第一章 3 带电粒子在匀强磁场中的运动（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（人教版 浙江）

DIYIZHANG 第一章 3　带电粒子在匀强磁场中的运动 1 学习目标 1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式(重点)。 3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。 2 一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 课时对点练 内容索引 3 带电粒子在匀强磁场中的运动规律 一 4 带电粒子以如下两种方式进入匀强磁场中(重力不计) (1)当v∥B时，F洛= ，带电粒子将以入射速度v做 。 (2)当v⊥B时，F洛=qvB，由于洛伦兹力始终与粒子运 动方向 ，因此不改变粒子速度的 ，只改 变粒子速度的 ，洛伦兹力对粒子起到了向心力 作用，粒子做 。 0 匀速直线运动 垂直 大小 方向 匀速圆周运动 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即 qvB= (1)轨道半径：r= 。 (2)周期：T= ，由r=可得T= 。 由此可知，半径r与速度成 ，周期T与速度 ，与轨道半径r (后两空选填“有关”或“无关”)。 梳理与总结 正比 无关 无关 如图所示，当v与B的夹角为θ时，带电粒子将做什么运动？(不计重力) 思考与讨论 答案　当v与B间有夹角时，将速度v分解为v1和v2， 则v1=vsin θ，v2=vcos θ，带电粒子在垂直磁场方向 以分速度v1做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 在平行于磁场方向以分速度v2做匀速直线运动，合运动为螺旋形运动(旋进运动)。 (1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。(　　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　　) (3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。 (　　) (4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。 (　　) × × √ × 易错辨析 　(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是 A.如果两粒子的速度vA=vB，则两粒子的半径RA=RB B.如果两粒子的动能EkA=EkB，则两粒子的周期TA=TB C.如果两粒子的质量mA=mB，则两粒子的周期TA=TB D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA=mBvB，则两粒子的半径RA=RB 例1 √ √ 因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=，周期T=，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确。 　(2024·嘉兴市高二期末)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强，图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场，下列实验现象和分析正确的是 A.励磁线圈应通以逆时针方向的电流 B.仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径 变大 C.仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大 D.仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大 例2 √ 电子受到的洛伦兹力指向圆心，根据左手 定则可知磁场方向垂直纸面向里，根据右 手螺旋定则知励磁线圈通以顺时针方向的 电流，故A错误； 当升高电子枪加速电场的电压时，电子的速度增大，根据公式r= 可知运动半径增大，故B正确； 若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据公式r=可得运动半径减小，故C错误； 根据公式T=可得周期与速度大小无关，故D错误。 返回 二 带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 13 研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 (1)定圆心 ①洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知粒子进磁场的入射方向(垂直于边 界)和出磁场的出射方向，试通过作图确定圆心的位置。 ②圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向(垂直于边界)和射出磁场的位置M，试通过作图确定圆心的位置。 ③圆的任意两条弦的中垂线的交点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，分别经过A、O、B三点，试通过作图确定圆心的位置。 答案　①两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图所示。 ②通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图所示)。 ③连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图所示。 (2)求半径r 如图甲，确定好圆心的位置。如何求带电粒子轨迹的半径，已知磁场的宽度为d，速度方向如图所示。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r==d。 (3)求时间t ①利用轨迹对应圆心角或轨迹长度求时间。 答案　方法一：周期一定时，由圆心角求：t=T 方法二：v一定时，由弧长求：t== ②求第(2)中带电粒子在匀强磁场中的运动时间(已知带电粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T)。 答案　= t=T=T=T (4)圆心角与偏向角、弦切角的关系 如图丁所示，带电粒子射出匀强磁场时的速度方向与射入匀强磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度(即P点轨迹切线)的夹角叫作弦切角θ，则φ、α、θ三者的关系为　　　 　。 φ=α=2θ 　一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示。 (1)求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； 例3 答案　2L　 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何知识可知 Rcos 60°+L=R 解得R=2L (2)求粒子从a点运动到b点的时间； 答案　　 粒子在磁场中运动的周期为 T== 粒子从a点运动到b点的时间为t=T= (3)其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小。 答案　v 要使该粒子恰从O点射出磁场，则应满足R'= 设粒子质量为m，由洛伦兹力提供向心力可得 qBv'= 对速度为v的粒子在磁场中的运动有qBv= 联立解得v'=v。 　如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量为+q的粒子从BC边上的O点以初速度v0沿垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求： (1)OB的长度； 例4 答案　(2-)l　 粒子运动轨迹如图，根据几何关系得Rsin 30°=l 解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为R=2l， 所以OB=R-Rcos 30°=(2-)l (2)磁场的磁感应强度大小； 答案　　 粒子在磁场中做圆周运动有qv0B= 解得B= (3)粒子在磁场中经历的时间。 答案　 粒子在磁场中经历的时间 t=·=· 解得t=。 返回 总结提升 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法 课时对点练 三 30 考点一　带电粒子在匀强磁场中的运动规律 1.(多选)(2024·浙江浙东北联盟高二月考)如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体(等量的正离子和电子)约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托卡马克。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠近管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 下列说法正确的是 A.离子在磁场中运动时，磁场可能对其做功 B.离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功 C.离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径增大 D.离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力 方向总是与速度方向垂直，可知磁场 对其一定不做功，故A错误，B正确； 离子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得r=，离 子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，磁感应强度变大，可知离子运动半径减小，故C错误，D正确。 2.(2024·宁波市高二期末)来自宇宙的高速带电粒子流在地磁场的作用下偏转进入地球两极，撞击空气分子产生美丽的极光。高速带电粒子撞击空气分子后动能减小。假如我们在地球北极仰视，发现正上方的极光如图甲所示，某粒子运动轨迹如图乙所示。下列说法正确的是 A.粒子从M沿逆时针方向射向N B.高速粒子带正电 C.粒子受到的洛伦兹力不断增大 D.若该粒子在赤道正上方垂直射向地面，会向东偏转 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高速带电粒子撞击空气分子后动能减 小，速度变小，根据洛伦兹力提供向 心力qvB=m，可得r=，速度变小， 半径变小，结合题图可知，粒子从M沿逆时针方向射向N，故A正确； 地理北极附近是地磁南极，所以北极上空的地磁场方向竖直向下，根据左手定则可以判断，高速粒子带负电，故B错误； 由于粒子的速度不断减小，则粒子受到的洛伦兹力不断减小，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若该粒子在赤道正上方垂直射向地面，赤道位置磁场由南向北，根据左手定则可以判断，粒子会向西偏转，故D错误。 3.(2024·宁波市高二期中)如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将 A.沿路径a运动，轨迹是圆 B.沿路径a运动，轨迹半径越来越大 C.沿路径a运动，轨迹半径越来越小 D.沿路径b运动，轨迹半径越来越小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远，磁感应强度B越小。由左手定则可知电子运动轨迹向下弯曲，又由r=可知，B减小，r越来越大，则电子将沿路径a运动，故选B。 4.已知氚核的质量约为质子质量的3倍，电荷量与质子电荷量相等。现在质子和氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A.质子和氚核运动半径之比为3∶1 B.质子和氚核运动半径之比为1∶3 C.质子和氚核运动周期之比为1∶1 D.质子和氚核运动周期之比为2∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 Bqv=m，可得R=，若质子、氚核在同一匀强磁场中做匀速圆周运 动时的速度相同，则它们做匀速圆周运动的半径之比等于它们比荷的 反比。质子和氚核运动半径之比==，故A错误，B正确； 带电粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=，质子和氚核运动周期之比==，故C、D错误。 考点二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析 5.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为 A.1∶1　2∶1 B.2∶1　2∶1 C.2∶1　1∶2 D.1∶2　1∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据qvB=m，得v=，根据题图可知，甲、乙两 粒子做圆周运动的半径之比为2∶1，又因为两粒子 相同，故v甲∶v乙=r甲∶r乙=2∶1，粒子在磁场中的运 动周期T=，两粒子相同，可知甲、乙两粒子在磁场中做圆周运动 的周期相等，根据题图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中运动的时间之比t甲∶t乙=1∶2，故选C。 6.如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a，0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，如图所示， 设轨迹的半径为R，有(R-a)2+4a2=R2，解得R=， 由牛顿第二定律可得qv0B==，故选B。 7.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2分别沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的 A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2 C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向 心力，由牛顿第二定律有qvB=m，可得r=， 又T=，联立可得T=，故两粒子运动的周 期相同，D错误； 速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1=T=T，粒子2的运动时间t2=T=T，则时间之比为3∶2，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示， 设粒子1的轨迹半径R1=d，对于粒子2，由几何关 系可得R2sin 30°+d=R2，解得R2=2d，故轨迹半 径之比为1∶2，A错误； 由r=可知，速度之比为1∶2，B正确。 8.(2023·浙江高二期末)如图所示，一带电粒子从y轴的M点以初速度v平行于x轴正方向射入磁感应强度为B、磁场方向垂直坐标平面向外的匀强磁场区域，最后粒子从x轴上N点射出磁场区域。已知M点坐标为(0，2a)，N点的坐标为(a，0)，粒子的重力不计，sin 37°=0.6。求： (1)粒子在磁场中运动的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设粒子在磁场中运动的半径为r，由几何关系可知r2=a2+(2a-r)2， 解得r=，由几何关系可知， 粒子在磁场中转过的角度为θ=127° 由t=T，T=得运动时间t= (2)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，可以控制磁场的强弱，则应该使磁场的磁感应强度为多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　B 若要使带电粒子从坐标原点离开磁场， 则粒子运动的半径为r'=a， 根据qvB'=m，且qvB=m，可得B'=B。 9.(2023·浙江省余姚中学高二月考)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出，不计粒子重力。下列说法正确的是 A.粒子带正电 B.粒子在b点速率大于在a点速率 C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，粒子应带 负电，故A错误； 由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在 b点速率与a点速率相等，故B错误； 由公式qvB=m，得r=，若仅减小磁感应强度，半径增大，所以粒 子有可能从b点右侧射出，故C正确； 若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误。 10.(多选)(2024·杭州市高二期末)带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。在磁场中静止着不带电的粒子N。粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。下列说法正确的是 A.碰后粒子做圆周运动的半径不变 B.碰后粒子做圆周运动的周期减小 C.碰后粒子做圆周运动的动量减小 D.碰后粒子做圆周运动的动能减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛 伦兹力提供，由向心力公式得qvB=，解 得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=， 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T==，设粒子M的电荷量为q，质量为m1，速度为v0。粒子N的质量为m2，碰撞前r=，T=，碰撞前后两粒子动量守恒，设碰后两粒子速度为v'，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m1v0=(m1+m2)v'，碰撞后r'==r，T'=>T，即碰后新粒子做圆周运动的半径不变，周期增大，动量不变，A正确，B、C错误； 碰撞后粘在一起，机械能有损失，动能减小，D正确。 11.(2023·嘉兴高级中学高二期中)如图所示，在平面直角 坐标系xOy中，射线OP通过原点，与x轴的夹角θ=30°。 在第一象限内，OP上方区域有磁感应强度大小为B的匀 强磁场，OP下方区域也有匀强磁场(大小未知)，磁场方 向均垂直坐标平面向里。质量为m，电荷量为-q(q>0)的粒子从A(0，L)点沿x轴正方向射入磁场，先后经过OP上的C点和x轴上的D点射出磁场。已知粒子过C点时速度方向与OP垂直，C、D两点横坐标相同，不计粒子的重力。求： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)OP下方区域内匀强磁场磁感应强度的大小B'； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　2B　 粒子的运动轨迹如图所示； 粒子在OP上方区域运动的轨迹半径为r1=L， 由几何知识可知，粒子在OP下方区域运动的轨迹半径为r2=， 在OP上方区域由牛顿第二定律有qv0B=m， 在OP下方区域由牛顿第二定律有qv0B'=m， 联立解得B'=2B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)粒子从A点到D点的运动时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 由r=，T=得粒子在OP上方区域运动的周期T1=， 粒子在OP上方区域运动的时间t1=T1， 粒子在OP下方区域运动的周期T2=， 粒子在OP下方区域运动的时间t2=T2， 粒子从A点到D点的运动时间t=t1+t2， 解得t=。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2020·江苏卷改编)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。质量为m、带电荷量为q的粒子从原点O沿x轴正向射入磁场，速度为v。粒子第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。不考虑粒子重力影响。求： (1)Q到O的距离d； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动， 设半径分别为r1、r2 由qvB=m可知r= 故r1=，r2= 且d=2r1-2r2，解得d= (2)粒子两次经过P点的时间间隔Δt。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动， 设运动时间分别为t1、t2 由T==得t1=， t2=， 且Δt=2t1+3t2 解得Δt=。 返回 $ 3　带电粒子在匀强磁场中的运动 ［学习目标］　1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式(重点)。3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。 一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 带电粒子以如下两种方式进入匀强磁场中(重力不计) (1)当v∥B时，F洛=0，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。 (2)当v⊥B时，F洛=qvB，由于洛伦兹力始终与粒子运动方向垂直，因此不改变粒子速度的大小，只改变粒子速度的方向，洛伦兹力对粒子起到了向心力作用，粒子做匀速圆周运动。 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即qvB= (1)轨道半径：r=。 (2)周期：T=，由r=可得T=。 由此可知，半径r与速度成正比，周期T与速度无关，与轨道半径r无关(后两空选填“有关”或“无关”)。 如图所示，当v与B的夹角为θ时，带电粒子将做什么运动？(不计重力) 答案　当v与B间有夹角时，将速度v分解为v1和v2，则v1=vsin θ，v2=vcos θ，带电粒子在垂直磁场方向以分速度v1做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，在平行于磁场方向以分速度v2做匀速直线运动，合运动为螺旋形运动(旋进运动)。 (1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。(　×　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　√　) (3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　×　) (4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。(　×　) 例1　(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是(　　) A.如果两粒子的速度vA=vB，则两粒子的半径RA=RB B.如果两粒子的动能EkA=EkB，则两粒子的周期TA=TB C.如果两粒子的质量mA=mB，则两粒子的周期TA=TB D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA=mBvB，则两粒子的半径RA=RB 答案　CD 解析　因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=，周期T=，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确。 例2　(2024·嘉兴市高二期末)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强，图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场，下列实验现象和分析正确的是(　　) A.励磁线圈应通以逆时针方向的电流 B.仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大 C.仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大 D.仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大 答案　B 解析　电子受到的洛伦兹力指向圆心，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，根据右手螺旋定则知励磁线圈通以顺时针方向的电流，故A错误；当升高电子枪加速电场的电压时，电子的速度增大，根据公式r=可知运动半径增大，故B正确；若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据公式r=可得运动半径减小，故C错误；根据公式T=可得周期与速度大小无关，故D错误。 二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 (1)定圆心 ①洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知粒子进磁场的入射方向(垂直于边界)和出磁场的出射方向，试通过作图确定圆心的位置。 ②圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向(垂直于边界)和射出磁场的位置M，试通过作图确定圆心的位置。 ③圆的任意两条弦的中垂线的交点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，分别经过A、O、B三点，试通过作图确定圆心的位置。 答案　①两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图所示。 ②通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图所示)。 ③连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图所示。 (2)求半径r 如图甲，确定好圆心的位置。如何求带电粒子轨迹的半径，已知磁场的宽度为d，速度方向如图所示。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r==d。 (3)求时间t ①利用轨迹对应圆心角或轨迹长度求时间。 ②求第(2)中带电粒子在匀强磁场中的运动时间(已知带电粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T)。 答案　①方法一：周期一定时，由圆心角求：t=T 方法二：v一定时，由弧长求：t== ②= t=T=T=T (4)圆心角与偏向角、弦切角的关系 如图丁所示，带电粒子射出匀强磁场时的速度方向与射入匀强磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度(即P点轨迹切线)的夹角叫作弦切角θ，则φ、α、θ三者的关系为　　　　　　　。 答案　φ=α=2θ 例3　一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示。 (1)求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (2)求粒子从a点运动到b点的时间； (3)其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小。 答案　(1)2L　(2)　(3)v 解析　(1)粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何知识可知 Rcos 60°+L=R 解得R=2L (2)粒子在磁场中运动的周期为 T== 粒子从a点运动到b点的时间为t=T= (3)要使该粒子恰从O点射出磁场，则应满足 R'= 设粒子质量为m，由洛伦兹力提供向心力可得 qBv'= 对速度为v的粒子在磁场中的运动有qBv= 联立解得v'=v。 例4　如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量为+q的粒子从BC边上的O点以初速度v0沿垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求： (1)OB的长度； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子在磁场中经历的时间。 答案　(1)(2-)l　(2)　(3) 解析　(1)粒子运动轨迹如图，根据几何关系得Rsin 30°=l 解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为R=2l， 所以OB=R-Rcos 30°=(2-)l (2)粒子在磁场中做圆周运动有qv0B= 解得B= (3)粒子在磁场中经历的时间 t=·=· 解得t=。 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法 课时对点练　［分值：100分］ 1~7题每题6分，8题10分，共52分 考点一　带电粒子在匀强磁场中的运动规律 1.(多选)(2024·浙江浙东北联盟高二月考)如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体(等量的正离子和电子)约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托卡马克。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠近管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是(　　) A.离子在磁场中运动时，磁场可能对其做功 B.离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功 C.离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径增大 D.离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 答案　BD 解析　离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，可知磁场对其一定不做功，故A错误，B正确；离子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得r=，离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，磁感应强度变大，可知离子运动半径减小，故C错误，D正确。 2.(2024·宁波市高二期末)来自宇宙的高速带电粒子流在地磁场的作用下偏转进入地球两极，撞击空气分子产生美丽的极光。高速带电粒子撞击空气分子后动能减小。假如我们在地球北极仰视，发现正上方的极光如图甲所示，某粒子运动轨迹如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A.粒子从M沿逆时针方向射向N B.高速粒子带正电 C.粒子受到的洛伦兹力不断增大 D.若该粒子在赤道正上方垂直射向地面，会向东偏转 答案　A 解析　高速带电粒子撞击空气分子后动能减小，速度变小，根据洛伦兹力提供向心力qvB=m，可得r=，速度变小，半径变小，结合题图可知，粒子从M沿逆时针方向射向N，故A正确；地理北极附近是地磁南极，所以北极上空的地磁场方向竖直向下，根据左手定则可以判断，高速粒子带负电，故B错误；由于粒子的速度不断减小，则粒子受到的洛伦兹力不断减小，故C错误； 若该粒子在赤道正上方垂直射向地面，赤道位置磁场由南向北，根据左手定则可以判断，粒子会向西偏转，故D错误。 3.(2024·宁波市高二期中)如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　) A.沿路径a运动，轨迹是圆 B.沿路径a运动，轨迹半径越来越大 C.沿路径a运动，轨迹半径越来越小 D.沿路径b运动，轨迹半径越来越小 答案　B 解析　电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远，磁感应强度B越小。由左手定则可知电子运动轨迹向下弯曲，又由r=可知，B减小，r越来越大，则电子将沿路径a运动，故选B。 4.已知氚核的质量约为质子质量的3倍，电荷量与质子电荷量相等。现在质子和氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A.质子和氚核运动半径之比为3∶1 B.质子和氚核运动半径之比为1∶3 C.质子和氚核运动周期之比为1∶1 D.质子和氚核运动周期之比为2∶3 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m，可得R=，若质子、氚核在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时的速度相同，则它们做匀速圆周运动的半径之比等于它们比荷的反比。质子和氚核运动半径之比==，故A错误，B正确；带电粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=，质子和氚核运动周期之比==，故C、D错误。 考点二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析 5.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为(　　) A.1∶1　2∶1 B.2∶1　2∶1 C.2∶1　1∶2 D.1∶2　1∶1 答案　C 解析　根据qvB=m，得v=，根据题图可知，甲、乙两粒子做圆周运动的半径之比为2∶1，又因为两粒子相同，故v甲∶v乙=r甲∶r乙=2∶1，粒子在磁场中的运动周期T=，两粒子相同，可知甲、乙两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据题图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中运动的时间之比t甲∶t乙=1∶2，故选C。 6.如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a，0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，如图所示，设轨迹的半径为R，有(R-a)2+4a2=R2，解得R=， 由牛顿第二定律可得qv0B=，解得=，故选B。 7.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2分别沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的(　　) A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2 C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB=m，可得r=，又T=，联立可得T=，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1=T=T，粒子2的运动时间t2=T=T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1=d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°+d=R2，解得R2=2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r=可知，速度之比为1∶2，B正确。 8.(10分)(2023·浙江高二期末)如图所示，一带电粒子从y轴的M点以初速度v平行于x轴正方向射入磁感应强度为B、磁场方向垂直坐标平面向外的匀强磁场区域，最后粒子从x轴上N点射出磁场区域。已知M点坐标为(0，2a)，N点的坐标为(a，0)，粒子的重力不计，sin 37°=0.6。求： (1)(5分)粒子在磁场中运动的时间； (2)(5分)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，可以控制磁场的强弱，则应该使磁场的磁感应强度为多大？ 答案　(1)　(2)B 解析　(1)设粒子在磁场中运动的半径为r，由几何关系可知r2=a2+(2a-r)2， 解得r=，由几何关系可知， 粒子在磁场中转过的角度为θ=127° 由t=T，T=得运动时间t= (2)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场， 则粒子运动的半径为r'=a， 根据qvB'=m，且qvB=m，可得B'=B。 9、10题每题8分，11题16分，共32分 9.(2023·浙江省余姚中学高二月考)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子带正电 B.粒子在b点速率大于在a点速率 C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 答案　C 解析　由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，粒子应带负电，故A错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；由公式qvB=m，得r=，若仅减小磁感应强度，半径增大，所以粒子有可能从b点右侧射出，故C正确；若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误。 10.(多选)(2024·杭州市高二期末)带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。在磁场中静止着不带电的粒子N。粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。下列说法正确的是(　　) A.碰后粒子做圆周运动的半径不变 B.碰后粒子做圆周运动的周期减小 C.碰后粒子做圆周运动的动量减小 D.碰后粒子做圆周运动的动能减小 答案　AD 解析　带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得qvB=，解得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T==，设粒子M的电荷量为q，质量为m1，速度为v0。粒子N的质量为m2，碰撞前r=，T=，碰撞前后两粒子动量守恒，设碰后两粒子速度为v'，则m1v0=(m1+m2)v'，碰撞后r'==r，T'=>T，即碰后新粒子做圆周运动的半径不变，周期增大，动量不变，A正确，B、C错误；碰撞后粘在一起，机械能有损失，动能减小，D正确。 11.(16分)(2023·嘉兴高级中学高二期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，射线OP通过原点，与x轴的夹角θ=30°。在第一象限内，OP上方区域有磁感应强度大小为B的匀强磁场，OP下方区域也有匀强磁场(大小未知)，磁场方向均垂直坐标平面向里。质量为m，电荷量为-q(q>0)的粒子从A(0，L)点沿x轴正方向射入磁场，先后经过OP上的C点和x轴上的D点射出磁场。已知粒子过C点时速度方向与OP垂直，C、D两点横坐标相同，不计粒子的重力。求： (1)(8分)OP下方区域内匀强磁场磁感应强度的大小B'； (2)(8分)粒子从A点到D点的运动时间。 答案　(1)2B　(2) 解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示； 粒子在OP上方区域运动的轨迹半径为r1=L， 由几何知识可知，粒子在OP下方区域运动的轨迹半径为r2=， 在OP上方区域由牛顿第二定律有qv0B=m， 在OP下方区域由牛顿第二定律有qv0B'=m， 联立解得B'=2B。 (2)由r=，T=得粒子在OP上方区域运动的周期T1=， 粒子在OP上方区域运动的时间t1=T1， 粒子在OP下方区域运动的周期T2=， 粒子在OP下方区域运动的时间t2=T2， 粒子从A点到D点的运动时间t=t1+t2， 解得t=。 12.(16分)(2020·江苏卷改编)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。质量为m、带电荷量为q的粒子从原点O沿x轴正向射入磁场，速度为v。粒子第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。不考虑粒子重力影响。求： (1)(8分)Q到O的距离d； (2)(8分)粒子两次经过P点的时间间隔Δt。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动， 设半径分别为r1、r2 由qvB=m可知r= 故r1=，r2= 且d=2r1-2r2，解得d= (2)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动， 设运动时间分别为t1、t2 由T==得t1=， t2=， 且Δt=2t1+3t2 解得Δt=。 学科网（北京）股份有限公司 $