6.4.2 平面与平面平行-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“平面与平面平行”核心内容，系统梳理平面与平面平行的性质定理（两平面平行，第三个平面与它们相交则交线平行）和判定定理（一平面内两条相交直线平行于另一平面则两平面平行），并通过综合问题实现线线、线面、面面平行的转化，构建完整知识支架。 资料以问题驱动（如工人师傅用水平尺判断桌面水平）和实例分析（正方体、三棱柱模型）为主线，通过“问题-定理-例题-对点练”环节设计，培养学生直观想象与逻辑推理核心素养。课中助力教师引导学生深化理解，课后通过易错警示和练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

4.2　平面与平面平行 学习目标 1.理解并掌握平面与平面平行的性质定理和判定定理.　2.能够利用平面与平面平行的性质与判定定理解决问题，提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 任务一　平面与平面平行的性质 问题1.若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 提示：直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即a与b在同一个平面内时，a与b平行. 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 [微思考]　夹在两个平行平面间的两条平行线段有什么关系呢？ 提示：长度相等.利用面面平行的性质定理可以得到. (链教材P232例5)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长. 解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝， 所以CD＝ cm， 所以PD＝PC＋CD＝3＋＝(cm). 学生用书⬇第168页 利用平面与平面平行的性质定理解题的基本步骤 对点练1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. 求证：四边形BFD1E为平行四边形. 证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1，同理BF∥D1E， 所以四边形BFD1E为平行四边形. 任务二　平面与平面平行的判定 问题2.对于平面α和平面β，在平面α内取一条直线l，且l∥β，那么能不能得到α∥β呢？ 提示：不能；如图所示，平面A1BCD1中的A1D1∥平面ABCD，但平面A1BCD1与平面ABCD不平行. 问题3.我们在生活中看到，工人师傅将水平尺(如图)在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，为什么呢？ 提示： 理论依据：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言 [微思考]　如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 提示：不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. 证明：(1)因为B1B綊DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形. 所以B1D1∥BD.又BD⊄平面B1D1C， B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C. 又A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面B1D1C. (2)由BD∥B1D1， B1D1⊂平面EB1D1， BD⊄平面EB1D1， 得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中点G， 连接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因为AE＝B1G， 所以四边形AEB1G是平行四边形， 所以B1E∥AG. 易得GF∥AD，又因为GF＝AD， 所以四边形ADFG是平行四边形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF，又B1E⊂平面EB1D1，DF⊄平面EB1D1， 所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D， BD，DF⊂平面FBD， 所以平面EB1D1∥平面FBD. 学生用书⬇第169页 平面与平面平行的判定方法 1.定义法：两个平面没有公共点. 2.判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. 3.利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 对点练2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC， 所以由平行线的传递性，可得GH∥BC， 所以B，C，H，G四点共面. (2)因为E，F分别为AB，AC的中点， 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，且A1B1＝AB， 所以A1G∥EB，且A1G＝A1B1＝AB＝EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 任务三　线面平行、面面平行的综合问题 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为CC1的中点. 求证：(1)BD1∥平面MAC； (2)平面NBD1∥平面MAC. 证明：(1)如图所示，连接BD，交AC于O，连接MO. 因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点， 因为M为DD1的中点，所以MO∥BD1. 因为MO⊂平面MAC，BD1⊄平面MAC，所以BD1∥平面MAC. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥DD1，CC1＝DD1， 因为M为DD1的中点，N为CC1的中点，所以CN∥MD1，CN＝MD1，所以NCMD1为平行四边形. 所以MC∥D1N， 因为MC⊂平面MAC，D1N⊄平面MAC，所以D1N∥平面MAC. 由(1)可知BD1∥平面MAC. 因为D1N，BD1⊂平面NBD1，且BD1∩D1N＝D1， 所以平面NBD1∥平面MAC. 三种平行关系的相互转化 　　线线平行、线面平行、面面平行可以进行相互转化，相互间的转化关系如图： 对点练3.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点. 求证：(1)MN∥平面PCD； (2)平面MNQ∥平面PBC. 证明：(1)由题意，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形. 由N是BD的中点，则N也是AC的中点. 又点M是PA的中点，所以在△PAC中，MN∥PC. 因为MN⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以MN∥平面PCD. (2)由(1)知MN∥PC，又PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. 由N是BD的中点，又因为Q是PD的中点，所以在△PBD中，NQ∥PB. 因为NQ⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以NQ∥平面PBC. 因为MN∩NQ＝N，MN，NQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PBC. 任务再现 1.平面与平面平行的性质定理.2.平面与平面平行的判定定理.3.线面平行、面面平行的综合问题 方法提炼 定义法、定理法、转化与化归思想 易错警示 在利用平面与平面平行的性质定理和判定定理解决问题时，漏写条件 学生用书⬇第170页 1.平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是(　　) A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 答案：D 解析：若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β，若m∥n，如图所示，可能α∥β，也可能α与β相交.故选D. 2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 答案：D 解析：因为α∥β，所以α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β，所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面.故选D. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为(　　) A.平行四边形 　　　B.菱形 C.矩形 　　　D.梯形 答案：A 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面EFGH∩平面ABCD＝GH，平面EFGH∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥GH. 同理可证EH∥FG，所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.故选A. 4.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝　　　　. 答案： 解析：因为平面α∥平面β，由面面平行的性质定理得CD∥AB，所以△PCD∽△PAB，所以＝，即＝，解得AB＝. 学科网（北京）股份有限公司 $