与动点有关的几何探究题-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

与动点有关的几何探究题正文 1．在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一动点，连接BE，在BE的下方作等边△BEF． （1）如图①，当BD＝DE时，连接CF， ①∠ABF＝　 　 °． ②求证：△ABE≌△CBF． （2）如图②，连接DF，直接写出△BDF的周长的最小值，并写出此时∠DBF的度数． 2．（1）提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为 　 　 ． （2）探究问题：①如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4．点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或CB于点Q，当点P不与点D重合时，以PQ、PD为邻边作矩形PQFD，设点P的运动时间为t秒（t＞0），矩形PQFD的面积为S． （1）直接用含t的代数式表示线段PD的长； （2）求S与t之间的函数关系式； （3）当S＝1时，直接写出t的值． 4．【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形ABC中，若E是AB的中点，P为高AD上一点，AD＝3，连接BP、PE，求BP+PE的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形ABC中，若P为高CE上一点，高CE＝3，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一定点，Q，R分别是OA，OB上的动点，当△PRQ周长的最小值为5时，求OP的长． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，P为射线BC上一动点（点P不与点B重合），以AP为直角边在AP的右侧作直角三角形APQ，其中∠PAQ＝90°，AP＝AQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，求点Q到直线AC的距离； （2）如图2，当点P运动到BC的延长线上时，连接BQ，交直线AC于点M，求证：BM＝QM； （3）点P在运动过程中，连接BQ，交直线AC于点M，若S△ABP＝4S△AMQ，则PC的长为　 　 ． 6．项目式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组拟做以下微项目探究． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交BC边于点F． 【探究1】 如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【探究2】 如图2，当n＝2时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明． 【探究3】 如图3，当（n为正整数）时，请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论，请写出结论并证明． 7．如图1，等边△ABC的边长为8，点D是直线AB上异于A，B的一动点，连接CD，以CD为边长，在CD左侧作等边△CDE，连接AE． （1）求证：△CAE≌△CBD； （2）当点D在线段AB上运动时，△ADE的面积是否存在最大值？若存在，求此时BD的长；若不存在，说明理由； （3）如图2，当点D在直线AB上运动时，直线CE与直线AB交于点F，△AEF能否形成直角三角形？若不能，说明理由．若能，直接写出AD的长． 8．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM． 【初步尝试】（1）如图①，当△ABC为等边三角形时，甲同学发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB，试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值． 9．【问题提出】 （1）如图1，四边形ABCD是正方形，AB＝6，BE＝2，P为对角线BD上一动点，则PE+PC的最小值为　 　 ． 【问题探究】 （2）如图2，四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，M，N为对角线BD上的动点，且，求AM+CN的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，这是某公司的一块三角形园区，在△ABC中，AB＝AC＝100米，，AB＝4AD，P为AC的中点．在边BC上的M，N两点处，安排两位安全员负责整个园区安全，并且M，N两点处的两位安全员始终保持直线距离20米．点M处的安全员负责园区西侧的安全，他巡逻的路线是MD；点N处的安全员负责园区东侧的安全，他巡逻的路线是NP．为了提高工作效率，两位安全员的单程路程之和（DM+PN）应该最小，你能用所学的知识计算出两位安全员单程路程之和的最小值吗？如果可以，请计算出最小值；如果不能，请说明理由． 10．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M． （1）求证：AM＝MF； （2）当CF＝4时，求出CM的长； （3）在点E的运动过程中，是否存在△B′DM是以B′M为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出CF的长． 11．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，点A，E，F，G按顺时针排列，连接CG交射线BD于点M，连接DG． （1）当点E在线段BD上（不与点B和点D重合）时，如图． ①请判断BD与DG的位置关系，并说明理由； ②若，求DG的长； （2）当时，求DE的长． 12．问题提出： （1）如图1，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，若点E、F分别在边BC、CD上，BE，∠AEF＝90°，则CF＝　 　 ． 问题解决 （2）如图2，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，F是AD的中点，延长CD至E，且满足∠EFC＝90°，连接AE，则AE的长为多少？ 问题探究 （3）如图3，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是边AD上一动点，连接CE，作FE⊥CE，并且满足EF＝2CE，则在点E运动过程中，AF是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 13．【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AB的中点，E、F分别是直线BC、AD上一个动点，连结OE、EF、CF，且EF⊥OC，求线段OE+CF的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现EF、OC的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形，求的值，下面给出了证明过程． 证明：作FH⊥BC于点H，（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵EF⊥OC， ∴∠OCB+∠FEH＝90°， 证明过程缺失． （2）请你补全证明过程． 【问题解决】求出的值后，将OE沿EF的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作OG∥EF，且OG＝EF．在【问题呈现】的条件下，线段OE+CF的最小值为　 　 ． 14．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，AD上的动点，满足AE＝DF，连接点DE，CF交于点G． （1）求证：CF⊥DE； （2）如图2，连接AC与DE交于点H，恰好点G是DH的中点． ①求DF的长； ②如图3，点P为CF上一点，PQ⊥AC，垂足为点Q，求PH+PQ的最小值． 15．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　 ； ②BC、CD、CF之间的数量关系为：　 　 ；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CF之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AH⊥BC，，，求EG的长． 与动点有关的几何探究题正文+答案 1．在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一动点，连接BE，在BE的下方作等边△BEF． （1）如图①，当BD＝DE时，连接CF， ①∠ABF＝　75　 °． ②求证：△ABE≌△CBF． （2）如图②，连接DF，直接写出△BDF的周长的最小值，并写出此时∠DBF的度数． （1）①解：∵△ABC、△BEF是等边三角形， ∴∠ABC＝∠EBF＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∵BD＝DE， ∴∠EBD＝∠BED＝45°， ∴∠CBF＝∠EBF﹣∠EBD＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝60°+15°＝75°， 故答案为：75； ②证明：∵△ABC、△BEF是等边三角形， ∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC，BE＝BF， ∵∠ABE+∠EBD＝60°，∠CEF+∠EBD＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：△BDF的周长的最小值为1，∠DBF＝30°；理由如下： 如图②，△ABC、△BEF是等边三角形，连接CF， ∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC，BE＝BF， ∵∠ABE+∠EBD＝60°，∠CEF+∠EBD＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∵AD是BC边上的中线， ∴∠BCF＝∠BAD＝30°， 如图③，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF＝FG， ∴当B、F、G三点共线，BF+DF的最小值为BG，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小， 由轴对称的性质得，∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG， ∴△DCG是等边三角形， ∴DG＝DC＝DB， ∴∠CGD＝∠CDG＝60°， ∵BG⊥CG，即∠CGB＝90°， ∴∠DBF＝90°﹣60°＝30°． ∵等边△ABC中的边长为2， ∴BD＝1， 设DF＝x，则BF＝2x， 由勾股定理得：（2x）2﹣x2＝12， 解得：x（负值已舍去）， ∴DF，BF， ∴△BDF的周长的最小值为11． 2．（1）提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为 　∠1+∠2＝90°　 ． （2）探究问题：①如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 解：（1）∵∠BAC＝90°，∠1+∠BAC+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：∠1+∠2＝90°； （2）①DE＝BD+CE，理由如下： ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； ②DE＝BD+CE成立．证明如下： 如图2， ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠DAB＝∠DAB+∠CAE， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）①当E在BC上，D在AC上时，即， CE＝（16﹣3t）cm，CD＝（12﹣2t）cm， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． ∴CD＝CE， ∴16﹣3t＝12﹣2t， ∴t＝4； ②当E在AC上，D在AC上时，即， CE＝（3t﹣16）cm，CD＝（12﹣2t）cm， ∴CD＝CE， ∴3t﹣16＝12﹣2t， ∴； ③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14， CE＝12cm，CD＝（2t﹣12）cm， ∴CD＝CE， ∴12＝2t﹣12， ∴t＝12． 综上所述，当t＝4或或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4．点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或CB于点Q，当点P不与点D重合时，以PQ、PD为邻边作矩形PQFD，设点P的运动时间为t秒（t＞0），矩形PQFD的面积为S． （1）直接用含t的代数式表示线段PD的长； （2）求S与t之间的函数关系式； （3）当S＝1时，直接写出t的值． 解：（1）∵点D为AB的中点，AB＝4， ∴， ∵动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设点P的运动时间为t秒， ∴AP＝t， ∴当0＜t＜2时，则PD＝AD﹣AP＝2﹣t， 当2＜t≤4时，则PD＝t﹣2； 综上所述，PD； （2）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵PQ⊥AB， ∴∠APQ＝90°， 当0＜t＜2时， ∴△APQ是等腰直角三角形， ∴AP＝PQ＝t， ∴S＝PD•PQ＝（2﹣t）t＝﹣t2+2t， 当2＜t＜4时，同理可得△APQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝BP＝BD﹣PD＝4﹣t， ∴S＝PD•PQ＝（t﹣2）（4﹣t）＝﹣t2+6t﹣8， 综上所述：S与t之间的函数关系式为； （3）由（2）可得：， 当S＝1时，得：1＝﹣t2+2t， 解得：t1＝t2＝1； 当S＝1时，得：1＝﹣t2+6t﹣8， 解得：t1＝t2＝3． 4．【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形ABC中，若E是AB的中点，P为高AD上一点，AD＝3，连接BP、PE，求BP+PE的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形ABC中，若P为高CE上一点，高CE＝3，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一定点，Q，R分别是OA，OB上的动点，当△PRQ周长的最小值为5时，求OP的长． 解：（1）如图1，在等边三角形ABC中，AD是△ABC的高，E是AB的中点，连接CE，CP， ∴AD垂直平分BC，CE⊥AB， ∴BP＝CP， ∴BP+PE＝CP+PE， ∵CP+PE≥CE， ∴当C、P、E三点共线时CP+PE有最小值，即此时BP+PE有最小值，最小值为线段CE的长， ∵AD，CE都是等边三角形ABC的高， ∴CE＝AD＝3， ∴BP+PE的最小值为3； （2）如图2，在等边三角形ABC中，CE是△ABC的高，过点P作PH⊥AC于H， ∴， ∵PH⊥AC， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，BP+PH有最小值，即此时有最小值，最小值为线段BH的长， ∵此时BH⊥AC，CE＝3， ∴BH为△ABC的高， ∴BH＝CE， CE＝3， ∴BH＝3， ∴的最小值为3； （3）如图3，分别作点P关于射线OA，OB的对称点G和H，连接OG，OP，OH，RG，QH， ∴OG＝OP＝OH，∠AOG＝∠AOP，∠BOH＝∠BOP，RG＝RP，QH＝QP， ∴△PRQ的周长＝PR+PQ+RQ＝GR+QR+QH， ∴当G、R、Q、H四点共线时，GR+QR+QH有最小值，即此时△PRQ的周长有最小值，最小值为线段GH的长， ∵△PRQ周长的最小值为5， ∴GH＝5； ∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°， ∴∠AOG+∠BOH＝30°， ∴∠GOH＝∠AOG+∠BOH+∠AOB＝60°， ∴△OHG是等边三角形， ∴OP＝OG＝GH＝5． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，P为射线BC上一动点（点P不与点B重合），以AP为直角边在AP的右侧作直角三角形APQ，其中∠PAQ＝90°，AP＝AQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，求点Q到直线AC的距离； （2）如图2，当点P运动到BC的延长线上时，连接BQ，交直线AC于点M，求证：BM＝QM； （3）点P在运动过程中，连接BQ，交直线AC于点M，若S△ABP＝4S△AMQ，则PC的长为　3　 ． （1）解：过Q作QD⊥AC于D，如图1所示： 则∠ADQ＝90°＝∠ACP， ∴∠AQD+∠DAQ＝90°， ∵∠PAC+∠DAQ＝∠PAQ＝90°， ∴∠AQD＝∠PAC， 又∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PA， ∴△AQD≌△PAC（AAS）， ∴QD＝AC＝1， 即点Q到直线AC的距离为1； （2）证明：过Q作QN⊥CA于N，如图2所示： 同（1）得：△AQN≌△PAC（AAS）， ∴QN＝AC＝1， ∵AC＝BC＝1， ∴QN＝BC， 又∵∠BMC＝∠QMN，∠BCM＝∠QNM＝90°， ∴△BCM≌△QNM（AAS）， ∴BM＝QM； （3）解：过Q作QN⊥CA于N，如图2所示： 同（1）得：△AQN≌△PAC（AAS），△BCM≌△QNM（AAS）， ∴QN＝AC＝1，AN＝PC，CM＝MN， ∵S△ABP＝4S△AMQ， ∴BP×AC＝4AM×QN， ∴BP＝4AM， 即PC+1＝4AM， ∴AN+1＝4AM， ∵AN＝AM+MN＝AM+CM＝AM+AM+1＝2AM+1， ∴2AM+1+1＝4AM， ∴AM＝1， ∴BP＝4AM＝4， ∴PC＝3， 故答案为：3． 6．项目式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组拟做以下微项目探究． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交BC边于点F． 【探究1】 如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【探究2】 如图2，当n＝2时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明． 【探究3】 如图3，当（n为正整数）时，请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论，请写出结论并证明． （1）证明：如图，连接CD， 当n＝1时，，即AD＝BD， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠FCD∠ACB＝45°， ∴CD＝AD，ABBC，即BCAB， ∵DE⊥FD， ∴∠ADE+∠EDC＝∠FDC+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE与△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴BC＝CF+BF＝AE+BFAB； （2）解：AEBFAB，理由如下： 过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，ADAN，BDBH，∠A＝∠B＝∠ADN＝∠BDH＝45°， ∴△ADN∽△BDH， ∴， 设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x， ∴ADx，BD＝2x， ∴AB＝3x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠EDN＝∠FDH， ∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH， ∴， ∴FH＝2EN， ∴AEBF＝x+NE（2x﹣FH）AB； （3）解：当点F在射线BC上时，AEBF；当点F在CB延长线上时，AEBF．理由如下： 当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，ADAN，BDBH，∠A＝∠B＝∠ADN＝∠BDH＝45°， ∴△ADN∽△BDH， ∴， 设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx， ∴ADx，BDnx， ∴AB（n+1）x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠EDN＝∠FDH， ∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH， ∴， ∴FH＝nEN， ∴AEBF＝x﹣NE（nx+FH）＝2xAB； 当点F在CB延长线上时， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，ADAN，BDBH，∠A＝∠B＝∠ADN＝∠BDH＝45°， ∴△ADN∽△BDH， ∴， 设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx， ∴ADx，BDnx， ∴AB（n+1）x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠EDN＝∠FDH， ∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH， ∴， ∴FH＝nEN， ∴AEBF＝x+NE（FH﹣nx）＝2xAB； 综上所述，当点F在射线BC上时，AEBF；当点F在CB延长线上时，AEBF． 7．如图1，等边△ABC的边长为8，点D是直线AB上异于A，B的一动点，连接CD，以CD为边长，在CD左侧作等边△CDE，连接AE． （1）求证：△CAE≌△CBD； （2）当点D在线段AB上运动时，△ADE的面积是否存在最大值？若存在，求此时BD的长；若不存在，说明理由； （3）如图2，当点D在直线AB上运动时，直线CE与直线AB交于点F，△AEF能否形成直角三角形？若不能，说明理由．若能，直接写出AD的长． （1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴∠DCE＝∠ACB＝60°，CE＝CD，CA＝CB， ∴∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB， 在△CAE和△CBD中， ， ∴△CAE≌△CBD（SAS）； （2）解：△ADE的面积存在最大值， 由（1）得△CAE≌△CBD， ∴S四边形ADCE＝S△ACE+S△ACD＝S△BCD+S△ACD＝S△ABC， 又∵S四边形ADCE＝S△ADE+S△CDE， ∴S△ADE+S△CDE＝S△ABC， ∴若S△ADE最大，则需要S△CDE最小， ∴当CD⊥AB时，CD的长最小，S△CDE最小， ∴BDAB＝4； （3）能，AD的值为4或16． 分两种情况，①当∠AEF＝90°时，作CH⊥AB于点H，如图， ∵AB＝AC＝BC＝8， ∴AH＝4， ∵△CDE为等边三角形， ∴∠CDE＝60°， ∴∠AEH＝30°， 由（1）可知△CAE≌△CBD， ∴∠CEA＝∠CDB＝90°， 即D与H点重合， ∴ADAB＝4， ②当∠AFE＝90°时， 同理可得，AD＝2AB＝16． 8．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM． 【初步尝试】（1）如图①，当△ABC为等边三角形时，甲同学发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB，试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值． 解：[初步尝试]（1）正确，理由如下， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD， ∴∠AMD＝120°， ∴∠BMD＝180°﹣120°＝60°＝∠A， 在△BDM和△NMA中， ， ∴△BDM≌△NMA（SAS）， ∴MN＝DB； [类比探究]（2）四边形AFBD为平行四边形，理由如下， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD， ∴∠AMD＝90°，MA＝MD， ∴∠MAD＝∠MDA＝45°， ∴∠ABC＝∠MAD＝45°， ∴AD∥BC， ∵BM＝NA，∠AMD＝90°＝∠BMD＝∠BAC，MD＝AM， ∴△DBM≌△MNA（SAS）， ∴∠DBM＝∠MNA， ∵AE⊥MN， ∴∠AEM＝∠AEN＝90°＝∠BAC， ∴∠MAE+∠EAN＝∠EAN+∠ENA＝90°， ∴∠MAE＝∠ENA， ∴∠DBM＝∠MAE， ∴BD∥AF， ∴四边形AFBD是平行四边形； [拓展延伸]（3）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°， ∴，∠ABC＝∠ACB＝45°， 如图所示，将BA绕点B逆时针旋转90°得到BP，连接AP，PM，PC，则∠ABP＝90°，BA＝BP， ∠BAP＝∠BPA＝45°＝∠ABC， ∴AP∥BC， ∵∠BAC＝∠ABP＝90°， ∴AC∥BP， ∴四边形ACBP是平行四边形， ∴， ∵AB＝AC，AN＝BM， ∴AB﹣BM＝AC﹣AN，即AM＝CN， 在△APM和△CBN中， ， ∴△APM≌△CBN（SAS）， ∴BN＝PM， ∴BN+CM＝CM+PM， 在△PCM中，CM+PM＞PC， 当点P，M，C三点共线时，CM+PM＝PC，此时BN+CM的值最小， 如图所示，过点P作PQ⊥CB延长线于点Q， ∵∠ABC＝45°，∠ABP＝90°， ∴∠PBQ＝180°﹣∠ABC﹣∠ABP＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴∠BPQ＝45°， ∴QB＝QP， 在Rt△BPQ中，BP2＝QB2+QP2， ∴2QB2＝22， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在Rt△PQC中，， ∴BN+CM的最小值为． 9．【问题提出】 （1）如图1，四边形ABCD是正方形，AB＝6，BE＝2，P为对角线BD上一动点，则PE+PC的最小值为　2　 ．【问题探究】 （2）如图2，四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，M，N为对角线BD上的动点，且，求AM+CN的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，这是某公司的一块三角形园区，在△ABC中，AB＝AC＝100米，，AB＝4AD，P为AC的中点．在边BC上的M，N两点处，安排两位安全员负责整个园区安全，并且M，N两点处的两位安全员始终保持直线距离20米．点M处的安全员负责园区西侧的安全，他巡逻的路线是MD；点N处的安全员负责园区东侧的安全，他巡逻的路线是NP．为了提高工作效率，两位安全员的单程路程之和（DM+PN）应该最小，你能用所学的知识计算出两位安全员单程路程之和的最小值吗？如果可以，请计算出最小值；如果不能，请说明理由． 解：（1）如图1中，在BA上截取线段BF，使得BF＝BE，连接PF，CF． ∵四边形ABC都是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB＝6， ∵NE＝BF＝2，BP＝BP， ∴△PBF≌△PBE（SAS）， ∴PF＝PE， ∴PE+PC＝PF+PC， ∵CF2 又∵PF+PC≥CF， ∴PE+PC的最小值为2． 故答案为：2； （2）如图2中，连接AC，过点A作AT∥MN，且AT＝MN，连接CT交BD于点N′，此时AM′+CN′的值最小，最小值为线段CT的长． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∵AT∥BD， ∴AT⊥AC， ∴CT． ∴AM+CN的值最小值为； （3）能．方法如下： 如图3中，过点P作PT∥MN，且PT＝MN＝20米，过点D作DO∥BC交AC于点O，过点P作PK⊥DO于点K，作点T关于BC的对称点G，连接GT，DG，DG交BC于点M′，连接TM′，PN′，则四边形PTM′N′是平行四边形，此时DM′+PN′的值最小，最小值为线段DG的长． 延长GT交DO于点J．过点A作AH⊥BC于点H． ∵BD＝4AD， ∴ADAB＝20（米）， ∵DO∥BC， ∴△ADO∽△ABC， ∴， ∵AB＝AC＝100米，tanB，AH⊥BC， ∴BH＝CH，AH：BH＝3：4， ∴AH＝60米，BH＝80米， ∴BC＝2BH＝160米， ∴ODBC＝32米，AOAC＝20米， 在Rt△POK中，OP＝AP＝AO＝50﹣20＝30（米）， ∵∠B＝∠C＝∠POK， ∴tan∠POK， ∴OK＝24米，PK＝18米， ∴DK＝DO+OK＝32+24＝56（米）， ∴DJ＝DK﹣JK＝DK﹣PT＝56﹣20＝36（米）， 在Rt△DGJ中，JG＝TG+OJ＝60+18＝78（米）， ∴DG6（米）． ∴DM+PN的最小值为6米． 10．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M． （1）求证：AM＝MF； （2）当CF＝4时，求出CM的长； （3）在点E的运动过程中，是否存在△B′DM是以B′M为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出CF的长． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠BAE＝∠MFA， ∵△ABE沿AE翻折得ΔAB′E， ∴∠BAE＝∠B'AE， ∴∠MFA＝∠B′AE， ∴AM＝MF； （2）解：情况1：F在BC下方时，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8， 设CM＝x，则DM＝6﹣x，MF＝x+4， 由（1）得AM＝MF＝x+4． 在Rt△ADM中，由勾股定理得AM2＝AD2+DM2， 即（x+4）2＝82+（6﹣x）2， 解得； 情况2：F在BC上方时，如图， 设CM＝x，则DM＝x﹣6，MF＝x﹣4， 由（1）得AM＝MF＝x﹣4， 在Rt△ADM中，由勾股定理得AM2＝AD2+DM2， 即（x﹣4）2＝82+（x﹣6）2， 解得x＝21； 综上，或CM＝21； （3）解：①当B'D＝B'M时，由翻折得：AB'＝AB＝6，∠AB'E＝∠ABC＝90°， 子情况1：F在BC下方，如图， ∵B′D＝B′M， ∵∠B'DM＝∠B'MD， ∵∠ADC＝90°， ∴∠B'AD+∠B'MD＝∠B'DA+∠B'DM＝90°， ∴∠B'DA＝∠B'AD， ∴B'D＝B'A＝6＝B'M， ∴AM＝B'A+B'M＝12， ∴， ∴， ∵MF＝AM， ∴； 子情况2：F在BC上方，如图， ∵B′D＝B′M， ∵∠B'DM＝∠B'MD， ∵∠ADC＝90°， ∴∠AD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BAD+∠BMD＝∠BDA+∠BDM＝90°， ∴∠BDA＝∠BAD， ∴B'D＝B′A＝6＝B'M， ∴AM＝B'A+B'M＝12， ∴， ∴， ∵MF＝AM， ∴； ②当DM＝B'M时，由翻折得：AB'＝AB＝6，∠AB'E＝∠ABC＝90°； 子情况1：F在BC下方，如图， 设CM＝x，则DM＝6﹣x＝B'M，AM＝AB'+B'M＝6+6﹣x＝12﹣x． 由（1）得MF＝AM＝12﹣x， 在Rt△ADM中，AM2＝AD2+MD2， 即（12﹣x）2＝82+（6﹣x）2， 解得， ∴， 又∵MF＝x+CF， ∴； 子情况2：F在BC上方时，如图， 设CM＝x，则DM＝x﹣6＝B'M，AM＝AB'+B'M＝6+x﹣6＝x． 由（1）得MF＝AM＝x， ∴MF＝MC＝x， ∴CF＝MF﹣CM＝0； 综上，存在△B'DM以B'M为腰的等腰三角形，CF的长为或或或0． 11．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，点A，E，F，G按顺时针排列，连接CG交射线BD于点M，连接DG． （1）当点E在线段BD上（不与点B和点D重合）时，如图． ①请判断BD与DG的位置关系，并说明理由； ②若，求DG的长； （2）当时，求DE的长． （1）①BD⊥DG；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAB＝∠EAG＝90° ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵∠DAB＝∠DAE+∠EAB，∠EAG＝∠DAE+∠GAD， ∴∠EAB＝∠GAD， 在△ADG和△ABE中， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴∠ADG＝∠ABE＝45°． ∴∠GDB＝∠ADG+∠ADB＝90°． ∴BD⊥DG． ②连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵BD⊥DG， ∴∠GDM＝∠COM＝90°， 又∵∠DMG＝∠OMC， ∴△DMG∽△OMC． ∴， ∵正方形的边长AB＝BC＝8． ∴AC8BD， ∴， 在Rt△OMC中， ， ∴， ∴， 在Rt△DMG中， tan∠GMD＝tan∠BMC， ∴， ∴； （2）∵， ∴点E在对角线BD的延长线上， 如图，过点E作EN⊥AD交AD的延长线于点N， 设DE＝x， ∵∠ADB＝45° ∴DE＝DNx， ∴AN＝AD+DN＝8x， ∴在Rt△ANE中， ， 即80＝x2+8x+64， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴DE＝4． 12．问题提出： （1）如图1，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，若点E、F分别在边BC、CD上，BE，∠AEF＝90°，则CF＝　　 ． 问题解决 （2）如图2，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，F是AD的中点，延长CD至E，且满足∠EFC＝90°，连接AE，则AE的长为多少？ 问题探究 （3）如图3，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是边AD上一动点，连接CE，作FE⊥CE，并且满足EF＝2CE，则在点E运动过程中，AF是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 解：（1）∵BE，BC＝5， ∴CE， ∵∠AEF＝90°＝∠B＝∠C， ∴∠AEB+∠BAE＝90°＝∠AEB+∠CEF， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， ∴， ∴， ∴CF， 故答案为：； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∵F是AD的中点， ∴AF＝FD＝2， ∵∠EFC＝90°， ∴∠EFD+∠CFD＝90°＝∠CFD+∠FCD， ∴∠EFD＝∠FCD， 又∵∠FDE＝∠FDC＝90°， ∴△EDF∽△FDC， ∴， ∴， ∴DE， ∴AE； （3）如图3，过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于H， ∵FE⊥CE， ∴∠FEH+∠CED＝90°+∠FEH+∠EFH， ∴∠CED＝∠EFH， 又∵∠FHE＝∠CDE＝90°， ∴△EHF∽△CDE， ∴， ∵EF＝2CE， ∴FH＝2DE，EH＝2CD＝4， 设DE＝x，则FH＝2x，AE＝4﹣x， ∴AH＝8﹣x， ∴AF， ∴当x时，AF的最小值为． 13．【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AB的中点，E、F分别是直线BC、AD上一个动点，连结OE、EF、CF，且EF⊥OC，求线段OE+CF的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现EF、OC的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形，求的值，下面给出了证明过程． 证明：作FH⊥BC于点H，（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵EF⊥OC， ∴∠OCB+∠FEH＝90°， 证明过程缺失． （2）请你补全证明过程． 【问题解决】求出的值后，将OE沿EF的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作OG∥EF，且OG＝EF．在【问题呈现】的条件下，线段OE+CF的最小值为　　 ． （1）解：作FH⊥BC于点H，如图①即为所求； （2）证明：作FH⊥BC于点H，如图①， ∵EF⊥OC， ∴∠OCB+∠FEH＝90°， ∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AB中点， ∴∠ABC＝90°，OB＝3； ∵FH⊥BC， ∴∠FHE＝90°＝∠ABC； ∵∠FEH+∠EFH＝90°， ∴∠OCB＝∠EFH， ∴△OCB∽△EFH， ∴， ∵FH＝AB＝6， ∴； 【问题解决】解：如图②，OG∥EF，且OG＝EF．作FH⊥BC于点H，连接CG， ∴四边形OEFG是平行四边形，OE＝FG； ∴OE+CF＝FG+CF， 当点G、F、C位于同一直线上时，OE+CF存在最小值，且最小值为CG．如图③， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：； ∵，且OG⊥OC， 在Rt△OCG中，由勾股定理得：． 故线段OE+CF的最小值为：， 故答案为：． 14．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，AD上的动点，满足AE＝DF，连接点DE，CF交于点G． （1）求证：CF⊥DE； （2）如图2，连接AC与DE交于点H，恰好点G是DH的中点． ①求DF的长； ②如图3，点P为CF上一点，PQ⊥AC，垂足为点Q，求PH+PQ的最小值． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD，∠CDF＝∠DAE＝90°， 在△CDF和△DAE中， ， ∴△CDF≌△DAE（SAS）， ∴∠DCF＝∠ADE， ∴∠DCF+∠CDG＝∠ADE+∠CDG＝∠CDA＝90°， ∴∠DGC＝90°， ∴CF⊥DE； （2）解：①在Rt△ACD中，AD＝CD＝4， 由勾股定理得：， ∵DG＝GH，CG⊥DH， ∴CD＝CH， ∴∠CDH＝∠CHD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CD∥AB， ∴∠CDH＝∠AEH， ∴∠CHD＝∠AEH， ∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠AHE＝∠AEH， ∴AH＝AE， 又∵AE＝DF， ∴DF＝AH， ∴； ②作PK⊥CD，垂足为点K， ∵CD＝CH，CG⊥DH， ∴CG平分∠DCH， 又∵PQ⊥CH，PK⊥CD， ∴PQ＝PK， ∴PH+PQ＝PH+PK， ∴当点H，P，K三点共线时，PH+PQ的值最小， 此时HK⊥CD，PH+PQ的最小值为HK， ∵ABCD是正方形， ∴∠DCA＝45°， ∴∠CHK＝45°＝∠DCA， ∴HK＝CK， 在Rt△CHK中，由勾股定理得：CK2+HK2＝CH2， ∴2HK2＝42， ∴， 故PH+PQ的最小值为． 15．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF ； ②BC、CD、CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD ；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CF之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AH⊥BC，，，求EG的长． 解：（1）①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF，理由如下： ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠B＝∠ACF， ∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACF＝90°， 即BC⊥CF； 故答案为：BC⊥CF； ②BC＝CF+CD，理由如下： ∵△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD， ∵BC＝BD+CD， ∴BC＝CF+CD； 故答案为：BC＝CF+CD； （2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC，理由如下： ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAC﹣∠BAF＝∠DAF﹣∠BAF， ∴∠CAF＝∠BAD， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°． ∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， ∴CF⊥BC， ∵CD＝DB+BC，DB＝CF， ∴CD＝CF+BC； （3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC， ∴AH＝BH＝CHBC， ∵AB＝3， ∴BC＝6， ∴AH＝CH＝3，CDBC＝1， ∴DH＝CH+CD＝3+1＝4， ∵四边形ADEF是正方形， ∴∠ADE＝90°，AD＝DE， ∵BC⊥CF，EN⊥CF，EM⊥BD， ∴四边形CMEN是矩形， ∴EM＝CN，NE＝CM， ∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°， ∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°， ∴∠ADH＝∠DEM， 在△ADH与△DEM中， ， ∴△ADH≌△DEM（AAS）， ∴DM＝AH＝3，EM＝DH＝4， ∴EN＝CM＝4，CN＝EM＝4， ∵∠ABC＝45°，BC⊥CF， ∴∠BGC＝45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∴CG＝BC＝6， ∴GN＝2， ∴GE2， ( 第 1 页 共 49 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $