专题04 数列全章7大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期沪教版

专题04 数列（期中复习专项训练） 一．等差中项及其性质 二．求等差数列的前n项和（重点） 三．求等比数列的前n项和（重点） 四．数列的应用 五．数列递推式（重点） 六．数列与函数的综合 七．等差数列与等比数列的综合 题型一．等差中项及其性质（共2小题） 1．（24-25高二下•上海宝山期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数的值为 　 　 ． 2．（24-25高二下•上海宝山期中）设为等比数列的前项和，已知，，则公比 　 　 ． 题型二．求等差数列的前n项和（共5小题） 3．（24-25高二下•上海奉贤期中）已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 　 　 ． 4．（24-25高二下•上海宝山期中）是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 　 　 ． 5．（24-25高二下•上海宝山期中）已知数列满足，则数列的前项和为取最小值时，的值 　 　 ． 6．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知数列是等差数列，其前项和为，若，，则数列中最小的项是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值． 题型三．求等比数列的前n项和（共7小题） 8．（24-25高二下•上海宝山期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和． 9．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知数列是等比数列，其前项和为，若，则公比_____． 10．（24-25高二下•上海宝山期中）计算 　 　 ． 11．（24-25高二下•上海嘉定期中）计算： 　 　 ． 12．（24-25高二下•上海宝山期中）首项为2，公比为的无穷等比数列的各项和为 　 　 ． 13．（24-25高二下•上海嘉定期中）设等比数列的公比，且，则 　 　 ． 14．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知是无穷等比数列，其前项和为，，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是 　 　 ． 题型四．数列的应用（共3小题） 15．（24-25高二下•上海浦东新期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，，若，，则的最大值为 　 　 ． 16．（24-25高二下•上海宝山期中）唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是 　 　（写出所有正确说法的序号） ① ② ③ ④ 17．（24-25高二下•上海浦东新期中）我们称元有序实数组，，，为维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，0，，，2，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，求（用表示）． 题型五．数列递推式（共11小题） 18．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式是　 　 ． 19．（24-25高二下•上海嘉定期中）在数列中，若，，则它的前项和 　 　 ． 20．（24-25高二下•上海宝山期中）在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列． （2）求的通项公式． （3）若，求数列的前项和． 21．（24-25高二下•上海宝山期中）已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　 ． 22．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知数列中，，且为正整数），则的最小值为_______． 23．（24-25高二下•上海宝山期中）已知数列的前项和为，且，，则　 　． 24．（24-25高二下•上海嘉定期中）设数列的前项和为，且是6和的等差中项，若对任意的且都有，则的最小值为　 　 ． 25．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知数列的各项均为正数，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项和最小项； （3）已知数列满足，其中是常数．若数列为严格增数列，求实数的取值范围． 26．（24-25高二下•上海奉贤期中）已知数列的各项均为正数，，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项． 27．（24-25高二下•上海金山期中）无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（　　） A．数列为严格减数列 B．存在正整数，使得 C．数列中存在某一项为最大项 D．存在正整数，使得 28．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知数列，，，，，并且前项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有　 　 个． 题型六．数列与函数的综合（共2小题） 29．（24-25高二下•上海宝山期中）给定数列，则对所有，，，，最大值为 　 　． 30．（24-25高二下•上海宝山期中）已知函数对任意实数、都满足，且． （1）当时，求的表达式； （2）设，记数列的最小项的项数为，求的值． （3）设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 题型七．等差数列与等比数列的综合（共4小题） 31．（24-25高二下•上海嘉定期中）在等差数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）若，证明：数列为等比数列，并求其前项和． 32．（24-25高二下•上海宝山期中）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（　　） A．33 B．31 C．17 D．15 33．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知是公差的等差数列，其前5项和为15，是公比为实数的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，计算． 34．（24-25高二下•上海青浦期中）对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：①，均为严格增数列；②且，，则称与是无穷互补数列． （1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列（期中复习专项训练） 一．等差中项及其性质 二．求等差数列的前n项和（重点） 三．求等比数列的前n项和（重点） 四．数列的应用 五．数列递推式（重点） 六．数列与函数的综合 七．等差数列与等比数列的综合 题型一．等差中项及其性质（共2小题） 1．（24-25高二下•上海宝山期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数的值为 　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据题意可得，从而即可求出值． 【解答】解：等差数列的前三项依次为1，，3， ， ． 故答案为：1． 2．（24-25高二下•上海宝山期中）设为等比数列的前项和，已知，，则公比 　 　 ． 【答案】2． 【分析】将给定的两个等式相减求出公比，再验证得解． 【解答】解：由为等比数列的前项和，且，， 可得，则， 故公比． 故答案为：2． 题型二．求等差数列的前n项和（共5小题） 3．（24-25高二下•上海奉贤期中）已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 　 　 ． 【答案】217． 【分析】由已知得出，进而得出，再根据等差数列求和公式即可求解． 【解答】解：因为，， 所以等差数列的公差， 所以， 则． 故答案为：217． 4．（24-25高二下•上海宝山期中）是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 　 　 ． 【答案】10． 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，，得解． 【解答】解：根据题意，等差数列中，且， 若，得， 由等差数列的性质，， 又，则数列为递减数列，且，， 即， 所以当时，取得最大值． 故答案为：10． 5．（24-25高二下•上海宝山期中）已知数列满足，则数列的前项和为取最小值时，的值 　 　 ． 【答案】4． 【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案． 【解答】解：根据题意，数列满足，则数列为公差为2的等差数列， 其首项， 故． 则当时，取得最小值． 故答案为：4． 6．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知数列是等差数列，其前项和为，若，，则数列中最小的项是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由得到，由得到，即可求解． 【解答】解：因为数列是等差数列，所以，则， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：． 7．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值． 【答案】（1）； （2）最小值；． 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为， 因为，， 由题意可得，解得， 则； （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为． 题型三．求等比数列的前n项和（共7小题） 8．（24-25高二下•上海宝山期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和． 【分析】（1）根据等差数列定义及前项和公式计算可得； （2）由题知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以， 解得， 所以． （2）由（1）可知，， 所以是首项为4，公比为4的等比数列， 所以． 9．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知数列是等比数列，其前项和为，若，则公比_____． 【答案】． 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：设等比数列的公比为， 因为，所以， 所以，解得． 故答案为：． 10．（24-25高二下•上海宝山期中）计算 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算． 【解答】解：根据题意，由于， 当，则． 故答案为：． 11．（24-25高二下•上海嘉定期中）计算： 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据等比求和公式即可求解． 【解答】解：由等比数列求和公式得： ， ． 故答案为：． 12．（24-25高二下•上海宝山期中）首项为2，公比为的无穷等比数列的各项和为 　 　 ． 【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果． 【解答】解：因为无穷等比数列的首项为2，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为． 故答案为：6． 13．（24-25高二下•上海嘉定期中）设等比数列的公比，且，则 　 　 ． 【答案】6． 【分析】利用等比数列的性质、数列的极限求解． 【解答】解：等比数列的公比，且， ， 解得． 故答案为：6． 14．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知是无穷等比数列，其前项和为，，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是 　 　 ． 【答案】． 【分析】由等比数列求和公式，通过讨论的奇偶性，即可求解； 【解答】解：是无穷等比数列，由，，可得， 所以， 所以， 由，即得， 当为偶数时，恒成立， 即恒成立， 易知当时，取得最小值4， 所以， 当为奇数时，恒成立， 即恒成立， 对于，易知当时，， 当时，，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 题型四．数列的应用（共3小题） 15．（24-25高二下•上海浦东新期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，，若，，则的最大值为 　 　 ． 【答案】45． 【分析】由题意得的规律后求解． 【解答】解：由题意得最后一个10在第11行的第10个数， 的最大值为． 故答案为：45． 16．（24-25高二下•上海宝山期中）唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是 　 　（写出所有正确说法的序号） ① ② ③ ④ 【答案】①③④． 【分析】根据递推关系可得，即可代入验证①，③，④，结合，相减即可判断②错误． 【解答】解：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数， 则依题意可知，该蜜蜂爬到1号蜂房的方法数为，2号蜂房的方法数为，3号蜂房的方法数为，4号蜂房的方法数为，5号蜂房的方法数为，， 号蜂房的方法数为，依次对赋值，可得，，，，，故①正确； 因，则，两式相减可得：， 故有，故②错误； 因，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①③④． 17．（24-25高二下•上海浦东新期中）我们称元有序实数组，，，为维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，0，，，2，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，求（用表示）． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）由定义可得，当，范数为奇数时，，，中0的个数为0或2，根据加法原理和乘法原理求解可得； （2）当为奇数时，要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，可按0的个数为0，2，4，，分情况讨论，再根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求得的通项公式，再根据组合数的性质化简可得．称元有序实数组，，，为维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，0，，，2，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． 【解答】解：（1）由题意可得，当时，范数为奇数时，的个数为偶数， ，，中0的个数为0或2， 由加法原理和乘法原理可得，． （2）由题意可得，当为奇数时，在维向量中要使范数为奇数， 则0的个数一定为偶数，其余位置为1或， 所以可按0的个数为0，2，4，，分情况讨论， 根据加法原来和乘法原理可得， 因为， ，两式相加除以2， 可得， 则； （3）当为偶数时，在维向量中要使范数为奇数， 则0的个数一定为奇数，其余位置为1或， 所以可按0的个数为1，3，5，，分情况讨论， 所以，， 由， 可得． 题型五．数列递推式（共11小题） 18．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式是　 　 ． 【答案】． 【分析】时，，利用时，可得，最后验证是否满足上式，不满足时候，要写成分段函数的形式． 【解答】解：因为数列的前项和， 所以当时，， 当时，， 当时，不满足上式， 所以． 故答案为：． 19．（24-25高二下•上海嘉定期中）在数列中，若，，则它的前项和 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，分析可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前项和公式，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，在数列中，若，， 则数列是首项为3，公差为2的等差数列， 故． 故答案为：． 20．（24-25高二下•上海宝山期中）在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列． （2）求的通项公式． （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）． 【分析】（1）由等差数列的定义可得证明； （2）运用等差数列的通项公式，可得所求； （3）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【解答】解：（1）证明：在数列中，，， 可得， 可得是首项为，公差为1的等差数列； （2）由等差数列的通项公式可得， 即有； （3）若，则， 可得数列的前项和 ． 21．（24-25高二下•上海宝山期中）已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　 ． 【答案】． 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围． 【解答】解：因为数列的前项和， 所以， 所以， 所以， 所以， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， 所以当时，取最小值， 所以的取值范围是． 故答案为：． 22．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知数列中，，且为正整数），则的最小值为_______． 【答案】． 【分析】利用累加法得，进而得，利用的单调性即可求解． 【解答】解：由，且为正整数）， 可得， 即有时，，，，， 上式相加得， 所以（符合首项）， 所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以，． 故答案为：． 23．（24-25高二下•上海宝山期中）已知数列的前项和为，且，，则　 　． 【答案】97． 【分析】由递推关系得到，再用累加法和等差数列的求和公式求出结果即可． 【解答】解：依题意，由， 可得， 即， 则， ， ， ， 各项相加， 可得， 化简整理，可得 ． 故答案为：97． 24．（24-25高二下•上海嘉定期中）设数列的前项和为，且是6和的等差中项，若对任意的且都有，则的最小值为　 　 ． 【答案】． 【分析】先根据前项和与通项的关系求得的通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得，取值范围，解得结果． 【解答】解：因为是6和的等差中项，所以，① 当时，，解得， 当时，，② 所以①②得，所以， 所以数列是首项为2，公比为的等比数列， 所以，， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 因此， 因为在上单调递增， 所以，， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 25．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知数列的各项均为正数，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项和最小项； （3）已知数列满足，其中是常数．若数列为严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解答；（2）最大项为2和最小项为；（3），． 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义，可得证明； （2）由等差数列的通项公式，求得，由数列的单调性和不等式的性质，可得最值； （3）由题意可得，再由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【解答】解：（1）证明：数列的各项均为正数，，， 可得，即有数列是首项为1，公差为3的等差数列； （2）由（1）可得，即有， 满足， 当时，是递增数列， 且，且，则数列中的最大项为2和最小项为； （3）数列满足， 由数列为严格增数列，可得， 即，化为恒成立， 可得，解得， 即实数的取值范围是，． 26．（24-25高二下•上海奉贤期中）已知数列的各项均为正数，，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项． 【答案】（1）证明见解答； （2）数列中的最大项为，最小项为． 【分析】（1），两边取倒数即可； （2）利用函数的单调性即可． 【解答】解：（1）证明：的各项均为正数，，且， ， 数列是等差数列． （2）， 满足， 又是增函数，， 数列中的最大项为，最小项为． 27．（24-25高二下•上海金山期中）无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（　　） A．数列为严格减数列 B．存在正整数，使得 C．数列中存在某一项为最大项 D．存在正整数，使得 【答案】 【分析】由数列的单调性和对数函数的性质，结合排除法可得结论． 【解答】解：无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有， 则， 当时，，故，因此，数列严格递增，错误； 若，因为数列递增，则不存在正整数，使得，则错误； 数列严格递增，由，可得若，则， 这与数列严格递增矛盾，则数列的极限为2024，但无限接近2024，因此无最大值，错误； 由排除法，可得正确． 故选：． 28．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知数列，，，，，并且前项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有　 　 个． 【答案】． 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况． 【解答】解：因为，，，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①，存在小于1013的正整数，使得， 对于②，对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则， 可得或； 令，则， 可得或， 综上所述：对任意的正整数，且， 可得，， 即，确定，，不相等，有2种可能， 此时，，条件②满足， 对于数列可知：，，，，，，，均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于1013的正整数，使得， 可知对任意，，不成立， 即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个． 故答案为：． 题型六．数列与函数的综合（共2小题） 29．（24-25高二下•上海宝山期中）给定数列，则对所有，，，，最大值为 　 　． 【答案】4． 【分析】根据题意，由数列的通项公式分析可得，且当时，，当时，，当时，，由此可得最大值为，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，数列的通项公式为， 令，解可得或6，即， 结合二次函数的性质，当时，， 当时，， 当时，， 在的前提下，最大值为． 故答案为：4． 30．（24-25高二下•上海宝山期中）已知函数对任意实数、都满足，且． （1）当时，求的表达式； （2）设，记数列的最小项的项数为，求的值． （3）设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 【答案】（1）； （2）8； （3）2012． 【分析】（1）通过赋值，结合等比数列的定义，即可求得； （2）根据（1）中所求，求得，判断其单调性，即可求得结果； （3）根据（1）中所求，求得，结合等差数列前项和公式，求得，再结合裂项求和法求得，根据其范围，即可求得． 【解答】解：（1）由题可知，（1），即， 故数列是首项为，公比为的等比数列，则； （2）由题可知，， 则， 当时，，严格递增，当时，，严格递减， 数列的最小项为，的值为8； （3）由题可知，，又， 故数列是首项为，公差为的等差数列， 则 ， 当时，为单调减函数，故为单调增函数，又， 故要满足题意，只需，解得，故最小正整数的取值为2012． 题型七．等差数列与等比数列的综合（共4小题） 31．（24-25高二下•上海嘉定期中）在等差数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）若，证明：数列为等比数列，并求其前项和． 【答案】（1）； （2）证明见解析，． 【分析】（1）根据题意，求出该等差数列的公差，结合等差数列前项和公式，分析可得答案； （2）根据题意，由等比数列的定义可得证明，结合等比数列前项和公式，计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，在等差数列中，设其公差为， 若，即，变形可得， 又由，则， 故； （2）证明：根据题意，由（1）的结论，，则， 当时，有，故数列为等比数列，其首项，公比， 故其前项和． 32．（24-25高二下•上海宝山期中）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（　　） A．33 B．31 C．17 D．15 【答案】 【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出，的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值． 【解答】解：由，所以，，则， 故，所以，， 故． 故选：． 33．（24-25高二下•上海上海校级期中）已知是公差的等差数列，其前5项和为15，是公比为实数的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，计算． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出；根据等比数列通项公式求出；从而可得和的通项公式； （2）求出，根据其为等比数列，利用等比数列前项和公式即可求解． 【解答】解：（1）设等差数列的首项为，又， ，解得，则． 又，且， ，解得，则； （2）由，得， 可得数列是首项为，公比为4的等比数列， ． 34．（24-25高二下•上海青浦期中）对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：①，均为严格增数列；②且，，则称与是无穷互补数列． （1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）134959． 【分析】（1）根据，利用无穷互补数列的定义判断即可． （2）判断数列的前512项是的所有整数，除去2，4，8，16，32，64，128，216，512之后剩下的整数，再根据等差数列与等比数列的求和公式求解． 【解答】解：（1）因为，，， 即，，不满足②， 因此与不是无穷互补数列． （2）因为，所以， 因为与是无穷互补数列， 由无穷互补数列的定义：记，，若同时满足条件：①，均为严格增数列； ②且，，则称与是无穷互补数列， 可得数列的前512项是的所有整数除去2，4，8，16，32，64，128，216，512之后剩下的整数， 所以数列的前512项的和为： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $