第六章 3 向心加速度（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 苏京）

3　向心加速度 [学习目标]　1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。 一、对向心加速度的理解 如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； (2)地球和小球加速度的作用是什么？ (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。 (2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向圆心。 3.作用：改变速度的方向，不改变速度的大小。 4.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速曲线运动。 5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。 (1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　×　) (2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。(　×　) (3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　×　) (4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　√　) 二、向心加速度的大小 根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。 答案　已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r。 1.向心加速度公式 (1)an==ω2r。 (2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an=ωv。 (3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an=r=4π2f2r。 2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？ 答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。 例1　某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为(　　) A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2 C.2 m/s2 D.6.5 m/s2 答案　A 解析　根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。 例2　如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是(　　) A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶ C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1 答案　D 解析　甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为== 甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知== 故A、B错误；由向心加速度a=ω2R知 == 故C错误，D正确。 三、圆周运动的动力学问题分析 如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 (1)小球受哪几个力的作用？是什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) (2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g) 答案　(1)小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。 (2)根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。 例3　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g) (1)细线上的拉力大小； (2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。 答案　(1)　(2)　 解析　(1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示， 由平衡条件可知，竖直方向： FTcos θ=mg， 故拉力FT=。 (2)小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m， 故小球的线速度大小v=。 由Fn=mrω2 联立解得ω=。 思考　从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？ 答案　与圆心到细线上端的高度有关。 例4　(2023·南京市高一期中)如图所示，质量未知的A、B两小球在内壁光滑的锥形容器内沿水平面做匀速圆周运动，锥形容器的中心轴线竖直，下列说法正确的是(　　) A.A、B两球受到容器壁的弹力大小相等 B.A、B两球具有大小相同的向心加速度 C.A、B两球的角速度大小相等 D.A球的线速度比B球的线速度小 答案　B 解析　对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设圆锥的半顶角为θ，则有FN=，A、B两球的质量未知，受到容器壁的弹力大小不一定相等，故A错误；根据牛顿第二定律，有=ma=m=mrω2，解得a=，ω=，v=，由于A球的轨道半径较大，所以A球的角速度较小，线速度较大，A、B两球具有大小相同的向心加速度，故B正确，C、D错误。 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。 5.解方程求出待求物理量。 拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度 1.向心加速度的方向 第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。 第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的大小 由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。 因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt 根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。 课时对点练　[分值：100分] 1~7题每题6分，共42分 考点一　对向心加速度的理解 1.两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大 B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大 C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大 D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大 答案　A 解析　根据a=可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确；根据a=r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误；根据a=ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误；根据a=4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。 2.(2023·淮安市高一期中)A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，其中曲线为反比例函数的一部分，则(　　) A.B物体运动时，其线速度的大小不变 B.B物体运动时，其角速度不变 C.A物体运动时，其角速度不变 D.A物体运动时，其线速度随半径的增大而减小 答案　B 解析　B图线a与r成正比，则由向心加速度公式a=ω2r可知，B物体运动的角速度保持不变，故B正确，A错误；A图线a与r成反比，则由向心加速度公式a=可知，A物体的线速度大小不变，故C、D错误。 3.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是(　　) A.线速度增大，角速度不变 B.线速度不变，角速度减小 C.线速度减小，向心加速度增大 D.角速度增大，向心加速度增大 答案　D 解析　水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω=可知角速度增大，根据a=可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。 考点二　向心加速度的计算 4.“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心2 cm处的点向心加速度大小约为(　　) A.1 000 m/s2 B.2 000 m/s2 C.2 500 m/s2 D.5 000 m/s2 答案　B 解析　纽扣在转动过程中角速度ω=2πn=100π rad/s，向心加速度a=ω2r≈2 000 m/s2。故选B。 5.(2023·江苏省响水中学高一期中)如图所示的自行车，大、小轮半径之比为4∶1，A为小轮边缘上的点，B为大轮边缘上的点，则自行车行驶时，A、B两点的向心加速度大小之比为(　　) A.4∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.2∶1 答案　A 解析　两轮均在地面上滚动，可知A、B两点线速度大小相等，根据公式an=，有==4。故选A。 考点三　匀速圆周运动的动力学问题 6.(2024·连云港市高一期中)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是(　　) A.两物体受的摩擦力都增大 B.两物体受的摩擦力大小都不变 C.物体A受的摩擦力增大，物体B受的摩擦力大小不变 D.物体A受的摩擦力大小不变，物体B受的摩擦力增大 答案　D 解析　对A分析，在竖直方向FfA=mAg，故摩擦力大小不变，对B分析，根据牛顿第二定律可知FfB=mB(2πn)2r，由于转速增大，故摩擦力增大，故D正确，A、B、C错误。 7.(2023·南京市高一期末)无人机在某次作业过程中在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为m，以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是(　　) A.竖直向上，F=mg B.竖直向上，F=m C.斜向右上方，F=m D.斜向右上方，F=m 答案　D 解析　根据牛顿第二定律，无人机需要的向心力F向=，无人机受重力、空气的作用力，根据平行四边形定则，则空气对无人机的作用力F==m，故选D。 8、9题每题9分，10题14分，11题16分，共48分 8.(2023·扬州市高一期中)质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体在最低点时(　　) A.向心加速度为 B.向心力为m(g+) C.对球壳的压力为 D.受到的摩擦力为μm(g+) 答案　D 解析　在最低点根据向心加速度的定义可知a=，故A错误；根据牛顿第二定律可知向心力为F=ma=m，故B错误；在最低点对物体受力分析FN-mg=m，解得球壳对物体的支持力为FN=m+mg，根据牛顿第三定律可知物体对球壳的压力为m+mg，故C错误；物体所受滑动摩擦力为Ff=μFN=μ(m+mg)=μm(g+)，故D正确。 9.(2023·淮安市高一期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是(　　) A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小 D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 答案　D 解析　杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力F=mgtan θ，对侧壁的压力FN'=FN=，其中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可以看出，向心力和对侧壁的压力均与h无关，故A、B错误；向心力F=mr，由于F为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，所以周期T也越大，故C错误；向心力F=m，由于F为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，所以线速度v也越大，故D正确。 10.(14分)(2023·无锡市江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r=0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m=0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω=20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)(7分)衣服对桶壁的压力大小； (2)(7分)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 答案　(1)40 N　(2) 解析　(1)衣服所受弹力F=mω2r=40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁的压力大小为F'=F=40 N (2)衣服竖直方向受力平衡，Ff=mg=5 N 而Ff=μF 解得μ=。 11.(16分)(2023·扬州市高一期中)在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=25 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m=60 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在空中悬停寻找最近的安全目标时，致使被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)求： (1)(4分)被困人员B做圆周运动的半径r； (2)(6分)悬索对被困人员B的拉力大小； (3)(6分)被困人员B做圆周运动的角速度。 答案　(1)15 m　(2)750 N　(3) rad/s 解析　(1)被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，可得r=Hsin 37°=15 m (2)对被困人员B受力分析，有FTcos 37°=mg 解得FT=750 N (3)根据牛顿第二定律可得FTsin 37°=mω2r 解得ω= rad/s。 (10分) 12.(2024·南京市高一期末)图甲为儿童玩具拨浪鼓，其简化模型如图乙，拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上；A、B两球相同，连接A球的绳子更长一些，现使鼓绕竖直方向的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.两球做匀速圆周运动时绳子与竖直方向的夹角θ=β B.A、B两球的向心加速度相等 C.A球的线速度小于B球的线速度 D.A球所受的绳子拉力大于B球所受的绳子拉力 答案　D 解析　小球在水平面内做匀速圆周运动，绳子拉力与重力的合力提供小球的向心力，则有mgtan α=mω2(Lsin α+r)，可得Lcos α+=，由于两球角速度ω相同，r相同，则L越大，α越大；故有θ>β，故A错误；对两小球，分别根据牛顿第二定律可得mgtan θ=maA，mgtan β=maB，解得aA=gtan θ，aB=gtan β，由于θ>β，则有aA>aB，故B错误；由v=ωr，由于两球的角速度相等，A球的轨道半径比B球的轨道半径大，则A球的线速度大于B球的线速度，故C错误；A球所受的绳子拉力大小为FTA=，B球所受的绳子拉力大小FTB=，因θ>β，则有FTA>FTB，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $ DILIUZHANG 第六章 3　向心加速度 1 1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。 2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。 3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。 学习目标 2 内容索引 一、对向心加速度的理解 二、向心加速度的大小 课时对点练 三、圆周运动的动力学问题分析 3 对向心加速度的理解 一 4 如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。 答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； (2)地球和小球加速度的作用是什么？ 答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案　由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向 。 3.作用：改变速度的 ，不改变速度的 。 4.说明：匀速圆周运动加速度的 时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是 。 5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度 ；可分解为_____ 和 分析。向心加速度改变速度 ，切向加速度改变速度 。 梳理与总结 圆心 圆心 方向 大小 方向 变加速曲线运动 不指向圆心 向心 加速度 切向加速度 方向 大小 (1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　) (2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。 (　　) (3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　) (4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　) × √ × × 返回 易错辨析 二 向心加速度的大小 9 根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。 答案　已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r。 1.向心加速度公式 (1)an== 。 (2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an= 。 (3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an== 。 2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 梳理与总结 ω2r ωv r 4π2f2r 从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？ 思考与讨论 答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。 　某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示 的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度 大小约为 A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2 C.2 m/s2 D.6.5 m/s2 例1 √ 根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。 　如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是 A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶ C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1 例2 √ 甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面 上，轨道半径关系为== 甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线 速度与角速度的关系知== 故A、B错误； 由向心加速度a=ω2R知 == 故C错误，D正确。 返回 三 圆周运动的动力学问题分析 17 如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 (1)小球受哪几个力的作用？是什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) 答案　小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。 (2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g) 答案　根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an= gtan θ。 　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g) (1)细线上的拉力大小； 例3 答案　 小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示， 由平衡条件可知，竖直方向： FTcos θ=mg， 故拉力FT=。 (2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。 答案　　 小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m， 故小球的线速度大小v=。 由Fn=mrω2 联立解得ω=。 　从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？ 思考 答案　与圆心到细线上端的高度有关。 　(2023·南京市高一期中)如图所示，质量未知的A、B两小球在内壁光滑的锥形容器内沿水平面做匀速圆周运动，锥形容器的中心轴线竖直，下列说法正确的是 A.A、B两球受到容器壁的弹力大小相等 B.A、B两球具有大小相同的向心加速度 C.A、B两球的角速度大小相等 D.A球的线速度比B球的线速度小 例4 √ 对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设圆锥的半顶角为θ，则有FN=，A、B两球的质量未知，受到容器壁的弹力大小不一定相等，故A错误； 根据牛顿第二定律，有=ma=m=mrω2，解得 a=，ω=，v=，由于A球的轨道半径较大，所以A球的角速度较小，线速度较大，A、B两球具有大小相同的向心加速度，故B正确，C、D错误。 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。 5.解方程求出待求物理量。 总结提升 拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度 1.向心加速度的方向 第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。 第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的大小 由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。 因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得：Δv=vωΔt 根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an=。 返回 课时对点练 四 31 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B A D D D 题号 9 10 11 12 答案 D (1)40 N　(2) (1)15 m　(2)750 N　(3) rad/s D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 考点一　对向心加速度的理解 1.两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是 A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大 B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大 C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大 D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据a=可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确； 根据a=r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误； 根据a=ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误； 根据a=4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。 答案 2.(2023·淮安市高一期中)A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，其中曲线为反比例函数的一部分，则 A.B物体运动时，其线速度的大小不变 B.B物体运动时，其角速度不变 C.A物体运动时，其角速度不变 D.A物体运动时，其线速度随半径的增大而减小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B图线a与r成正比，则由向心加速度公式a=ω2r可知，B物体运动的角速度保持不变，故B正确，A错误； A图线a与r成反比，则由向心加速度公式a=可知，A物体的线速度大小不变，故C、D错误。 答案 3.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是 A.线速度增大，角速度不变 B.线速度不变，角速度减小 C.线速度减小，向心加速度增大 D.角速度增大，向心加速度增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω=可知角速度增大，根据a=可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。 答案 考点二　向心加速度的计算 4.“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心2 cm处的点向心加速度大小约为 A.1 000 m/s2 B.2 000 m/s2 C.2 500 m/s2 D.5 000 m/s2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 纽扣在转动过程中角速度ω=2πn=100π rad/s，向心加速度a=ω2r≈ 2 000 m/s2。故选B。 答案 5.(2023·江苏省响水中学高一期中)如图所示的自行车，大、小轮半径之比为4∶1，A为小轮边缘上的点，B为大轮边缘上的点，则自行车行驶时，A、B两点的向心加速度大小之比为 A.4∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.2∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 两轮均在地面上滚动，可知A、B两点线速度大小相等，根据公式an===4。故选A。 答案 考点三　匀速圆周运动的动力学问题 6.(2024·连云港市高一期中)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是 A.两物体受的摩擦力都增大 B.两物体受的摩擦力大小都不变 C.物体A受的摩擦力增大，物体B受的摩擦力大小不变 D.物体A受的摩擦力大小不变，物体B受的摩擦力增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对A分析，在竖直方向FfA=mAg，故摩擦力大小不变，对B分析，根据牛顿第二定律可知FfB=mB(2πn)2r，由于转速增大，故摩擦力增大，故D正确，A、B、C错误。 答案 7.(2023·南京市高一期末)无人机在某次作业过程中在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为m，以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是 A.竖直向上，F=mg B.竖直向上，F=m C.斜向右上方，F=m D.斜向右上方，F=m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据牛顿第二定律，无人机需要的向心力F向=，无人机受重力、空气的作用力，根据平行四边形定则，则空气对无人机的作用力F= =m，故选D。 答案 8.(2023·扬州市高一期中)质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体在最低点时 A.向心加速度为 B.向心力为m(g+) C.对球壳的压力为 D.受到的摩擦力为μm(g+) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 能力综合练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最低点根据向心加速度的定义可知a=，故A错误； 根据牛顿第二定律可知向心力为F=ma=m，故B错误； 在最低点对物体受力分析FN-mg=m，解得球壳对物体的支持力为FN=m+mg，根据牛顿第三定律可知物体对球壳的压力为m+mg，故C错误； 物体所受滑动摩擦力为Ff=μFN=μ(m+mg)=μm(g+)，故D正确。 答案 9.(2023·淮安市高一期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是 A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小 D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力F=mgtan θ，对侧壁的压力FN'=FN=，其中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可以看出，向心力和对侧壁的压力均与h 无关，故A、B错误； 向心力F=mr，由于F为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，所以周期T也越大，故C错误； 向心力F=m，由于F为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，所以线速度v也越大，故D正确。 答案 10.(2023·无锡市江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r=0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m=0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω=20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)衣服对桶壁的压力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　40 N 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 衣服所受弹力F=mω2r=40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁的压力大小为F'=F=40 N 答案 (2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 衣服竖直方向受力平衡，Ff=mg=5 N 而Ff=μF 解得μ=。 答案 11.(2023·扬州市高一期中)在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=25 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m=60 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在空中悬停寻找 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 最近的安全目标时，致使被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，(sin 37°= 0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)求： 答案 (1)被困人员B做圆周运动的半径r； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　15 m　 被困人员B在空中做水平面内的圆周运动， 可得r=Hsin 37°=15 m 答案 (2)悬索对被困人员B的拉力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　750 N 对被困人员B受力分析，有FTcos 37°=mg 解得FT=750 N 答案 (3)被困人员B做圆周运动的角速度。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 rad/s 根据牛顿第二定律可得FTsin 37°=mω2r 解得ω= rad/s。 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 12.(2024·南京市高一期末)图甲为儿童玩具拨浪鼓，其简化模型如图乙，拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上；A、B两球相同，连接A球的绳子更长一些，现使鼓绕竖直方向的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动，不计空气阻力，下列说法正确的是 A.两球做匀速圆周运动时绳子与竖直方向的夹角θ=β B.A、B两球的向心加速度相等 C.A球的线速度小于B球的线速度 D.A球所受的绳子拉力大于B球所受的绳子拉力 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小球在水平面内做匀速圆周运动，绳子拉力与重力的合力提供小球的向心力，则有mgtan α=mω2(Lsin α+r)，可得Lcos α+ = ，由于两球角速度ω相同，r相同，则L越大，α越大；故有θ>β，故A错误； 对两小球，分别根据牛顿第二定律可得mgtan θ=maA，mgtan β=maB，解得aA=gtan θ，aB=gtan β，由于θ>β，则有aA>aB，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由v=ωr，由于两球的角速度相等，A球的轨道半径比B球的轨道半径大，则A球的线速度大于B球的线速度，故C错误； A球所受的绳子拉力大小为FTA=，B球 所受的绳子拉力大小FTB=，因θ>β，则有FTA>FTB，故D正确。 返回 答案 $