辅助圆及与圆有关的最值问题-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

辅助圆及与圆有关的最值问题正文 1．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，⊙O的直径AB为8，P是AB上一动点，半径OC垂直于AB，AH⊥CP，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（　　） A．2π B． C．4π D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．3 C．24 D．44 4．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 5．如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为　 　． 7．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是　 　． 8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为　 　． 9．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为　 　． 10．如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝　 　． 11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 　22　，点F到线段BC的最短距离是　 　． 12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为　　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB，AC＝2，点D为BC边上动点，过点D作AD垂线交AB于点E．当点D由点C运动至点B时，点E运动路径长　 　． 14．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），AE为△ABD的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①DM＝AC；②∠MDA+∠DAB＝180°； 【类比探究】（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AECF，请你帮他证明； 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上运动（AD＞AB），直线AE与直线CF相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG存在最大值．若AB＝4，请直接写出BG的最大值． 15．【阅读】 辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 性质：如图①，若∠ACB＝∠ADB＝90°，则点D在经过A，B，C三点的圆上． 【问题解决】 运用上述材料中的信息解决以下问题： （1）如图②，已知DA＝DB＝DC． 求证：∠ADB＝2∠ACB． （2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得∠ACB＝90°．（要求：要有画图痕迹，不用写画法） （3）如图④，在四边形ABCD中，∠CAD＝90°，CB⊥DB，点F在CA的延长线上，连接DF，∠ADF＝∠ABD． 求证：DF是△ACD外接圆的切线． 辅助圆及与圆有关的最值问题正文+答案 1．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°，∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°，∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上，由图可得AP+CP≥AC，当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP，在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝1，∴AC，∵AP＝AB＝1，∴CP＝AC﹣AP． 2．如图，⊙O的直径AB为8，P是AB上一动点，半径OC垂直于AB，AH⊥CP，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（　　） A．2π B． C．4π D． B【解析】∵AB＝8，∴OA＝OC＝4，∵OC⊥AB，∴AC4，∵AH⊥CP，∴∠AHC＝90°，∴点H是在以AC为直径的圆上运动，∵点P从A到B，∴点H的运动路径为半圆AC，∴lACπd＝2，即点H运动的路径长为2π． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．3 C．24 D．44 C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC2，∴PC的最小值为24． 4．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° C【解析】如图取BE的中点K．连接AK、OK．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°，∵EO⊥BD，∴∠BOE＝90°，∴四边形ABOE对角互补，∴A、B、O、E四点共圆，∵BK＝KE，∴KA＝KB＝KO＝KE，∴∠ABE＝∠AOE＝20°． 5．如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（　　） A． B． C． D． A【解析】连接P'A，PC，如解图，∵∠ABC＝∠P'BP＝90°，∴∠P'BA＝∠PBC，∵BP'＝BP，BA＝BC，∴△P'BA≌△PBC（SAS）．∴P'A＝PC＝2，∴P'在以A为圆心，2为半径的圆上，连接AC，则当P'在CA的延长线上时，P'C最长，此时P'C＝P'A+AC＝252. 6．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　18　． 18【解析】连接OP，如解图，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18． 7．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　4　． 【解析】∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AEAB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AGAC，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4，∴． 8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 　　． 【解析】取AB的中点O，连接OC，如解图，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，∵OC和OG的长度是定值，∴当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OG3，在Rt△BOC中，OC，∴CG的最小值为OC﹣OG． 9．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 　　． 【解析】连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如解图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根据旋转的性质得，AM′＝AM，∴M′N＝AN+AM′，即MN的最大值为． 10．如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝　35°　． 35°【解析】∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心的圆上，∵∠BAC＝70°，∴∠BDC∠BAC＝35°． 11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 　22　，点F到线段BC的最短距离是 　2　． 22，2【解析】连接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE2，∴FC的最小值为CE﹣2＝22，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴点F到线段BC的最短距离是2． 12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　　． 【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，则DF，∵EF是△AOC的中位线，∴EFOC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB，AC＝2，点D为BC边上动点，过点D作AD垂线交AB于点E．当点D由点C运动至点B时，点E运动路径长 　　． 【解析】以AE为直径的圆与CB交于两点，说明点E进行的往复运动，当圆O与CB相切时，BE最大，此时，连接OD，则OD⊥CB，∵∠C＝90°，sinB，AC＝2，∴AB＝5，设圆的半径为r，在Rt△ODB中，sinB，∴r，∴BE＝5﹣2r，∵点E进行的往复运动，∴路径长为． 14．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），AE为△ABD的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①DM＝AC；②∠MDA+∠DAB＝180°； 【类比探究】（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AECF，请你帮他证明； 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上运动（AD＞AB），直线AE与直线CF相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG存在最大值．若AB＝4，请直接写出BG的最大值． （1）证明：①∵AE为△ABD的中线， ∴BE＝DE， 在△ABE和△MDE中， ， ∴△ABE≌△MDE（SAS）， ∴AB＝DM， ∵AB＝AC， ∴DM＝AC； ②由①知△ABE≌△MDE， ∴∠BAE＝∠DME， ∴AB∥DM， ∴∠MDA+∠DAB＝180°； （2）证明：延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．如解图①， 第14题解图① 由旋转得：AF＝AD，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝90°，∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF＝360°， ∴∠BAD+∠CAF＝180°， 由（1）②得：∠MDA+∠DAB＝180°，DM＝AB＝AC， ∴∠CAF＝∠MDA， 在△ACF和△DMA中， ， ∴△ACF≌△DMA（SAS）， ∴CF＝AM， ∵AEAM， ∴AECF； （3）如解图②，延长AE至M，使EM＝AE，连接BM， 第14题解图② 在△ADE和△MBE中， ， ∴△ADE≌△MBE（SAS）， ∴AD＝BM，∠DAE＝∠M， ∴AD∥BM， ∴∠BAD+∠ABM＝180°， ∵∠DAF+∠BAC＝180°， ∴∠BAD+∠CAF＝180°， ∴∠ABM＝∠CAF， ∵AF＝AD， ∴AF＝BM， 在△ABM和△CAF中， ， ∴△ABM≌△CAF（SAS）， ∴∠BAM＝∠ACF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAM+∠CAG＝90°， ∴∠ACF+∠CAG＝90°， ∴∠AGC＝90°， 点G在以AC为直径的⊙O上运动，当且仅当B、O、G三点共线时，BG取得最大值， 此时BG＝OB+OG， 在Rt△ABO中，O为AC的中点，则OAAC＝2， ∴OB2， 在Rt△ACG中，O为斜边AC的中点， ∴OGAC＝2， ∴BG的最大值为22． 15．【阅读】 辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 性质：如图①，若∠ACB＝∠ADB＝90°，则点D在经过A，B，C三点的圆上． 【问题解决】 运用上述材料中的信息解决以下问题： （1）如图②，已知DA＝DB＝DC． 求证：∠ADB＝2∠ACB． （2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得∠ACB＝90°．（要求：要有画图痕迹，不用写画法） （3）如图④，在四边形ABCD中，∠CAD＝90°，CB⊥DB，点F在CA的延长线上，连接DF，∠ADF＝∠ABD． 求证：DF是△ACD外接圆的切线． （1）证明：如题图②，由DA＝DB＝DC，可知 点A，B，C在以D为圆心，DA为半径的圆上． 所以，∠ADB＝2∠ACB． （2）解：如解图①，点C1，C2就是所要求作的点． 第15题解图① （3）如解图②，取CD的中点O为圆心，CD为直径作圆O，则⊙O是△ACD的外接圆； 第15题解图② 由∠DAC＝∠DBC＝90°，可得点B在△ACD的外接圆上． ∴∠ACD＝∠ABD． ∵∠ADF＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠ADF． ∵∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠ADC＝90°． ∴∠CDF＝90°． 即CD⊥DF． ∴DF是△ACD外接圆的切线． ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $