系统沉淀训练01集合与逻辑用语-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练01集合与逻辑用语（学生版） 主要考点：【1】集合的定义；【2】集合的关系；【3】集合的运算；【4】集合的新定义；【5】命题及其关系；【6】充分条件与必要条件；【7】简单的逻辑联结词；【8】全称量词与存在量词. 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·一模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东揭阳·月考）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 5．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 6．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 8．（2026·河南·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·陕西·二模）无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 11．（2026·福建厦门·二模）设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（   ） A． B．中的元素个数为36 C． D． 12．（25-26高三下·福建·开学考试）下列命题是真命题的是（   ） A．的最小值为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”的否定是“，” D．函数（且）的图象必过点和 13．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D．且 三、填空题 14．（25-26高三下·安徽·模拟）若集合，则的子集个数为___________． 15．（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 16．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 17．（2027高三·全国·专题练习）若“，”是假命题，则实数的最大值为________． 四、解答题 18．（25-26高三下·湖北·预测）设全集U=R，关于的不等式的解集为，集合，. (1)求集合及 (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明：在上恒成立的充要条件是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练01集合与逻辑用语（详解版） 主要考点：【1】集合的定义；【2】集合的关系；【3】集合的运算；【4】集合的新定义；【5】命题及其关系；【6】充分条件与必要条件；【7】简单的逻辑联结词；【8】全称量词与存在量词. 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简集合，再根据交集的概念求解. 【详解】由，即，解得，所以， 函数在上的值域为，即， 所以. 2．（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 3．（2026·湖北·一模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 4．（25-26高一下·广东揭阳·月考）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 5．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 6．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 7．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 8．（2026·河南·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若， 则或，故充分性不成立； 反之，由，可得，故必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 9．（2026·陕西·二模）无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断出结果． 【详解】设正项等差数列的首项为，公差为. 则，， 两式作差得. 充分性：若，即. 若，则，即，无法推出结论，充分性不成立. 必要性：若，即. 因为，所以，即，必要性成立. 因此，""是""的必要不充分条件. 10．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 二、多选题 11．（2026·福建厦门·二模）设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（   ） A． B．中的元素个数为36 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用新定义判断AB；结合列举法利用古典概型概率公式求解判断C；求出所有满足的n，然后求平均值即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，中的元素个数为，错误； 对于C，设，中满足元素如下： 因为，所以以的大小作为分类依据， 时，，，，， ，，，共有7个， 同理时有8个，时有9个，所以，正确； 对于D，集合中所有元素和为， 所以，正确. 12．（25-26高三下·福建·开学考试）下列命题是真命题的是（   ） A．的最小值为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”的否定是“，” D．函数（且）的图象必过点和 【答案】ACD 【分析】借助基本不等式计算可得A；借助充分条件与必要条件定义判断即可得B；利用全称命题的否定为特称命题可得C；将、代入计算即可得D. 【详解】对A：， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对B：由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对C：“，”的否定是“， ”，故C正确； 对D：，，故D正确． 13．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ABD 【分析】利用充分不必要条件的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而也能使成立， 因此是成立的充分不必要条件，A是； 对于B，，由，得，而也能使成立， 因此是成立的充分不必要条件，B是； 对于C，当时，成立，而不等式不成立， 因此不是的充分条件，C不是； 对于D，由且，得且，则， 而也能使成立，因此且，是成立的充分不必要条件，D是. 故选：ABD 三、填空题 14．（25-26高三下·安徽·模拟）若集合，则的子集个数为___________． 【答案】 【分析】利用正弦（型）函数的性质解不等式，结合集合交集运算以及集合子集个数的计算即可. 【详解】由，则， 即：， 因为， 当时，， 当时，得， 当时，得， 当时，， 所以，所以的子集个数为个. 15．（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【答案】17 【详解】. 16．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】当为幂函数时，解得或， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以 “”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件． 17．（2027高三·全国·专题练习）若“，”是假命题，则实数的最大值为________． 【答案】 【分析】先将原特称假命题转化为其否定的全称真命题，再转化为恒成立问题，求在给定区间的最小值，进而确定的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题，即对于恒成立， 所以， 因为在上单调递增， 所以时，最小，其最小值为， 所以， 所以实数的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 18．（25-26高三下·湖北·预测）设全集U=R，关于的不等式的解集为，集合，. (1)求集合及 (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法，可得集合A，根据余弦函数的单调性，可得集合C，根据补集、交集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件可得A B，根据包含关系，列出不等式组，即可得答案. 【详解】（1）由，得，则， 即，解得，所以集合； 因为在上单调递减，且， 解得，所以， 又或，所以. （2）若是的充分不必要条件，则A B， 所以，解得，则实数的取值范围是. 19．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明：在上恒成立的充要条件是． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用导数判断函数的单调性，再结合特殊点的函数值，根据零点存在定理推导零点的唯一性。 （2）先由时推出的范围，再分和两种情况，通过求导分析单调性，证明时，，即充分性. 【详解】（1）当时，， ∵， ∴在R上单调递减， 又∵， ∴在R上有唯一零点． （2）必要性：因为时，， 所以，即，所以， 充分性：当时，， 令，则，， ①当时，， 当且仅当时，， 所以在上单调递增， 故，所以， ②当时，记，则， 因为，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在、，使，，且，， 所以当或时，；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，而，，所以， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $