与几何动态有关的函数分析与计算-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

与几何动态有关的函数分析与计算正文 1．在长方形ABCD中AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y（当点P与点A或D重合时，y＝0）． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当△APD的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． 2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝9，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：AD＝DB； （2）设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式； （3）当∠DEF＝90°时，求BF的长？ 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3cm，D是BC边中点，延长BC至点E，使CE＝CD，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以1cm/s的速度沿ED向终点D运动，点Q以1cm/s的速度沿D→B→D运动，以PQ为边向PQ上方作等边三角形PQR．设△PQR与△ABC重叠部分的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）． （1）AC＝ 　 　 ； （2）当点A落在边PR上时，求t的值； （3）当△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数解析式． 4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm．动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发． （1）写出△PBQ的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围．并求出当t为何值时，S最大； （2）经过几秒，△PBQ的面积为32mm2； （3）出发几秒后，PQ的长度等于12mm？ 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝3．将一块直角三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直． （1）如图1，当点F与点C重合时，求CD的长； （2）如图2，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如图2，联接EF，若△DEF是直角三角形，求AD的长． 6．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，联结EF、AG，已知AB＝5，BC＝3，AC＝4． （1）求证：AC⊥AG； （2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长． 7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ． （1）当QD＝QC时，求AP的长； （2）设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式； （3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝3，，∠A＝45°，动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向点C运动，点P在AB上的速度为每秒1个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度，过点P作PQ⊥AB交线段AD于点Q，以PQ为边向其右侧作矩形PQMN，使QM∥AB，且PQ＝2QM．当点Q与点D重合时，点P停止运动．设矩形PQMN与▱ABCD重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）（x＞0）． （1）当点Q与点D重合时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式； （3）连接DB，当矩形PQMN的边PQ或MN的中点落在DB上时，直接写出x的值． 9．综合与实践 如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答） 【用数学的眼光观察】 （1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由． 【用数学的思维思考】 （2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 　　 ． 【用数学的语言表达】 （3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围） 10．如图①所示，△OAB是等边三角形，OA＝12，矩形OCDE的边OE＝7，OC，点E，O，A在一条直线上．如图②，将矩形OCDE沿OA向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'，设，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S． （1）当点C'落在AB上时，t＝　 　 ； （2）当点D'落在OB上时，t＝　 　 ； （3）求S关于的函数解析式，并写出t的取值范围； （4）当t≤10时，直接写出S的取值范围． 11．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，CD＝AD+BC． （1）尺规作出以AB为直径的圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式． 与几何动态有关的函数分析与计算答案 1．在长方形ABCD中AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y（当点P与点A或D重合时，y＝0）． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当△APD的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． 解：（1）当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时， 则， 当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时， 则， 当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时， 则， 综上，； （2）当△APD的面积为 4， 即y＝4， ∴2x＝4或﹣2x+20＝4， ∴x＝2或x＝8， ∴当x的值为2或8时，△APD的面积为4． 2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝9，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：AD＝DB； （2）设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式； （3）当∠DEF＝90°时，求BF的长？ （1）证明：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴AD＝BD； （2）解：∵CE＝x，AC＝9， ∴AE＝AC﹣CE＝9﹣x， 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝18， 在Rt△AEF中，EF⊥AB，∠EAF＝60°， ∴∠AEF＝180°﹣∠EFA﹣∠EAF＝30°， ∴， ∴； （3）解：∵∠DEF＝90°，∠AEF＝30°， ∴∠CED＝60°， ∴∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝30°， ∴ED＝2CE＝2x， ∵∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝30°， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∴2x＝9﹣x， ∴x＝3， ∴． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3cm，D是BC边中点，延长BC至点E，使CE＝CD，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以1cm/s的速度沿ED向终点D运动，点Q以1cm/s的速度沿D→B→D运动，以PQ为边向PQ上方作等边三角形PQR．设△PQR与△ABC重叠部分的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）． （1）AC＝ 　　 ； （2）当点A落在边PR上时，求t的值； （3）当△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数解析式． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3cm，D是BC边中点，延长BC至点E，使CE＝CD，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以1cm/s的速度沿ED向终点D运动，点Q以1cm/s的速度沿D→B→D运动，以PQ为边向PQ上方作等边三角形PQR．设△PQR与△ABC重叠部分的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）． 解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴ACBC， 故答案为：； （2）∵△PQR是等边三角形， ∠RPQ＝60°， ∵∠ACP＝90°，AC， ∴PC， ∵D是BC的中点， ∴CE＝CDBC， ∴EP＝CE﹣PC， ∴t； （3）如图1， 当0＜t时， 设RQ与AB交于点W，作WV⊥BC于V， ∵∠BWQ＝∠RQP﹣∠ABC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABC＝∠BWQ， ∴QW＝BQt， ∴WVQW（）， ∴S△BWQ， ∵S△ABC， ∴S， 如图2， 当时， 设RQ与AB交于T，PR交AB于W， ∵PQ＝BE﹣EP﹣BQ6﹣2t， ∴S△PRQ， RT＝RQ﹣BQ＝PQ﹣BQ＝（6﹣2t）﹣（t）， ∵∠RPQ+∠ABC＝90°， ∴∠PWB＝∠RWT＝90°， ∴RW， ∴S△RTW， ∵S△BQT， ∴S ， 综上所述：S． 4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm．动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发． （1）写出△PBQ的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围．并求出当t为何值时，S最大； （2）经过几秒，△PBQ的面积为32mm2； （3）出发几秒后，PQ的长度等于12mm？ 解：（1）动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动， ∴PB＝（12﹣2t）cm，BQ＝4t cm， ∴S关于t的函数解析式为； ∴t的取值范围是：0＜t＜6． 对于S＝﹣4t2+24t，当t＝3时，S有最大值； （2）设经过t秒，△PBQ的面积为32mm2． 列方程为， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：设经过2秒或4秒，△PBQ的面积为32mm2； （3）设t秒后，PQ的长度等于12mm，列方程为：（12﹣2t）2+（4t）2＝122， 解得t1＝0（舍去），t2＝2.4， 答：出发2.4秒后，PQ的长度等于12mm． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝3．将一块直角三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直． （1）如图1，当点F与点C重合时，求CD的长； （2）如图2，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如图2，联接EF，若△DEF是直角三角形，求AD的长． 解：（1）∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵∠EDF＝30°，∠A＝30°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠ACD＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠A＝∠ACD＝30°， ∴DA＝DC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝∠DCB＝60°， ∴CD＝DB， ∴CD＝AD＝DB， ∵AC＝3，AB＝2BC， ∴AB＝2， ∴CDAB； （2）∵DE⊥AB，∠EDF＝30°， ∴∠FDB＝∠B＝60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BF＝BD， ∴AD+BD＝2， ∴x+y＝2， ∴y＝2x， ∵y， ∴2x， ∴x， ∵30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC交于点E、F， ∴过C作CM⊥AB于M，最后D只能到M点， ∴x此时是， ∴函数的自变量的取值范围（即x的取值范围）是x； （3）如图1中，当∠DEF＝90°时， ∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，AD＝x， ∴DEx， ∵∠EDF＝30°， ∴DF＝DBx， ∴xx＝2， 解得：x， 即AD； 当∠EFD＝90°时，（如图2）， ∵∠FDE＝30°， ∴DF＝DBx， ∴xx＝2， 解得：x， 即AD； 综上所述：AD或AD． 6．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，联结EF、AG，已知AB＝5，BC＝3，AC＝4． （1）求证：AC⊥AG； （2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长． （1）证明：∵AB＝5，BC＝3，AC＝4， ∴AC2+BC2＝16+9＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵DG＝FD，∠ADG＝∠BDF， 在△ADG与△BDF中， ， ∴△ADG≌△BDF（SAS）， ∴∠B＝∠GAD， ∴∠GAD+∠CAB＝90°，即∠CAG＝90°， ∴AC⊥AG； （2）解：如图1，连接EG， ∵AE＝x，AC＝4， ∴EC＝4﹣x， 同理得：BF＝3﹣y， 由勾股定理得：EF2＝EC2+CF2， ∴EF2＝（4﹣x）2+y2， ∵△ADG≌△BDF， ∴AG＝BF＝3﹣y， ∴EG2＝AE2+AG2＝x2+（3﹣y）2， ∵FD＝DG，ED⊥FD， ∴ED是GF的垂直平分线， ∴EG＝EF， ∴（4﹣x）2+y2＝x2+（3﹣y）2， ∴y， ∵点F与点B、C不重合， ∴03， ∴x； （3）解：设AE＝x，CF＝y， 分两种情况： ①当BF＝BD时，则3﹣y， ∴y， 由（2）知：， ∴x； ②当DF＝BF时，如图2，连接CD，过点D作DH⊥BC于H， ∴DF＝BF＝3﹣y， ∵∠ACB＝90°，D为BC的中点， ∴CDAB＝BD， ∴CH＝BH， 由勾股定理得：DH2， 在Rt△DHF中，DF2＝DH2+FH2， ∴（3﹣y）2＝22+（y）2， ∴y， 由（2）知：， ∴x， 综上，AE的长是或． 7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ． （1）当QD＝QC时，求AP的长； （2）设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式； （3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图1， 延长PQ交BC延长线于点E．设PD＝a． ∵∠PBC＝∠BPQ， ∴EB＝EP． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DPQ＝∠E， 在△PDQ和△ECQ中， ， ∴△PDQ≌△ECQ（AAS）， ∴PD＝CE，PQ＝QE． ∴BE＝EP＝a+2， ∴QPa+1， 在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2＝PQ2， ∴a2+1＝（a+1）2，解得a， ∴AP＝AD﹣PD； （2）如图2， 过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ． ∵AD∥BC， ∴∠CBP＝∠APB， ∵∠PBC＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠HPB， ∵∠A＝∠PHB＝90°， 在△ABP和△HBP中， ， ∴△PAB≌△PHB（AAS）， ∴AP＝PH＝x．AB＝BH， ∵AB＝BC， ∴BH＝BC， 在Rt△BHQ和Rt△BCQ中， ， ∴Rt△BHQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴QH＝QC＝y， 在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2＝PQ2， ∴（2﹣x）2+（2﹣y）2＝（x+y）2， ∴y（0＜x＜2）． （3）存在，∠PBQ＝45°． 由（2）知，△PAB≌△PHB， ∴∠ABP＝∠HBP， ∴∠PBH∠ABH 由（2）知，Rt△BHQ≌Rt△BCQ， ∴∠HBQ＝∠CBQ， ∴∠HBQ∠HBC， ∴∠PBQ＝∠PBH+∠HBQ（∠ABH+∠HBC）∠ABC＝45°． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝3，，∠A＝45°，动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向点C运动，点P在AB上的速度为每秒1个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度，过点P作PQ⊥AB交线段AD于点Q，以PQ为边向其右侧作矩形PQMN，使QM∥AB，且PQ＝2QM．当点Q与点D重合时，点P停止运动．设矩形PQMN与▱ABCD重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）（x＞0）． （1）当点Q与点D重合时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式； （3）连接DB，当矩形PQMN的边PQ或MN的中点落在DB上时，直接写出x的值． 解：（1）当点Q与点D重合时，如图， 在▱ABCD中，AB＝3，，∠A＝45°， ∴，AD∥BC， ∵四边形PQMN是矩形， ∴∠PDC＝90°， ∴△PCD为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）当点N与点B重合时， ∵QP⊥AB，∠A＝45°，AP＝x， ∴PQ＝AP＝x， ∵矩形PQMN，PQ＝2QM， ∴， ∴， 解得：x＝2； 当点P运动到点B时，x＝3， 由（1）可知，当点Q与点D重合时，x＝4， ∴当0＜x≤2时，重叠部分为矩形PQMN， ∴； 当2＜x≤3时，重叠部分为五边形PQMEB，如图3， 则：， ∵AD∥BC， ∴∠EBN＝∠A＝45°， ∴△BNE为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当3＜x≤4时，重叠部分为梯形PQME，此时， 延长QP，AB交于点F，由题意，得：QF⊥AB， ∵AD∥BC， ∴∠PBF＝∠A＝45°， ∴，QF＝AF＝AB+BF＝3+x﹣3＝x， ∴PQ＝QF﹣PF＝x﹣x+3＝3， ∴， ∴； 综上：； （3）或．理由如下： ①当MN的中点O落在BD上时，如图5，连接OP，此时， ∵O为MN的中点， ∴， ∴∠OPB＝45°＝∠A，， ∴OP∥AD， ∴△PBO∽△ABD， ∴，即， ∴， 解得：； ②当PQ的中点O在BD上时，如图6，此时， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠BOP＝∠DOQ，OP＝OQ， 在△DOQ和△BOP中， ， ∴△DOQ≌△BOP（AAS）， ∴BP＝DQ， 由（2）可知：QF＝AF＝x， 则， ∴， ∵BP＝DQ， ∴， ∴； 综上：或． 9．综合与实践 如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答） 【用数学的眼光观察】 （1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由． 【用数学的思维思考】 （2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 　　 ． 【用数学的语言表达】 （3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围） 解：（1）BD⊥DG，理由如下； 在正方形ABCD和正方形AEFG中， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG＝90°﹣∠DAE， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠ADG+∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°， ∴BD⊥DG； （2）连接AC交BD于点O，则∠COD＝90°， ∵正方形边长为8， ∴AC＝BD， ∴OC＝OD＝4， ∴OM＝OD﹣DM＝4DM， ∵∠COM＝∠GDM＝90°，∠CMO＝∠GMD， ∴△CMO∽△GMD， ∴，即， 解得DM， ∵∠BDG＝90°， ∴tan∠CMB＝tan∠DMGa， 故答案为：； （3）当点E在线段BD上时，如图，过E作EK⊥AD于点K， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝45°， ∴△DEK为等腰直角三角形， ∴DK＝EK＝DE•sin45°x， ∴AK＝AD﹣DK＝8x， 在Rt△AKE中，AE2＝EK2+AK2 ＝（）2+（8x）2 ＝x2﹣8x+64， ∴S＝AE2＝x2﹣8x+64； 当点E在BD延长线上时，如图，过E作EL⊥AD交AD延长线于点L， 同理可得EL＝DLx， ∴AL＝AD+DL＝8x， 在Rt△ALE中，AE2＝EL2+AL2 ＝（x）2+（8x）2 ＝x2+8x+64， ∴S＝AE2＝x2+8x+64； 综上，S与x的函数解析式为S＝x2﹣8x+64或S＝x2+8x+64． 10．如图①所示，△OAB是等边三角形，OA＝12，矩形OCDE的边OE＝7，OC，点E，O，A在一条直线上．如图②，将矩形OCDE沿OA向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'，设，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S． （1）当点C'落在AB上时，t＝　9　 ； （2）当点D'落在OB上时，t＝　10　 ； （3）求S关于的函数解析式，并写出t的取值范围； （4）当t≤10时，直接写出S的取值范围． 解：（1）如图， 当点C'落在AB上时，根据平移的性质得，∠AO'C'＝90°， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴， ∴OO'＝OA﹣AO'＝12﹣3＝9， 故答案为：9； （2）如图， 当点D'落在OB上时，根据平移的性质得O'E'＝OE＝7，，∠OE'D'＝90°， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠D'OE'＝60°， ∴， ∴OO'＝OE'+O'E'＝3+7＝10， 故答案为：10； （3）分以下三种情况： 当7时，如图， ∵∠D'FO＝∠BOA＝60°，， ∴， ∵OO'＝CC'＝t， ∴FC'＝t﹣3， ∴； 当7＜t≤9时，如图， 根据平移可得OO'＝CC'＝DD'＝t， ∵DF＝CD+CF＝7+3＝10， ∴D'F＝DF﹣DD'＝10﹣t， ∵∠D'FG＝∠AOB＝60°， ∴， ∴S＝S矩形O'C'D'E﹣S△FGD' ； 当9＜t≤10时，如图， 由（1）可得CT＝9， 根据平移可得OO'＝CC'＝DD'＝t， ∴C'T＝CC'﹣CT＝t﹣9，， ∴S＝S矩形O'C'D'E﹣S△FGD'﹣S△C'HT ； 综上，S关于的函数解析式为； （4）当时，，此时S随t的增大而增大， 当时，， 当t＝7时，， 此时； 当7＜t≤9时，的对称轴为t＝10，当7＜t≤9时S随t的增大而增大， 当t＝9时，， 此时； 当9＜t≤10时，的对称轴为，当时有最大值， 当t＝10时，当t＝9时，， 此时； 综上所述，当时，S的取值范围是． 11．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，CD＝AD+BC． （1）尺规作出以AB为直径的圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式． 解：（1）所作图形如图1所示； （2）CD与⊙O相切，理由：如图2， 作∠ADC的角平分线，交AB于M， ∴∠ADM＝∠CDM， 过点M作MF⊥CD于F， ∴∠DFM＝90°＝∠A， ∵DM＝DM， ∴△ADM≌△FDM（AAS）， ∴MF＝MA，DF＝AD， ∴CD＝DF+CF＝AD+CF， ∵CD＝AD+BC， ∴CF＝BC， 在Rt△CFM和Rt△CBM中， ， ∴Rt△CFM≌Rt△CBM（HL）， ∴BM＝MF， ∴MFAB， ∵⊙O的直径为AB， ∴CD与⊙O相切（圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线）； （3）如图3，过点D作DE⊥BC于E， ∴∠DEC＝∠DEB＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴DE＝AB＝12，BE＝AD＝x， 在Rt△DEC中，CE＝BC﹣BE＝y﹣x，CD＝AD+BC＝x+y， 根据勾股定理得，DE2+CE2＝CD2， ∴122+（y﹣x）2＝（x+y）2， ∴y． ( 第 1 页 共 50 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $