6.4.2平面与平面平行（教学课件）数学北师大版必修第二册

§4 平 行 关 系 4.2 平面与平面平行 第六章 立体几何初步 1 2 3 理解并掌握平面与平面平行的性质，并能利用性质解决问题。（重点） 掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题。（重难点） 平面与平面平行的综合应用。（重点） 我们已经学习过线面平行的判定和性质定理，那么生活中有没有平面与平面平行的例子呢？同学们能不能举出一些实例? 水杯的上底面与下底面 课桌桌面与地面 长方体上底面与下底面 情景导入 可是以上的平行关系我们该怎么来证明呢？ 读教材 阅读课本P231-P234，5分钟后完成下列问题： 1.如何能判定平面与平面平行？用数学符号怎么表示？ 2.已知平面与平面平行，会有哪些性质？你能用符号语言表示出来吗？ 3.线线平行，线面平行，面面平行之间有何关系？可以相互转化吗？ 我们一起来探究“平面与平面平行”吧！ 思考：由两个平面平行的定义可知，两个平行平面没有公共点，因此其中一个平面内的任一条直线与另一个平面也没有公共点，即平行.于是，这个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线平行或异面.那么，如何找到平行的直线呢？ 观察右图中的长方体，上、下两底面 ABCD 和 A1B1C1D1平行，上底面 A1B1C1D1 的对角线 B1D1 仅和它共面的下底面 ABCD 的对角线 BD 平行，而和棱AB，BC，CD，DA 都是异面直线. 由此得到： 新知探索 一、平面与平面平行的性质 A1 A D B C B1 C1 D1 平面与平面平行的性质定理 已知：如图α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，求证：a∥b. 证明：因为∥ ，所以 又因为 ， 所以. 所以. 所以 ∥ b. 新知探索 一、平面与平面平行的性质 面面平行⇒线线平行 平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个 平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 新知探索 一、平面与平面平行的性质 符号语言： ⇒a∥b 图形语言 三个条件缺一不可 简记为：面面平行，则线线平行. 线面平行 线线平行 面面平行 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 面面平行的性质 思考交流： 1.如果 α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，c⊂β，那么 c 和 a，b 有什么样的位置关系？为什么？ 答：因为 ∥，，所以 ∥． ①当 ∥ 时，因为∥，所以∥． ②当 和 相交时， 和 异面． 又因为 ，所以 和 平行或相交． 新知探索 一、平面与平面平行的性质 ① ② 2.由面面平行能推出线面平行吗？ 答：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行． 例1 如图，已知 ∥，点 M，C，F 和 N，D，E 分别是直线 AB，AD，BF 与 和 的交点.设 AM=m，BN=n，MN=p，求 △END 与 △FMC 的面积之比. A M C F N E D B m n p 解：因为∥，平面 AND 分别交 ，于MC，ND ， 所以 MC∥ND， (面面平行的性质定理) 同理 MF∥NE， ． 因为∠END与∠FMC 的两边分别平行且方向相同， 所以∠END＝∠FMC ． 典例讲解 典例讲解 设平面平面 ，， ，， ，直线与直线交于点 ， 且位于平面 ， 之间，，，，求 的长. 解: 根据题意作出如下图形： ，交于点，与 确定一个平面， 又 平面平面 ，， ， ， ，， ， ， . 思考：如果对于平面 α 和平面 β ，在 α 内取一条直线 l ，且 l∥β， 能说 α∥β 吗？ 不能！如图，平面 A1BCD1 中的A1D1∥平面ABCD，但平面A1BCD1 与平面ABCD不平行. 我们在生活中看到，工人师傅将水平尺在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的.这是为什么呢？ 新知探索 二、平面与平面平行的判定 已知：∥，∥ 求证： 分析：直接证明不好证,可采用反证法 证明：假设，则，与 相交或平行 a b A c ①若，与都相交，所以，相交，与∥，∥矛盾 ②若，中一条与相交，另一条与平行，不妨设与相交，∥ ∴相交，与矛盾 综上所述，假设不成立，故. 新知探索 二、平面与平面平行的判定 线线平行⇒面面平行 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. a b A 新知探索 二、平面与平面平行的判定 符号语言： //，// ⇒ 图形语言 三个条件缺一不可 简记为：两次线线平行，则面面平行. 思考交流：“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的什么条件？ 答：分别讨论必要性与充分性. ①必要性显然成立．当∥时，平面内必存在着不共线的三点到平面的距离均相等. ②充分性不成立． 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面AA′C′C中有不共线的三个点A、A′、C到平面BB′D′D的距离相等，但平面AA′C′C与平面BB′D′D相交，不平行，故充分性不成立. A B C D A′ D′ C′ B′ 新知探索 二、平面与平面平行的判定 例2 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1 . 求证：平面AB1D1∥平面C1BD A B C D A1 D1 C1 B1 证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，易证得BD∥B1D1 又B1D1⊂平面AB1D1，平面AB1D1， 所以BD∥平面AB1D1 又，且平面C1BD，BC1平面C1BD， 故平面AB1D1∥平面C1BD （面面平行的判定定理） 同理可证BC1∥平面AB1D1. 典例讲解 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：证明两个平面没有公共点. （2）判定定理法：证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面. （3）转化为线线平行：平面 内的两条相交直线与平面 内的两条相 交直线分别平行，则 利用平行平面的传递性：若 ， ，则 . 典例讲解 方法技巧 典例讲解 如图，在四棱锥中，为的中点，为的中点，底面 是平行四边形，对角线，交于点.求证：平面平面 . 证明： 因为四边形是平行四边形， ， 所以为 的中点. 又因为为的中点，所以 .又 平面， 平面 ， 所以平面 . 因为，分别是，的中点，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 因为 平面， 平面，且 ， 所以平面平面 . 典例讲解 例3 如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形 ， ，，分别是棱，上的点.设是棱的中点. 求证：直线 平面 . 典例讲解 因为， 平面， 平面 ， 所以平面 ， 又，， 平面 ， 所以平面平面 . 又 平面 ， 所以平面 . 证明： 因为为的中点，所以 ， 又因为，所以 ， 因为，所以 ，所以四边形 为平行四边形， 所以，又 平面， 平面 ， 所以平面 . 典例讲解 在如图所示的几何体中是的中点,,,分别是, 的中点。 求证：平面 . 证明： 如图，取的中点，连接，，则有 . 因为，所以 . 因为 平面， 平面，所以平面. 同理， 平面 . 因为， 平面， 平面 ， 所以平面平面 . 因为 平面，所以平面 . 如图，点P在SA上，从点 P 处将三棱锥形木块 S-ABC 锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？ E F A B C S P 解：如图，过点 P 在侧面 SAB 上作 AB 的平行线，交SB 于点E；再过点 P 在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接 EF.则截面 PEF 就是所求. 下面证明平面PEF∥平面ABC： 由于PE∥AB，AB平面ABC，PE平面ABC， 故PE∥平面ABC.同理可证PF∥平面ABC. 又PE平面PEF，PF平面PEF，PEPF＝P， 所以平面PEF∥平面ABC. 典例讲解 变 式 训 练 通过本节课的学习，空间中的线、面平行关系是可以互相转化吗？ 面面平行 判定 线线平行 线面平行 判定 性质 性质 课堂小结 面面平行的判定 线面平行 线线平行 面面平行 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 面面平行的性质 面面平行的判定 简记为： $