专题06一元一次不等式复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

该初中数学一元一次不等式复习讲义通过表格对比知识能力应试目标，分层梳理不等式定义、性质、解法及数轴表示等核心内容，用步骤化呈现解不等式（组）流程，突出性质3变号、数轴虚实点等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于16类分层题型设计，从基础定义到综合应用，如用数轴分析解集培养几何直观，实际应用题引导建模，典例配跟踪专练强化运算能力，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题06一元一次不等式复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透不等式及一元一次不 1.快速求解含分母/括号 1.基础选择 / 填空秒解， 等式（组）定义，辨清与等 的不等式（组），精准找整 零失误 式、方程区别 数解/正整数解 2.解题步骤规范，计算题 2.牢记不等式3条性质，重 2.辨析解方程与解不等式异 不丢分 点掌握乘除负数不等号变 同，初步解决简单含参数解 3.实际应用题快速建模， 向 集问题 拿下解答题 3.会用数轴表示解集（辨空 3.从实际情境提取不等关 4.规避3大易错点（性质3 心/实心)，实现符号与数 系，完成建模、求解、检验 漏变号、数轴标错、忽略 轴语言互转 全流程 实际约束)，提正确率 4.熟练解一元一次不等式 4.用数轴分析解集，活用数 (组)，掌握解集“四句规 形结合解题 律”，规避符号错误 5.找准“至少/最多”等 关键词，建立不等关系模型 ☆ 题型梳理 题型01.不等式的定义与解集 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.解一元一次不等式 题型05.求一元一次不等式（整数解 题型06.解集的数轴表示 题型07不等式解的最值 题型08.不等式定义与解法 题型09.不等式组整数解问题 题型10.由不等式组解集求参数 题型11.由不等式组解集情况求参数 题型12.不等式组与方程组结合 题型13.不等式组的实际应用 题型14.列一元一次不等式 题型15.一元一次不等式的实际应用 题型16.一元一次不等式的几何应用 解答题7题 ☆ 知识梳理 知识点01：不等式 试卷第1页，共3页 1.不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。常用不等号： 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 < 小于、不足 小于 2<3 大于号 大于、高出 大于 -2>-3 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） a≤2 大于或等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） x≥5 不等于号 不等 不等于 -2≠2 2.不等式的解 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式有无数个解。 3.不等式的解集 一个不等式的所有解的全体，叫做不等式的解集。 4.解集在数轴上表示 大于：向右画 小于：向左画 含等号（之、≤）：实心圆点 不含等号(>、<)：空心圆圈 解集 解集在数轴上的表示 I>a I2a I<a r<a 知识点02：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，左右两边都是整式的 不等式，叫做一元一次不等式。 知识点03：解一元一次不等式 试卷第1页，共3页 1.不等式的性质（重点） 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子)，不等号方向不变。 若a>b,则a±c>b士c。 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若a>b,c>0,则ac>bc,是>是。。 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若a>b,c<0,则ac<bc,是<是。 易错点：两边乘除负数时，一定要变号！ 2.解一元一次不等式的一般步骤 1.去分母 (注意：分母为负，不等号要变向) 2.去括号 3.移项（移项要变号）》 4.合并同类项 5.系数化为1 (除以负数，不等号变向) 知识点04：一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成（通常为2个），形式如： 2x+1>3 x-5≤0 关键：同一未知数、每个都是一元一次不等式、2个不等式 知识点05：解一元一次不等式组（标准步骤） 1.分别求解：逐个解出每个一元一次不等式（步骤：去分母→去括号一移项→合 并同类项→系数化为1；乘/除负数，不等号必变向) 2.数轴表示：在同一条数轴上画出所有解集 空心圈：>、<（不包含端点） 实心点：口、口（包含端点） 方向：大于向右，小于向左 3.找公共部分：观察重叠区域，确定解集 4.写解集/判无解：写出公共解集；无重叠则无解 知识点06：四种基本解集规律（设ā<b) 试卷第1页，共3页 [x>a x>b x>b 同大取大 ab [x<a L☑ lx<b x<a 同小取小 [x>a a<x<b [x<b a 大小小大中间跑 [x<a x>b 无解 大大小小无处跑 知识点07：用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤(6步) 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大 于、至少、不超过、最多、不足等)。 2.设： 设未知数（不设“最多/至少”，直接设未知量，如“设可买x件”)。 3列： 根据不等关系，列出一元一次不等式 4解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数 等)。 6.睿 写出完整答案，明确“最多/至少/不超过”等结论。 ☆ 题型精析 题型01.不等式的定义与解集 【典例】在下面的式子中，不等式有() ①x≠1；②4x+3y>0;③x=3;④x-1;⑤x+2≤5. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【跟踪专练1】x=1不是下列哪个不等式的解() A.2x+1>4 B.2x-1>0 C.2x+3≥5 D.-2x+1<1 【跟踪专练2】下列选项中，不能用不等式表示的是() 试卷第1页，共3页 A.-b小于0B.x2+2是正数C.m-n等于零 D.a比b大 【跟踪专练3】下列四个数轴上的点A表示的数都是a,其中一定满足->2的是() A A a-2 -2a 2 a (1) (2) (3) (4) A.(1)(3) B.(2)(3) C.(1)(4) D.(2)(4) 题型02.不等式的性质 【典例】下列判断不正确的是() A.若a≤b,则ac≤bc B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,则a+6>b+6 D.若a>b,则-2a<-2b 【跟踪专练1】有理数X、七2、x3满足x+x2<x2+x,<x+x1,请将它们从小到大排列 【跟踪专练2】下列说法正确的有() ①已知a-3=3-a,则a<3: ②已知a,b,c是非零的有理数，且bd_-1时，则a,么，的值为1或-3： abc a b c b+c a+c a+b ⑧已知a,b,c是有理数，且a+h+c=0,abc<0时，则口+份+可的值为-1或3 ； ④已知x≤4时，那么x+3引-x-4的最大值为7，最小值为-7. A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 题型03.一元一次不等式的定义 【典例】下列不等式是一元一次不等式的是() A.-9x≥7x-6B.x+1=0 C.x+y>0 D.x2+x+920 【跟踪专练1】若(a-3)x-2+5>0是关于x的一元一次不等式，则a的值为· 【跟踪专练2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南(2024版)》中提到：减重期间饮 食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在25g以 下，若设每日添加糖的摄入量为x(g),则x满足的不等关系为() 试卷第1页，共3页 A.x>25 B.x<25 C.x225 D.x≤25 题型04解一元一次不等式 【典例】不等式-3(x-1)≥6的解集是() A.x≤3 B.x≥-3 C.x≤-1 D.x2-1 【跟踪专练1】若不等式52-“>0的解集是r>4,则a= 2 4 3x+y=1+a 【跟踪专练2】在关于x,y的方程组 的解满足x+y≤3，则α的取值范围是() x+3y=3 A.a≤8 B.a28 C.a<8 D.a>8 题型05.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式9x+3≥7x-2的最小整数解是() A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【跟踪专练1】关于x的不等式3x≤8-x的非负整数解有 个 【跟踪专练2】不等式>x-1的最大整数解是() A.-1 B.1 C.-2 D.2 题型06.解集的数轴表示 【典例】在数轴上表示不等式2x-3≥3的解集正确的是（) A. -202 C.2024 D.之024 【跟踪专练1】请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式： -1012 【跟踪专练2】已知不等式(2a-1)x<2(2a-1的解集是x>2,则a的取值范围在数轴上表 示正确的是() A. B. 02 0 题型07不等式解的最值 【典例】己知x4的最小值为a,x-7的最大值为b,则ab= 试卷第1页，共3页 x+2y=-3m+2 【跟踪专练1】己知关于y的二元一次方程组 ，给出下列说法：①若x与 2x+y=4 3 少互为相反数，则m=2:②若x+少>则m的最大整数值为4，®若少，则m= ·其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【跟踪专练2】已知m为整数，若m+2023,4m-2023的值都是整数的平方，则满足条件的 m的最小值为 题型08.不等式定义与解法 【典例】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数() @/x>-2 x>0 x+1>0 x+3>0 x2+1<x (x<3② x+2>4:③ 少-4<0：④ x<-7；⑤ x3+2>4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2x+2>0 【跟踪专练1】不等式组 -x2-1 的解在数轴上表示为() B. -2-10123 D.2片02 【跟踪专练2】下列不等式组： x>0 (1) x<5 x+y>0 （2) 2x+3>0 x+5>1 (3) {2x 4x-3<-1 2x-4>0 (4) 、1-3x<0 2 Γ2 其中 是一元一次不等式组.（用序号表示） 试卷第1页，共3页 （-3)⊙x>2 【跟踪专练3】定义一种新运算：aOb=ab-2a,则关于x的不等式组 2≤4 的负整 x 数解共有 个. x>3 【跟踪专练4】某数学兴趣小组对关于x的不等式组 进行讨论，并得到以下结论：① x≤m1 若m=3.5,则不等式组的解集为3<x≤3.5；②若不等式组无解，则m的取值范围为m<3; ③若m=3,则x=3是不等式组的解；④若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围为 5≤m<6.其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型09.不等式组整数解问题 【典例】对于任意实数s1,规定一种新运算f∫：∫(s,t)=3s-21,若关于x的不等式组 f(x,3-x>4 (2x≤m，恰有3个整数解，则m的取值范围是() A.27<m≤33 B.27≤m<33 C.28≤m<34 D.28<m≤34 x-7<5x+9 【跟踪专练1】不等式组 x+7≥x+5的非负整数解为 4 3 [2x-1<8 【跟踪专练2】关于x的不等式组 x+5 的整数解之和为() -x≤2 2 A.8 B.9 C.10 D.15 题型10.由不等式组解集求参数 x<2 【典例】如果关于x的不等式组 x+1<a 的解集是x<2,则a的取值范围是() A.a>3 B.a<3 C.a23 D.a≤3 3x-6>0 【跟踪专练1】关于x的不等式组 a-x>-2的解集是2<x<5,则a的值为 x>a 【跟踪专练2】若关于x的不等式组 x<3,恰有3个整数解，则字母a的取值范围是() A.a≤-1 B.-1≤a<0 C.a<-1 D.-1<a≤0 试卷第1页，共3页 题型11.由不等式组解集情况求参数 x>m- 【典例】若不等式组 没有解，则m的取值范围在数轴上表示为() x<2 A B. -1012 34 -101234 C. -101234 D. -101234 x<2-a 【跟踪专练1】若不等式组 无解，则a的取值范围是 x>3 6x-7≥a-2 【跟踪专练2】若关于x的不等式组 xx-1<1 有且仅有2个整数解，同时关于y的一元 一次方程少-2 2 -y+5解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为() A.4 B.6 C.7 D.9 题型12.不等式组与方程组结合 【典例】如果关于x、y的方程组 x+y=3 x-2y=a-2 的解为正数，则a的取值范围是() A.-4<a<5 B.-5<a<4 C.a<-4 D.a>5 [x+y=1-a 【跟踪专练1】己知方程组 的解满足x为正数，y为非负数，给出下列结论： x-y=3a+5 5 ①-1<aS1:②当a=-亏时，x=y,③当a=-2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解. 其中正确的有· x+1s2x+5 【跟踪专练2】若整数Q使关于x的不等式组 2 6至少有4个整数解，且使关于x, x-2>a ax-2y=0 y的方程组 的解为整数，那么所有满足条件的整数a的个数是() x+y=4 A.1 B.2 C.3 D.4 题型13.不等式组的实际应用 【典例】方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为vkmh.己知行驶速 度限定为不超过120km/h,若他以80km/h的平均速度行驶，则需6h到达目的地；若他必 试卷第1页，共3页 须要在5h内（包括5h)到达乙地，则的取值范围是 【跟踪专练1】某企业产品换代升级，决定购买20台新设备，这种新设备现有A,B两种型 号，A型每台10万元，B型每台15万元.经预算，该企业购买设备的资金不高于215万元， 则该企业的购买方案有() A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 【跟踪专练2】课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9 本，却又不够.这个课外阅读小组共有() A.4组 B.5组 C.6组 D.7组 【跟踪专练3】三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用300元购买 上述图书20本，那么不同的购书方案有() A.10种 B.11种 C.12种 D.13种 【跟踪专练4】按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否 >487?”为一次操作，若操作四次才停止，则x的取值范围是， 输入 【跟踪专练5】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【跟踪专练6】某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售 价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 分 700 1000 800 1200 试卷第1页，共3页 专题06一元一次不等式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透不等式及一元一次不等式（组）定义，辨清与等式、方程区别 2.牢记不等式 3 条性质，重点掌握乘除负数不等号变向 3.会用数轴表示解集（辨空心 / 实心），实现符号与数轴语言互转 4.熟练解一元一次不等式（组），掌握解集 “四句规律”，规避符号错误 5.找准 “至少 / 最多” 等关键词，建立不等关系模型 1.快速求解含分母 / 括号的不等式（组），精准找整数解 / 正整数解 2.辨析解方程与解不等式异同，初步解决简单含参数解集问题 3.从实际情境提取不等关系，完成建模、求解、检验全流程 4.用数轴分析解集，活用数形结合解题 1.基础选择 / 填空秒解，零失误 2.解题步骤规范，计算题不丢分 3.实际应用题快速建模，拿下解答题 4.规避3大易错点（性质 3 漏变号、数轴标错、忽略实际约束），提正确率 题型01.不等式的定义与解集 题型02.不等式的性质 .题型03.一元一次不等式的定义 题型04.解一元一次不等式 题型05.求一元一次不等式(整数解) 题型06.解集的数轴表示 题型07不等式解的最值 题型08.不等式定义与解法 题型09.不等式组整数解问题 题型10.由不等式组解集求参数 题型11.由不等式组解集情况求参数 题型12.不等式组与方程组结合 题型13.不等式组的实际应用 题型14.列一元一次不等式 题型15.一元一次不等式的实际应用 题型16.一元一次不等式的几何应用 解答题7题 知识点01:不等式 1. 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。常用不等号： 2. 不等式的解 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式有无数个解。 3. 不等式的解集 一个不等式的所有解的全体，叫做不等式的解集。 4. 解集在数轴上表示 大于：向右画 小于：向左画 含等号（≥、≤）：实心圆点 不含等号（＞、＜）：空心圆圈 知识点02:一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 知识点03:解一元一次不等式 1. 不等式的性质（重点） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 若 a＞b，则 a±c ＞ b±c。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若 a＞b，c＞0，则 ac ＞ bc，＞ 。。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若 a＞b，c＜0，则 ac ＜ bc， ＜ 。 易错点：两边乘除负数时，一定要变号！ 2. 解一元一次不等式的一般步骤 1.去分母（注意：分母为负，不等号要变向） 2.去括号 3.移项（移项要变号） 4.合并同类项 5.系数化为 1（除以负数，不等号变向） 知识点04:一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成（通常为 2 个），形式如： 关键：同一未知数、每个都是一元一次不等式、≥2 个不等式 知识点05:解一元一次不等式组（标准步骤） 1.分别求解：逐个解出每个一元一次不等式（步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；乘 / 除负数，不等号必变向） 2.数轴表示：在同一条数轴上画出所有解集 空心圈：>、<（不包含端点） 实心点：⩾、⩽（包含端点） 方向：大于向右，小于向左 3.找公共部分：观察重叠区域，确定解集 4.写解集 / 判无解：写出公共解集；无重叠则无解 知识点06:四种基本解集规律（设 a<b） 知识点07:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型01.不等式的定义与解集 【典例】在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 【跟踪专练1】不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 【答案】C 【分析】根据选项语句描述概括出数量关系即可得出结论． 【详解】解：A.小于0，用不等式表示为：，故选项A不符合题意； B. 是正数，用不等式表示为：，故选项B不符合题意； C. 等于零，即，是相等关系，故选项C符合题意； D. a比b大，用不等式表示为：，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【跟踪专练3】下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】由得或进而即可求解； 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 题型02.不等式的性质 【典例】下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项的正误，即可得到答案． 【详解】解：A. ∵题目未给出的取值范围，当时，若，可得. ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； B. ∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴可得，该选项判断正确，不符合题意； C. ∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； D. ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 【跟踪专练1】有理数、、满足，请将它们从小到大排列______． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质对给定的连不等式变形，即可推导出三个有理数的大小关系． 【详解】解： ∴， ∵ ∴ ∴． 【跟踪专练2】下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点．①由题意得，则；②当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；③当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；④当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综上，即可得出答案． 【详解】解：①由题意得，则；故①说法错误； ②当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则，故②说法正确； ③当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ，故③说法错误； ④当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故④说法正确； 综上，②④正确． 故选：A． 题型03.一元一次不等式的定义 【典例】下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 【跟踪专练1】若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且， 解得． 【跟踪专练2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 题型04.解一元一次不等式 【典例】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的运算法则和解集的表示方法解题． 【详解】解： 【跟踪专练1】若不等式的解集是，则_________． 【答案】 【分析】先解出含参数的不等式，再根据解集为得出关于的方程进行求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵不等式的解集是， ∴且，即， ∴， ∴． 【跟踪专练2】在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于方程组，由并整理可得，结合可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由，可得， ∴， ∵， ∴，解得． 题型05.求一元一次不等式(整数解) 【典例】不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集中的最小整数即可． 【详解】解： ， ∵ 大于等于的整数中，最小的整数是， ∴ 该不等式的最小整数解是． 【跟踪专练1】关于x的不等式的非负整数解有_________个． 【答案】3 【分析】先解不等式得到解集，再根据非负整数的定义统计解的个数即可． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式的非负整数解为，共个． 【跟踪专练2】不等式的最大整数解是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 先求出不等式的解集，然后求其最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以最大整数解是1． 故答案为：B． 题型06.解集的数轴表示 【典例】在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示时，向右且用实心点，即选项D符合题意． 【跟踪专练1】请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集； 先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质，列出关于a的不等式，确定出a的范围即可，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得， 数轴上表示符合D， 故选：D． 题型07不等式解的最值 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 【跟踪专练1】已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 【跟踪专练2】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 题型08.不等式定义与解法 【典例】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【跟踪专练1】不等式组的解在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解： 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ． 【跟踪专练2】下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中__________是一元一次不等式组．（用序号表示） 【答案】（1）（4） 【分析】根据不等式组的定义进行判断即可．把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．掌握不等式组的定义是解题的关键． 【详解】（1）（4）符合一元一次不等式组的定义，故是一元一次不等式组； （2）中不等式组含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式组； （3）中第一个不等式的分母中含有未知数，故它不是一元一次不等式． 【跟踪专练3】定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【答案】3 【分析】根据新定义化简不等式组.求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数． 【详解】解： 将不等式组，即化简得 解得 解得 不等式组的解集为 不等式组的负整数解为，共个． 【跟踪专练4】某数学兴趣小组对关于的不等式组进行讨论，并得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则的取值范围为；③若，则是不等式组的解；④若不等式组只有两个整数解，则的取值范围为．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组解集的判断规则“大小小大中间找，大大小小找不到”，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：① 若，根据不等式组解集规则，可得解集为，故①正确； ② 若不等式组无解，则，故②错误； ③第一个不等式为，不满足，因此不是该不等式组的解，故③错误； ④ 若不等式组只有两个整数解，， 两个整数解只能是和， ∴，故④正确； 综上，正确的结论共2个． 题型09.不等式组整数解问题 【典例】对于任意实数，规定一种新运算，若关于的不等式组，恰有3个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组， 根据新定义运算将不等式组转化为关于x的一元一次不等式组，求出解集后结合整数解的个数确定m的范围。 【详解】由题意可得，原不等式组可化为， 解得：， 解得： ∴不等式组的解集为． 该不等式组恰有3个整数解，即x的整数解为3、4、5。 ， 解得， 故选C． 【跟踪专练1】不等式组的非负整数解为________． 【答案】0，1 【分析】本题主要考查了解不等式组和不等式的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和非负整数的定义是解题的关键． 分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，再在解集中找出所有非负整数即可. 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 解不等式 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得 因此不等式组的解集为 该不等式组的非负整数解为， 故答案为：，． 【跟踪专练2】关于的不等式组的整数解之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集中的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解： 移项合并同类项得 系数化为1得 两边同乘2得 整理得 系数化为1得 ∴ 不等式组的解集为 ∴ 不等式组的整数解为 整数解之和为 题型10.由不等式组解集求参数 【典例】如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，先解出不等式组，再根据不等式组的已知解集，确定原不等式的 解集，从而得到取值范围． 【详解】解： 不等式组的解集为 故选：C． 【跟踪专练1】关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【答案】3 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集是：， 关于的不等式组的解集是， ， ， 故答案为：3 ． 【跟踪专练2】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 题型11.由不等式组解集情况求参数 【典例】若不等式组没有解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据不等式组没有解进行求解即可． 【详解】解： ∵不等式组没有解， ∴， ∴， ∴m的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 【跟踪专练1】若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【跟踪专练2】若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于的符合条件的两个整数为和， ∴， 解得， ∴范围内的整数为， 解关于的方程，得， ∵为非负整数，，可得，且是的正因数， ∴符合条件的为，对应可得，， ∴所有满足条件的整数的和为． 题型12.不等式组与方程组结合 【典例】如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看做已知数求出方程组的解表示出与，根据与都为正数， 取出的范围即可． 【详解】解： 解方程组， 得：， 方程组的解为正数， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【跟踪专练1】已知方程组的解满足x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的有_____． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出,．先解方程组得出,，再根据x为正数，y为非负数判断①．把代入可判断②．将代入可判断③． 【详解】解：①， ，得， 解得， ，得， 解得， ∵， ∴， 解③，得， 解④，得， ∴； ∴①不正确； ②当时， ， ， ∴； ∴②正确： ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴③正确． 故答案为：②③． 【跟踪专练2】若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 题型13.不等式组的实际应用 【典例】方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 【跟踪专练2】课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 【跟踪专练3】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【跟踪专练4】按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意求出四次的操作结果，再根据题意列不等式组解答即可求解． 【详解】解：由程序可得，第一次的操作结果为， 第二次的操作结果为， 第三次的操作结果为， 第四次的操作结果为， ∵操作四次才停止， ∴， 解得， 即的取值范围是． 【跟踪专练5】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【跟踪专练6】某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】(1)可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 (2)共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． （2）解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 【跟踪专练7】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【跟踪专练8】儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 【答案】有个班级，学习用品有套． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键． 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解． 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套． 【跟踪专练9】某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 【跟踪专练10】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型14.列一元一次不等式 【典例】下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，不是负数，则该数大于或等于0，非负数即为大于或等于0的数，不多于，即小于或等于，不大于，即小于或等于，据此列出对应选项中的不等式即可得到答案． 【详解】解：A、a不是负数，可表示成，原式错误，不符合题意； B、x与2的和是非负数，可表示成，原式错误，不符合题意； C、m与4的差不多于3，可表示成，原式正确，符合题意； D、x不大于3，可表示成，原式错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】与的和的一半是非负数，用不等式表示为______． 【答案】 【分析】先表示出与的和，再表示出该和的一半，根据非负数的定义（大于等于的数）列出不等式即可. 【详解】解：∵与的和为， ∴与的和的一半为， 与的和的一半是非负数， . 【跟踪专练2】小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为元，并列出不等式，则下列可能是小华告诉小军的内容是（    ） A．买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B．买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C．买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D．买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 【答案】C 【分析】根据不等式的运算顺序，对应促销活动的步骤，明确不等式各部分的实际意义即可解答． 【详解】解：∵ 不等式为，表示两件定价为元的文具的总价， ∴表示买两件等值文具先减10元， ∵ 对减完10元的整体乘以，表示减价后再打8折， ∴表示最终花费不到40元，符合选项C的描述． 【跟踪专练3】某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子． 【详解】（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为； 则：． （2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元； 则：． 题型15.一元一次不等式的实际应用 【典例】为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【答案】18 【分析】根据各数量间的不等关系正确列出一元一次不等式即可求解，题数为正整数，需根据不等式解集取最小正整数得到结果． 【详解】解：设他答对的题数为，则答错或不答的题数为，根据题意列不等式得： ， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对的题数是18． 【跟踪专练1】国家规定：存款利息税=利息，银行一年定期储蓄的年利率为．小辰爸爸有一笔一年定期存款，如果到期后全部取出，扣除利息税后不少于元．若设这笔一年定期存款是元，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得， 整理得． 【跟踪专练2】已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 【答案】(1) 每个足球50元，每个篮球80元 (2) 最多可买43个篮球 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元，列出方程组，求解即可； （2）设买m个篮球，则购买个足球，根据总价钱不超过4000元，列不等式求出m的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意得，， 解得， 答：每个足球50元，每个篮球80元； （2）解：设买m个篮球，则购买个足球， 由题意得，， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取43． 答：最多可买43个篮球． 题型16.一元一次不等式的几何应用 【典例】若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． 【跟踪专练1】数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键． （1）直接将代入即可解答； （2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为． （2）解：∵若点N在点M的左侧， ∴， 解得：， ∴m的最大整数值为2． 【跟踪专练2】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 解答题 1．判断下列各式中哪些是不等式． （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．     （6）． 【答案】（1）（2）（3）（6）是不等式 【分析】本题考查了不等式的概念，熟练掌握不等式的概念是解题的关键； 根据不等式的定义逐一判断是否为不等式． 【详解】解：由不等号连接，表示两个量大小关系的式子叫做不等式； （1）由连接，是不等式． （2）由连接，是不等式． （3）由连接，是不等式． （4）由连接，是等式，也是方程；不是不等式． （5）无连接符号，是代数式，不是不等式． （6）由连接，是不等式． 综上所述，（1）（2）（3）（6）是不等式． 2．已知关于x的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于x的方程的解不大于方程的解，试求a的范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把代入方程，求出的值，再代入代数式计算； （2）分别解两个方程，用含的式子表示解，根据“解的大小关系”列等式，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，； ； （2）解：解方程得， 解方程得， 由题意得，， 解得． 3．按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)；数轴见详解 (2)；数轴见详解 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：． 数轴表示如图： （2）解： 去分母： 去括号：， 移项：， 合并同类项：． 数轴表示如图： 4．已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 5．按要求解方程组和不等式组： (1)用加减消元法解：． (2)求不等式组的非负整数解． 【答案】(1) (2) 非负整数解为 【分析】（1）利用求出，再把代入①求出即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求其公共解中的特殊解即可. 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 把代入得： ， ， ∴方程组的解是； （2）解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集：， ∵是非负整数， ∴. 6．已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或或 【分析】（1）把两方程相加即可求解； （2）根据并结合建立关于的不等式求解范围； （3）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可； （4）先解出不等式组x的解集，是含有a的一个解集范围，再由“解集中恰好有两个整数”，得出，设出两个整数解为k，，列出关于a，k的不等式组，解出a范围，再根据两个解集的范围大小，列出k的不等式，从而求出确定的k，再反带回列出的关于a，k的不等式组，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解： ，得； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，； （4）解： 解得不等式，得， ∵不等式组的解集恰好含有两个整数， ∴， ∴， ∴； 设整数的值为，， 则有，， ∴，， ∴， ∴， ∴整数k为3或4， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，， ∴内必有3个整数解，不符合题意，舍去； 当时， ，有5和6两个整数解，符合题意； 综上，a的取值范围为或或． 7．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：先求出方程组的解，再根据方程组的解满足列出关于m的一元一次方程，再解方程即可；方法二：由①②可得，求出m的值即可． （2）由（1）中求出的方程组的解，再根据x，y的取值范围列出不等式组，即可求出m的取值范围． （3）先根据（2）中求出的m的取值范围判断绝对值内式子的正负，进而化简绝对值即可． 本题考查二元一次方程组的解法以及不等式组的求解，绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的解法以及解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：， 方法一：①②得， ， ①②，得， ， ， ， 解得． 方法二：①②得， ， ， 解得． （2）解：由（1）知，， ∵为非正数，为负数， ∴，， ， 解得． （3）解：， ，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $