精品解析：海南文昌中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第二学期高一第一次月考试题 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以与终边相同的角为，同理，由周期性知其它各角均不符. 2. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系结合角的象限计算得出，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为为第二象限角，且， 所以， 则. 故选：B. 3. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 则 5. 已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（ ） A. 7 B. C. 19 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长性质先求，转化为向量数量积运算，即可求解. 【详解】, . 故选：B 【点睛】思路点睛：本题考查向量的模长及向量的数量积运算，求解向量的模长常用，即，考查学生的计算能力，属于基础题. 6. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以是等腰直角三角形， 所以， 所以. 7. 下列函数中，以为周期且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由判断A；由判断B；作出函数的图象判断C；作出的图象判断D. 【详解】对于A，因为，所以，由，得，所以单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以，由，得，所以不单调，故B错误； 对于C，，其图象如图： 由图象知，在上单调递减，故C正确； 对于D，，其图象如图： 由图象知，，由，得， 所以在上不单调，故D错误. 故选：C. 8. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得利用两角和的正弦公式求解，用两角和的余弦公式求解，先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在内，利用函数的单调性求解即可. 【详解】由已知得 ， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若∥，则 【答案】BC 【解析】 【详解】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误； 向量相等，长度一定相等，B正确； 长度为0的向量是零向量，C正确； 平行向量不一定是相反向量，D错误． 10. 已知函数的最小正周期为，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意可知，解得， 又，又，可得， A正确； 对于B，由A的分析可得， 当时，可得，取得最小值， 因此的图象关于直线对称，B正确； 对于C，当时，， 由正弦函数的单调性可得在上不是单调递减的，C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，D正确． 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，由函数周期性的定义分析B，由函数单调性的性质分析C，利用函数图象和不等式的性质分析D即得． 【详解】对于A，函数的定义域为R，有， 则为奇函数，故A正确； 对于B，因， 故π不是函数的周期，故B错误； 对于C，因， 当时，为增函数且， 由复合函数的单调性知， 也是增函数， 故在上递增，， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，， 当时，由函数与的图象（如图）可知：， 因，则有恒成立，故， 即函数的图象恒在直线的下方，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于需要先判断函数的奇偶性，在此基础上才能由函数在上的单调性判断其在上的单调性，有时还需结合函数的结构组成运用不等式性质说明函数图象的位置. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题可得， ， 所以. 14. 如图，是函数（，，）图象的一部分，函数在区间上有且仅有两个零点，实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像求出的表达式，再令，将原题干中的零点问题转化为方程的实根问题，最后再根据该方程的实根分布求出题中的范围． 【详解】由图可得，函数的最小正周期为， 则，所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以，令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…， 所以，解得． 四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，为两个不共线的向量，若，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与共线，设，由，可得且，即可求得结果； （2）由已知可得，化简计算即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意，，为两个不共线的向量，且，； 若与共线，则存在实数k，使得 则有， 则有且，解可得； 【小问2详解】 ，为互相垂直的单位向量， 若，则有， 变形可得：，故. 16. （1）若，，求的值． （2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）或；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式求解； （2）①利用任意角的三角函数的定义和诱导公式求解；②利用诱导公式，两角和的余弦公式求解，采用齐次式将弦化切求解. 【详解】（1）由，得， 解得，而， 所以或． （2）①角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 则，， 则； ②由①得， 则 . 17. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧的弧长(单位：)； （2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 【答案】（1）；（2），其中；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式. （3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为， 故. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设， 由题意知，，所以， 又由，所以， 当时，可得，所以， 故关于时间的函数解析式为，其中. （3）令，即， 令，解得， 因为甲乙两人相差， 又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题； 3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 18. 设函数. （1）求的最大值； （2）当时，求图象的对称中心的坐标； （3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质求解； （2）由结合（1）得，利用正弦函数的性质求解； （3）求出在上的值域，由得恒成立，列式求解. 【小问1详解】 ， 当，即时，取得最大值，最大值为8. 【小问2详解】 由（1），当时，，令，得， 所以图象的对称中心的坐标为. 【小问3详解】 因为的最小正周期，所以，得， ， 当时，，，所以， 又，所以，即， 因为不等式对恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【小问1详解】 由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； 【小问2详解】 由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； 【小问3详解】 由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一第一次月考试题 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（ ） A. 7 B. C. 19 D. 6. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 7. 下列函数中，以为周期且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若∥，则 10. 已知函数的最小正周期为，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，则______． 13. 已知，则______. 14. 如图，是函数（，，）图象的一部分，函数在区间上有且仅有两个零点，实数的取值范围________． 四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，为两个不共线的向量，若，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值. 16. （1）若，，求的值． （2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． ①求的值； ②求的值． 17. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧的弧长(单位：)； （2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 18. 设函数. （1）求的最大值； （2）当时，求图象的对称中心的坐标； （3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围. 19. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $