1.二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2026数学中考必考知识点题组特训

二次函数图象与性质的应用 1．已知抛物线，，，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②若，则　　 ． （2）已知，，点，在抛物线上．当时，总有，求的取值范围． 2．平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①直接写出抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值． （3）已知，，，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 3．已知抛物线． （1）若，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）若抛物线对称轴为直线． ①点，、，在这条抛物线上，当且时，请判断与的大小关系，并说明理由． ②点、是这条抛物线上不同的两点，点在直线上，求的取值范围． 4．已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是　　 ； ②方程的根是　　 ； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　 （用“”连接）． 5．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 6．对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求的值． （2）若二次函数的图象经过点，，求当时，的取值范围． 7．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． （1）求的值； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． 若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ⅱ）若，且当时，总有，求的取值范围． 8．已知：抛物线． （1）若顶点坐标为，求和的值（用含的代数式表示）； （2）当时，求函数的最大值； （3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求，，的值． 9．已知函数为常数）． （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 10．已知二次函数为常数）． （1）当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，，求证：． （2）两位同学尝试代入不同的值后，提出了两个观点． 甲说：“不论取何值，抛物线必过一个定点”； 乙说：“不论取何值，抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动”．请你依次判断这两个观点是否正确，并各自说明理由． 11．已知二次函数，正比例函数． （1）求证：二次函数的顶点在的图象上． （2）若函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． （3）若点，都在（2）中函数的图象上，且，求的取值范围（结果用含的代数式表示）． 12．已知二次函数，，为常数）的图象分别记为、，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3． （1）求的值； （2）当，且随的增大而减小时，直接写出此时自变量的取值范围； （3）若点在上，点在上． ①当时，求的最大值； ②当时，无论取何实数，始终都有成立，求的值． 13．已知抛物线，抛物线，图象与图象组合成图象． （1）如图，当时， ①求图象最低点的纵坐标的值； ②点在图象上，求的值； （2）已知，，当此图象与线段只有一个公共点时，确定的取值范围． （3）若图象有且只有4个点到轴的距离等于5时，直接写出的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数图象与性质的应用 1．解：（1）①， ； ②由条件可知点，，，关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线， ， ； （2）由，可知，，在对称轴的左侧，，在对称轴的右侧，抛物线开口向下， 点，在抛物线上，， 点，关于对称轴的对称点为，， ， 当点，在对称轴的左侧时， 由条件可知，解得； 当点，在对称轴的右侧时， 当时，总有， ，解得； 的取值范围是或． 2．解：（1）①当时，抛物线的解析式为； ②， 抛物线的顶点坐标为； （2）由条件可知原抛物线关于轴对称的解析式为， ，对称轴为直线，， ，， ，； （3），理由如下： 抛物线， 抛物线的对称轴为， ，，， 当时，，到对称轴的距离为，，到对称轴的距离为， ， ，到对称轴的距离大于，到对称轴的距离， ， 当时，，到对称轴的距离为，，到对称轴的距离为， ， ，到对称轴的距离小于，到对称轴的距离， ， 综上所述，． 3．解：（1）当时，抛物线为， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）由题意得，抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线为． ①且， ，． ． 对称轴直线到的距离小于到的距离． 又抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ； ②点在直线上， ， 抛物线的解析式为， 又点、是这条抛物线上不同的两点， ，， ． ，为不同的两点， ． ． 对于任意都有， ． ． 4．解：（1）列表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图， （2）①根据图象可知，函数时，的取值范围是； ②方程即的根是，； ③根据图象可知，此函数的一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ， ． 5．解：（1）由条件可得：，解得， 二次函数的解析式为， 对称轴为直线， ； （2）， 点即为点， ，解得， ， 抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， 二次函数的最大值为22，最小值的为． 6．解：（1）①当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以，符合合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，，所以，不合题意，舍去； 二次函数的图象应经过； ②， ， 二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与轴交于点， 当时，随的增大而增大，点关于直线的对称点为， 当时，该函数的最小值是， ； （2）二次函数的图象经过点，， ，， ， ， ， 即． 7．解：（1），， 抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 顶点纵坐标之和为4， ，即； （2）由（1）知， 抛物线， 为抛物线上一点， ， ，即， ，即， 仅存在一个正数，使得， 关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， △，即， ，， 当时，，（舍去，不符合题意）； 当时，，（符合题意）； ， ， 由题意可得：， ， ， 当时，有最大值9； ，，且为抛物线上， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．解：（1）由题意，抛物线的顶点坐标为， ， ，． （2）由题意，，，， △， 抛物线与轴有两个交点， ， ， ， 函数的最大值为． （3）由题意，直线与抛物线有且只有一个公共点， 方程组只有一组解， 有两个相等的实数根， △， ， ， 不论为任何实数，恒成立， ，，． 9．解：（1）把点代入中，． ． 此函数表达式为：， 当时，． 图象经过点． （2）抛物线函数为常数）的顶点坐标是， ，． ， 把代入， ． 关于的函数解析式为．（3）由题意，把代入得， 抛物线不经过第三象限， ，即， ， 抛物线顶点，， ， 当时，抛物线不经过第三象限， 解得， ，， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， （不符合题意，舍去）或． 当时， 或（不符合题意，舍去）． 综上所述，或6． 10．解：（1）①当时，， 此时抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线开口向上， 在范围内， 时，， 当时，随的增大而减小．当时，， 当时，， 当时，随的增大而增大，时，， 当时，，上所述，， ； ②证明：抛物线经过点，， ，， ， ， ，； （2）“甲”的观点正确： 理由：， 当时，， 不论取何值，抛物线必过一个定点； “乙”的观点正确： 理由：， 抛物线顶点坐标为， 令，由得， 代入得， 不论取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动，固定抛物线解析式为． 11．解：（1）已知二次函数，正比例函数． ， 顶点坐标为， 当时，， 顶点在直线上． （2）， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， ，则． （3）． 且点，都在的图象上， ． ． ， ． 令，转化为求当函数在直线上方时，的取值范围． 当时， ． 或． 又， 或． 12．解：（1）二次函数其对称轴为直线，图象顶点的纵坐标为， 对于二次函数其对称轴为直线其图象顶点的纵坐标为， 的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3， ，解得，， 又的对称轴在的对称轴的右侧， ， ， ； （2）由（1）得， ， ， ， ， 随的增大而减小， ， 自变量的取值范围为； （3）①点在上， ， 点在上， ， ， 把代入得， ， 当时，有最大值为9； ②，，， 把代入上式得，， 由条件可知，得， ，且， ． 13．解：（1）①当时， ， ，开口向上，对称轴为直线，当，抛物线递增， 时，有最小值，最小值为， ， ， 时，最小值为， 图象最低点的纵坐标的值为； ②， ，， 当在上时，， 解得， ； 当在时，， 解得或（舍去）， 的值为或； （2），，图象与线段只有一个公共点，如图所示， 公共点在上， ，对称轴为直线， 令， 当与相切时，则， ， △， 解得或（舍去）； 当与相交时，交点在之间，如图所示， 当时，， ， ， 综上所述，或时函数与线段有一个交点； （3）两抛物线的对称轴为直线， 当时，如图， 时，， 当时，， ， 或（舍去）， 当时，如图， 当时，， 当时，， ， 或（舍去）， 综上所述，或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $