锐角三角函数的实际应用-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

锐角三角函数的实际应用正文 1．如图，已知钟摆的摆长OM为m米，当钟摆由OM位置摆动至ON位置时，钟摆摆动的角度为2a，此时摆幅MN的长可以表示为（　　）米． A．2mcosα B．2msinα C．msin2α D．Msinα 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦AB的长为8m，圆心O到AB的距离为3m，则sin∠OAB的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝60°，∠BDC＝110°，则点A，D之间的距离为（　　） A．asin30°﹣bcos55° B．acos30°﹣bsin55° C．asin30°﹣bsin55° D．acos30°﹣bcos55° 4．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cosα等于（　　） A． B． C． D． 5．在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为12英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔485英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是2英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远离木杆的方向走了15英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆15英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高度是（　　） A．333英尺 B．英尺 C．400英尺 D．英尺 6．如图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度AC是12m，则高BC是（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL约为（　　） km． （sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） A．6.4 B．4.8 C．6.2 D．10.4 8．如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15海里到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（　　）海里． A． B． C．30 D． 9．综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 10．综合与实践： 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离CD，仰角α，仰角β． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5° ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37° DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】： （1）根据“方案一”的测量数据，直接写出龙象塔AB的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50） （3）请对本次实践活动进行评价（一条即可）． 11．项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习． 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系． 调研图示 调研数据 话筒旋转支点A到水平地面（CD）的高度AB＝130cm，支架EF可绕支点A在竖直面内上下转动，在转动的过程中需满足110°≤∠BAE≤145°，AE＝60cm． 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： （1）支架EF可绕点A旋转的最大角度为 　 　 °． （2）求点E距地面CD的最大高度．（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.34，sin55°≈0.82，cos20°≈0.94，cos55°≈0.57） 12．综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点F刚好靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长AB＝30cm，厚度DF＝5cm． 信息3 借助量角器测得∠CDE＝53°． （参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离DE的长； 任务2 求书架内侧BG的长． 13．项目式学习 课题 利用直角三角形的边角关系测量光影塔的高度 背景 “五一国际劳动节”当天，某公园在湖面上搭建舞台进行灯光秀表演，演出利用智能控制系统，实现灯光的动态变化和场景切换，展示当地的历史文化、民宿风情．如图是演出的一个场景，某“综合与实践”小组开展了测量舞台上光影塔高度的实践活动． 测量工具 皮尺、_____ 测量示意图及方法 说明：CM是湖面，矩形HIMN是舞台的竖直截面，AB是光影塔，AB⊥HN，DE表示水平观景台的一部分，在观影台点D处测得光影塔底部点A的俯角为∠EDA；从点D处行走至点E处，然后在点E的竖直上方的点F（EF⊥DE）处测得光影塔顶部点B的仰角为∠BFG．图中所有点均在同一竖直平面内，点C，I，M在同一水平直线上． 测量数据 舞台高度MN＝2米，观影台高度DC＝5米，测点F距离湖面CM的高度为8米，DE＝4米，∠EDA＝17°，∠BFG＝35°． 计算过程 … 活动感受 … （1）补充测量工具：　 　 ． （2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出光影塔AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin17°≈0.3，cos17°≈1.0，tan17°≈0.3，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7） 14．综合与实践 主题：日月贝的设计与数学思考 【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光． 【素材一】如图1和图2所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为60米，日贝高为90米，A1B1和A2B2分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的. 【问题一】 （1）求C1D1和C2D2的长度（结果取整数）． 【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题． 【问题二】 （2）如图3，在等腰直角△EC1C2中，∠C1＝90°，ED1＝ED2.在（1）的条件下，计算D1D2的长度（结果取整数）． （参考数据，，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41） 15．【综合与实践】 要测量学校旗杆CD的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 观测台EA，在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角∠CEF，旗杆底端D点的俯角∠DEF． 利用直角三角形纸板的直角边AE保持水平，并且边AE与点M在同一直线上，直角三角板的斜边AF与旗杆顶端C在同一直线上． 测量数据 AO＝1.5m，AD＝16.5m，∠AOB＝30°． EA＝2.2m，∠CEF＝60°，∠DEF＝30°． AE＝0.4m，EF＝0.2m，AB＝1.8m． （1）根据测量数据，第　 　 小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请选择其中一个方案及其数据求学校旗杆的高度（精确到0.1m）．（参考数据：1.73，1.41） 锐角三角函数的实际应用答案 1．如图，已知钟摆的摆长OM为m米，当钟摆由OM位置摆动至ON位置时，钟摆摆动的角度为2a，此时摆幅MN的长可以表示为（　　）米． A．2mcosα B．2msinα C．msin2α D．Msinα 【解析】∵OM＝ON，∴△OMN是等腰三角形，过点O作OA⊥MN，设∠MOA＝α．由三角函数可知，，∴AM＝msinα．∴MN＝2AM＝2msinα．故选：B． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦AB的长为8m，圆心O到AB的距离为3m，则sin∠OAB的值是（　　） A． B． C． D． 【解析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，∴AC＝BCAB＝4（m），在Rt△ACO中，OC＝3m，∴AO5（m），∴sin∠OAC，故选：C． 3．如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝60°，∠BDC＝110°，则点A，D之间的距离为（　　） A．asin30°﹣bcos55° B．acos30°﹣bsin55° C．asin30°﹣bsin55° D．acos30°﹣bcos55° 【解析】如图，连接BC，连接AD并延长交BC于点E，∵AB＝AC，DB＝DC，∠BAC＝60°，∴AD是BC的垂直平分线，△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，∠BDE＝∠CDE∠BDC＝55°，在Rt△BDE中，BD＝b，DE＝BD•cos55°＝bcos55°，在Rt△ABE中，AB＝a，AE＝AB•cos30°＝acos30°，∴AD＝AE﹣DE＝acos30°﹣bcos55°，∴点A，D之间的距离为acos30°﹣bcos55°，故选：D． 4．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cosα等于（　　） A． B． C． D． 【解析】如图所示，BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴△ABC是直角三角形，∴，故选：B． 5．在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为12英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔485英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是2英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远离木杆的方向走了15英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆15英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高度是（　　） A．333英尺 B．英尺 C．400英尺 D．英尺 【解析】由题意可作图如下：AB为瞭望塔，DE为木杆，工程师在C点，则有BE＝485英尺，CE＝15英尺，∴BC＝BE+CE＝500英尺，∵木杆有2英尺插入了土中，∴DE＝12﹣2＝10（英尺），∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴，则，解得：，即瞭望塔高度为英尺，故选：B． 6．如图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度AC是12m，则高BC是（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 【解析】由题意可得：，∵AC＝12m，∴BC＝4m，故选：C． 7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL约为（　　） km． （sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） A．6.4 B．4.8 C．6.2 D．10.4 【解析】由题意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR•tan53°＝8×tan53°≈8×1.3＝10.4（km），∴这枚火箭此时的高度AL约为10.4km，故选：D． 8．如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15海里到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（　　）海里． A． B． C．30 D． 【解析】连接AC，如图，由已知得：∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∠ACB＝90°，CB＝15海里，∴∠BAC＝30°，在直角三角形ABC中，AB＝2BC＝30海里，由勾股定理得：（海里），故选：B． 9．综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 解：（1）如图1，过B作BM⊥DE于M， ∴CD＝BM＝1.5，BC＝DM＝1.5， 在Rt△BEM中，tan∠BEM， 即5， ∴EM＝0.3， ∴DE＝DM﹣EM＝1.5﹣0.3＝1.2． 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m． （2）过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE 于M， 则BF＝DM＝1.2， ∴CF0.9， ∴BM＝DF＝CD﹣CF＝1.5﹣0.9＝0.6， 由表格可知，在12时﹣14时， 角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小， ∴当14时，点E最靠近墙角， 当∠BEM越大，绿萝摆放位置与墙壁的距离越大， 在Rt△BEM中，tan∠MEM1.25， ∴1.25， ∴EM＝0.75， ∴DE＝DM﹣EM＝1.2﹣0.75＝0.45m． 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.45m． 10．综合与实践： 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离CD，仰角α，仰角β． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5° ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37° DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】： （1）根据“方案一”的测量数据，直接写出龙象塔AB的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50） （3）请对本次实践活动进行评价（一条即可）． 解：（1）由题意得：∠ABD＝∠CDE＝90°，CE∥AD， ∴∠CED＝∠ADB， ∴△CED∽△ADB， ∴， ∴， ∴AB＝52， ∴龙象塔AB的高度为52米； （2）解：设BC＝x米， ∵CD＝35米， ∴BD＝BC+CD＝（x+35）米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝α＝37°， ∴AB＝BC•tan37°≈0.75x（米）， 在Rt△ABD中，∠ADB＝β＝26.5°， ∴AB＝BD•tan26.5°≈0.5（x+35）米， ∴0.75x＝0.5（x+35）， 解得：x＝70， ∴AB＝0.75x＝52.5（米）， 答：龙象塔AB的高度约为52.5米； （3）对本次实践活动进行评价：两种方案均可测量出龙象塔的高度，取平均值是减少误差的方式． 11．项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习． 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系． 调研图示 调研数据 话筒旋转支点A到水平地面（CD）的高度AB＝130cm，支架EF可绕支点A在竖直面内上下转动，在转动的过程中需满足110°≤∠BAE≤145°，AE＝60cm． 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： （1）支架EF可绕点A旋转的最大角度为 　35　 °． （2）求点E距地面CD的最大高度．（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.34，sin55°≈0.82，cos20°≈0.94，cos55°≈0.57） 【解析】（1）∵110°≤∠BAE≤145°， ∴支架EF可绕点A旋转的最大角度＝145°﹣110°＝35°， 故答案为：35； （2）过点E作EG⊥CD，垂足为G，过点A作AH⊥EG，垂足为H， 由题意得：HG＝AB＝130cm，∠HAB＝90°， 当∠EAB最大时，点E距地面CD的高度最大，此时∠EAB＝145°， ∴∠EAH＝∠EAB﹣∠BAH＝145°﹣90°＝55°， 在Rt△AEH中，AE＝60cm， ∴EH＝AE•sin55°≈60×0.82＝49.2（cm）， ∴EG＝EH+HG＝49.2+130≈179（cm）， ∴点E距地面CD的最大高度约为179cm． 12．综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点F刚好靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长AB＝30cm，厚度DF＝5cm． 信息3 借助量角器测得∠CDE＝53°． （参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离DE的长； 任务2 求书架内侧BG的长． 【解析】任务一：由题意得：∠CED＝90°，AB＝CD＝30cm， 在Rt△CDE中，∠CDE＝53°， ∴DE＝CD•cos53°≈30×0.6＝18（cm）， ∴斜放档案盒底部到竖放档案盒距离DE的长约为18cm； 任务二：∵∠DGF＝90°， ∴∠DFG+∠FDG＝90°， ∵∠CDF＝90°， ∴∠CDE+∠FDG＝180°﹣∠CDF＝90°， ∴∠CDE＝∠DFG＝53°， 在Rt△DFG中，DF＝5cm， ∴DG＝DF•sin53°≈5×0.8＝4（cm）， ∴BG＝7DF+DE+DG＝35+18+4＝57（cm）， ∴书架内侧BG的长约为57cm． 13．项目式学习 课题 利用直角三角形的边角关系测量光影塔的高度 背景 “五一国际劳动节”当天，某公园在湖面上搭建舞台进行灯光秀表演，演出利用智能控制系统，实现灯光的动态变化和场景切换，展示当地的历史文化、民宿风情．如图是演出的一个场景，某“综合与实践”小组开展了测量舞台上光影塔高度的实践活动． 测量工具 皮尺、_____ 测量示意图及方法 说明：CM是湖面，矩形HIMN是舞台的竖直截面，AB是光影塔，AB⊥HN，DE表示水平观景台的一部分，在观影台点D处测得光影塔底部点A的俯角为∠EDA；从点D处行走至点E处，然后在点E的竖直上方的点F（EF⊥DE）处测得光影塔顶部点B的仰角为∠BFG．图中所有点均在同一竖直平面内，点C，I，M在同一水平直线上． 测量数据 舞台高度MN＝2米，观影台高度DC＝5米，测点F距离湖面CM的高度为8米，DE＝4米，∠EDA＝17°，∠BFG＝35°． 计算过程 … 活动感受 … （1）补充测量工具：　测角仪　 ． （2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出光影塔AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin17°≈0.3，cos17°≈1.0，tan17°≈0.3，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7） 【解析】（1）补充测量工具：测角仪， 故答案为：测角仪； （2）延长DE交AB于点P，延长FG交AB于点Q， 由题意得：四边形FEPQ是矩形， ∵MN＝2米，DC＝5米， ∴AP＝CD﹣MN＝5﹣2＝3（米）， ∵测点F距离湖面CM的高度为8米， ∴FE＝PQ＝8﹣5＝3（米）， 在Rt△ADP中，∠ADP＝17°， ∴DP10（米）， ∵DE＝4米， ∴EP＝FQ＝DP﹣DE＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△BFQ中，∠BFG＝35°， ∴BQ＝FQ•tan35°≈6×0.7＝4.2（米）， ∴AB＝BQ+QP+AP＝4.2+3+3＝10.2≈10（米）， ∴光影塔AB的高度约为10米． 14．综合与实践 主题：日月贝的设计与数学思考 【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光． 【素材一】如图1和图2所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为60米，日贝高为90米，A1B1和A2B2分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的. 【问题一】 （1）求C1D1和C2D2的长度（结果取整数）． 【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题． 【问题二】 （2）如图3，在等腰直角△EC1C2中，∠C1＝90°，ED1＝ED2.在（1）的条件下，计算D1D2的长度（结果取整数）． （参考数据，，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41） 【解析】（1）如图所示，过点O1作O1H⊥C1D1，垂足为点H，连接OC1，设月贝半径为 r1， ∵月贝高60米，且 ， ∴， 解得：r1＝40米， ∴（米）， ∴（米）， 设日贝的半径是r2米， 由条件可知， 解得：r2＝60米， ∴（米）， 答：C1D1 的长度为68米，C2D2 的长度为102 米； （2）设ED1＝ED2＝x， 在等腰 Rt△EC1C2中，C1E＝（68+x）米，C2E＝（102+x）米， ∴， 解得x＝17米， 过点E作 EG⊥D1D2， 由条件可知sin22.50.38， 解得D1G≈6.46米， ∴D1D2＝2D1G≈13米， 答：D1D2的长度为13米． 15．【综合与实践】 要测量学校旗杆CD的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 观测台EA，在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角∠CEF，旗杆底端D点的俯角∠DEF． 利用直角三角形纸板的直角边AE保持水平，并且边AE与点M在同一直线上，直角三角板的斜边AF与旗杆顶端C在同一直线上． 测量数据 AO＝1.5m，AD＝16.5m，∠AOB＝30°． EA＝2.2m，∠CEF＝60°，∠DEF＝30°． AE＝0.4m，EF＝0.2m，AB＝1.8m． （1）根据测量数据，第　三　 小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请选择其中一个方案及其数据求学校旗杆的高度（精确到0.1m）．（参考数据：1.73，1.41） 【解答】（1）第三小组的数据无法算出大楼高度，理由如下： 第三小组只测量了AE＝0.4m，EF＝0.2m，AB＝1.8m，没有测量线段EM长度， 所以第三小组的数据无法算出大楼高度， 故答案为：三； （2）第一小组的方案： 如图，OF为法线， ∴∠BOF＝∠COF，∠AOF＝∠DOF＝90° ∴∠DOC＝∠AOB＝30°， 在Rt△ODC中，∠D＝90°，∠DOC＝30°，DO＝AD﹣AO＝15m， ∴DC＝ODtan∠DOC＝15（m）； 答：学校旗杆的高度约为8.7m； 第二小组的方案： 在Rt△EFD中，∠EFD＝90°，∠DEF＝30°，DF＝AE＝2.2m， ∴EF（m）， 在Rt△EFC中，∠EFC＝90°，∠CEF＝60°， FC＝EFtan∠CEF（m）， ∴DC＝DF+FC≈8.8（m）， 答：学校旗杆的高度约为8.8m． ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $