与新定义有关的几何探究题-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

与新定义有关的几何探究题正文 1．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”． 【理解】（1）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角度数为　 　 ． （2）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角度数为　 　 ． 【应用】（3）如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，分别延长BA和DC，交于点P．已知∠P＝30°，若在“开心三角形”ABE中，∠B与另一个角互为“开心角”，设∠B＝α，求α的值． 2．定义：如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点． 【知识感知】 （1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则P这个点是不是△ABC关于点A的勾股点　 　 （填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝10，作BC边上的中线AO．点D是△AOC外一点，且点C是△AOD关于点A的勾股点，CD＝12，求OA的长； 【知识应用】 （3）如图4，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角△APD（点A、P、D顺时针排列），∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点． 3．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． （1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）； （2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD； （3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD，求证：AD平分∠CAB． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将经过点（a，0）且垂直于x轴的直线记为直线x＝a．将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．对于点P给出如下定义，将点P先关于直线x＝a对称得到点P′，再将点P′关于直线y＝b对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“对应点”． 已知△ABC顶点坐标为A（2，0），B（4，0），C（3，﹣3）． （1）如图1，若点M（1，1）． ①由材料，将点A（2，0）关于直线x＝1对称得到点（0，0），再将点（0，0）关于直线y＝1对称得到点（0，2），则点A（2，0）关于M的“对应点”为（0，2）． 请写出点B（4，0）关于M的“对应点”：　 　 ； 点C（3，﹣3）关于M的“对应点”：　 　 ； ②若点P1（﹣1，n）和点P2（﹣1，n+1）关于M的“对应点”分别为点Q1和点Q2，且线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点，求n的取值范围； （2）若点B关于M的“对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，请写出所有满足条件的点M的坐标：　 　 ． 5．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“同源三角形”． （1）如图1中，若△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，求证：∠BOD＝∠AOC； （2）如图2中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，且∠BOA＝60°，点D在边AB上，连接AC，求证：OA＝AC+AD； （3）如图3中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，点C，D均在△OAB外，连接AC，BD相交于点E，连接OE．试探究OE是否平分∠BEC，并说明理由． 6．【定义】我们把三角形被一边上中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD． 【应用】如图2，△ACD和△BCD是“友好三角形”，AC∥BE，AB与CE相交于点D． （1）求证：△BCD和△BED是“友好三角形”； （2）若△ACD的面积为1，点P是直线AB上的一动点，连接CP，PE，当图中出现一个三角形和△ABC是“友好三角形”时，求出此时△PBE的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 　 　 ． 7．阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　 （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°，求证：CD为△ABC的“巧妙分割线”． 8．【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BCAB”． 【材料2】定义：若P为△ABC内一点，满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC＝18，则这个等边三角形的高的长度为　 　 ； （2）如图2，已知△ABC，分别以AB，AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点； （3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，其中C村庄到A、B两个村庄的距离相等，且满足∠ACB＝α，请在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时∠QBC＝　 　 ． 9．综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　 　 （填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB＝AD，AC是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：CA平分∠DCB，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设∠BAD＝α，将△ADC绕着点A顺时针旋转α度得到△ABE．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中AB＝AD，主支架BC为13米，辅助支架DC为5米，支架夹角∠BCD＝60°，工程师需要计算该零件四边形ABCD的材料用量，请你求出四边形ABCD的面积． 10．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）　 　 ； （2）如图1，在正方形ABCD中，点F，G分别在边DC，BC上，且BG＝CF，连接AG，FG，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，Rt△ABC中，已知AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，点E为线段AB中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 11．综合与探究 【探究发现】小军同学对图1、2两个四边形性质进行了探究． ①如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，DA＝DC，则AC　 　BD（填位置关系）； ②如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AC⊥BD于E，则AB2　 　AD•BC；（填“＞”，“＜”或“＝”） 【抽象定义】小军发现上面两个四边形有一些共同特征．他把有一个内角是直角，且对角线互相垂直四边形称为“直角对垂四边形”． 【存在性】如图3，在三角形中，AB＝AC，点D是BC中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE，使得∠BAC＝∠DAE，连接EC、DE，AC与DE相交于点F，求证：四边形ADCE是直角对垂四边形． 【应用】如图4，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在四边形ABCD的边上，EF＝5，如果四边形ABEF是直角对垂四边形，直接写出DF的长． 12．综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形ABCD中，∠B＝∠C，则四边形ABCD为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有　 　．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【应用】（2）如图2，▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE并延长，交AD边于点F，若CE＝CD，求证：AB•DF＝EF•AD． 【延伸】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BE＝3，过点E作直线EG交对角线AC于点F，交边AD所在直线于点G，若四边形ABEF为“邻等角四边形”，则FG的长为　 　 ． 13．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是　 　 ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论： ①　 　 ； ②　 　 ； 问题解决： （3）如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC，EC，BG，问EC，BG有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．试探索BD与MN的数量关系，并说明理由． 14．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 其中是“神奇四边形”的是　 　 ．（填序号） （2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG，EG． ①判定四边形ABEG是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是AB，AG，GE，EB的中点，求证：四边形MNPQ是“神奇四边形”． （3）如图3，点F，R分别在正方形ABCD的边AB，CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O．若AB′＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长． 15．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，则折线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长． 已知，在菱形ABCD中，AB＝a，E是CD的中点，连接AE，BE． （1）如图1，若a＝4，∠C＝60°，求折中线AEB的长； （2）如图2，若∠AEB＝∠C，请探究折中线AEB的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若a＝4，且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长． 与新定义有关的几何探究题正文+答案 1．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”． 【理解】（1）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角度数为　16°　 ． （2）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角度数为　30°或40°　 ． 【应用】（3）如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，分别延长BA和DC，交于点P．已知∠P＝30°，若在“开心三角形”ABE中，∠B与另一个角互为“开心角”，设∠B＝α，求α的值． 解：（1）设最小角为α， ∵△ABC为开心三角形，∠A＝132°， ∴α+2α＝180°﹣132°＝48°， ∴α＝16°． 故答案为：16°； （2）当∠A是“开心角”，则最小角为30°； 当∠A不是“开心角”，设最小角为α， ∴α+2α＝180°﹣60°＝120°， ∴α＝40°， 故答案为：30°或40°； （3）分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，或∠BAE＝2∠B． ∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平分△ABC的外角∠DCF， ∴∠CAD∠CAB，∠FCD∠FCB， ∵∠B+∠BAC＝∠BCF，∠BCD＝∠B+∠P， ∴∠B+2∠BAE＝2（∠B+∠P），即或α+2×2α＝2（α+30°）， 解得α＝20°（第一个方程无解，即不成立）； ②当∠AEB与∠B互为“开心角”时，或∠AEB＝2∠B， 即或∠BAE＝180°﹣3∠B， 同①可得，或α+2×（180°﹣3α）＝2（α+30°）， 解得α＝75°或． 综上所述，α的值为20°或75°或． 2．定义：如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点． 【知识感知】 （1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则P这个点是不是△ABC关于点A的勾股点　是　 （填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝10，作BC边上的中线AO．点D是△AOC外一点，且点C是△AOD关于点A的勾股点，CD＝12，求OA的长； 【知识应用】 （3）如图4，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角△APD（点A、P、D顺时针排列），∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点． （1）解：∵PB2＝12+22＝5，PC2＝12+22＝10，PA2＝12+32＝10． ∴PB2+PC2＝PA2， ∴P这个点是△ABC关于点A的勾股点， 故答案为：是； （2）解：∵AB＝AC，AO是BC边上的中线， ∴，AO⊥BC， ∵点C是△AOD关于点A的勾股点， 分两种情况讨论： ①CO2+CD2＝AC2时， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝AO2+OC2， ∴52+122＝AO2+52， 解得：AO＝12（负值已舍去）； ②当CO2+AC2＝CD2时， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝AO2+OC2， ∴52+AO2+52＝122， 解得：（负值已舍去）； （3）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，△APD为等腰直角三角形，∠PAD＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AP，∠BAC＝∠PAD＝90°， ∴∠BAC+∠CAP＝∠PAD+∠CAP， ∴∠BAD＝∠CAP， 在△ABD和△ACP中， ， ∴△ABD≌△ACP（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACP，BD＝CP， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACP＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠DBP＝∠ABD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， 在Rt△DBP中，由勾股定理得：BD2+BP2＝DP2， ∵BD＝CP， ∴PC2+BP2＝DP2， ∴点P为△BDC关于点D的勾股点． 3．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． （1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）； （2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD； （3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD，求证：AD平分∠CAB． （1）解：作出△ABC的共边直角三角形如图1所示△ABD即为所求作的三角形（答案不唯一）； （2）证明：如图2，连接AE，DE， ∵E点是BC中点， ∴AE，DE分别是Rt△ABC和Rt△DBC斜边上的中线， ∴，， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形， ∵F点是AD中点， ∴EF⊥AD； （3）证明：分别延长AC、BD交于点F， ∵BD＝CD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∵∠F+∠DBC＝90°，∠DCF+∠DCB＝90°， ∴∠F＝∠DCF， ∴DC＝DF， ∴BD＝DF， 又∵AD⊥BF， ∴AB＝AF， 又∵AD⊥BF， ∴AD平分∠CAB． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将经过点（a，0）且垂直于x轴的直线记为直线x＝a．将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．对于点P给出如下定义，将点P先关于直线x＝a对称得到点P′，再将点P′关于直线y＝b对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“对应点”． 已知△ABC顶点坐标为A（2，0），B（4，0），C（3，﹣3）． （1）如图1，若点M（1，1）． ①由材料，将点A（2，0）关于直线x＝1对称得到点（0，0），再将点（0，0）关于直线y＝1对称得到点（0，2），则点A（2，0）关于M的“对应点”为（0，2）． 请写出点B（4，0）关于M的“对应点”：　（﹣2，2）　 ； 点C（3，﹣3）关于M的“对应点”：　（﹣1，5）　 ； ②若点P1（﹣1，n）和点P2（﹣1，n+1）关于M的“对应点”分别为点Q1和点Q2，且线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点，求n的取值范围； （2）若点B关于M的“对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，请写出所有满足条件的点M的坐标：　（，）或（，）或（，）或（，）　 ． 解：（1）①∵点M（1，1）． ∴将点B（ 4，0）关于直线x＝l对称得到点（﹣2，0），再将点（﹣2，0）关于直线y＝1对称得到点（﹣2，2）， 将点C（3，﹣3）关于直线x＝l对称得到点（﹣1，﹣3），再将点（﹣1，﹣3）关于直线y＝1对称得到点（﹣1，5）， ，∴点B（ 4，0）关于M的“对应点“为（﹣2，2），点C（3，﹣3）关于M的“对应点“为（﹣1，5）， 故答案为：（﹣2，2），（﹣1，5）； ②∵点M（1，1）． ∴将点P1（﹣1，n）关于直线x＝l对称得到点（3，n），再将点（3，n）关于直线y＝1对称得到点（3，2﹣n）， ∴点P1（﹣1，n）关于M的“对应点“为Q1（3，2﹣n）， 同理得点P2（﹣1，n+1）关于M的“对应点“Q2为（3，1﹣n）． 线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点有三种情况： 第一种情况：如图，线段Q1Q2在AB上方， ∴1﹣n＞0， 解得n＜1； 第二种情况：如图，线段Q1Q2在△ABC内部， ∴， 解得：2＜n＜4； 第三种情况：如图，线段线段Q1Q2在点C下方， ∴2﹣n＜﹣3， 解得n＞5； 综上所述，n的取值范围是n＜1或2＜n＜4或n＞5； （2）∵A（2，0），B（4，0），C（3，﹣3）． ∴OC3，AC，AB＝OA＝2， ∴∠AOC＝45°， ∴以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，有两种情况： 当AQ3＝AC，BQ3＝OC时，△ABQ3≌△AOC， ∴BQ3＝OC＝3，∠ABQ3＝∠AOC＝45°， 过Q3作Q3D⊥x轴于点D， ∴Q3D＝BD＝3， ∴OD＝OB﹣BD＝1， ∴Q3为（1，3）和（1，﹣3）， 则由新定义可得a，b或b， ∴点M的坐标为（，）或（，）； 当BQ3＝AC，AQ3＝OC时，△ABQ3≌△OAC， 同理得Q3为（5，3）和（5，﹣3）， 则由新定义可得a，b或b， ∴点M的坐标为（，）或（，）； 综上所述，所有满足条件的点M的坐标（，）或（，）或（，）或（，）． 故答案为：（，）或（，）或（，）或（，）． 5．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“同源三角形”． （1）如图1中，若△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，求证：∠BOD＝∠AOC； （2）如图2中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，且∠BOA＝60°，点D在边AB上，连接AC，求证：OA＝AC+AD； （3）如图3中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，点C，D均在△OAB外，连接AC，BD相交于点E，连接OE．试探究OE是否平分∠BEC，并说明理由． （1）证明：∵△OAB和△OCD互为“同源三角形”， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， （2）证明：∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB， 同理△COD是等边三角形， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD， ∴OA＝AB＝BD+AD＝AC+AD； （3）OE平分∠BEC． 理由：过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图所示： ∴∠OMA＝∠ONB＝90°， 由（2）知△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAM和△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS） ∴OM＝ON， ∴EO平分∠BEC． 6．【定义】我们把三角形被一边上中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD． 【应用】如图2，△ACD和△BCD是“友好三角形”，AC∥BE，AB与CE相交于点D． （1）求证：△BCD和△BED是“友好三角形”； （2）若△ACD的面积为1，点P是直线AB上的一动点，连接CP，PE，当图中出现一个三角形和△ABC是“友好三角形”时，求出此时△PBE的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 　或　 ． （1）证明：∵△ACD和△BCD是“友好三角形”， ∴AD＝BD， ∵AC∥BE， ∴∠A＝∠EBD， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ACD≌△BED（ASA）， ∴CD＝ED， ∴BD是△BCE的中线， ∴△BCD和△BED是“友好三角形”； （2）解：由（1）可知，△ACD≌△BED， ∴S△ACD＝S△BED＝1， 分两种情况： ①当△PBC与△ABC是“友好三角形”时，点P在AB的延长线上，AB＝PB，如图2， ∴PB＝AB＝2BD， ∴S△PBE＝2S△BED＝2； ②当△APC与△ABC是“友好三角形”时，点P在BA的延长线上，AB＝AP，如图3， ∴PB＝2AB＝4BD， ∴S△PBE＝4S△BED＝4； 综上所述，此时△PBE的面积为2或4； （3）①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：， ∴特征值k； ②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°， ∴特征值k， 综上所述，特征值k为或． 故答案为： 或 ． 7．阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　是　 （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°，求证：CD为△ABC的“巧妙分割线”． （1）解：∵AB＝AC， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB， ∴△CBD与△ABC是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）证明：∵∠A＝36°，∠B＝48°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣36°﹣48°＝96°， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝96°，∠B＝∠BCD， ∴∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠ACB，DC＝DB， ∴△ACD与△ABC是互为“形似三角形”，且△BCD是等腰三角形， ∴CD为△ABC的“巧妙分割线”． 8．【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BCAB”． 【材料2】定义：若P为△ABC内一点，满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC＝18，则这个等边三角形的高的长度为　9　 ； （2）如图2，已知△ABC，分别以AB，AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点； （3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，其中C村庄到A、B两个村庄的距离相等，且满足∠ACB＝α，请在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时∠QBC＝　60°α　 ． 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵点O是等边△ABC的费马点， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°， ∴∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBO＝60°， ∴∠BAO＝∠CBO， ∴△AOB≌△BOC（AAS）， ∴AO＝OB， 同理AO＝OB＝OC， ∴直线AO垂直平分BC，∠OBC＝30°， 延长AO交BC于H， ∴AH⊥BC， ∵OA+OB+OC＝18， ∴OA＝OBOC＝6， ∴OHOC＝3， ∴AH＝9， ∴这个等边三角形的高的长度为9， 故答案为：9； （2）证明：如图2，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD交点为G． ∵△ABD与△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC＝60°， ∴∠CAD＝∠EAB， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE，CD＝BE，S△CAD＝S△EAB， 又∵∠ADC+∠DAG＝∠ABE+∠GPB， ∴∠GPB＝∠DAG＝60°， ∴∠BPC＝∠DPE＝120°，∠EPC＝60°， ∵S△CADCD•AM，S△EABBE•AN， ∴CD•AMBE•AN， ∴AM＝AN， ∴AP平分∠DPE， ∴∠APD＝∠APE＝60°， ∴∠APB＝∠APC＝120°＝∠BPC， ∴点P是△ABC的费马点； （3）解：如第（2）小题那样，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于一点，由（2）小题知该点是△ABC的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明：如图3，设点Q是△ABC内一点，连接QA、QB、QC，并在QB同侧作等边△ABD与等边△QBK，连接DK． ∵△ABD与△QBK都是等边三角形， ∴BA＝BD，BQ＝BK＝QK，∠ABD＝∠QBK＝60°， ∴∠KBD＝∠QBA， ∴△KBD≌△QBA（SAS）， ∴∠DKB＝∠AQB，DK＝AQ， ∴QA+QB+QC＝DK+KQ+QC≥DC． 当D、K、Q、C四点共线时，QA+QB+QC＝DC为最小值， 又∵∠BKQ＝∠BQK＝60°， ∴∠DKB＝∠AQB＝120°，∠CQB＝120°， ∴∠AQC＝120°， ∴点Q是△ABC的费马点， 即当点Q是△ABC的费马点时，QA+QB+QC的值最小． ∵BD＝AD，CA＝CB， ∴CD垂直平分AB， ∴∠ACQ＝∠BCO∠ACBα， ∵∠BQC＝120°， ∴∠QBC＝180°﹣∠BQC﹣∠BCQ＝60°α． 故答案为：60°α． 9．综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　①②④　 （填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB＝AD，AC是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：CA平分∠DCB，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设∠BAD＝α，将△ADC绕着点A顺时针旋转α度得到△ABE．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中AB＝AD，主支架BC为13米，辅助支架DC为5米，支架夹角∠BCD＝60°，工程师需要计算该零件四边形ABCD的材料用量，请你求出四边形ABCD的面积． 解：（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有①②④； 故答案为：①②④； （2）设∠BAD＝α，将△ADC绕着点A顺时针旋转α度得到△ABE， ∴△ADC≌△ABE， ∴∠D＝∠2，∠4＝∠E，AE＝AC， ∵∠D+∠1＝180°， ∴∠D+∠2＝180°， ∴C，B，E三点共线， 在△AEC中，AE＝AC， ∴∠3＝∠E＝∠4，即：AC平分∠DCB； （3）过点A作AF⊥CE交CE于F， CE＝CB+BE＝CB+CD＝13+5＝18（米）， ∵AE＝AC，AF⊥CE， ∴CFCE＝9（米）， ∵， ∴AC＝2AF， ∵在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2， ∴4AF2＝AF2+CF2， ∴AF＝3米， ∴S△ACE（平方米）． 10．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）　②④　 ； （2）如图1，在正方形ABCD中，点F，G分别在边DC，BC上，且BG＝CF，连接AG，FG，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，Rt△ABC中，已知AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，点E为线段AB中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． （1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意； ②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意； ③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意； ④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）证明：如图，连接AF、DG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BG＝CF， ∴DF＝CG， ∴△ADF≌△DCG（SAS）， ∴AF＝DG， ∴四边形ADFG是等角线四边形． （3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴， ∵点E为线段AB中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点， ∴DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE＝2， 根据题意，分两种情况： Ⅰ．当点D在AB的上方时，如图，连接BD， ∵四边形ABCD为等角线四边形， ∴AC＝BD＝2， ∴， ∴10． Ⅱ．当点D在AB的下方时，如图，连接CD，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于点F， ∴∠F＝90°， ∵∠BED＝90°，∠ABF＝∠ABC＝90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∴BE＝DF＝2，DE＝BF， ∵四边形ADBC为等角线四边形， ∴AB＝CD＝4． ∴CF， ∴DE＝BF＝CF﹣BC2， ∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD， 综上，这个等角线四边形的面积为10或． 11．综合与探究 【探究发现】小军同学对图1、2两个四边形性质进行了探究． ①如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，DA＝DC，则AC　⊥　 BD（填位置关系）； ②如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AC⊥BD于E，则AB2　＝　 AD•BC；（填“＞”，“＜”或“＝”） 【抽象定义】小军发现上面两个四边形有一些共同特征．他把有一个内角是直角，且对角线互相垂直四边形称为“直角对垂四边形”． 【存在性】如图3，在三角形中，AB＝AC，点D是BC中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE，使得∠BAC＝∠DAE，连接EC、DE，AC与DE相交于点F，求证：四边形ADCE是直角对垂四边形． 【应用】如图4，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在四边形ABCD的边上，EF＝5，如果四边形ABEF是直角对垂四边形，直接写出DF的长． 解：（1）①∵AB＝BC， ∴点B在线段AC的垂直平分线上， ∵DA＝DC， ∴点D在线段AC的垂直平分线上， ∴BD是线段AC的垂直平分线，即AC⊥BD， 故答案为：⊥； ②∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝90°﹣∠CBE＝∠BCA， ∴△ABD∽△BCA， ∴， ∴AB2＝AD•BC； 故答案为：＝； （2）证明：∵AB＝AC，点D是BC中点， ∴AD⊥BC，， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转至AE， ∴AD＝AE， ∵AC＝AC， ∴△CAD≌△CAE（SAS）， ∴CD＝CE， ∴点C在线段DE的垂直平分线上， ∵AD＝AE， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴AC是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE， 又∵AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是直角对垂四边形； （3）当点F在CD边上， 设DF＝x，则CF＝4﹣x， ∵四边形ABEF是直角对垂四边形， ∴AE⊥BF， ∵长方形ABCD， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABF＝∠CBF， ∴△BAE∽△CBF， ∴，即， ∴， ∴， ∵EF＝5，∠C＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2，即， 整理得13x2﹣32x+19＝0，即（13x﹣19）（x﹣1）＝0， 解得x＝1或， ∴DF的长为1或， 当点F在AD边上，设DF＝x，作FG⊥BC于点G，且点G在点E右侧，如图， ∴四边形CDFG和BAFG都是矩形， ∴FG＝CD＝4，BG＝AF＝6﹣x， ∵EF＝5， ∴， ∴BE＝BG﹣EG＝6﹣x﹣3＝3﹣x， 同理△ABE∽△BGF， ∴，即， 整理得x2﹣9x+2＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝81﹣4×1×2＝73， 解得，不符合题意，舍去， ∴DF的长为； 当点F在AD边上，设DF＝x，作FG⊥BC于点G，且点G在点E左侧，如图， ∴四边形CDFG和BAFG都是矩形， ∴FG＝CD＝4，BG＝AF＝6﹣x， ∵EF＝5， ∴， ∴BE＝BG+EG＝6﹣x+3＝9﹣x， 同理△ABE∽△BGF， ∴，即， 整理得x2﹣15x+38＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝225﹣4×1×38＝73， 解得x， ∵，不符合题意，舍去， ∴DF的长为； 综上，DF的长为1或或或． 12．综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形ABCD中，∠B＝∠C，则四边形ABCD为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有　②④　 ．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【应用】（2）如图2，▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE并延长，交AD边于点F，若CE＝CD，求证：AB•DF＝EF•AD． 【延伸】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BE＝3，过点E作直线EG交对角线AC于点F，交边AD所在直线于点G，若四边形ABEF为“邻等角四边形”，则FG的长为　或或　 ． （1）解：平行四边形及特殊平行四边形都是邻角互补，要满足相等，则为直角， 故矩形和正方形是邻等角四边形， 故答案为：②④； （2）证明：如图，过A作AM∥CF于点M， 则∠DEF＝∠DMA， ∵∠FDE＝∠ADM， ∴△DFE∽△DAM， ∴， ∴AM•DF＝EF•AD， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED＝∠FEB， ∵CE∥AM， ∴∠AMB＝∠FEB＝∠CDE， 在平行四边形ABCD中，AC∥CD， ∴∠ABM＝∠CDE， ∴∠ABM＝∠AMB， ∴AB＝AM， ∴AB•DF＝EF•AD； （3）解：①当∠B＝∠BEF＝90°时，此时EF∥AB，如图， ∵BE＝3，BC＝8， ∴CE＝BC﹣BE＝5， ∵∠FCE＝∠ACB，∠B＝∠FEC＝90°， ∴△CEF∽△CBA， ∴， 即， ∴EF， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABEG为矩形， ∴EG＝AB＝6， ∴FG＝EG﹣EF＝6； ②当∠BAF＝∠AFE时，如图，过B作BN∥EG交AC于点N，过B作BK⊥AC于点K， 则∠ANB＝∠AFE＝∠BAN， ∴BA＝BN＝6， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， 由等面积可知BK， 在Rt△ABK中，AK， ∵AB＝BN，BK⊥AC， ∴AN＝2AK， ∴CN＝CA﹣AN， ∵EF∥BN， ∴△CEF∽△CBN， ∴，即， 解得EF，CF， ∴AF＝AC﹣CF， ∵CE∥AG， ∴△CEF∽△AGF， ∴，即， 解得FG； ③当∠AFE＝∠BEF时， 此时∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF＝5， ∴AG＝AF＝5， 过F作FL⊥AD于点L，则FLCD＝3， ∴ALAD＝4， ∴GL＝AG﹣AL＝5﹣4＝1， ∴FG． 综上，FG的长为或或， 故答案为：或或． 13．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 D ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论： ①AC＝BD ； ②AC⊥BD ； 问题解决： （3）如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC，EC，BG，问EC，BG有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．试探索BD与MN的数量关系，并说明理由． 解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故答案为：D； （2）①AC＝BD，②AC⊥BD；理由如下： 如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴四边形EFGH是正方形， ∴EF＝FG＝HG＝EH，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝∠HEF＝90°， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴， ∴AC＝BD，AC⊥BD， 故答案为：①AC＝BD，②AC⊥BD； （3）EC，BG的位置关系为EC⊥BG，数量关系为EC＝BG，理由如下： 如图，取四边形BCGE边BC、CG、GE、BE中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴， ∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥CE∥ML，RN＝ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°， ∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAG， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG， 又∵， ∴RL＝RN， ∴四边形MNRL是菱形， ∵∠EAB＝90°， ∴∠AEP+∠APE＝90°． 又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK＝90°， ∴∠BKP＝90°， ∴EC⊥BG， 综上所述，EC，BG的位置关系为EC⊥BG，数量关系为EC＝BG； （4），理由如下： 如图，设AD、BC的中点分别为E、F，并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM＝FN，∠MFN＝90°， ∴， ∵F，N分别是BC，CD的中点， ∴， ∴． 14．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是 　④　 ．（填序号） （2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG，EG． ①判定四边形ABEG是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是AB，AG，GE，EB的中点，求证：四边形MNPQ是“神奇四边形”． （3）如图3，点F，R分别在正方形ABCD的边AB，CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O．若AB′＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长． （1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④； （2）①解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABG+∠CBG＝90°， ∵BG⊥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝90°， ∴∠BAE＝∠CBG， 在△ABE和△BCG中， ， ∴△ABE≌△BCG（ASA）， ∴AE＝BG， 又∵BG⊥AE， ∴四边形ABEG是“神奇四边形”， 故答案为：是； ②证明：∵M，N为AB，AG的中点， ∴MN为△ABG的中位线， ∴MN∥BG，MNBG， 同理：PQ∥BG，PQBG，MQ∥AE，MQAE，NP∥AE，NPAE， ∴MN＝PQ，MQ＝NP， ∴四边形MNPQ为平行四边形， ∵AE＝BG， ∴MN＝MQ， ∴平行四边形MNPQ为菱形， ∵BG⊥AE，MQ∥AE， ∴MQ⊥BG， ∵MN∥BG， ∴MQ⊥MN， ∴∠QMN＝90°， ∴四边形MNPQ为正方形， ∴四边形MNPQ是“神奇四边形”； （3）解：如图3，延长AO交BC于S， 由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B， ∵四边形ABCD是正方形，边长为6， ∴AB＝6，∠B＝90°， ∴AS2，∠B'＝∠B＝90°， ∴AOAS， 设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x， 在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2， ∴x ∴AF ∵AO⊥FR， ∴∠AOF＝90°， ∴OF． 即线段OF的长为． 15．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，则折线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长． 已知，在菱形ABCD中，AB＝a，E是CD的中点，连接AE，BE． （1）如图1，若a＝4，∠C＝60°，求折中线AEB的长； （2）如图2，若∠AEB＝∠C，请探究折中线AEB的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若a＝4，且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长． 解：（1）如图，连接DB， ∵在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠C＝60°， ∴△DBC为等边三角形， ∵点E为DC的中点， ∴ED＝EC＝2，EB⊥DC， 在Rt△EBC中，， ∵DC∥AB， ∴∠EBA＝∠BEC＝90°， 在Rt△EBA中，， ∴折中线AEB的长为． （2）折中线AEB的长等于，理由如下： 在菱形ABCD中，DC∥AB， ∴∠CEB＝∠EBA， 又∵∠AEB＝∠C， ∴△AEB∽△BCE， ∴， ∴， ∴BEa， ∴， ∴折中线AEB的长等于； （3）由已知得折中线AEB中的AE或BE只能与菱形ABCD中较短的对角线相等， 当BE＝BD时，如图，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，过点B作BG⊥CD于点G， ∴DG＝EG＝1，BF＝EG＝1， 在Rt△BCG中，， 在Rt△BEG中，， ∵AF＝AB+BF＝5，， 在Rt△AEF中，， ∴； 当BE＝AC时，如图，过点C作CF∥BE交AB的延长线于点F， ∴四边形BECF是平行四边形， ∴CF＝BE＝AC， ∴∠CAF＝∠F， ∵∠F＝∠ABE， ∴∠CAF＝∠ABE， ∵AB＝BC， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴△ABO∽△ACB， ∴，即AC•AO＝AB2＝16， ∵CD∥BF， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵AB＝AB，∠CAF＝∠ABE，AC＝BE， ∴△ABE≌△BAC（SAS）， ∴∠BAE＝∠ABC， ∵AB＝BC，∠ABC＝∠D， ∴∠BAE＝∠ABC＝∠D， ∵CD∥AB， ∴∠AED＝∠BAE， ∴∠AED＝∠D， ∴AE＝AD＝4， ∴AE+BE＝AE+AC＝4+2． 综上，折中线AEB的长为或． ( 第 1 页 共 47 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $