲、乙两种灯笼都降价a元．但街道在实际采购中分别用于这两种灯笼的采购费将保持不变，且采购甲、乙两种灯笼的数量相同，求a的值． 解：（1）设采购x个甲种灯笼，y个乙种灯笼， 根据题意得，解得． 答：采购240个甲种灯笼，200个乙种灯笼； （2）根据题意得， 解得a， 经检验，a是所列方程的解，且符合题意． 答：a的值为． 3．某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： （1）根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； （2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（a＞15）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x，y元， 由题意得， 解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）由题意知，80a+15b＝1800（a＞15）， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴15＜a＜22.5，a，b为正整数， 当a＝18时，b＝24； 当a＝21，b＝8； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根． 4．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． （1）小红说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x＝500．” 请判断小红的说法是否正确，并说明理由； （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 解：（1）小红的说法不正确，理由如下： 200+20x＝500， 解得x＝15， ∴30﹣15＝15元， ∵15元＜16元， ∴亏本， ∴小红的说法不正确． （2）①两人的说法都正确，理由如下： 依题意得（30﹣x﹣16）（200+20x）＝2860， 整理得x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴降价1元或3元都能达到期望目标， ∴两人的说法都正确； ②由于增加销售量可以减少库存， ∴应采取王经理的意见． 5．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了5%，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 解：（1）设去年A品牌足球售价为x元，则B品牌足球售价为（x+12）元， 由题意得1.5，解得x＝48． 经检验，x＝48是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+12＝60， 答：A品牌足球售价为48元，B品牌足球售价为60元； （2）设学校要购买y个A品牌足球，则学校要购买（50﹣y）个B品牌足球， 由题意得48×（1﹣5%）y+60×（1+10%）（50﹣y）（2880+2400）， 解得y，∵y为正整数，∴y的最小值为33， 答：学校至少要购买33个A品牌足球． 6．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得， 解得， 答：1个A部件的质量为0.6吨，1个B部件的质量为0.8吨； （2）设该货车一次可运输m套这种设备， 根据题意得（0.6+0.8×3）•m+6≤49， 解得m≤14， ∵m为正整数， ∴m的最大值为14， 答：该货车一次最多可运输14套这种设备． 7．周末小明在家开启日常锻炼，第一组运动是30个开合跳，40个深蹲，完成后，运动检测软件显示共消耗热量47大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做40个开合跳，30个深蹲，完成后，软件显示两组运动下来共消耗热量91大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）． （1）小明每做一个开合跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ （2）若小明只做开合跳和深蹲两个动作，每个开合跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少75大卡，至少要做多少个深蹲？ 解：（1）设小明每做一个开合跳消耗热量x大卡，每做一个深蹲消耗热量y大卡， 由题意得， 解得， 答：小明每做一个开合跳消耗热量0.5大卡，每做一个深蹲消耗热量0.8大卡． （2）设小明做m个深蹲， 由题意得， 解得m≥50， 答：至少要做50个深蹲． 8．[综合与实践] 【阅读资料】 随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克 说明： ①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费． 首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算） 例如：寄往市内一件6.8千克的物品，运费总额为：10×1+3×[（6﹣1）+0.5+0.5]＝28元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12×1+8×[（3﹣1）+0.5]＝32元． 【提出问题】 （1）小华寄往市内一件3千克的物品，应付运费 　16　元；寄往市外另一件3.9千克的物品，需付运费 　36　元． （2）小彤寄往市内一件甲物品，其质量的整数部分是a千克，且a大于2，小数部分小于0.5，则应付运费 　（3a+8.5）　元（用含a的代数式表示）；寄往市外一件乙物品，其质量的整数部分是b千克，且b大于2，小数部分大于0.5，则需付运费 　（8b+12）　元（用含b的代数式表示）． 【学以致用】 （3）某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的质量不是整数，小华的运费比小彤的运费多57元，物品的质量比小彤多2.5千克，则小华和小彤共需付运费多少元？ 解：（1）10×1+3×（3﹣1）＝16（元）， 12×1+8×[（3﹣1）+0.5+0.5]＝36（元）， 故答案为：16，36； （2）10×1+3×[（a﹣1）+0.5]＝（3a+8.5）元， 12×1+8×[（b﹣1）+1]＝（8b+12）元， 故答案为：（3a+8.5），（8b+12）； （3）设小彤所寄物品的质量的整数部分为x千克，则小华所寄物品的质量为（x+2.5）千克， 当x大于1且x的小数部分不大于0.5时：3x+8.5+57＝8（x+2）+12， 解得x＝7.5（不合题意，舍去）， 当x大于1且x的小数部分大于0.5时：10+3x+57＝12+8（x+2+0.5）， 解得x＝7， 当x不大于1且x的小数部分不大于0.5时：10+57＝8（x+2）+12， 解得x（不合题意，舍去）， 当x不大于1且x的小数部分大于0.5时：10+57＝12+8（x+2+0.5）， 解得x（不合题意，舍去）， ∴2×（10+3×7）+57＝119， 答：小华和小彤共需付运费119元． 类型2 工程问题 9．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产 　1.25x　件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 解：（1）由题意可得， 更新设备后每天生产产品为：x（1+25%）＝1.25x（件）， 故答案为：1.25x； （2）由题意可得， 1， 解得x＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解， ∴1.25x＝125， 答：更新设备后每天生产125件产品． 10．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成． （1）甲队单独施工半个月能完成总工程的 　　； （2）乙队单独施工多少个月可以完成这项筑路工程？ 解：（1）， 所以甲队单独施工半个月能完成总工程． 故答案为：； （2）设乙队单独施工1个月能完成总工程量的，由题意可得 ， 解得x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解， ∴乙队单独施工1个月可以完成这项筑路工程． 11．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． （1）第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ （2）由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 解：（1）设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得， 解得， 答：甲工作了4天，乙工作了6天； （2）设丙每天可完成的工作量是m平方米，则丁每天可完成的工作量是（m﹣5）平方米， 由题意得2， 解得m＝25， 经检验，m＝25是原方程的解，且符合题意， ∴m﹣5＝20， 答：丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米． 12．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． （1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； （2）若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； （3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 解：（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，则乙队单独完成此项工程需要（80﹣x）天， 根据题意得，3（55﹣x）﹣5＝x， 解得x＝40， ∴55﹣40＝15， 答：甲队单独完成此项工程需要40天，则乙队单独完成此项工程需要15天； （2）设与公司派来的乙工程队再合作y天可完成此项工程， 根据题意得，， 解得y＝6， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程； （3）设甲工作a天，则甲完成工程量是， 乙完成工程量是1， 乙的工作天数为15， 根据题意有：800a+100021800， 解得a＝16， 答：甲工程队参加工作16天． 类型3 行程问题 13．小明每天早上要到距家1000m的学校去上学．一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 解：设爸爸追上小明用了x min， 根据题意，得180x＝80（x+5）， 解方程，得x＝4， ∴1000﹣180x＝1000﹣180×4＝280（m）． 答：爸爸追上小明用了4min，追上小明时，距离学校还有280m． 14．金鸡湖环湖步道风景如画，漫步其中可以领略到湖光山色与都市繁华的交相映衬，感受到现代与自然的交融之美．甲从小木屋驿站（金鸡驿01）出发，逆时针环湖步行，甲出发0.6h后，乙从小木屋驿站出发沿相同路线环湖跑步，两人同时到达望湖角驿站（金鸡驿06）．已知小木屋驿站与望湖角驿站的路程为5.6km，甲的平均速度是4km/h． （1）求乙的平均速度； （2）当甲、乙两人的路程相差1.2km时，求甲步行的时间． 解：（1）根据题意得5.6÷（5.6÷4﹣0.6） ＝5.6÷（1.4﹣0.6） ＝5.6÷0.8 ＝7（km/h）． 答：乙的平均速度是7km/h； （2）设甲步行的时间为x h， 根据题意得4x＝1.2或4x﹣7（x﹣0.6）＝1.2， 解得x＝0.3或x＝1． 答：甲步行的时间为0.3或1h． 15．如图是两张不同类型火车的车票：（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）： （1）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离； （2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km． 解：（1）设A，B两地之间的距离为x km， 由题意可得1， 解得x＝600， 答：A，B两地之间的距离为600km； （2）设高铁出发m小时，两车相距100km， 200（m+1）﹣300m＝100， 解得m＝1， 11+1＝12， 即12：00时两车相距100km． 16．今年11月东莞马拉松成功举办，甲乙丙三人想沿着市民服务中心到松山湖的这条马拉松路线跑步，用自己的脚步来丈量东莞这座城市．甲从路线一端（记为A）出发向距离30千米的另一端（记为B）跑步，甲出发40分钟时乙从路线B端出发，两人相向而行，已知甲的平均速度为4千米/时，乙的平均速度为6千米/时．设甲跑步的时间为x小时，请解决下列问题： （1）在甲从公路A端到B端跑步过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的距离为　4x　千米，乙离开B端的距离为　（6x﹣4）　千米； （2）当甲、乙二人相遇时，求x的值； （3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，丙的平均速度为8千米/时．甲到达B端后停止跑步，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间恰好相距2千米时，求x的值． 解：（1）甲与A端之间的距离为4x千米， ∵甲出发40分钟时乙从赛道B端出发， ∴乙与B端之间的距离为千米． 故答案为：4x；（6x﹣4）； （2）根据题意得，4x+6x﹣4＝30， 解得x＝3.4， 故答案为：3.4． （3）由题意可得甲出发40+20＝60（分钟），即甲出发1小时后丙出发， ∴丙离开B端的路程为8（x﹣1）千米． 当甲、丙相遇前，两人相距2千米时，则4x+8（x﹣1）＝30﹣2， 解得x＝3； 当甲、丙相遇后，两人相距2千米时，4x+8（x﹣1）＝30+2， 解得． ∴x的值是3或． 类型4 面积问题 17．如图，学校有一块长为6米，宽为3米的长方形草坪，计划将绿地面积增加到原来的两倍，且扩大后的草坪仍然是长方形． （1）如果将长方形草坪的长增加2米，那么宽要增加多少米才能达到要求？ （2）学校为保护草坪，准备在扩大后的长方形草坪四周修一条宽为1.5米的小路，那么小路的面积是多少平方米？ 解：（1）计划将绿地面积增加到原来的两倍，设宽要增加x米才能达到要求， 由题意得（6+2）×（3+x）＝2×6×3， 解得x＝1.5， 故宽要增加1.5米才能达到要求； （2）（6+2+1.5+1.5）×（3+1.5+1.5+1.5）﹣3×6×2＝82.5﹣36＝46.5（平方米）， 故小路的面积是46.5平方米． 18．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为28m），其他的边用总长55m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若设车棚宽AB为x m，则车棚长BC为 　（57﹣3x）　m； （2）若车棚面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽． 解：（1）根据题意得车棚长BC为55﹣（3x﹣2）＝（57﹣3x）m． 故答案为：（57﹣3x）； （2）根据题意得x（57﹣3x）＝270， 整理得x2﹣19x+90＝0， 解得x1＝9，x2＝10， 当x＝9时，57﹣3x＝57﹣3×9＝30＞28，不符合题意，舍去； 当x＝10时，57﹣3x＝57﹣3×10＝27＜28，符合题意． 答：自行车车棚的长为27m，宽为10m． 19．[综合与实践] 【项目主题】：“校庆主题”草坪设计 【项目情境】：为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 【项目任务】： 活动任务一：请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边． （1）小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积S甲，S乙，S丙，S丁的大小关系 　S甲＝S乙＝S丙＝S丁　； 活动任务二：为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三：为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形ABCD，且AB＜BC，如图． （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．AB应设计成多少米？（参考数据：；，结果取整数） 解：（1）设小路的宽度为a米， 由平移的性质可得，四幅图的面积都可以看作是一个长为 （40﹣a）m，宽为 （30﹣a）m的长方形面积， ∴S甲＝S乙＝S丙＝S丁； （2）设小路的宽为x m， 由题意得（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得，x2﹣70x+136＝0， 解得x＝2或x＝68（不合题意，舍去）， ∴小路的宽为2m； （3）设矩形宽AB＝x m，长BC＝y m， ∴2x+y＝40， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴AB应设计成11米． 20．[综合与实践] 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中a米为空中的士的机身长度）． 任务一计算材料成本 （1）如图2所示，请用含a代数表达式表示起降位的边长 　（a+6）　米． （2）若a＝16，请计算下列问题： ①操作区的面积是 　576　平方米，起降位的面积是 　900　平方米，安全区（阴影部分）的面积是 　324　平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是 　320400　元． 任务二预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足a＝16的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用＝甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 解：（1）根据题意得起降位的边长为a+3×2＝（a+6）米． 故答案为：（a+6）； （2）①当a＝16时，操作区的面积是（a）2＝（16）2＝576（平方米）； 起降位的面积是（a+6）2＝（16+6）2＝900（平方米）， ∴安全区（阴影部分）的面积是900﹣576＝324（平方米）． 故答案为：576，900，324； ②根据题意得500×576+100×324＝320400（元）， ∴建设一个起降位的基础材料成本是320400元． 故答案为：320400； （3）设乙队工作了x天，则甲队工作了（x+10）天， 根据题意得40（x+10）+30x＝900×2， 解得x＝20， ∴8（x+10）+6x＝8×（20+10）+6×20＝360（万元）， ∵360＞350，360﹣350＝10（万元）， ∴这笔预算施工费用不够，需要追加10万元． 21．[综合与实践] 下面是小艾进行数学学科项目学习时记录的部分内容． 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 项目探究：如图1，图中是小艾家放置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 如图是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板①，②，两种长方形纸板宽均为a cm（a＜50cm）． 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为 　40　cm； 任务二：利用任务一计算所得的数据a，进一步探究． （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求裁去角上4个相同的小正方形的边长； （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2，求小长方形的边FJ的长． 解：任务一：（1）图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2＝5（cm）， ∴a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm）， 故答案为：40； 任务二：（1）设小正方形的边长为a cm， 由题意得（50﹣2a）（40﹣2a）＝936， 整理得a2﹣45a+266＝0， 解得a1＝7，a2＝38，（不合题意，舍去）， 答：裁去角上4个相同的小正方形的边长为7cm； （2）设小长方形的边FJ的长为x cm，且0＜x＜20，则小长方形的另一边的长为， 由题意得， 解得x1＝11，x2＝59（不合题意，舍去）， 答：小长方形的边FJ的长为11cm． 类型5 其他问题 22．[综合与实践] 八年级篮球赛中，A、B、C三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班53：43；A班对C班47：52，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） （1）求出A班的总得失分率； （2）当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以50：57落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了．假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 解：（1）A班总得失分率； （2）①B班总得失分率； ②C班总得失分率， 由题易知x≥50， ∴53+x≥103＞95， ∴A班总得失分率＞B班总得失分率， ∵A班出线， ∴A班总得失分率＞C班总得失分率， ∴， 整理得， ∴95x+4940＜10400， 解得x＜57， ∵x为整数， ∴50≤x≤57，且x为整数． 23．[综合与实践] 根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个60g的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：100g谷物、100g牛奶和100g鸡蛋的部分营养成分如表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于60g． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A 80g 250g 150g B 50g 300g 180g 问题解决： （1）若一份早餐包含一个60g的鸡蛋、200g牛奶和150g谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； （2）若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的7.35%，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为400g，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ （3）为平衡膳食，请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算） 　②　（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天；②A套餐2天、B套餐3天；③A套餐3天、B套餐2天；④A套餐4天、B套餐1天． 解：（1）由题意得，150×9%+200×3%+60×12% ＝26.7（g）； 答：该份早餐中蛋白质总含量为26.7g； （2）设该早餐中牛奶xg，谷物3g，列方程组得 ， 解得， 答：该早餐中牛奶140g，谷物200g； （3）A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克， 一周按5天计算， ①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为250+300×4＝1450克，肉类总量为80+50×4＝280克； ②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为250×2+300×3＝1400克，肉类总量为80×2+50×3＝310克； ③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为250×3+300×2＝1350克，肉类总量为80×3+50×2＝340克； ④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为250×4+300＝1300克，肉类总量为80×4+50＝370克． 只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于280×5＝1400克，肉类不少于60×5＝300克， 故选：②． 24．[综合与实践] 虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为40cm，甲容器下方垫有一高度为h cm的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为30cm，乙容器内无水，若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） （1）①当甲容器内水位下降10cm，则乙容器内水位上升　20　cm； ②当h＝30时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？ 直接写出答案：　不会　（填：“会”或“不会”）； （2）当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度h的值； （3）小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可）： ①　当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等　； ②　当虹吸现象结束时，甲容器水位深度+h＝乙容器水位深度　． 解：（1）①设乙容器底面积是s，则甲容器底面积是2s， ∴乙容器内水位上升的高度为20cm， 故答案为：20； ②乙容器内的水不会溢出； 理由为：当乙容器内的水满时，甲容器水位下降为20cm， 这时甲容器中水位离桌面距离为30﹣20+30＝40cm＝40cm， ∴当h＝30时，乙容器内的水不会溢出． 故答案为：不会； （2）设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为x cm，则乙容器内水位深度是3x cm， ∴3x＝2（30﹣x）， 解得x＝12， ∴长方体木块高度h＝3x﹣x＝2x＝2×12＝24cm． （3）根据探究过程发现： ①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等； ②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度+h＝乙容器水位深度． 故答案为：当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等；当虹吸现象结束时，甲容器水位深度+h＝乙容器水位深度． 25．[综合与实践] 体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 算法一 女性理想体重 身高×身高×22 男性理想体重 身高×身高×22 算法二 （100×身高﹣70）×0.6 （100×身高﹣80）×0.7 算法三 （100×身高﹣158）×0.5+52 （100×身高﹣170）×0.6+62 （1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同！你认为正确吗？请说明理由． （2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别． 实际体重 类别 大于理想体重的120% 肥胖 介于理想体重的110%～120% 过重 介于理想体重的90%～110% 正常 介于理想体重的80%～90% 过轻 小于理想体重的80% 消瘦 ①一名身高为h米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出h的取值范围 　h≥1.8米　． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 解：（1）不正确，理由如下： 设女性的身高为x米，假设甲说的正确， 由题意得22x2＝（100x﹣70）×0.6， 整理得11x2﹣30x+21＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×11×21＝﹣24＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲说的不正确； （2）①由题意得（100h﹣80）×0.7≥70， 解得h≥1.8， 故答案为：h≥1.8米； ②根据算法三小王的父亲的理想体重为：（100×1.75﹣170）×0.6+62＝65（公斤）， 1.12＝112%， 由表（二）可知，他可能被归类为过重类别， 答：根据算法三小王的父亲的理想体重为65公斤，他可能被归类为过重类别． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $