切线的判定与计算-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

切线的判定与计算正文 1．如图，OA交⊙O于点B，AC与⊙O相切于点C，D点在⊙O上．若∠D＝23°，则∠A等于（　　） A．46° B．44° C．56° D．54° 2．如图，CD是⊙O的切线，切点是点D，直线CO交⊙O于点A、B，∠A＝22°，则∠C的度数是（　　） A．44° B．46° C．48° D．50° 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0） 4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．若AB＝5，AC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点E，若∠BED＝32°，则∠EBA 的大小为（　　） A．26° B．32° C．58° D．64° 6．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O的半径为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 7．如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，AB与OP交于点H．若，∠APB＝60°，则OH的长为（　　） A．0.5 B．1 C． D．2 8．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B，D，连接OD，BD，AB，已知AB经过圆心O，CD与⊙O相切于点D，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 9．如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A0，B0分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，利用刻度尺测得B0D0的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为8cm． （1）小明认为，他所测量的B0D0的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：　 　 ； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 11．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且CD⊥AE交直线AE于点D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若DE＝2，CD＝4，求⊙O的直径的长． 12．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上，CD⊥AB，CD＝AB，连接CB，与⊙O相交于点F，过点F作⊙O的切线EF，交CD于点E． （1）求证：EF＝EC； （2）若点D是OA的中点，AB＝4，求BF的长． 13．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若OC＝3，OD＝5，求线段AC的长． 14．如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB． （1）PB也是⊙O的切线吗？请说明理由； （2）若∠APB＝60°，，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，延长BC至D，AB＝AD，过C作CE⊥AD交AD于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）连接BE，若∠ECD＝30°，⊙O的半径为2时，求BE长． 16．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点A作PO的垂线AB，垂足为点D，交⊙O于点B．求证：PB与⊙O相切． 17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，CD为，求AD的长． 18．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CE＝4，OC＝5，则△DBC的面积＝　 　 ． 19．如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC上一点O为圆心过点A作⊙O，⊙O交AB于点D，DB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝40°，OA＝6，求的长． 20．（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求作⊙O，使它经过点B，且与射线AC、射线AB相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径． 21．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF． （1）求证：AF与⊙O相切； （2）若，BC＝12，求⊙O的半径． 23．如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，∠A＝∠C，且PD⊥BC，垂足为点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若BD＝2，∠C＝30°，求弧BP的长． 24．如图，在△ABC中，O为AC上一点以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan∠ABC，求OD的长． 25．顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图1，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的切线，在上取一点E，连接EC，ED，EA． ∵， ∴∠CED＝∠CAD． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DEA＝90°， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DEA＝∠BAD． ∴∠CEA＝∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC， 即弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧所对的圆周角∠CEA的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：A，C，D是⊙O上的点，过点C作∠DCB＝∠A，CB交AD的延长线于点B．求证：BC是⊙O的切线． 26．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝BC，点D是⊙O上一点，，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若BE＝4，BC＝6，求⊙O的半径． 27．在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． （1）如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，⊙O的半径为正方形边长的一半，求证：⊙O与AD相切； （2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝4，DN，BM，BD分别与〇O相切于点N，M，E，且DN＝BM＝2，OC＝21，求⊙O的半径； （3）如图3，半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其任意移动的过程中，⊙O所移动过的最大区域面积为　 　 ． 28．阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线AB与⊙O相切于点C，任取⊙O上不与点C重合的点D，则∠ACD和∠BCD是弦CD与切线AB所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，AB与⊙O相切于点C．当圆心O在弦CD上时，容易得到，∠CED＝90°，所以弦切角∠BCD＝∠CED＝90°． 如图2，AB与⊙O相切于点C．当圆心O在∠BCD的外部时，过点C作直径CF交⊙O于点F，连接DF． ∵CF是直径， ∴∠CDF＝90°，（ 　 　 ） ∴∠CFD+∠FCD＝90°． … 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是 　 　 ． 任务二：请结合图2补全上述证明过程． 任务三：如图3，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长AC至D使得CD＝AC，过点C作⊙O的切线交BD于H．若，DH＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 29．某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点P，用尺规作⊙O的切线PA和PB的方法： ①连接PO1，分别以点P和点O1，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点； ②作直线MN交线段PO1于点O2； ③以点O2为圆心，PO2的长为半径作圆⊙O2，与⊙O1相交于A，B两点； ④连接PA，PB． PA和PB即是所求的切线． （1）根据上述作法，求证：PA，PB是⊙O1的切线； （2）若PA＝8，AO1＝4，求AB的长． 30．如图，AB为⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，以点P为圆心，PO为半径画弧，以点O为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C，连结OC交⊙O于点D，连结PD． （1）求证：PD与⊙O相切； （2）若，，求⊙O的半径． 切线的判定与计算正文+答案 1．如图，OA交⊙O于点B，AC与⊙O相切于点C，D点在⊙O上．若∠D＝23°，则∠A等于（　　） A．46° B．44° C．56° D．54° 【解析】∵∠D＝23°，∠AOC＝2∠D，∴∠AOC＝46°，∵AC切⊙O于点C，∴∠ACO＝90°，∴∠A+∠AOC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠AOC＝44°． 2．如图，CD是⊙O的切线，切点是点D，直线CO交⊙O于点A、B，∠A＝22°，则∠C的度数是（　　） A．44° B．46° C．48° D．50° 【解析】∵∠A＝22°，∴∠BOD＝2∠A＝2×22°＝44°，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴在Rt△OCD中，∠C＝90°﹣∠COD＝90°﹣44°＝46°． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0） 【解析】连接AP、AQ，作AE⊥x轴于点E，∵点A的坐标为（﹣4，﹣3），∴A（﹣4，0），∵⊙A的半径为1，∴AQ＝1，∵PQ切⊙A于点Q，∴PQ⊥AQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ， ∵AP≥AE，∴当点P与点E合时，AP＝AE，此时AP的值最小，则PQ的值最小，∴当PQ最小时，点P的坐标为（﹣4，0）． 4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．若AB＝5，AC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝4，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣4＝1． 5．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点E，若∠BED＝32°，则∠EBA 的大小为（　　） A．26° B．32° C．58° D．64° 【解析】连接OE，如图，∵直线CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠OEB＝90°﹣∠BED＝90°﹣32°＝58°，∵OE＝OB，∴∠EBA＝∠OEB＝58°． 6．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O的半径为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 【解析】如图，连接OA．∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°．又∵PO＝26cm，PA＝24cm， ∴根据勾股定理，得OA10（cm）． 7．如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，AB与OP交于点H．若，∠APB＝60°，则OH的长为（　　） A．0.5 B．1 C． D．2 【解析】如图，连接OA，∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，∴PA＝PB，∠OAP＝90°，又∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝AP＝2，又∵AB与OP交于点H．∴∠APO＝∠BPO＝30°，AH＝BH，∠AHO＝90°，∴∠AOH＝60°，∴OH1． 8．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B，D，连接OD，BD，AB，已知AB经过圆心O，CD与⊙O相切于点D，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【解析】由条件可知∠BDC＝90°﹣∠BCD＝65°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＝90°﹣∠BDC＝25°，∴∠ABD＝∠OBD＝25°． 9．如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】如图，连接OD，∵BC与半圆O相切于点B，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，∴的长为：． 10．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A0，B0分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，利用刻度尺测得B0D0的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为8cm． （1）小明认为，他所测量的B0D0的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：　90°的圆周角所对的弦是直径　 ； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 解：（1）∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，∠B0A0D0＝90°， ∴B0D0为杯口的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）， ∴他用到的几何知识是90°的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径； （2）如图，设点O为圆心，连接OA交BC于点M，连接OC． ∵EF为⊙O的切线， ∴OA⊥EF． 又∵BC∥EF， ∴OA⊥BC， ∴， 设⊙O是半径为xcm，则OM＝（x﹣2）cm，OC＝xcm， 在Rt△OMC中，OM2+MC2＝OC2， ∴（x﹣2）2+42＝x2， 解得x＝5， 所以杯口的直径为10cm． 11．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且CD⊥AE交直线AE于点D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若DE＝2，CD＝4，求⊙O的直径的长． （1）证明：∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∵CD⊥AE交直线AE于点D， ∴AE∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OC＝OA， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC平分∠DAB． （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠AFO＝∠DFO＝90°， ∵∠OCD＝∠D＝∠DFO＝90°， ∴四边形OCDF是矩形， ∴OF＝CD＝4，DF＝OC＝OA， ∵DE＝2， ∴AF＝EF＝DF﹣DE＝OA﹣2， ∵OF2+AF2＝OA2， ∴42+（OA﹣2）2＝OA2， 解得OA＝5， ∴AB＝2OA＝10， ∴⊙O的直径的长为10． 12．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上，CD⊥AB，CD＝AB，连接CB，与⊙O相交于点F，过点F作⊙O的切线EF，交CD于点E． （1）求证：EF＝EC； （2）若点D是OA的中点，AB＝4，求BF的长． 【解答】（1）证明：连接OF， ∵EF是圆切线， ∴OF⊥EF， ∴∠BFO+∠CFE＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠C＝90°， ∵OB＝OF， ∴∠B＝∠BFO， ∴∠CFE＝∠C， ∴EF＝EC； （2）解：连接AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵， ∴， ∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC， ∴△FBA∽△DBC， ∴， ∴． 13．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若OC＝3，OD＝5，求线段AC的长． （1）证明：如图，连接OB， ∵OA⊥BC， ∴EC＝BE， ∴AC＝AB， ∵AO＝AO， ∴△CAO≌△BAO（SSS）， ∴∠OCA＝∠OBA， ∵AB为⊙O的切线， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， ∴∠OCA＝90°， ∴AC⊥OC， ∴AC为⊙O的切线； （2）解：∵OC＝3，OD＝5， ∴OB＝OC＝3，CD＝OC+OD＝3+5＝8， ∵∠OBD＝90°， ∴， 设AC＝x，则AB＝AC＝x， ∵AC2+CD2＝AD2， ∴x2+82＝（4+x）2， ∴x＝6， ∴AC＝6． 14．如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB． （1）PB也是⊙O的切线吗？请说明理由； （2）若∠APB＝60°，，则图中阴影部分的面积是　　 ． 解：（1）PB是⊙O的切线， 连接OP，OB，BC， ∵点B在⊙O上， ∴OA＝OB，OP＝OP，PA＝PB， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBP（全等三角形的对应角相等）， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴PB是⊙O的切线； （2）∵△PAO≌△PBO，∠APB＝60°， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠OBC＝∠BOP＝60°， ∴OP∥BC， 设点O到BC的高为h， ∴S△OBC＝S△PBC， ∴阴影部分的面积等于扇形OCB的面积， ∴， 故答案为：． 15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，延长BC至D，AB＝AD，过C作CE⊥AD交AD于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）连接BE，若∠ECD＝30°，⊙O的半径为2时，求BE长． （1）证明：连接OC，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦， ∴OA＝OB＝OC，∠ACB＝90°， ∴AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴BC＝DC， 又∵OA＝OB， ∴OC是△ABD的中位线， ∴OC∥AD， ∵CE⊥AD交AD于点E， ∴OC⊥CE， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：设AD与⊙O的交点为H，连接BH，如图2所示： ∵CE⊥AD交AD于点E， ∴△CDE是直角三角形， 在Rt△CDE中，∠ECD＝30°， ∴∠D＝90°﹣∠ECD＝60°， ∵⊙O的半径为2， ∴AB＝AD＝4， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD＝4， ∵AC⊥BD， ∴BC＝CDBD＝2， 在Rt△CDE中，∠ECD＝30°， ∴DECD＝1， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BHA＝90°， ∴BH⊥AD， ∴DH＝AHAD＝2，△BDH和△BEH都是直角三角形， HE＝DH﹣DE＝1， 在Rt△BDH中，由勾股定理得：BH， 在Rt△BEH中， 由勾股定理得：BE， ∴BE长为． 16．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点A作PO的垂线AB，垂足为点D，交⊙O于点B．求证：PB与⊙O相切． 【解答】证明：如图，连接OA、OB， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠PAO＝90°， ∵AB⊥PO，OA＝OB， ∴BD＝AD， ∴PO垂直平分AB， ∴PB＝PA， 在△PAO和△PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴OB⊥PB， ∵OB是半径， ∴PB与⊙O相切． 17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，CD为，求AD的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠BCO． ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∴OC⊥CD． ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）由（1）可得：∠DCO＝90°， ∴△DCO为直角三角形， ∵⊙O的半径为3，CD为， ∴OC＝3， ∴， ∴AD＝OD+AO＝7+3＝10． 18．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CE＝4，OC＝5，则△DBC的面积＝　　 ． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB，OC＝AB， ∴∠DOC＝∠ODA，∠EOC＝∠OAD， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠EOC＝∠DOC， 在△EOC和△DOC中， ， ∴△EOC≌△DOC（SAS）， ∴∠OEC＝∠ODC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OE⊥EC，即∠OEC＝90°， ∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC， ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过点O作OF⊥AB于点F，如图所示： ∴AD＝2AF， 由（1）OE⊥EC，OC＝AB＝5， ∵CE＝4，OC＝5， ∴， ∵∠OEC＝∠AFO＝90°，∠EOC＝∠OAD， ∴△EOC∽△FAO， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19．如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC上一点O为圆心过点A作⊙O，⊙O交AB于点D，DB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝40°，OA＝6，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵EF是BD的中垂线， ∴ED＝EB， ∴∠B＝∠EDB， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠EDB+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°， ∴OE⊥PE， ∵OE是⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：∵∠B＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵OA＝6， ∴的长． 20．（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求作⊙O，使它经过点B，且与射线AC、射线AB相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径． 【解析】（1）作法：1．作∠BAC的平分线AD； 2．过点B作AB的垂线交AD于点O； 3．以O为圆心，以OB长为半径作圆， ⊙O就是所求作的圆． 理由：作OE⊥AC，交AC的延长线于点E， ∵OB是⊙O的半径，且AB⊥OB， ∴⊙O于射线AB相切； ∵AD平分∠BAC，点O在AD上，且OE⊥AC于点E，OB⊥AB于点B， ∴OE＝OB， ∴点E在⊙O上， ∵OE是⊙O的半径，且AC⊥OE， ∴⊙O于射线AC相切， ∴⊙O就是经过点B，且与射线AC、射线AB相切的圆． （2）设⊙O的半径为r，作OF⊥BC于点F，则∠OFB＝∠OFC＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 由（1）得AC⊥OE于点E，AB⊥OB于点B，OE＝OB， ∴∠AEO＝∠ABO＝90°， 在Rt△AOE和Rt△AOB中， ， ∴Rt△AOE≌Rt△AOB（HL）， ∴AE＝AB＝5， ∵∠OFC＝∠FCE＝∠CEO＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴CF＝OE＝OB＝r，OF＝CE＝AE﹣AC＝5﹣3＝2， ∵BF2+OF2＝OB2，且BF＝4﹣r， ∴（4﹣r）2+22＝r2， 解得r， ∴⊙O的半径长为． 21．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【解答】（1）证明：如图， 连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， ∵O是▱ABCD的对称中心， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）解：▱ABCD是菱形． 理由：如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1）知CD是⊙O的切线，AG＝CH． ∴CE＝CH，BG＝BE， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF． （1）求证：AF与⊙O相切； （2）若，BC＝12，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，． ∵DE＝EF， ∴， ∴DF＝AB， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴BC∥AF． 如图，连接AD，OB，OC， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分线． ∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，即点A，O，D共线． ∵BC∥AF， ∴OA⊥AF， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AF与⊙O相切． （2）解：∵OB＝OC，AD⊥BC， ∴，． ∵， ∴∠BOD＝∠BAC． 在Rt△BOD中，， ∴，解之，得OD＝8． ∴， ∴⊙O的半径为10． 23．如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，∠A＝∠C，且PD⊥BC，垂足为点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若BD＝2，∠C＝30°，求弧BP的长． 【解答】（1）证明：连接OP， ∵PD⊥BC， ∴∠PDC＝90°， ∵OA＝OP， ∴∠A＝∠OPA， ∵∠C＝∠A， ∴∠OPA＝∠C， ∴OP∥BC， ∴∠OPD＝∠PDC＝90°， ∴OP⊥PD， 又∵OP为半径， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：连接PB， ∵∠A＝∠C，∠C＝30°， ∴∠A＝30°， ∴∠POB＝2∠A＝60°， ∵OP＝OB， ∴△POB为等边三角形， ∴PB＝OP，∠OPB＝60°， 由（1）得∠OPD＝90°， ∴∠BPD＝30°， ∵PD⊥BC， ∴PB＝2BD＝2×2＝4， ∴OP＝PB＝4， ∴弧BP的长． 24．如图，在△ABC中，O为AC上一点以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan∠ABC，求OD的长． 【解析】（1）过点O作OE⊥AB于点E， ∵AD⊥BO于点D， ∴∠D＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°， ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠OAD， 又∵BC为⊙O的切线， ∴AC⊥BC， ∴∠BCO＝∠D＝90°， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD， 在△BOC和△BOE中， ∵， ∴△BOC≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OC， ∵OE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线； （2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°， ∴∠EOA＝∠ABC， ∵tan∠ABC、BC＝6， ∴AC＝BC•tan∠ABC＝8， 则AB＝10， 由（1）知BE＝BC＝6， ∴AE＝4， ∵tan∠EOA＝tan∠ABC， ∴， ∴OE＝3， 则OC＝OE＝3， ∴AO＝5，OB3， ∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABD∽△OBC， ∴，即， ∴AD＝2 ． ∴OD． 25．顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图1，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的切线，在上取一点E，连接EC，ED，EA． ∵， ∴∠CED＝∠CAD． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DEA＝90°， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DEA＝∠BAD． ∴∠CEA＝∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC， 即弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧所对的圆周角∠CEA的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：A，C，D是⊙O上的点，过点C作∠DCB＝∠A，CB交AD的延长线于点B．求证：BC是⊙O的切线． 【解答】证明：如图3，连接CO并延长，交⊙O于点F，连接DF， ∴CF为⊙O的直径， ∴∠CDF＝90°， ∴∠F+∠FCD＝90°， ∵， ∴∠F＝∠A， ∵∠DCB＝∠A， ∴∠F＝∠BCD， ∴∠BCD+∠FCD＝∠F+∠FCD＝90°， ∴OC⊥CB， ∴BC是⊙O的切线． 26．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝BC，点D是⊙O上一点，，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若BE＝4，BC＝6，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接BO并延长交AC于H， ∵AB＝BC， ∴， ∴BH⊥AC， ∵BE∥AC， ∴BH⊥BE， ∵OB是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴∠ACE＝∠ABC， ∴AB∥CE， ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE＝4， ∵CH4＝2， ∴BH4， 连接CO， ∵OH2+CH2＝OC2， ∴（4OB）2+22＝OB2， ∴OB， 即⊙O的半径为． 27．在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． （1）如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，⊙O的半径为正方形边长的一半，求证：⊙O与AD相切； （2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝4，DN，BM，BD分别与〇O相切于点N，M，E，且DN＝BM＝2，OC＝21，求⊙O的半径； （3）如图3，半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其任意移动的过程中，⊙O所移动过的最大区域面积为　12+π　 ． （1）证明：设正方形边长为a，则⊙O半径为． 过O作OH⊥AD于H， ∵O为正方形ABCD对角线交点， ∴O到AD的距离OH等于边长的一半， 即OH，等于⊙O半径， ∴⊙O与AD相切． （2）解：连接OE，如图， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝4， ∴BC＝CD，BDAB＝4． ∵DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E， ∴DN＝DE，BM＝BE，OE⊥BD， ∵DN＝BM＝2， ∴BE＝DE， ∴OE是BD的垂直平分线， ∵CD＝CB， ∴点C在BD的垂直平分线上， ∴点C，O，E在一条直线上， ∴CEBD＝2， ∵OC＝21， ∴OE＝CE﹣OC＝1， ∴⊙O的半径为1； （3）解：设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，如图， ∵⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F， ∴OE⊥CD，OF⊥AD， ∵∠D＝90°， ∴四边形OEDF为矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∵半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动， ∴⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积， ∴⊙O所移动过的最大区域面积＝42﹣4×（12）＝12+π． 故答案为：12+π． 28．阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线AB与⊙O相切于点C，任取⊙O上不与点C重合的点D，则∠ACD和∠BCD是弦CD与切线AB所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，AB与⊙O相切于点C．当圆心O在弦CD上时，容易得到，∠CED＝90°，所以弦切角∠BCD＝∠CED＝90°． 如图2，AB与⊙O相切于点C．当圆心O在∠BCD的外部时，过点C作直径CF交⊙O于点F，连接DF． ∵CF是直径， ∴∠CDF＝90°，（ 　直径所对的圆周角为直角　 ） ∴∠CFD+∠FCD＝90°． … 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是 　直径所对的圆周角为直角　 ． 任务二：请结合图2补全上述证明过程． 任务三：如图3，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长AC至D使得CD＝AC，过点C作⊙O的切线交BD于H．若，DH＝2，则⊙O的半径为 　3　 ． 【解析】任务一：证明过程中空缺处依据的定理是：直径所对的圆周角为直角． 故答案为：直径所对的圆周角为直角； 任务二：当圆心O在∠BCD的外部时，过点C作直径CF交⊙O于点F，连接DF，如图， ∵CF是直径， ∴∠CDF＝90°， ∴∠CFD+∠FCD＝90°． ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∴∠BCF＝90°， ∴∠FCD+∠DCB＝90°， ∴∠DCB＝∠CFD． ∵∠CFD＝∠CED， ∴∠CED＝∠DCB． 任务三：∵CD＝AC，， ∴CD＝2． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵过点C作⊙O的切线交BD于H， ∴∠HCB＝∠A， ∴∠HCB+∠BAC＝90°， ∵AC＝DC，BC⊥AD， ∴AB＝BD， ∴∠ABC＝∠DBC， ∴∠HCB+∠DBC＝90° ∴∠CHB＝90， ∴∠DHC＝∠ACB＝90°， ∵BA＝BD， ∴∠D＝∠A， ∴△CDH∽△BAC， ∴， ∴， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3． 故答案为：3． 29．某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点P，用尺规作⊙O的切线PA和PB的方法： ①连接PO1，分别以点P和点O1，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点； ②作直线MN交线段PO1于点O2； ③以点O2为圆心，PO2的长为半径作圆⊙O2，与⊙O1相交于A，B两点； ④连接PA，PB． PA和PB即是所求的切线． （1）根据上述作法，求证：PA，PB是⊙O1的切线； （2）若PA＝8，AO1＝4，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵PO1是⊙O2的直径， ∴∠PAO1＝90°， 即PA⊥O1A， ∵O1A是⊙O1的半径， ∴PA是⊙O1的切线， 同理可得PB是⊙O1的切线； （2）解：由（1）知∠PAO1＝90°， ∴． ∵PA，PB是⊙O1的两条切线， ∴PO1平分∠APB， ∴PO1⊥AB且AC＝BC． ∵， 即PO1•AC＝PA•AO1， ∴， ∴， ∴AB＝2AC＝2． 30．如图，AB为⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，以点P为圆心，PO为半径画弧，以点O为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C，连结OC交⊙O于点D，连结PD．（1）求证：PD与⊙O相切； （2）若，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：由作图得PC＝PO，OC＝AB， ∵OA＝OB＝OD， ∴OC＝AB＝2OA＝2OD， ∴OD+CD＝2OD， ∴CD＝OD， ∴PD⊥OC， ∵OD是⊙O的半径，且PD⊥OD， ∴PD与⊙O相切． （2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OA＝r， ∵∠ODP＝90°， ∴cos∠POC， ∴OP＝3OD＝3OA＝3r， ∵PD2+OD2＝OP2，且PD＝4， ∴（4）2+r2＝（3r）2， 解得r＝2或r＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径长为2． ( 第 1 页 共 46 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $