二次函数性质综合题-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

二次函数性质综合题正文 一．解答题（共11小题） 1．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m是常数）． （1）若m＝﹣1， ①该函数的顶点坐标为　 　 ； ②当﹣2≤x≤2时，该函数的最大值　 　 ； ③当1≤x≤3时，该函数的最大值为　 　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为　 　 ． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过A，B两点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a　 　 b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）； （3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围． 3．已知抛物线y＝ax2+6x（a≠0）的顶点纵坐标比抛物线y＝x2﹣2x的顶点纵坐标小8． （1）求a的值； （2）点M（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x上，点N（m+t，n+h）在抛物线y＝ax2+6x上． （ⅰ）若m＝t+1，求h的最小值； （ⅱ）若h﹣2t＝0，且m≤0，t＜0，求h的值． 4．通过二次函数的学习，小杰知道形如y＝ax2（a≠0）的函数，其图象始终经过点（0，0），也即抛物线y＝ax2（a≠0）经过定点（0，0）．于是他进一步探究了形如y＝ax2﹣ax+2（a≠0）的函数图象，发现抛物线y＝ax2﹣ax+2（a≠0）经过定点（0，2）与（1，2）．他探究的思路是：设法找到x的某些取值，使表达式中含a的各项之和为0． 具体的解法如下： 含a的各项之和：ax2﹣ax＝a（x2﹣x），令x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1． 当x＝0时，y＝2，得到定点（0，2）；当x＝1时，y＝2，得到定点（1，2）． 小杰还探究了抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1（a≠0），发现它也经过两个定点，其中一个位于x轴上，可记作点A，另一个位于第一象限内，可记作点B． （1）求点A、B的坐标； （2）当a＜0时（如图），抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1的顶点为D，与x轴的另一个交点为C． ①如果∠ABC＝90°，求a的值； ②当∠ADB＝90°时，求a的值． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0）的图象经过（1，0）． （1）若二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），求该二次函数解析式； （2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a＝c； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值． 6．数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数y＝x2﹣2mx+m（m为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取m＝1，2，3三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当m＝1时，y1＝x2﹣2x+1，当m＝2时，y2＝x2﹣4x+2，当m＝3时，y3＝　x2﹣6x+3　 ； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出y1和y2的图象，请你在同一坐标系中画出y3的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论m为何值，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围． 7．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”． 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上． 点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2； 函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为　 ； ②求出函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 8．已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，抛物线，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3）．点P在该抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当﹣1≤x≤6，y的取值范围是 　 　 ； （3）将此抛物线上P，A两点之间的部分（包括P，A两点）记为图象G，当图象G与直线只有一个公共点时，求m的取值范围； （4）设点Q的坐标为（﹣1，3﹣m），当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，且PM⊥y轴．当抛物线在矩形PMQN内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，直接写出m的取值范围． 10．已知二次函数y＝x2+bx+2m+1经过点P（1，2）（m是常数，且m＞1）． （1）用m的代数式表示字母b，则b＝　 　 ； （2）当m＝3时，求函数的顶点坐标； （3）当4≤x≤6时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围； （4）如图，在矩形ABCD中，A（2m﹣2，2），B（2m﹣2，﹣2），点C、D在y轴上，抛物线y＝x2+bx+2m+1的一部分图象经过矩形ABCD的内部，若点E（x1，y1），F（x2，y2）是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足x1＜x2，y1＞y2，请直接写出满足条件的m的取值范围　 　 ． 11．【溯源启思 定义初窥】 已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上． 例如：函数y1＝3x，当时，则函数y2是函数y1的“升幂函数”函数y1＝3x的图象上任意一点A（m，3m），点B（m，3m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝3x的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”y2的函数解析式为 　 　 ． （2）如图，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，且点B在点A上方，当AB＝3时，求点A的坐标． 【解构探微 剖析本质】 （3）点A在函数y1＝x﹣3的图象上，其横坐标为m，点A“关于y1的升幂点”为点B，点C在y1的“升幂函数”y2的图象上，其横坐标为m+2． ①点B的坐标为 　 　 （用含m的式子表示）； ②当点B，点C所在直线与x轴平行时，求m的值． ③当抛物线y2在B，C两点之间的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 二次函数性质综合题答案 一．解答题（共11小题） 1．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m是常数）． （1）若m＝﹣1， ①该函数的顶点坐标为　（﹣1，2）　 ； ②当﹣2≤x≤2时，该函数的最大值　2　 ； ③当1≤x≤3时，该函数的最大值为　﹣2　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为　2或　 ． 解：（1）m＝1时，y＝﹣（x+1）2+2， ①函数顶点坐标为（﹣1，2）； 故答案为：（﹣1，2）； ②∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，开口向下， ∴当﹣2≤x≤2时，x＝﹣1时，函数取得最大值，最大值为2； 故答案为：2； ③∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，开口向下， ∴当1≤x≤3时，x＝1时，函数取得最大值，最大值为﹣（1+1）2+2＝﹣2； 故答案为：﹣2； （2）∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m是常数）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，顶点为（m，m2+1）， ∵当﹣2≤x≤1时，该函数的最大值为4， ∴当m≥1时，x＝1时，函数有最大值，即﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2，符合题意； 当m≤﹣2时，x＝﹣2时，函数有最大值，即﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4， 解得m，不合题意，舍去； 当﹣2＜m＜1时，x＝m时，函数有最大值，即m2+1＝4， 解得m或m（不合题意，舍去）， 综上，常数m的值为2或． 故答案为：2或． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过A，B两点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a　＝　 b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）； （3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围． 解：（1）由题意得，y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（m，1）． （2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线x＝m， 又∵C（m﹣2，a），D（m+2，b）， ∴C、D关于对称轴直线x＝m对称． ∴a＝b， 故答案为：＝． （3）由题意，将x＝0代入y＝x2﹣2mx+m2+1，得y＝m2+1， ∴A（0，m2+1）， 将A（0，m2+1）代入y＝kx+b， ∴b＝m2+1， ∴y＝kx+m2+1， 当m≥0时，由题意知，当x＜m时，y随x的增大而减小， ∵x1＜﹣3＜0， ∴y1＞yA＞0，即， ∴， ∴k＜0， ∴m≥0； 当m＜0时，由题意知，当x＜m时，y随x的增大而减小， 点A（0，m2+1）关于直线x＝m的对称点为（2m，m2+1）， ∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0，且y随x的增大而减小， ∴﹣3≤2m， ∴， ∴； 综上所述，． 3．已知抛物线y＝ax2+6x（a≠0）的顶点纵坐标比抛物线y＝x2﹣2x的顶点纵坐标小8． （1）求a的值； （2）点M（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x上，点N（m+t，n+h）在抛物线y＝ax2+6x上． （ⅰ）若m＝t+1，求h的最小值； （ⅱ）若h﹣2t＝0，且m≤0，t＜0，求h的值． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+6x（a≠0）， ∴对称轴为直线， 把代入y＝ax2+6x， 得， ∴函数y＝ax2+6x（a≠0）的顶点纵坐标为， 抛物线y＝x2﹣2x的对称轴为直线， 把x＝1代入y＝x2﹣2x， ∴y＝﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x的顶点纵坐标为﹣1， 则， ∴a＝1； （2）∵点M（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x上， ∴n＝m2﹣2m， ∵N（m+t，n+h）在抛物线y＝x2+6x上， ∴n+h＝（m+t）2+6（m+t）， ∴m2﹣2m+h＝m2+2mt+t2+6m+6t， ∴h＝t2+2mt+6t+8m； （i）将m＝t+1代入h＝t2+2mt+6t+8m， ∴h＝3t2+16t+8， 则， ∵3＞0， ∴开口向上， ∴当时，h取最小值． （ii）∵h﹣2t＝0，即h＝2t， ∴2t＝t2+2mt+6t+8m， ∴t2+4t+2mt+8m＝0， ∴t2+4t+2mt+8m＝0， ∴（t+4）（t+2m）＝0， ∴t＝﹣4或﹣2m， ∵m≤0，t＜0， ∴﹣2m≥0， ∴t＝﹣4， ∴h＝﹣8． 4．通过二次函数的学习，小杰知道形如y＝ax2（a≠0）的函数，其图象始终经过点（0，0），也即抛物线y＝ax2（a≠0）经过定点（0，0）．于是他进一步探究了形如y＝ax2﹣ax+2（a≠0）的函数图象，发现抛物线y＝ax2﹣ax+2（a≠0）经过定点（0，2）与（1，2）．他探究的思路是：设法找到x的某些取值，使表达式中含a的各项之和为0． 具体的解法如下： 含a的各项之和：ax2﹣ax＝a（x2﹣x），令x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1． 当x＝0时，y＝2，得到定点（0，2）；当x＝1时，y＝2，得到定点（1，2）． 小杰还探究了抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1（a≠0），发现它也经过两个定点，其中一个位于x轴上，可记作点A，另一个位于第一象限内，可记作点B． （1）求点A、B的坐标； （2）当a＜0时（如图），抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1的顶点为D，与x轴的另一个交点为C． ①如果∠ABC＝90°，求a的值； ②当∠ADB＝90°时，求a的值． 解：（1）y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1＝a（x2﹣x﹣2）+x+1， 由题意，令x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， 当x＝﹣1时，y＝0， 当x＝2时，y＝3， ∴A（﹣1，0），B（2，3）； （2）①过点B作BH⊥AO，垂足为H， ∵A（﹣1，0），B（2，3）， ∴∠AHB＝90°，AH＝BH＝3， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠CBH＝45°＝∠BCH， ∴CH＝AH＝3， ∴C（5，0）， 将C（5，0）代入y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1得，25a+5（1﹣a）﹣2a+1＝0， 解得a； ②由题意得，D（，）， 过点D作l∥AO，作AM⊥x轴于点M，作BN⊥x轴于点N，则∠AMD＝∠BND＝90°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADM＝∠DBN＝90°﹣∠BDN， ∴△AMD∽△DNB， ∴， ∵AM，DM1， BN3，DN＝2， ∴， 化简整理得，81a4﹣54a+5＝0，即（9a2﹣1）（9a2﹣5）＝0， 解得a2或， ∴a或a， ∵a＜0，且a， ∴a． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0）的图象经过（1，0）． （1）若二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），求该二次函数解析式； （2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a＝c； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值． （1）解：∵图象过（1，0）， ∴a+b+c＝0． 又∵图象过A（﹣1，4），B（0，﹣1）， ∴ ∴ ∴y＝3x2﹣2x﹣1． （2）证明：∵顶点落在x轴上， ∴b2﹣4ac＝0， ∵a+b+c＝0，且b≠0， ∴（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0． ∴a＝c． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且a+b+c＝0， ∴． ∵b≠0， ∴a＝1， ∴b＝﹣1﹣c． 又b≥c， ∴c≤﹣0.5． ∴将a＝1，b＝﹣1﹣c 代入得a2+b2+c2＝2c2． ∴当c＝﹣0.5时，a2+b2+c2有最小值1.5． 6．数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数y＝x2﹣2mx+m（m为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取m＝1，2，3三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当m＝1时，y1＝x2﹣2x+1，当m＝2时，y2＝x2﹣4x+2，当m＝3时，y3＝　x2﹣6x+3　 ； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出y1和y2的图象，请你在同一坐标系中画出y3的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论m为何值，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围． （1）解：①把m＝3代入得y3＝x2﹣6x+3， 故答案为：x2﹣6x+3； ②∵y3＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， 故顶点坐标为（3，﹣6），与y轴交于点（0，3）， 当x＝2或4时，y＝﹣5， 画出图象如图所示： （2）证明：猜想正确，理由如下： ∵y＝x2﹣2mx+m＝x2﹣m（2x﹣1）， ∴令2x﹣1＝0，得x，此时y， 故二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点． （3）解：∵点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1）， 故由待定系数法可知直线AB的解析式为y＝x﹣3． 当m＞0时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 则必须满足当x＝2时，函数值y≤﹣1， 即4﹣4m+m≤﹣1，可解得m； 当m＜0时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 则必须满足当x＝﹣2时，函数值y＜﹣5，且当x＝2时，函数值y≥﹣1， 即，解得m； 当y＝x﹣3与y＝x2﹣2mx+m相切时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 联立x﹣3＝x2﹣2mx+m，整理得x2﹣（2m+1）x+m+3＝0， 令Δ＝0，即（2m+1）2﹣4（m+3）＝0，解得m（舍去正根）， 故m， 综上，m的取值范围为m或m或m． 7．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”． 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上． 点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2； 函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　8　 ； ②求出函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 解：（1）①∵B（﹣6，2）， ∴2﹣（﹣6）＝8， ∴点B（﹣6，2）的“纵横值”为8， 故答案为：8； ②y﹣xx﹣x， ∵2≤x≤4， ∴1≤y≤2， ∴函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”为2； （2）∵抛物线的顶点在直线x上， ∴b＝3， ∴y＝﹣x2+3x+c， ∴y﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∵最优纵横值为5， ∴c+1＝5， 解得c＝4； （3）∵y﹣x＝﹣x2+2bx﹣b2+3＝﹣（x﹣b）2+3， ∴当x＝b时，y﹣x有最大值3， 当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）； 当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2； 综上所述：b的值为5或﹣2． 8．已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． （1）证明：， ∴Δ＝（6a+1）2﹣4×2a×3＝36a2﹣12a+1＝（6a﹣1）2≥0， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：当a＝1时，，y2＝2x﹣1， ∵点A（t，m）在抛物线上， ∴m＝2t2+7t+3， ∵点B（t，n）在直线y2＝2x﹣1上，将点B的坐标代入得：n＝2t﹣1， ∵m≤n+2， ∴2t2+7t+3≤2t﹣1+2， 即2t2+5t+2≤0， 设w＝2t2+5t+2＝（2t+1）（t+2）， 当或t＝﹣2时，w＝0； 画函数w＝2t2+5t+2如图1： 由图象可知，当w≤0，即m≤n+2，满足条件的整数t的值为﹣2和﹣1； （3）解：依题意得：m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1， 设y′＝m﹣n﹣2， ∴y′＝2at2+5at+2， ∴其对称轴为，如图2： ∵m≤n+2， ∴2at2+5at+2≤0， ∵若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立， ∴t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0； t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0， ∴a的取值范围为：． 9．在平面直角坐标系中，抛物线，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3）．点P在该抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当﹣1≤x≤6，y的取值范围是 　0≤y≤4　 ； （3）将此抛物线上P，A两点之间的部分（包括P，A两点）记为图象G，当图象G与直线只有一个公共点时，求m的取值范围； （4）设点Q的坐标为（﹣1，3﹣m），当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，且PM⊥y轴．当抛物线在矩形PMQN内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，直接写出m的取值范围． 解：（1）对于抛物线y＝ ax2+bx+c（a≠0），其对称轴公式为x． 已知抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x＝2，其中a，代入对称轴公式， 解得b＝1． 所以抛物线的表达式为yx2+x+c． 因为抛物线经过点A（4，3），将点A（4，3）代入可得： 42+4+c＝3， ﹣4+4+c＝3， 解得c＝3．因此，此抛物线对应的函数表达式为yx2+x+3； （2）将抛物线 yx2+x+3进行配方化为顶点式： y（x﹣2）2+4， 所以抛物线的顶点坐标为（2，4）．因为a0，所以抛物线开口向下． 当x＝1时，y．当 x＝2时，y＝4．当x＝6时，y＝0． ∴0≤y≤4． 故答案为：0≤y≤4； （3）联立抛物线yx2+x+3与直线y＝m可得方程：x2+x+3＝m，其判别式Δm． 当Δ＝0时，方程有且仅有一个解，即图象G与直线y＝m只有一个公共点，此时m＝0，解得m．当P点在A点左侧时，要使图象G与直线y＝m只有一个公共点，则m．当P点在A点右侧时，要使图象G与直线y＝m只有一个公共点，则m； （4）因为P点横坐标为m，代入抛物线yx2+x+3可得P（m，m2+m+3）．已知Q（﹣1，3﹣m），且PM⊥y轴，以PQ为对角线构造矩形PMQN．设M（xm，yp），N（xn，yn）， 矩形对角线互相平分，PQ中点与MN中点重合． ∴， ， 化简得： xM+xN＝m﹣1，yN＝3﹣m， ∵MQ∥y轴， ∴xm＝﹣1，xN＝m， 则M（﹣1，yP），N（m，3﹣m）． ∵抛物线的对称轴为x＝2， ∴当x≤2，抛物线在此区间随x增大而增大．当x≥2，抛物线在此区间随x增大而减小．①当m＜﹣1时，m≤x≤1，满足条件，故m≤2；②当﹣1＜m≤2时，﹣1≤x≤m，满足条件，故0＜m≤2；③当m＞8时，满足条件，故m＞8．所以m的取值范围是m＜﹣1或0＜m≤2或m＞8． 10．已知二次函数y＝x2+bx+2m+1经过点P（1，2）（m是常数，且m＞1）． （1）用m的代数式表示字母b，则b＝　b＝﹣2m　 ； （2）当m＝3时，求函数的顶点坐标； （3）当4≤x≤6时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围； （4）如图，在矩形ABCD中，A（2m﹣2，2），B（2m﹣2，﹣2），点C、D在y轴上，抛物线y＝x2+bx+2m+1的一部分图象经过矩形ABCD的内部，若点E（x1，y1），F（x2，y2）是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足x1＜x2，y1＞y2，请直接写出满足条件的m的取值范围　m＜2或m　 ． 解：（1）将点P（1，2）代入二次函数y＝x2+bx+2m+1，得：2＝12+b×1+2m+1， 化简得：b＝﹣2m， 故答案为：b＝﹣2m； （2）当m＝3时，b＝﹣2×3＝﹣6， ∴y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2， ∴函数的顶点坐标为（3，﹣2）； （3）∵y＝x2+bx+2m+1＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）， ①1＜m≤4时，62﹣12m+2m+1≤9， 解得：m， ∴m≤4； ②当4＜m＜6时， 由m﹣4＞6﹣m，得m＞5， ∴42﹣8m+2m+1≤9， 解得：m， ∴5＜m＜6； 由m﹣4≤6﹣m，得m≤5， ∴62﹣12m+2m+1≤9， 解得：m， ∴4＜m≤5； ∴当4＜m＜6时，都成立； ③当m≥6时，当x＝4时函数y＝x2﹣2mx+2m+1取得最大值， ∴42﹣8m+2m+1≤9， 解得：m， ∴m≥6都成立； 综上，m的取值范围为m； （4）∵m＞1， ∴2m﹣2＞0， 如图，设抛物线交y轴于M，交AB于N， 则M（0，2m+1），N（2m﹣2，﹣2m+5）， ∵点E（x1，y1），F（x2，y2）是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足x1＜x2，y1＞y2， ∴或， 解得：m＜2或m； 故答案为：m＜2或m． 11．【溯源启思 定义初窥】 已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上． 例如：函数y1＝3x，当时，则函数y2是函数y1的“升幂函数”函数y1＝3x的图象上任意一点A（m，3m），点B（m，3m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝3x的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”y2的函数解析式为 　y2x2　 ． （2）如图，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，且点B在点A上方，当AB＝3时，求点A的坐标． 【解构探微 剖析本质】 （3）点A在函数y1＝x﹣3的图象上，其横坐标为m，点A“关于y1的升幂点”为点B，点C在y1的“升幂函数”y2的图象上，其横坐标为m+2． ①点B的坐标为 　（m，m2﹣3m）　 （用含m的式子表示）； ②当点B，点C所在直线与x轴平行时，求m的值． ③当抛物线y2在B，C两点之间的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 解：（1）由题意得，y2＝xy1x2； 故答案为：y2x2； （2）∵y2＝xy1＝x•4， 设A（t，），B（t，4）， ∴AB∥y轴， ∵点B在点A的上方， ∴当AB＝3时，4﹣＝3，解得m＝4， ∴A（4，1）； （3）∵y2＝xy1＝x2﹣3x， ∴A（m，m﹣3），B（m，m2﹣3m），C（m+2，（m+2）2﹣3（m+2））， 即C（m+2，m2+m﹣2）； ①故答案为：B（m，m2﹣3m）； ②∵点B，点C所在直线与x轴平行， ∴m2﹣3m＝m2+m﹣2， 解得m； ③∵y2＝x2﹣3x＝（x）2， ∴函数y2的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x， ∴当点B，C均在抛物线的左侧时，y随x的增大而减小，此时m+2，即m； 当点B，C均在抛物线的右侧时，y随x的增大而增大，此时m； 综上，m或m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 14:48:39；用户：账号75；邮箱：hxnts75@xyh.com；学号：40315027 ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $