精品解析：云南省楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

云南省楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第6节，必修第二册第六章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 3. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时的水深约为 D. 一天中水深低于的时间为4小时 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 13. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________． 14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）当为何值时，与共线？ 16. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边. （1）若，求； （2）若，，，求. 17. 将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象. （1）求的单调递增区间； （2）求的图象的对称轴方程； （3）求不等式的解集. 18. 设锐角的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的取值范围. 19. 如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，. （1）若，. （i）求的值； （ii）求的值； （2）若存在实数，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第6节，必修第二册第六章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确. 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 5. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D. 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意函数在区间上单调递减，结合余弦函数的单调性，根据三角函数的性质列式求解. 【详解】因为，则，由函数在区间上单调递减，可知，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，不共线，可以作为基底； 对于B，方向相反，共线，不能作为基底； 对于C，，共线，不能作为基底； 对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底. 故选：BCD 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】在中，已知角和边，利用正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形内角和定理与正弦函数的值域，逐一分析不同值对应的角的解的个数，从而判断三角形解的情况. 【详解】对于A：由正弦定理，得，所以，当时，， 又，所以，或，当时，，不合题意， 此时有且只有一个，A正确； 对于B：当时，，又，所以，或， 当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确； 对于C：当时，，又，所以，或， 此时有两个，C错误； 对于D：当，，此时不存在，D错误. 11. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时的水深约为 D. 一天中水深低于的时间为4小时 【答案】BC 【解析】 【分析】根据表格数据及正弦函数的性质求出相关参数，得到解析式判断A、B，再结合给定描述分析判断C、D. 【详解】由表格数据知，所以，A错误； 由，，B正确； 由，可得，则，所以，C正确； 由，得或，故水深低于3.75的时间为8小时，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 13. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 所以，在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 在中， ，故． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）当为何值时，与共线？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量坐标的线性运算，即可求解； （2）利用向量坐标的线性运算和向量共线的坐标表示，可得，即可求解. 【小问1详解】 由，得，解得. 所以. 【小问2详解】 ， ， 因为与共线，所以， 解得. 16. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边. （1）若，求； （2）若，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简再结合两角和正弦及诱导公式求解； （2）法一：根据余弦定理计算得出，再应用正弦定理计算求解；法二：应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及两角和正弦公式计算求值. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 因为，， 所以. 【小问2详解】 法一：因为，，， 由余弦定理得，即， 解得（负值舍去）， 由，得， 由正弦定理得，得. 法二：由及，得， 由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 所以. 17. 将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象. （1）求的单调递增区间； （2）求的图象的对称轴方程； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）递增区间为； （2）对称轴的方程为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据图象平移写出解析式，再由正弦函数的性质求单调区间； （2）（3）利用正弦型函数的对称性、单调性及周期性求对称轴和解不等式. 【小问1详解】 根据函数图象变换，可得， 因为的递增区间为， 令，得， 所以的递增区间为. 【小问2详解】 令，得， 所以图象的对称轴方程为. 【小问3详解】 由，得， 所以，解得， 所以的解集为. 18. 设锐角的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系，将已知条件化为，即可得； （2）应用余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积； （3）应用正弦定理、三角形内角的性质、三角恒等变换，得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由正弦边角关系得，所以，又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，解得， 故的面积为. 【小问3详解】 由，得，所以， 因为，所以， 则 因为为锐角三角形，所以，则， 所以，故， 因此的取值范围为. 19. 如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，. （1）若，. （i）求的值； （ii）求的值； （2）若存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律求解即可； （ii）利用基底表示出，根据三点共线可求得结果； （2）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律可将转化为关于的函数的形式，采用分离常数法可求得结果. 【小问1详解】 （i），， ， . （ii），. 设，则， 三点共线，，解得：，即. 【小问2详解】 ，， ， ，， ， ，，， ，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $