与旋转有关的结合探究题-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

与旋转有关的几何探究题正文 1．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，九（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小明在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°． 【初步探究】（1）小明将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由； 【深入探究】（2）若∠ADB＝90°，旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2．将一块等腰直角三角板FPG的直角顶点P放在△ABC斜边AB的中点处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边所在的射线PG，PF分别交射线AC，CB于点D，E，如图1，2，3是旋转三角板FPG得到的三种情况． （1）如图1，当点D是AC的中点时，点E恰为BC的中点，请写出线段CB，CD，CE之间的数量关系：　 　 ； （2）当三角板FPG绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段CB，CD，CE之间的数量关系，并说明理由； （3）三角板FPG绕点P旋转时（点C不与点E重合），△PBE能否成为以BP为腰的等腰三角形？若能，请直接写出CE的长；若不能，请说明理由． 3．综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中．某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°． 【初步探究】 （1）小鸣将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：BD＝CE且BD⊥CE； 【深入探究】 （2）若∠ADB＝90°，O点为BC的中点，旋转过程中，当点D、E、O在一条直线上时，如图②，求证：OE＝ODBD． 4．（1）阅读材料 如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求∠APB的度数； 为了解答本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　 ； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°． 求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA+OB+OC的值． 5．（1）如图1，已知：△ABC和△BCD是等边三角形，点B、C、D在同一直线上，连接BE，和边AC交于点G，连接AD，和BE交于点F．求证：△ACD≌△BCE． （2）在（1）的条件下，如图2，将△ECD绕点C顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜60°），连接CF． ①求∠AFB的度数； ②猜想线段CF、AF和BF的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，过△ABC外一点D，作∠ADB＝∠ACB，BD和边AC交于F，连接CD，过点A作AE⊥BF于E，若CD＝4，BD＝10，AD＝9，请直接写出S△ABF﹣S△CDF的值． 6．在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）探究一：小明将矩形纸片ABCD绕顶点C顺时针旋转90°到矩形FGCE位置，连接AC，CF，AF，如图1，则△ACF的形状为　 　 ． （2）探究二：小明将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转得到矩形FGCE，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图2，若AB＝4，AD＝8，求△CMF的面积． （3）探究三：小明将矩形ABCD绕顶点A逆时针旋转一定角度，得到矩形AEFG，且点E恰好落在边CD上，如图3，连接BG交AE于点O，连接BE．若，求的值． 7．（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，B，C，D在一条直线上．填空：线段AD，BE之间的关系为　 　 ． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由． （3）解决问题 如图3，线段PA＝2，点B是线段PA外一点，PB＝7，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的取值范围． 8．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为的等边三角形，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若DE⊥CE，且AD＝2，求CD的长． 9．在等边三角形ABC中，AB＝6，D是直线BC上一点． （1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，在AC边上有一点E，满足AE＝2CE，若，求线段BD的长． （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°至AE，连接BE交AC于点G，求证：． （3）如图3，点E在直线BC上，连接AE，将△ABE沿着AE所在的直线翻折到△ABC所在的平面内得△AEB′，作AD⊥BC于点D，连接DB′，G是DB′的中点，当线段CG取得最小值时，请直接写出△CDB′的面积． 10．综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考查的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BE，CD．求证：BE＝CD； 【模型应用】 （2）如图2，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转一定的角度．当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE； 【类比探究】 （3）如图3，已知△ABC和△ADE都是等边三角形．当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系为 　 　 ． 11．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，点D在CA的延长线上，连接DE，∠ADE＝135°．求证：BC＝DC． ①小明的解题思路：如图2，小明同学从∠ADE＝135°这个条件出发，给出如下解题思路：过E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠EDF＝45°，△EDF是等腰直角三角形，EF＝DF，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段CB上截取CG＝AC，则△ACG是等腰直角三角形，得∠AGC＝∠GAC＝45°，得到∠AGB＝135°，将线段BC，DC之间的数量关系转化为线段BG与AD之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB，射线AM⊥AB，点E在线段AB上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF＝DF且EF⊥DF，其中AF＝8，AE＝2，请直接写出△ABC的面积． 【类比分析】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CA至点D、使AD＝AB，射线AM⊥AB，点E在线段BA的延长线上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF＝DF且EF⊥DF，若BC＝7，AE＝2，请直接写出△ADF的面积． 12．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将线段CA绕C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段CD，连接AD，BD． （1）如图1，当α＝30°，CD＝2时，求DB的长度； （2）如图2，将线段CA绕点C顺时针旋转β（0°＜β＜90°）得到线段CE，连接AE，BE，线段BE交线段AC于点F． ①求∠BFC的度数；（用含β的式子表示） ②如图3，当α＝45°，过点C作CP⊥BE于点P，过点D作DQ⊥BE于点Q．探究AE与PQ之间的数量关系是否随β变化而变化．若不变，证明AE与PQ的数量关系；若改变，请说明理由． 13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当∠BAD＝45°时，求△CAE的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，连接CE，写出AB与CE的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试画出C，D，E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角形CDE的面积（至少2种情况）． 14．小明在学习了直角三角形的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后发现：直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成了两个等腰三角形．他对这个基本图形作进一步的探究． 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝10．将△ADC绕点D逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADC′． （1）如图2，若α＝90°． ①求证：AC′∥BC； ②连接AB、CC′，求AB2+CC'2的值； （2）如图3，随着α的变化，AB2+CC'2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 15．【创设情境】如图1，在△ABC中，AE＝BE，∠AEB＝90°，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． 【观察猜想】如图1，请直接写出BD与AC的位置关系和数量关系． 【类比探究】如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有∠CED＝90°，DE＝CE，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； 【拓展应用】如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且AC与BD交于点F，其他条件不变．①请直接写出BD与AC的数量关系； ②你能求出BD与AC所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 与旋转有关的几何探究题正文+答案 1．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，九（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小明在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°． 【初步探究】（1）小明将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由； 【深入探究】（2）若∠ADB＝90°，旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由． （1）解：BD＝CE，理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：，理由如下： 过C作CM∥BD，如图， ∴∠DBO＝∠MCO， ∵O为BC的中点， ∴OB＝OC， 在△BDO和△CMO中， ∵∠DBO＝∠MCO，OB＝OC，∠BOD＝∠COM， ∴△BDO≌△CMO（ASA）， ∵∠ADB＝∠DAE＝90°， ∴BD∥AE， ∵CM∥BD， ∴CM∥AE， ∴∠ECM＝90°， 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠CEM＝45° ∴∠CME＝∠CEM＝45°， ∴CE＝CM， 由勾股定理得，， ∴． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2．将一块等腰直角三角板FPG的直角顶点P放在△ABC斜边AB的中点处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边所在的射线PG，PF分别交射线AC，CB于点D，E，如图1，2，3是旋转三角板FPG得到的三种情况． （1）如图1，当点D是AC的中点时，点E恰为BC的中点，请写出线段CB，CD，CE之间的数量关系：CB＝CD+CE ； （2）当三角板FPG绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段CB，CD，CE之间的数量关系，并说明理由； （3）三角板FPG绕点P旋转时（点C不与点E重合），△PBE能否成为以BP为腰的等腰三角形？若能，请直接写出CE的长；若不能，请说明理由． 解：（1）CB＝CD+CE（或） 理由：根据题意可得AC＝BC＝2， ∵点D是AC的中点，点E为BC的中点，点P是AB的中点， ∴， ∴CB＝CD+CE， 故答案为：CB＝CD+CE； （2）CB＝CD+CE． 理由如下：连接PC． ∵△ABC是等腰直角三角形，点P是AB的中点， ∴， ∴∠DCP＝∠B，∠BPE+∠CPE＝90°， ∵∠GPC+∠CPE＝90°， ∴∠GPC＝∠BPE， ∵， ∴PC＝PB， 在△PCD和△PBE中， ∵， ∴△PCD≌△PBE（ASA）， ∴CD＝BE， ∴CB＝BE+CE＝CD+CE； （3）△PBE能成为以BP为腰的等腰三角形， ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， ∴， ∵点P是斜边AB的中点， ∴， 当PE＝PB时，此时点 C 与点 E 重合，CE＝0； 当在线段 BC 上时，； 当在 CB 的延长线上，； 综上，△PBE能成为以BP为腰的等腰三角形，CE的长为0或或． 3．综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中．某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°． 【初步探究】 （1）小鸣将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：BD＝CE且BD⊥CE； 【深入探究】 （2）若∠ADB＝90°，O点为BC的中点，旋转过程中，当点D、E、O在一条直线上时，如图②，求证：OE＝ODBD． 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 如图①，延长BD、EC交于点Q， ∵∠BCQ＝180°﹣∠ACE﹣45°＝135°﹣∠ACE，∠CBQ＝∠ABD﹣∠ABC＝∠ABD﹣45°， ∴∠BCQ+∠CBQ＝135°﹣∠ACE+∠ABD﹣45°＝90°， ∴∠Q＝90°，∴BD⊥CE； （2）如图②，过点C作CM∥BD， ∴∠DBO＝∠MCO， ∵O为BC的中点，∴OB＝OC， 在△BDO和△CMO中，，∴△BDO≌△CMO（ASA），∴CM＝BD，OM＝OD． 由（1）知，△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠ADB＝90°，∠DAE＝90°，∴BD∥AE， ∵CM∥BD，∴CM∥AE，∴∠ECM＝90°， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠CEM＝45°，∴∠CME＝∠CEM＝45°， ∴CE＝CM，∴，∴． 4．（1）阅读材料 如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求∠APB的度数； 为了解答本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　 ； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°． 求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA+OB+OC的值． （1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，∴AP＝AP′＝5，PB＝P′C＝12，∠PAP′＝60°，∠APB＝∠AP′C，∴△PAP′为等边三角形，∴∠PP′A＝60°，PP′＝PA＝5， ∵PP′2＝25，P′C2＝144，PC2＝169，且PP′2+P′C2＝PC2， ∴△PP′C为直角三角形，∴∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠PP′A+∠PP′C＝60°+90°＝150°， 故答案为：150°； （2）证明：如图②，根据∠CAB＝90°，AB＝AC，将△BAE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，则AB与AC重合，连接E′F， ∴∠B＝∠ACB＝45°，∴△ABE≌△ACE′，∠EAE′＝90°， ∴∠EAF＝∠E′AF＝45°，AE＝AE′，BE＝CE′，∠ACE′＝∠B＝45°， 在△EAF和△E′AF中，，∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴EF＝E′F，∴∠FCE′＝∠ACF+∠ACE′＝90°，∴根据勾股定理得E′F2＝CE′2+CF2， 即EF2＝BE2+FC2； （3）OA+OB+OC的值为．理由如下：如图③， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 将△AOB绕点A顺时针旋转60°，得到△AO′B′，点A，C，B′在同一条直线上， ∴OA＝O′A，∠OAO′＝60°，∴△OAO′为等边三角形， ∴∠O′OA＝∠AO′O＝60°，OO′＝OA， 又∵∠BOA＝120°，∴点O′，O，B在同一条直线上， 将△AOC绕点A顺时针旋转60°，得到△AO′C′，连接CC′， ∵AC′＝AC＝2，∠CAC′＝60°，O′C′＝OC，∠AO′C′＝∠AOC＝120°， ∴△ACC′为等边三角形，点C′，O′，O，B在同一条直线上， ∴OA+OB+OC＝OO′+OB+O′C′＝BC′，CC′＝AC＝2，∠C′CA＝60°， 过点C′作C′D⊥BC，交BC的延长线于点D，∴∠DCC′＝180°﹣∠C′CA﹣∠ACB＝30°， ∴，在直角三角形C'CD中，由勾股定理得：， ∴，在直角三角形BC'D中，由勾股定理得：， 即． 5．（1）如图1，已知：△ABC和△BCD是等边三角形，点B、C、D在同一直线上，连接BE，和边AC交于点G，连接AD，和BE交于点F．求证：△ACD≌△BCE． （2）在（1）的条件下，如图2，将△ECD绕点C顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜60°），连接CF． ①求∠AFB的度数； ②猜想线段CF、AF和BF的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，过△ABC外一点D，作∠ADB＝∠ACB，BD和边AC交于F，连接CD，过点A作AE⊥BF于E，若CD＝4，BD＝10，AD＝9，请直接写出S△ABF﹣S△CDF的值． （1）证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠ECD， ∴∠BCE＝∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：①同理可证△ACD≌△BCE，∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD， 又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠ABF+∠BAF＝∠ABC﹣∠EBC+∠BAC+∠CAF＝∠CAF+∠CBE＝60°+60°＝120°， ∴∠AFB＝180°﹣（∠ABF+∠BAF）＝180°﹣120°＝60°； ②BF＝CF+AF，理由为：过点C作CM⊥BE，CN⊥AD于点M，N， ∵△ACD≌△BCE，BE＝AD， ∴S△ACD＝S△BCE， ∴CM＝CN， ∴， 在BF上截取FH＝CF，连接CG， 则△FCH是等边三角形，∴CH＝CF＝FH，∠GCF＝∠BCA＝60°，∴∠BCH＝∠ACF， 又∵BC＝AC，∴△BCH≌△ACF，∴BH＝AF，∴BF＝BH+FH＝AF+CF； （3）解：如图，在BD上找一点G，使得AG＝AD，连接AG， ∵AG＝AD，AB＝AC，∠ACB＝∠ADB， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠ADG＝∠AGD， ∴∠BAC＝∠DAG，即∠BAG＝∠CAD， ∴△ABG≌△ACD， ∴CD＝BG＝4， ∴DG＝BD﹣BG＝10﹣4＝6， 又∵AE⊥DG， ∴GE＝ED＝3， ∴， ∴． 6．在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）探究一：小明将矩形纸片ABCD绕顶点C顺时针旋转90°到矩形FGCE位置，连接AC，CF，AF，如图1，则△ACF的形状为　等腰直角三角形　． （2）探究二：小明将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转得到矩形FGCE，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图2，若AB＝4，AD＝8，求△CMF的面积． （3）探究三：小明将矩形ABCD绕顶点A逆时针旋转一定角度，得到矩形AEFG，且点E恰好落在边CD上，如图3，连接BG交AE于点O，连接BE．若，求的值． 解：（1）∵两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG， ∴AC＝CF， ∴△ACF是等腰三角形， 在△ABC和△FGC中， ， ∴△ABC≌△FGC（SAS）， ∴∠BAC＝∠GFC， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACG， ∴∠ACG＝∠GFC， ∵∠GCF+∠GFC＝90°， ∴∠ACG+∠GCF＝90°， ∴∠ACF＝90°， ∴△ACF是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）在△CDM和△FGM中， ， ∴△CDM≌△FGM（AAS）， ∴CM＝MF， ∵AC＝CF，CD⊥AF， ∴AD＝DF， ∵AB＝CD＝4，AD＝DF＝8， ∴DM＝8﹣CM， 在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2+DM2， ∴CM2＝42+（8﹣CM）2， 解得：CM＝5， ∴△CMF的面积FM•CD5×4＝10； （3）如图3，作BP⊥AE于P， 由旋转可得：AG＝AD，AE＝AB，∠GAE＝∠DAB＝90°， ∴∠BPO＝∠GAO＝90°， ∵四边形ABCD、四边形AEFG是矩形， ∴AE•PBAB•AD， ∴BP＝AD＝AG， ∵∠AOG＝∠POB， 在△AOG和△POB中， ， ∴△AOG≌△POB（AAS）， ∴OA＝OP，GO＝BO， ∴O是BG的中点， ∵， 设BC＝3m，AB＝5m，如图，过点E作EM⊥AB于点M，得矩形BCEM， ∴BC＝EM＝3m，CE＝BM， 由旋转可知：AE＝AB＝5m， 在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AM4m， ∴BM＝AB﹣AM＝m， 在Rt△BCE和Rt△BPE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△BPE（HL）， ∴CE＝PE， ∴CE＝BM＝PE＝m， ∵OA＝OP， ∴OA＝OP＝2m，OE＝3m， ∴． 7．（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，B，C，D在一条直线上．填空：线段AD，BE之间的关系为AD＝BE，AD⊥BE ． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由． （3）解决问题 如图3，线段PA＝2，点B是线段PA外一点，PB＝7，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的取值范围． 解：（1）如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°，AC＝BC，CE＝CD， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠EBC＝∠CAD，AD＝BE， 延长BE交AD于点F， ∵BC⊥AC， ∴∠EBC+∠CEB＝90°， ∵∠CEB＝AEF， ∴∠EAD+∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝90°，即AD⊥BE． 故答案为：AD＝BE，AD⊥BE； （2）AD＝BE，AD⊥BE．理由如下： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，设AD交BE于H，AD交BC于O． ∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，CE＝CD， ∴ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE， ∵∠CAO+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°，∴AD⊥BE； （3）PC的取值范围为．理由如下： 如图3，作AE⊥AP，使得AE＝PA＝2，则：； 由（1）（2）可得△ABE≌△ACP， ∴PC＝BE， 如图4，当P、E、B共线时，BE最小，最小值， 如图5，当P、E、B共线时，BE最大，最大值， ∴， 故PC的取值范围为． 8．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为的等边三角形，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若DE⊥CE，且AD＝2，求CD的长． （1）解：BD＝CE，证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE； （2）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝120°，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC，∴EB平分∠AEC； （3）解：连接BE，延长BD交AE于点F，如图3， 由旋转可得AD＝DE，∠DDE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝AE＝2， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC， ∵DE⊥CE，∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝150°，∴∠ADB＝∠AEC＝150°， ∴∠BDE＝360°﹣∠ADB﹣∠ADE＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠ADB＝∠EDB， 又∵AD＝DE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴BA＝BE， ∴点B在AE的垂直平分线上，又∵DA＝DE，∴BD⊥AE，∴AF＝EF＝1， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：， ∴，∴， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：． 9．在等边三角形ABC中，AB＝6，D是直线BC上一点． （1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，在AC边上有一点E，满足AE＝2CE，若，求线段BD的长． （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°至AE，连接BE交AC于点G，求证：． （3）如图3，点E在直线BC上，连接AE，将△ABE沿着AE所在的直线翻折到△ABC所在的平面内得△AEB′，作AD⊥BC于点D，连接DB′，G是DB′的中点，当线段CG取得最小值时，请直接写出△CDB′的面积． （1）解：过点E作EN⊥BC于点N， ∴∠ENC＝∠END＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵AE＝2CE，AC＝BC＝6， ∴CE＝2， 在Rt△CEN中，CE＝2，∠C＝60°， ∴CN＝1，， ∴BN＝BC﹣CN＝5， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长BA到H，使AH＝AB，连接EH， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴AC＝AH， ∵∠DAE＝120°， ∴∠DAC＝120°﹣∠CAE， 又∵∠EAH＝120°﹣∠CAE， ∴∠EAH＝∠DAC， 又∵AD＝AE， ∴△ADE≌△AEH（SAS）， ∴EH＝CD，∠H＝∠C＝60°， ∴∠H＝∠BAC， ∴AC∥EH， ∴， ∴BG＝GE， ∴AG是△BEH的中位线， ∴， ∴； （3）由题可知AB＝AB'＝6， 取AD中点O，连接OG， ∵G为DB'中点， ∴OG为△DAB'的中位线， ∴OGAB'＝3， ∴点G的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆， 当点O、C、G三点共线时，且点G在线段OC上时有最小值，此时如图， ∵AB＝6，BD＝3， ∴AD3， ∴ODAD， ∴OC， 则CG3， 过D作DK⊥OC于点K， 则DK， ∴S△CDG（3）， ∵点G为DB'中点， ∴S△CDB'＝2S△CDG． 10．综合与实践 【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考查的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BE，CD．求证：BE＝CD； 【模型应用】 （2）如图2，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转一定的角度．当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE； 【类比探究】 （3）如图3，已知△ABC和△ADE都是等边三角形．当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系为 AB＝BD+2BF ． （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+60°，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝60°+∠BAD，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD， ∵CD＝CB+BD＝AB+BD，∴AB+BD＝BE； （3）解：AB＝BD+2BF，理由如下：设DE与AB的交点为K，在AB上截取AT＝BD，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠ABC＝∠AED＝60°，AE＝DE，∴∠EAT+∠AKE＝120°，∠EDB+∠BKD＝120°，∵∠AKE＝∠BKD，∴∠EAK＝∠EDB，∴△EAT≌△EDB（SAS），∴ET＝EB，∵EF⊥AB，∴TF＝BF，∴BT＝2BF，∴AB＝AT+BT＝BD+2BF，故答案为：AB＝BD+2FB． 11．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，点D在CA的延长线上，连接DE，∠ADE＝135°．求证：BC＝DC． ①小明的解题思路：如图2，小明同学从∠ADE＝135°这个条件出发，给出如下解题思路：过E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠EDF＝45°，△EDF是等腰直角三角形，EF＝DF，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段CB上截取CG＝AC，则△ACG是等腰直角三角形，得∠AGC＝∠GAC＝45°，得到∠AGB＝135°，将线段BC，DC之间的数量关系转化为线段BG与AD之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB，射线AM⊥AB，点E在线段AB上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF＝DF且EF⊥DF，其中AF＝8，AE＝2，请直接写出△ABC的面积． 【类比分析】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CA至点D、使AD＝AB，射线AM⊥AB，点E在线段BA的延长线上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF＝DF且EF⊥DF，若BC＝7，AE＝2，请直接写出△ADF的面积． （1）证明：小明的解题思路： 如图2，过E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠EDF＝45°， ∴△EDF是等腰直角三角形，EF＝DF， ∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠CAB+∠EAF＝90°， ∵∠C＝90°∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝∠EAF， 在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS），∴BC＝AF，AC＝EF， 又∵EF＝DF，∴AC＝DF，∵AF＝AD+DF，∴AC＝DF， ∵AF＝AD+DF，∴AF＝AD+AC＝DC，∴BC＝DC； 小涛的解题思路： 如图3，在线段CB上截取CG＝AC，则△ACG是等腰直角三角形， ∴∠AGC＝∠GAC＝45°，∠AGB＝135°，∵∠ADE＝135°，∴∠AGB＝∠ADE， 又∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE+∠BAC＝90°， 又∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAE， 在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（AAS），∴BG＝AD， ∵BC＝BG+CG，∴BC＝AD+AC＝DC，∴BC＝DC； （2）解：△ABC的面积为24；理由如下： 如图4，过点D作DG⊥AF于点G，则∠AGD＝∠FGD＝90°， ∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，∴∠BAC+∠DAG＝90°， ∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAG， 在△ABC和△DAG中，，∴△ABC≌△DAG（AAS）， ∴AC＝DG，BC＝AG，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠AFE+∠AFD＝90°， 又∵∠AFD+∠FDG＝90°，∴∠AFE＝∠FDG， 在△AEF和△GFD中，，∴△AEF≌△GFD（AAS）， ∴AC＝GD＝AF＝8，GF＝AE＝2， ∵AF＝AG+GF，∴AF＝BC+AE，即BC＝AF﹣AE＝6，∴S△ABCAC•BC8×6＝24； （3）解：△ADF的面积为．理由如下： 如图5，过D作DH⊥AM于点H，则∠DHF＝90°， ∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°．∴∠DAH+∠BAC＝90°， 又∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAH， 在△ABC和△DAH中，，∴△ABC≌△DAH（AAS），∴BC＝AH＝7， ∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90°，∴∠DFH+∠AFE＝90°， 又∵∠EAF＝90°，∴∠E+∠AFE＝90°，∴∠E＝∠DFH， 在△AEF和△HFD中，，∴△AEF≌△HFD（AAS），∴AE＝HF＝2，AF＝HD， ∵AH＝7，∴AF＝AH﹣HF＝5，∴HD＝5，∴S△ADFAF•DH． 12．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将线段CA绕C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段CD，连接AD，BD． （1）如图1，当α＝30°，CD＝2时，求DB的长度； （2）如图2，将线段CA绕点C顺时针旋转β（0°＜β＜90°）得到线段CE，连接AE，BE，线段BE交线段AC于点F． ①求∠BFC的度数；（用含β的式子表示） ②如图3，当α＝45°，过点C作CP⊥BE于点P，过点D作DQ⊥BE于点Q．探究AE与PQ之间的数量关系是否随β变化而变化．若不变，证明AE与PQ的数量关系；若改变，请说明理由． 解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∵α＝30°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣α＝90°﹣30°＝60°， ∵AC旋转得CD， ∴AC＝CD， ∵AC＝BC， ∴CD＝BC， ∴△DCB是等边三角形 ∴DB＝CD＝2； （2）∵AC旋转β得CE， ∴∠ACE＝β，AC＝CE， ∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE， ∴∠BCE＝90°+β， ∵AC＝BC， ∴BC＝CE， ∴∠CEB＝∠CBE， ∵∠BCE+∠CEB+∠CBE＝180°， ∴， ∴∠BFC＝∠CEB+∠ACE＝45°β＝45°； （3）不变，， 延长DQ，作CG⊥DQ，垂足为G，作CI⊥AE， ∵∠DHF＝α+∠BFC∴ ∵∠DHF＝∠DQH+∠DQP， 又∵∠DQH＝90°， ∴， ∵AC＝CE，CI⊥AE， ∴， ∴∠ICE＝∠QDH， ∵∠CIE＝90°＝∠DGC，CE＝DC， ∴△DGC≌△CIE（AAS）， ∴CG＝EI， ∵AC＝CE，CI⊥AE， ∴， ∴， ∵∠QGC＝∠QPC＝∠GQP＝90°， ∴四边形GQPC为矩形， ∴． 13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当∠BAD＝45°时，求△CAE的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，连接CE，写出AB与CE的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试画出C，D，E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角形CDE的面积（至少2种情况）． 解：（1）在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， 由勾股定理得：，∵△ADE≌△ABC，∴AE＝AC＝5，∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝45°， 如图1，过点C作CG⊥AE， ∴∠AGC＝90°，∴∠ACG＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形， ∴，∴△CAE的面积为； （2）CE＝2AB；证明：由题意得：， ∴△ABM是等腰三角形，如图2，分别过点M，A作MH⊥AB，AK⊥BM，垂足分别为H，K， ∴，在直角三角形AMH中，由勾股定理得：， ∵，∴，在直角三角形ABK中，由勾股定理得：， ∵AD＝AB＝3，∴，即，∵∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，即， 解得：CE＝6（经检验，是分式方程的根，且符合题意），∴CE＝2AB； （3）直角三角形CDE的面积为4或16或12或．理由如下： 如图3，当AD与AC重合时，此时DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形， 故； 如图4，当AD在CA的延长线上时，此时DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形， 故； 如图5，当DE⊥EC时，此时△CDE是直角三角形， 过点A作AQ⊥EC于点Q，∵AE＝AC＝5，∴， ∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，∴四边形ADEQ是矩形， ∴，∴EC＝6，故； 如图，当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N， ∴，NQ∥CD，∴，∴，， ∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°，∴∠DAN＝∠QEN， ∵∠AND＝∠ENQ，∴△AND∽△ENQ，∴，∴，∴， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：ED2＝DC2+EC2，∴，解得； 故． 综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或． 14．小明在学习了直角三角形的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后发现：直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成了两个等腰三角形．他对这个基本图形作进一步的探究． 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝10．将△ADC绕点D逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADC′． （1）如图2，若α＝90°． ①求证：AC′∥BC； ②连接AB、CC′，求AB2+CC'2的值； （2）如图3，随着α的变化，AB2+CC'2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． （1）①证明：如图1，连接CC’， ∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴， ∵∠CDC’＝90°，∴∠DCC’+∠C’CD＝90°，∵∠AC′D+∠DCB＝90°， ∴∠ACC′+∠BCC′＝∠AC′D+∠DCB+∠DCC′+∠C′CD＝180°，∴AC′∥BC； ②解：∵，∴CC'2＝DC2+DC'2＝52+52＝50， ∵∠ADB+∠ADC′+∠CDC′+∠BDC＝360°，∠ADC′+∠BDC＝180°，∠CDC′＝90°， ∴∠ADB＝90°，同理：AB2＝50，∴AB2+CC'2＝50+50＝100； （2）解：如图2， AB2+CC'2的值为定值，理由如下：延长AD至E，使DE＝DC′， ∵∠ADC′+∠BDC＝180°，∴∠ADB+∠CDC′＝360°﹣（∠ADC′+∠BCD）＝360°， ∵∠ADB+∠BDE＝180°，∴∠BDE＝∠CDC′， ∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDC′（SAS），∴∠E＝∠DCC′，BE＝CC′， ∵AD＝BD＝CD＝DC′，∴∠BAD＝∠ABD，∠DCC′＝∠DC′C， ∴∠BAD+∠DC′C90°，∴∠BAD+∠E＝90°，∴∠ABE＝90°， ∴AB2+BE2＝AE2＝102＝100，∴AB2+CC'2＝100，∴AB2+CC'2的值为定值，定值是100． 15．【创设情境】如图1，在△ABC中，AE＝BE，∠AEB＝90°，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． 【观察猜想】如图1，请直接写出BD与AC的位置关系和数量关系． 【类比探究】如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有∠CED＝90°，DE＝CE，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； 【拓展应用】如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且AC与BD交于点F，其他条件不变．①请直接写出BD与AC的数量关系； ②你能求出BD与AC所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 解：【观察猜想】BD＝AC，BD⊥AC． 理由：在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，延长BD交AC于F， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥AC； 【类比探究】将△DCE绕点E旋转一定的角度后，如图2，设AC与DE交于点O， ∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC； ∴BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化． 【拓展应用】①BD＝AC，理由如下：∵∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC； ②能，BD与AC所成的较小的角的度数为60°，解析：∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠EDC＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED．∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE． ∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°， 即BD与AC所成的较小的角的度数为60°． ( 第 1 页 共 48 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $