8.圆的相关证明与计算加练-【一战成名新中考】2026数学中考必考知识点题组特训

圆的相关证明与计算加练 1．如图1，是的直径，，是的切线，，是切点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，分别交，于，两点，若，，求的半径． 2．如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若的长为，求图形中阴影部分的面积． 3．如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若与相切于点，，，求阴影部分面积． 4．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，，求的长． 5．如图，在△中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 6．如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 7．如图，在等腰△中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． （1） 　　． （2）当时，求的值； （3）设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设△的面积为，△的面积为，求的最小值． 8．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． （3）若，，求的半径的长． 9．综合与探究 问题情境： 如图，已知为的直径，点为上异于、的一点，过点作的切线，过点作于点，连接． 探究发现： （1）证明：； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：　　． 10．如图，是△的外接圆，且，过点作，交于点，交于点，延长到，使得，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的半径． 11．如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若， （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 12．如图，在△中，，为的中点，以为直径作，交边于点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 13．如图，已知△中，，点是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点，与边交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 14．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 15．如图，在△中，，以点为圆心，长为半径作．将△绕点顺时针旋转得△，使点的对应点落在边上，交于点，连接交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 16．如图，在△中，经过，两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留． 17．如图1，△中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 18．如图，矩形中，点是对角线上一动点；以为圆心，长为半径作圆，使边与相切于点，若，； （1）求的半径； （2）若与，边相交于点，，连接，，求的值． 19．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 20．如图1，△是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点． （1）求证：△△； （2）如图2，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； （3）如图3，当圆与相切时，连接，若，求△和△的周长之比． 21．已知：如图，过正方形的顶点，，且与边相切于点．点是与的交点，连接，， ，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为2，求的长． 22．如图，是的直径，，是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 23．如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，． （1）求证：是的切线． （2）求证：△为等腰三角形． （3）若，，求的长． 24．【阅读】两汉文化看徐州，小军在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到：玉壁、玉环等器物为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，如图1，雷纹玉环就是徐州一个古代的玉环文物；其主视图就是一个标准的圆环，其中大圆称为外圆、小圆称为内圆（类似于图2、3、． 【作图】 （1）图2是一个圆环，请在图2中，仅用无刻度直尺作出圆环内两条相等的线段，并用字母表示出来； （2）图3是一个圆环，请用无刻度的直尺和圆规在图3中找出该圆环的中心； 【探究】 （3）如图4是内圆半径、外圆半径的圆环；点是内圆上的任意一点，如果以为圆心、一定长度为半径画圆，与该圆环的内圆与外圆共有个交点．请直接写出的值以及对应的范围． 25．如图，△内接于，为的直径，，连接、．，交延长线于点． （1）证明：平分； （2）若平分， ①当时，求的长； ②设，，直接写出与的函数关系式． 26．已知为直径，弦于，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结． （1）如图1，若对称点与点重合，试求的度数． （2）如图2，连结交于点，求证：． （3）如图3，连结交于点，若，， ①试求的长；②直接写出的值． 27．综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1， 　　．（用“”、“ ”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点，求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 28．如图，为的直径，弦交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接，延长交于点，交于点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的长． 29．综合与实践： 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 任务一：确定弦的长度． 如图2，求所对弦的长度． 任务二：设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 任务三：确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $?战格組 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXK.c0m○ 您身边的互联网+救辅专家 圆的相关证明与计算加练 1.(1)证明：如图1，连接0C, :AB,AC是⊙O的切线， :OC⊥AC,OB⊥AB,∠CA0=LBA0, :ZAOC ZAOB, 2/COB, 由圆周角定理得：∠D= :∠D=∠AOB, :A0/1CD; (2)解：：AB,AC是O0的切线， .AB AC =4, 名 :BF=AB-AF=4-1=3, AO//CD,DF/CA, 四边形ACDE为平行四边形， :DF AC=4, :∠CAE=LFAE :∠FAE=LAEF .EF=AF=1, DF=4+1=5, 由勾股定理得： DB=DF2-BF2=4, :00的半径为2： 训练思维， 才能打赢新中考 1 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究· ?战城格 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A D 图1 2.(1)证明：连接0D, C D 成名 B 0 G :⊙0与BC相切于点D, :∠0DB=90°， :∠ACB=90°， ·LACB=∠ODB, :AC //0D .∠E0D=∠AEO AE=DE, .LE0D=∠A0E, :∠AOE=∠AE0, .40=AE A0=0E, .△AOE是等边三角形， LAE0=∠A0E=∠A=60°， :LB0G=∠A0E=60°， :∠D0B=180°-∠D0E-∠A0E=60°， 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战格 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∠D0B=LG0B, :0D=0G,0B=0B, .△ODB兰△OGB(SAS), L0GB=L0DB=90°， 0G⊥BG, :0G是⊙0的半径， BG是⊙0的切线； (2)解：DE的长为号元，∠D0E=60°， 振丹 60xπ×OD 180 3， 0D=4, 0G=4, :∠B0G=∠A0E=∠D0E=60°， .BG=V50G=45, :SAOBG 0GxBG=×4×45=85, 60×元×428π 2 扇形G0F 360 3 :.阴影部分的面积为So ,一S形o =83- 3.(1)证明：连接0D,则0D=0B :LODB=∠B AB=AC ∠C=∠B, ZODB=ZC, :OD 1/AC :DF⊥AC, LAFD=90°， .∠0DF=180°-∠AFD=90°， 训练思维， 才能打赢新中考 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战城格 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 :0D是⊙0的半径，且DF⊥0D, DF是⊙O的切线. (2)解：连接0G, :AC与⊙0相切于点G, AC⊥0G, .∠0GF=∠0DF=∠GFD=90°， .四边形ODFG是矩形， :0G=0D, 振丹 四边形ODFG是正方形， FG=0G=0D=0B,∠D0G=90°， 设FG=0G=0B=r, :∠0GA=90°，AB=AC=8,CF=1 AG2+0G2=0A2,且AG=8-1-r=7r,0A=8- (7-r)2+r2=(8-r)2 解得1=3,5=一5（不符合题意，舍去）， ∴.S明影=S正方形ODFG 5506=3290m×3_36-9 360 ·阴影部分面积为36-9元 B 4.(1)如图，连接0C,0D, 训练思维， 才能打赢新中考 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战格 学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D 0C=0D, :∠0CD=L0DC, :CF=EF, :∠FCE=LFEC, 振丹 :∠OED=LFEC, :ZOED Z FCE :AB是直径，D是AB的中点， :∠D0E=90°， .∠0ED+∠0DC=909 .∠FCE+∠0CD=90° 即0cf90° :0C是半径， CF是⊙O的切线 (2)设0A=0D=0C=0B=r 在Rt△C0F中，OC2+CF2 =OF 42+r2=(r+2)2, 解得r=3, 0B=0D=3, :∠D0B=90°， ..BD2=OD2+OB2, BD=V0D2+0B2=3V2. 训练思维， 才能打赢新中考 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战城格 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXK.com○ 您身边的互联网+教辅专家 5.(1)证明：：0D=0A, ∠ODA=LBAD, :AD是∠BAC的平分线， :Z CAD ZBAD :ZODA=ZCAD :.OD //AC, :∠C=90°， .∠0DB=∠C=90°， 成名 :0D是⊙0的半径，且BC⊥0D :BC是⊙O的切线 (2)解：：BE=1,BD=2,0E=OD .0B=1+0E, .OD2+BD2 OB2, 0E2+22=(1+0E)2 解得OE=3 .AE=20E=3 .AB AE BE =3+ .AB的长为4 6.(1)证明：连接0A, 则0A=0B， :∠0BA=∠0AB, :AB⊥OP于点C, .AC=BC OP垂直平分AB, :PA=PB, :∠PBA=∠PAB, 训练思维， 才能打赢新中考 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战格 学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 :PA为⊙0的切线，A为切点， PA⊥0A, :LOBP=0BA+∠PBA=L0AB+∠PAB=∠0AP=90°， :OB是⊙0的半径，且PB⊥0B, PB为⊙O的切线 (2)解：∠DBP=90°， .PB2 +BD2 PD2, :BD=8,AD=4,且PA=PB, PA2+82=(4+PA)2, 解得PA=6, PA的长为6. B 成名 D 7.解：(1)：AB是⊙0的直径， :∠ADB=90°， :∠ADC=180∠ADB=90 故答案为：90： (2):EF1/AB, ∠BAGe∠F,LB=∠GDF, BF=BF, :∠BAG=∠GDF, ·LB=LBAG=LF=LGDF, AG=BG,DG=FG, 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》—一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战格 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 :AG+GF=DG=BG, :AF =BD=8, 设BG=AG=x,则DG=8-x, 在Rt△ADG中，由勾股定理得， AD2+DG2=AG2, 62+(8-x)2=x2, rs 5 4 ·4G=2 振丹 , 4G4F=8×25 50; (3)①如图， 0 G 作DH⊥AC于H :ZDHE ZADG=90 AB=AC, ·∠B=∠C, ADAD, ∠F=LB, :ZC LF, :∠DEH=LC+∠CDE=∠F+∠CDE, ZCDE ZFDG, ∠AGD=∠F+∠FDG=∠F+∠CDE, 训练思维，才能打赢新中考 8 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 :Z DEH ZAGD ∴.△ADG∽△DHE, .DH EH AD DG 'sin∠DAC=DH_CD-8_4 AD AC105 y5, :Cos∠DAC=AH-AD AD AC ·AH=AD2 6218 AC10=5 成名 .EH=x-18 18 :5 4 y 5 9 y=4X- 5 由y>0得， 9 2 .. 18 5 .x10, 18 <x≤10； 5 ②由①知， ∠F=∠C, :∠FAE=LCAG, .△ACG∽△AFE, =4C-100 S, AF AF2 :当AF最大时，三最小， S, .当点F和点B重合时，AF最大=AB=AC, 训练思维，才能打赢新中考 9 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究 ?战城格 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 的最小值是1. S, 8.(1)证明：连接0D,0C,如图， :PC是⊙0的切线， ∠PC0=90°， :AB⊥CD,AB是直径， 弧BD=弧BC, :ZDOP=ZCOP, 在△D0P和△C0P中， DO=CO ∠DOP=∠COP, OP=OP ·.△DOP兰△COP(SAS), :∠PD0=∠PC0=90°， 0D⊥PD, :0D是⊙0的半径， 成名 PD是O0的切线； (2)解：PD2=PB·PA.理由如下 :AB是⊙O的直径， :∠ADB=90° :∠PD0=90° :LAD0=∠PDB=90°-∠BD0, 0A=0D, :∠A=∠AD0, ∠A=∠PDB, :∠BPD=∠DPA, △PDB△PAD, 训练思维，才能打赢新中考 10 《一战成名》 一思维型中考书开拓者 独家授权侵权必究