遇到角平分线怎么思考-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

遇到角平分线怎么思考正文 1．如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，若PH＝10，则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，△ABC的角平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．有下列结论：①∠BAD＝∠C；②AE＝EF；③AG⊥EF；④∠AGB＝60°．其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，E为线段BC上一点，连结DE，且∠BED＝∠A，若AC＝8，BE＝3，则CE的长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE．点F为CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，连接对角线AC交EF于点M，若EC平分∠DEF，则线段GM的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，∠BAC＝90°，E是BC的中点，连接AE，AF平分∠BAC，且CF⊥AF，则EF的长为（　　） A． B．5 C． D．7 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，延长BC至点E，使CE＝2．连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F，E为BC上一点，且EF＝ED． （1）求证：DE∥AB； （2）如果⊙O半径为5，，求DF的长． 11．在△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一点，连接BD． （1）如图1，若∠C＝68°，∠CBD＝30°，求∠ABD的度数； （2）如图2，若点E是BD的中点，点F是AB边上一点，且∠A＝∠ACE＝∠BCF，求证：AF＝CD； （3）如图3，若BD平分∠ABC，点P是BD上一动点，点Q是BC上一动点，连接PC，PQ，若△ABC的面积为10，AC＝6，请直接写出PC+PQ的最小值． 12．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据　 　证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）． 【类比解答】 如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE＝　 　． 【拓展延伸】 （1）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，猜想BE和CD有何数量关系，并说明理由． （2）如图4，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．若BE＝3，则△BFD的面积为　 　．（直接写出） 遇到角平分线怎么思考答案 1．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【解析】如解图，过点O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，∵AB＝10，∴根据三角形的面积公式得，．则△AOB的面积为15． 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】延长AB与CD相交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADE（ASA），∴CD＝DE＝5，∠E＝∠ACD，∵∠ABC+∠ACD＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ACD＝∠CBE，∴∠E＝∠CBE，∴CB＝CE＝CD+DE＝5+5＝10． 3．如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由条件可知6m﹣4＝3m﹣1，解得：m＝1，则点P的坐标为（2，2），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，则∠PDA＝∠PEB＝90°，∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°，∴∠EPB＝∠DPA，由点P的坐标知，PE＝PD＝OD＝OE＝2，∴△PDA≌△PEB（SAS），∴DA＝BE，∴OA+OB＝OD+DA+OB＝OD+BE+OB＝OD+OE＝2+2＝4，∴OA+OB＝4． 4．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，若PH＝10，则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 【解析】过P作PD⊥OA于D，M是OA上任一点，连接PM，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，∴PD＝PH＝10，∵PM≥PD，∴点P与射线OA上某点连线的长度大于等于10． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，△ABC的角平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．有下列结论：①∠BAD＝∠C；②AE＝EF；③AG⊥EF；④∠AGB＝60°．其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】连接EG．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°．∴∠ABC＝∠DAC，∠BAD＝∠C，故①正确；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，若AE＝EF，则△AEF是等边三角形，推出∠DAC＝60°，显然与题目条件矛盾，故②错误，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故③正确．若∠AGB＝60°，BE平分ABG，BE⊥AG，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∠GBE+∠AGB＝90°，∴∠BAG＝∠BGA，∴BA＝BG，∴△ABG是等边三角形，则∠ABC＝60°，显然不符合题意，故④错误．综上所述，正确的结论是①③． 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，E为线段BC上一点，连结DE，且∠BED＝∠A，若AC＝8，BE＝3，则CE的长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【解析】过D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，CD平分∠ACB，∴DF＝DB，又∠AFD＝∠B＝90°，∠BED＝∠A，∴△ADF≌△EDB（AAS），∴AF＝BE＝3，又AC＝8，∴CF＝AC﹣AF＝5，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠BCD，又∠B＝∠DFC＝90°，CD＝CD，∴△BCD≌△FCD（AAS），∴BC＝FC＝5，∴CE＝BC﹣BE＝2． 7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE．点F为CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，连接对角线AC交EF于点M，若EC平分∠DEF，则线段GM的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】如解图，作FP⊥EC交EC于点P，∴，∵EC平分∠DEF，∴∠DEC＝∠FEC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF＝∠FEC，∴EF＝FC，则△EFC是等腰三角形，∵点E为AD的中点，正方形ABCD的边长为4，∴，∴在Rt△DCE中，，∴，∵∠PFC+∠PCF＝90°，∠DCE+∠PCF＝90°，∴∠PFC＝∠DCE，∵∠D＝∠FPC＝90°，∴△CPF∽△EDC，∴，则，解得：FC＝5，∴EF＝FC＝5，FB＝FC﹣BC＝5﹣4＝1，∵AE∥FB，∴△AEG∽△BFG，∴，则AG＝2BG，∵AG+BG＝AB，则3BG＝4，解得，在Rt△BGF中，，∵AE∥BC，∴△AEM∽△CFM，∴，则，∵FM+EM＝EF，则，解得，∴． 8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，∠BAC＝90°，E是BC的中点，连接AE，AF平分∠BAC，且CF⊥AF，则EF的长为（　　） A． B．5 C． D．7 【解析】延长AB，CF交于点H，∵在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，∠BAC＝90°，∴，∵AF平分∠BAC，∴∠HAF＝∠CAF＝45°，∵∠AFH＝∠AFC＝90°，AF＝AF，∴△AFH≌△AFC（ASA），∴AC＝AH＝12，HF＝CF，∴BH＝AH﹣AB＝7，∵E是BC的中点，HF＝CF，∴． 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，延长BC至点E，使CE＝2．连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】过点F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴根据正方形的性质，∠B＝∠DCB＝∠DCE＝90°，BC＝AB＝CD＝4，∵FM⊥CE，FN⊥CD，∠DCE＝∠B＝90°，∴四边形CMFN为矩形．∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，∴FM＝FN．∴四边形CMFN为正方形．∴FM＝FN＝CM＝CN，设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，∵CE＝2，∴BE＝BC+CE＝6，EM＝CE﹣CM＝2﹣a，∵∠B＝90°，FM⊥CE，∴FM∥AB，∴△EFM∽△EAB，∴FM：AB＝EM：BE，即a：4＝（2﹣a）：6，整理得，10a＝8，解得，∴，在Rt△CFN中，由勾股定理得，，即CF的长为． 10．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F，E为BC上一点，且EF＝ED． （1）求证：DE∥AB； （2）如果⊙O半径为5，，求DF的长． （1）证明：由题意可得：∠ABD＝∠CBD，∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠EDF＝∠CBD+∠F＝90°， ∵EF＝ED，∴∠F＝∠EDF，∴∠BDE＝∠CBD，∴∠BDE＝∠ABD，∴DE∥AB； （2）解：如解图，连接CD， ∵∠ABC＝2∠CBD，∠BDE＝∠CBD， ∴∠CED＝∠BDE+∠CBD＝2∠CBD，BE＝DE， ∴∠ABC＝∠CED，BE＝EF＝DE， 由题意可得∠BCD＝90°，∵， ∴， ∴设CE＝3x，DE＝5x，∴，BF＝10x，CF＝EF﹣CE＝2x， ∴， ∵⊙O半径为5，∴BD＝10， ∵，∴， ∴，∴． 11．在△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一点，连接BD． （1）如图1，若∠C＝68°，∠CBD＝30°，求∠ABD的度数； （2）如图2，若点E是BD的中点，点F是AB边上一点，且∠A＝∠ACE＝∠BCF，求证：AF＝CD； （3）如图3，若BD平分∠ABC，点P是BD上一动点，点Q是BC上一动点，连接PC，PQ，若△ABC的面积为10，AC＝6，请直接写出PC+PQ的最小值． （1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∵∠C＝68°，∴∠ABC＝∠C＝68°， ∵∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝68°﹣30°＝38°； （2）证明：点E是BD的中点，如解图，延长CE至点H，使得CE＝HE，交AB于点G， ∴BE＝DE， 在△BEH和△DEC中， ， ∴△BEH≌△DEC（SAS）， ∴BH＝CD，∠H＝∠ECA， 设∠FCD＝α，∠FCE＝β，∵∠A＝∠ACE＝∠BCF， ∴∠A＝∠H＝∠ACE＝∠BCF＝α+β，∠ACB＝2α+β，∠ACF＝∠HCB， ∵∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠C＝2α+β， ∵∠CFB＝∠A+∠ACF＝α+β+α＝2α+β，∴∠CFB＝∠ABC，∴FC＝BC， 在△ACF和△HCB中，，∴△ACF≌△HCB（AAS）， ∴AF＝BH，则AF＝CD； （3）解：PC+PQ的最小值为；理由如下： 过点C作CM⊥AB于点M，CM交BD于点P′，过点P′作P′Q′⊥BC于点Q′，如图3， 则AC＝AB＝6，∵BD平分∠ABC，∴P′M＝P′Q′， 当点P位于点P′，PC+PQ＝P′C+P′Q′＝P′C+P′M＝CM， 此时，PC+PQ的最小值， ∵△ABC的面积为10，AC＝6， ∴， 解得， 故PC+PQ的最小值为． 12．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据 ASA 证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）． 【类比解答】 如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE＝　 26°　． 【拓展延伸】 （1）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，猜想BE和CD有何数量关系，并说明理由． （2）如图4，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．若BE＝3，则△BFD的面积为 　9　 ．（直接写出） 解：【问题情境】ASA；【解法提示】∵OP平分∠MON，∴∠AOC＝∠BOC， ∵AC⊥OP，∴∠ACO＝∠BCO＝90°，在△AOC和△BOC中，， ∴△AOC≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，AC＝BC； 【类比解答】由【问题情境】可知：△FCE≌△ACE，如图2，延长AE交BC于点F， ∴∠EFC＝∠EAC＝63°， ∵∠EFC＝∠B+∠DAE， ∴∠DAE＝∠EFC﹣∠B＝63°﹣37°＝26°， 故答案为：26°； （1）BECD，证明如下： 如图3，BE⊥CD，延长BE与CA交于点F， ∴∠BED＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BED＝∠BAC，∠BAF＝90°， 又∵∠BDE＝∠ADC， ∴∠EBD＝∠ACD，即∠ABF＝∠ACD， 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（ASA）， ∴BF＝CD， 由【问题情境】可知：△BCE≌△FCE， ∴BE＝FEBF， ∴BECD； （2）如图4，过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，交AB于点H， ∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠BAC＝90°， ∵∠EDB∠C， ∴∠EDB∠GDB， ∴∠EDB＝∠EDG， 同理（1）中的方法可得△HBG≌△HDF， ∴BG＝FD， 由【问题情境】可知：△BDE≌△GDE， ∴BE＝GEBG， ∴BEFD， ∵BE＝3， ∴FD＝6， ∴△BFD的面积． ( 第 1 页 共 19 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $