2026年中考数学一轮复习【几何模型：垂径定理+相交弦定理+切割线定理+双切线定理+三角形内切、外切圆+定点定长+定弦定角等模型（圆）】

常考的重难点几何模型 九年级上册 初中数学 目录 九年级上册 · 圆 模型1：垂径定理……………………………………………………………… 4 模型2：相交弦定理…………………………………………………………… 5 模型3：切割线定理…………………………………………………………… 6 模型4：双切线模型…………………………………………………………… 8 模型5：三角形内切圆………………………………………………………… 9 模型6：三角形外接圆………………………………………………………… 10 模型7：定点定长作圆………………………………………………………… 11 模型8：定弦定角……………………………………………………………… 12 模型9：定角定高……………………………………………………………… 14 模型10：最大张角……………………………………………………………… 15 模型11：四点共圆……………………………………………………………… 16 实战演练………………………………………………………………………… 17 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：垂径定理 题目条件中含有直径与一条弦（非直径）垂直时，考虑用此模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的5个元素：① 过圆心； ② 垂直弦； ③ 平分弦（不是直径）； ④ 平分优弧； ⑤ 平分劣弧. 5个元素，知二推二 依据：全等三角形的性质，圆周角定理C A B O 图1 C A B O D 2 1 M 证明：∵ CD⊥AB ∴ ∠OMA=∠OMB=90° ∵ OA=OB ∴ Rt△OMA≌Rt△OMB ∴ ∠1=∠2，AM=BMC A B O 图2 ∴ ∵ CD是⊙的直径， ∴ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧敲黑板，记重点 作圆心到弦的垂线或连接过弦端点的半径，构造以半径、弦的一半、圆心到弦的距离为边的直角三角形，再利用勾股定理进行解题. 常见辅助线作法： 法1）：连接圆心与弦的两个端点 如图1，连接OA，OB，得到Rt△AOC，Rt△BOC，等腰三角形OAB 法2）：过圆心作弦的垂线 如图2，过点O作OC⊥AB于点C，得到Rt△AOC，Rt△BOC 【例1】如图，，，都是的半径，，交于点． 若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【例2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（   ） A． B． C． D． 模型2：相交弦定理 题目条件中含有圆中两弦交于一点，要解决线段问题时，考虑用此模型 已知：如图，弦AB和CD交于⊙O内一点P 依据：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；相似的性质与判定 结论：PȦ̇·PB=PĊ̇·PDO A C B PB D 证明：如图，连接BC，AD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D ∴ △PAD∽△PCB ∴ ∴ PȦ̇·PB=PĊ̇·PD 【例1】如图，中弦相交于点P，已知，则（　　）． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】如图：若弦经过圆O的半径的中点P，且，则圆O的直径为（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 模型3：切割线定理 题目条件中含有圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，考虑用此模型D C A O E B 一、割线定理 已知：如图，割线AB和AC分别交⊙O于点D，E 结论： 依据：相似三角形的性质与判定，切线的性质定理 证明：法1）如图1，连接CD，BED C A O E B 图1 ∵ ∠B=∠C，∠A=∠A ∴ △ABE∽△ACD ∴ ∴ 法2）如图2，连接BC，DE ∵ 四边形BCED是圆内接四边形D C A O E B 2 1 图2 ∴ ∠B+∠1=180° ∵ ∠1+∠2=180° ∴ ∠B=∠2 又∵ ∠A=∠A ∴ △ADE∽△ACB ∴ ∴ 二、切割线定理 已知：如图，AB是⊙O的切线，AD是⊙O的割线 结论： 依据：相似三角形的性质与判定，切线的性质定理 证明：如图，连接BD，BC，连接BO并延长与⊙O交于点E，连接CE ∵ AB是⊙O的切线O D C A B E 2 1 ∴ ∠EBA=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ BE是⊙O的直径 ∴ ∠ECB=90° ∴ ∠1+∠E=90°敲黑板，记重点 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数.如图，∠1=∠2. A B D C O 2 1 当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题. ∴ ∠2=∠E ∵ ∠D=∠E ∴ ∠2=∠D 又∵ ∠D=∠D ∴ △ABC∽△ADB ∴ ∴ 【例1】如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（    ） 嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线； 淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积． A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确 模型4：双切线模型 题目条件中含有过圆外一点引圆的两条切线时，考虑用此模型 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，连接AB 结论：（1）△OAP≌△OBP； （2）∠APB+∠AOB=180°； （3）OP垂直平分AB 依据：切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径，全等三角形的性质 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线P A B O ∴ PA=OB，∠OAP=∠OBP=90° ∴ ∠APB+∠AOB=180° 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）敲黑板，记重点 通过连接圆心和切点，连接圆心和圆外一点，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决相关问题. ∴ AP=BP，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO ∴ OP平分∠AOB和∠APB ∵ OA=OB，AP=BP ∴ OP垂直平分AB 【例1】如图，是的切线，为切点，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，是圆O的切线，切点分别为A、B，的延长线交圆O于点，连接．若，则等于（    ） A． B． C． D． 模型5：三角形内切圆 题目条件中含有三角形内切圆或内心的问题时，考虑用此模型 已知：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r 结论：（1）点O为△ABC的内心，OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB； （2）点O到AB，BC，AC的距离相等，均为⊙O的半径； （3）∠BOC=90°+∠BAC 证明：如图，设⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，连接OD，OE，OFE A O C B F D ∵ AB，AC均为⊙O的切线 ∴ ∠ADO=∠AFO=90° ∴ DO=FO=r 又∵ AO=AO ∴ Rt△ADO≌Rt△AFO（HL） ∴ ∠DAO=∠FAO，即OA平分∠BAC 同理可证Rt△BDO≌Rt△BEO，Rt△CFO≌Rt△CEO ∴ OD=OE=OF=r，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB ∴ 点O为△ABC的内心（三角形角平分线的交点为该三角形的内心）A O C B E F D 模型拓展 已知：如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，∠ACB=90°，D，E，F分别 为⊙O与AB，BC，AC边的切点 结论：（1）点O为△ABC的内心，OA，OB，OC分别平分∠BAC， ∠ABC，∠ACB； （2）点O到AB，BC，AC的距离相等，均为⊙O的半径； （3）OD=OE=OF= （AC+BC－AB） 【例1】如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则____ A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF 【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（   ） A．70° B．110° C．120° D．130° 模型6：三角形外接圆 题目条件中含有外接圆、外心、圆内接三角形时，考虑用此模型A C B O 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆 结论：（1）OA=OB=OC，点O为△ABC的外心； （2）∠BOC=2∠BAC（圆周角定理） 证明：∵ ⊙O是△ABC的外接圆 ∴ A，B，C三点均在⊙O上敲黑板，记重点 做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题. ∴ OA=OB=OC ∴ O为AB，AC，BC垂直平分线的交点 ∴ 点O为△ABC的外心 拓展方向：直角三角形和钝角三角形的外接圆 【例1】如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 模型7：定点定长作圆 题目条件中含有一定点、一动点，且两点之间的距离为定长或三条线段相等且共用一个顶点时，考虑用此模型A B 一、一点作圆 已知：在平面内，A为定点，B为动点，且AB的长度固定 结论：点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆（如图） 二、三点定圆O A C B 已知：OA=OB=OC 结论：点A，B，C均在⊙O上（如图） A B’ B C F E D 三、翻折生圆 已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的定点， F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B’EF 结论：点B’的运动轨迹是以点E为圆心，BE的长为半径的一段圆弧（如图中的虚线圆弧） 四、旋转成圆 已知：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB’C’ 结论：（1）点B（C）的运动轨迹是以点A为圆心， AB（AC）的长为半径的一段圆弧（如图中的虚线圆弧） （2） 【例1】如图，四边形，则 ． 模型8：定弦定角 题目条件中含有定角且对应边为定边，解决最值问题时，考虑用此模型 已知：如图1，在△ABP中，A，B均为定点，P为平面内一动点，且∠P=α为定值 结论：确定点P的运动轨迹有三种情况： （1）如图2，α＜90°，点P在优弧APB上运动（不与点A，B重合）； （2）如图3，α=90°，点P在以AB为直径的圆上运动（不与点A，B重合）； （3）如图4，α＞90°，点P在劣弧AB上运动（不与点A，B重合） α＞90° 图4 P A O B A O P Α=90° 图3 B A O P α＜90° 图2 B（定） A（定） P（动） α 图1 模型拓展 已知：在△ABC中，C为动点，AB的长为定值2m，∠C的度数为定值α 结论：当△ABC为等腰三角形时，点C到AB的距离最大，最大距离为，且此时最大，最大值为 . 证明：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥AB于点D，过点C作CE⊥AB于点E敲黑板，记重点 ① 当定角为30°（或150°）时，构造定边的等边三角形； ② 当定角为45°（或135°）时，构造以倍定边为腰的等腰直角三角形； ③ 当定角为60°（或120°）时，构造以倍定边为腰的等腰三角形 . ∵ ∠ACB=α ∴ ∠AOB=2∠ACB=2α ∴ ∠AOD=∠ACB=α ∵ AB=2m ∴ 在Rt△AOD中，∠AOD=α，B A O C D E ∴ ，敲黑板，记重点 在△ABC中，当AC=BC时，点C到AB的距离最大 ∴ ， ∵ OD+OC≥CE ∴ 当且仅当C，O，D三点共线时，CE的值最大，最大值CE=OC+OD= 此时AC=BC，最大，最大值为 ∴ 点C到AB的最大距离为 ，此时最大，最大值为 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ． 模型9：定角定高 题目条件中含有定角+该角对边的高线为定值，解决最值问题时，考虑用此模型A C D B 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=α（定角），AD是边BC上的高，且AD=h（定高） 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时， （1）BC的长最小；（2）；（3）△ABC的周长最小 证明：证明结论（1）（2） 如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点EC B O A 图1 设⊙O的半径为r ∵ ∠BAC=α ∴ ∠BOE=∠BAC=α 在Rt△OBE中， ∴ ， ∵ α是定值 ∴ 都是定值 ∴ BE和OE的大小由r决定 ∴ BC=2BE=2r ∵ OA+OE≥AD，即 ∴ 当且仅当A，O，E三点共线时，r有最小值，此时BC的长最小，AB=AC，且 证明结论（3） 如图2，延长CB至点H，使得BH=AB，延长BC至点F，使得CF=CA，连接AH，AF 则△ABC的周长为AB+BC+AC=BH+BC+CF=HF ∴ 当HF的长最小时，△ABC的周长最小 ∵ AB=BH，AC=CF ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ ∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠3 ∵ 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°敲黑板，记重点 利用定角定高模型解题的方法： ① 找定角定高：若未直接给出，需转化； ② 作外接圆：设其半径为r，并用含r的代数式表示弦心距和底边长； ③ 求r的范围：利用“半径+弦心距≥定高”求r的取值范围； ④ 求最值：求出底边和面积的最小值. ∴ 2∠1+2∠3+∠BAC=180° ∴ ∠1+∠3= 又∵ △AHF中，∠HAF+∠2+∠4=180° ∴ ∠HAF+∠1+∠3=180° ∴ ∠HAF=180°－（∠1+∠3） =180°－（）= ∴ 当∠BAC=α为定值时，∠HAF=为定值 作△AHF的外接圆⊙G，再利用结论（1）即可求得HF的最小值 【例1】如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ． 模型10：最大张角 题目条件中含有视野最好或角最大等问题时，考虑用此模型A D P M N B 已知：如图，A，B是∠MDN的边DN上的两个定点，P是边DM上的动点 结论：当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 证明：如图，作△ABP的外接圆 设点P’是DM上不同于点P的任意一点，连接P’A，P’B，P’A与⊙O交于点C，连接BC ∴ ∠ACB＞∠AP’B，∠APB=∠ACB ∴ ∠APB＞∠AP’B ∴ 当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 A D P M N B C P’ O 敲黑板，记重点 解决最大张角问题时，可以考虑结合相似三角形或者切割线定理进行求解. 【例1】如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆． （1）点的纵坐标为 ； （2）当最大时，点的坐标为 ． 模型11：四点共圆 题目条件中含有两个三角形有一条公共边且所对的角相等或四边形的对角互补时，考虑用此模型 四点公园的性质：（1）如图1，共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等，即同弧所对的圆周角相等，∠A=∠B . （2）如图2，圆内接四边形对角互补，∠A+∠C=180° . （3）如图3，圆内接四边形的外角等于其内对角，∠BCE=∠A . 敲黑板，记重点 四点共圆问题的解题方法：同侧角相等，对角互补，四点共圆，再次导角. B A O C D E 图3 A B O C D 图2 C O B A D 图1 【例1】如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 【例2】如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么 ． 实 战 演 练 【垂径定理 】 1．如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．一半径为的小球放在一个无盖的长方体盒子上，其主视图如图所示．已知边的长为，边的长为，则圆到边的最短距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（   ） A． B． C．12 D． 4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为 米． 5．如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为 ． 6．如图，是的直径，弦于点，，求的长． 7．如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【相交弦定理】 8．如图，已知的弦，交于点，且，若，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（    ） A．6 B．12 C．8 D．不能确定 10．如图，P是直径AB上的一点，且PA＝2，PB＝6，CD是过点P的弦，那么下列PC的长度，符合题意的是     （　　） A．PC＝1；PD＝12 B．PC＝3；PD＝5 C．PC＝7；PD＝ D．PC＝；PD＝ 11．如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为（    ） A． B． C．2 D． 12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E．若AC＝AE，CE＝4，DE＝6，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，连接AC，PA，PC，若，求点P的坐标； （3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长． 【切割线定理】 14．如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交于点P，若C是的中点，且，那么的长为（　　） A．9 B．7 C．3 D． 15．如图,点C、O在线段AB上，且AC=CO=OB=5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（ ） A．5 B．6 C． D．10 16．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD，则AB的长为 ． 18．如图，是的直径，是的切线，，、交于、，，，那么 ． 19．如图，内接于，为优弧上的点，弦与相交于点，且，延长到点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求的长． 【双切线模型】 20．如图，、是的切线，切点分别为、，点、在上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 21．如图，内接于⊙，是的切线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 23．某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），，分别切于点，．若，则的度数为 度． 24．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【三角形内切圆】 25．已知与各边相切于点，，则的半径（  ）    A． B． C． D． 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.△ABC的内切圆⊙O切AB于点D，切BC于点E，切AC于点F，AD＝4，BD＝6，则Rt△ABC的面积= ． 27．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A=80°，点P为⊙O上任意一点（不与E、F重合），则∠EPF= ． 28．如图，中，， ，，分别切，，于D，E，F，求的内心I与外心O之间的距离． 29．如图，⊙O是△ABC的内切圆． （1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E， ① 求∠BOC的度数； ② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论； （2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离． 【三角形外接圆】 30．已知：⊙O是的外接圆，，则的大小为(   ) A． B． C．或 D．或 31．如图，点D、E分别是的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若的半径为2，则DE的长等于　　 A． B． C．1 D． 32．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC=4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE= ． 34．已知锐角的外接圆圆心为，半径为． （1）求证：； （2）若中，求的长及的值． 【定点定长作圆】 35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D．或 36．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 37．如图，，如果是的倍，那么是的 倍． 38．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 ，点到线段的最短距离是 ． 【定弦定角】 39．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4 40．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 41．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 42．问题提出： (1)如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________． 问题探究： (2)如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决： (3)如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【定角定高】 43．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且CD=6，则△ABC的面积最小值是 ． 44．如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 45．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 46．问题提出 （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【最大张角】 47．如图，平面直角坐标系中，直线：与抛物线相交于，两点，点为轴上一动点，当最大时，点的坐标为 ． 48．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【四点共圆】 49．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 50．如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 51．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 52．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P． （1）探究AE、BF的关系，并说明理由； （2）求证：A、D、F、P在同一个圆上； （3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 九年级上册 初中数学 目录 九年级上册 · 圆 模型1：垂径定理……………………………………………………………… 4 模型2：相交弦定理…………………………………………………………… 6 模型3：切割线定理…………………………………………………………… 8 模型4：双切线模型…………………………………………………………… 12 模型5：三角形内切圆………………………………………………………… 15 模型6：三角形外接圆………………………………………………………… 17 模型7：定点定长作圆………………………………………………………… 19 模型8：定弦定角……………………………………………………………… 20 模型9：定角定高……………………………………………………………… 22 模型10：最大张角……………………………………………………………… 25 模型11：四点共圆……………………………………………………………… 27 实战演练………………………………………………………………………… 29 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：垂径定理 题目条件中含有直径与一条弦（非直径）垂直时，考虑用此模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的5个元素：① 过圆心； ② 垂直弦； ③ 平分弦（不是直径）； ④ 平分优弧； ⑤ 平分劣弧. 5个元素，知二推二 依据：全等三角形的性质，圆周角定理C A B O 图1 C A B O D 2 1 M 证明：∵ CD⊥AB ∴ ∠OMA=∠OMB=90° ∵ OA=OB ∴ Rt△OMA≌Rt△OMB ∴ ∠1=∠2，AM=BMC A B O 图2 ∴ ∵ CD是⊙的直径， ∴ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧敲黑板，记重点 作圆心到弦的垂线或连接过弦端点的半径，构造以半径、弦的一半、圆心到弦的距离为边的直角三角形，再利用勾股定理进行解题. 常见辅助线作法： 法1）：连接圆心与弦的两个端点 如图1，连接OA，OB，得到Rt△AOC，Rt△BOC，等腰三角形OAB 法2）：过圆心作弦的垂线 如图2，过点O作OC⊥AB于点C，得到Rt△AOC，Rt△BOC 【例1】如图，，，都是的半径，，交于点． 若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解：是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 【例2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有， 即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故选：B． 模型2：相交弦定理 题目条件中含有圆中两弦交于一点，要解决线段问题时，考虑用此模型 已知：如图，弦AB和CD交于⊙O内一点P 依据：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；相似的性质与判定 结论：PȦ̇·PB=PĊ̇·PDO A C B PB D 证明：如图，连接BC，AD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D ∴ △PAD∽△PCB ∴ ∴ PȦ̇·PB=PĊ̇·PD 【例1】如图，中弦相交于点P，已知，则（　　）． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】连接，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】如图，连接． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键． 【例2】如图：若弦经过圆O的半径的中点P，且，则圆O的直径为（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】延长交于D，设，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点D，连接，    设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴． ∴圆O的直径为8． 故选：B． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 模型3：切割线定理 题目条件中含有圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，考虑用此模型D C A O E B 一、割线定理 已知：如图，割线AB和AC分别交⊙O于点D，E 结论： 依据：相似三角形的性质与判定，切线的性质定理 证明：法1）如图1，连接CD，BED C A O E B 图1 ∵ ∠B=∠C，∠A=∠A ∴ △ABE∽△ACD ∴ ∴ 法2）如图2，连接BC，DE ∵ 四边形BCED是圆内接四边形D C A O E B 2 1 图2 ∴ ∠B+∠1=180° ∵ ∠1+∠2=180° ∴ ∠B=∠2 又∵ ∠A=∠A ∴ △ADE∽△ACB ∴ ∴ 二、切割线定理 已知：如图，AB是⊙O的切线，AD是⊙O的割线 结论： 依据：相似三角形的性质与判定，切线的性质定理 证明：如图，连接BD，BC，连接BO并延长与⊙O交于点E，连接CE ∵ AB是⊙O的切线O D C A B E 2 1 ∴ ∠EBA=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ BE是⊙O的直径 ∴ ∠ECB=90° ∴ ∠1+∠E=90°敲黑板，记重点 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数.如图，∠1=∠2. A B D C O 2 1 当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题. ∴ ∠2=∠E ∵ ∠D=∠E ∴ ∠2=∠D 又∵ ∠D=∠D ∴ △ABC∽△ADB ∴ ∴ 【例1】如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意连接OC，依据切线性质得出，进而利用勾股定理即可求出PC． 【详解】解：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴， ∵OB＝OC=3，PB＝2， ∴, ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质以及勾股定理的运用是解题的关键． 【例2】在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（    ） 嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线； 淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积． A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确 【分析】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接，证明即可求解；根据切线的性质，，可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵是半圆所在圆的直径， ∴， 如图所示，连接， ∵是半径， ∴， ∵， ∴， 嘉嘉给出的条件是：， ∴，即，且点在圆上， ∴直线是半圆的切线，故嘉嘉给出的条件正确； 淇淇给出的条件：直线是的切线，且，如图所示， ∴，且是等腰三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作于， 在是等边三角形，， ∴，故淇淇给出的条件正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与特殊角的直角三角形的综合，掌握圆切线的求证方法，含特殊角的直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 模型4：双切线模型 题目条件中含有过圆外一点引圆的两条切线时，考虑用此模型 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，连接AB 结论：（1）△OAP≌△OBP； （2）∠APB+∠AOB=180°； （3）OP垂直平分AB 依据：切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径，全等三角形的性质 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线P A B O ∴ PA=OB，∠OAP=∠OBP=90° ∴ ∠APB+∠AOB=180° 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL） ∴ AP=BP，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO ∴ OP平分∠AOB和∠APB敲黑板，记重点 通过连接圆心和切点，连接圆心和圆外一点，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决相关问题. ∵ OA=OB，AP=BP ∴ OP垂直平分AB 【例1】如图，是的切线，为切点，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握上述性质与定理．先利用切线的性质证明，，再利用垂直的意义得出，，然后四边形的内角和为360度得出，再利用圆周角定理求出，即可求得． 【详解】解：连接、，如图， 、是切线， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【例2】如图，是圆O的切线，切点分别为A、B，的延长线交圆O于点，连接．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，根据切线性质得出，根据，得出，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理即可得答案．熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【详解】解：设交于，连接，如图： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 模型5：三角形内切圆 题目条件中含有三角形内切圆或内心的问题时，考虑用此模型 已知：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r 结论：（1）点O为△ABC的内心，OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB； （2）点O到AB，BC，AC的距离相等，均为⊙O的半径； （3）∠BOC=90°+∠BAC 证明：如图，设⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，连接OD，OE，OFE A O C B F D ∵ AB，AC均为⊙O的切线 ∴ ∠ADO=∠AFO=90° ∴ DO=FO=r 又∵ AO=AO ∴ Rt△ADO≌Rt△AFO（HL） ∴ ∠DAO=∠FAO，即OA平分∠BAC 同理可证Rt△BDO≌Rt△BEO，Rt△CFO≌Rt△CEO ∴ OD=OE=OF=r，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB ∴ 点O为△ABC的内心（三角形角平分线的交点为该三角形的内心）A O C B E F D 模型拓展 已知：如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，∠ACB=90°，D，E，F分别 为⊙O与AB，BC，AC边的切点 结论：（1）点O为△ABC的内心，OA，OB，OC分别平分∠BAC， ∠ABC，∠ACB； （2）点O到AB，BC，AC的距离相等，均为⊙O的半径； （3）OD=OE=OF= （AC+BC－AB） 【例1】如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则____ A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF 【详解】连接OA、OB， ∵O是△ABC的内心， ∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线， ∴∠EAO＝∠OAB，∠ABO＝∠FBO，∵EF∥AB， ∴∠AOE＝∠OAB， ∠BOF＝∠ABO， ∴∠EAO＝∠AOE， ∠FBO＝∠BOF， ∴AE＝OE，OF＝BF， ∴EF＝AE＋BF， 故选C. 【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（   ） A．70° B．110° C．120° D．130° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO=∠BEO=90°，从而得出∠DOE． 【详解】解：∵∠BAC=50°，∠ACB=60°， ∴∠B=180°-50°-60°=70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO=∠BEO=90°， ∴∠DOE=180°-∠B=180°-70°=110°． 故选：B． 【点睛】此题重点考查学生对三角形的内切圆和切线长定理的理解，把握三角形内角和是解题的关键. 模型6：三角形外接圆 题目条件中含有外接圆、外心、圆内接三角形时，考虑用此模型A C B O 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆 结论：（1）OA=OB=OC，点O为△ABC的外心； （2）∠BOC=2∠BAC（圆周角定理） 证明：∵ ⊙O是△ABC的外接圆 ∴ A，B，C三点均在⊙O上敲黑板，记重点 做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题. ∴ OA=OB=OC ∴ O为AB，AC，BC垂直平分线的交点 ∴ 点O为△ABC的外心 拓展方向：直角三角形和钝角三角形的外接圆 【例1】如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定义得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解关于r的方程即可； 【详解】解： 如图1，作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴BD=CD=BC=4， ∴△ABC的外接圆的圆心在AD上， 连结OB，设⊙O的半径为r， 在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4， ∴AD= =8， 在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4， ∴42+（8-r）2=r2，解得r=5， 即△ABC的外接圆的半径为5； 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解题关键是证明等腰三角形底边上的高经过三角形外接圆的圆心. 模型7：定点定长作圆 题目条件中含有一定点、一动点，且两点之间的距离为定长或三条线段相等且共用一个顶点时，考虑用此模型A B 一、一点作圆 已知：在平面内，A为定点，B为动点，且AB的长度固定 结论：点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆（如图） 二、三点定圆O A C B 已知：OA=OB=OC 结论：点A，B，C均在⊙O上（如图） A B’ B C F E D 三、翻折生圆 已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的定点， F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B’EF 结论：点B’的运动轨迹是以点E为圆心，BE的长为半径的一段圆弧（如图中的虚线圆弧） 四、旋转成圆 已知：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB’C’ 结论：（1）点B（C）的运动轨迹是以点A为圆心， AB（AC）的长为半径的一段圆弧（如图中的虚线圆弧） （2） 【例1】如图，四边形，则 ． 【分析】根据可知三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，然后根据“同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍”即可求解． 【详解】解：∵， ∴三点在以点A为圆心，以为半径的圆上， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧上的圆心角与圆周角之间的关系，解题的关键是理解“三点在以点A为圆心，以为半径的圆上”． 模型8：定弦定角 题目条件中含有定角且对应边为定边，解决最值问题时，考虑用此模型 已知：如图1，在△ABP中，A，B均为定点，P为平面内一动点，且∠P=α为定值 结论：确定点P的运动轨迹有三种情况： （1）如图2，α＜90°，点P在优弧APB上运动（不与点A，B重合）； （2）如图3，α=90°，点P在以AB为直径的圆上运动（不与点A，B重合）； （3）如图4，α＞90°，点P在劣弧AB上运动（不与点A，B重合） α＞90° 图4 P A O B A O P Α=90° 图3 B A O P α＜90° 图2 B（定） A（定） P（动） α 图1 模型拓展 已知：在△ABC中，C为动点，AB的长为定值2m，∠C的度数为定值α 结论：当△ABC为等腰三角形时，点C到AB的距离最大，最大距离为，且此时最大，最大值为 . 证明：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥AB于点D，过点C作CE⊥AB于点E敲黑板，记重点 ① 当定角为30°（或150°）时，构造定边的等边三角形； ② 当定角为45°（或135°）时，构造以倍定边为腰的等腰直角三角形； ③ 当定角为60°（或120°）时，构造以倍定边为腰的等腰三角形 . ∵ ∠ACB=α ∴ ∠AOB=2∠ACB=2α ∴ ∠AOD=∠ACB=α ∵ AB=2m ∴ 在Rt△AOD中，∠AOD=α，B A O C D E ∴ ，敲黑板，记重点 在△ABC中，当AC=BC时，点C到AB的距离最大 ∴ ， ∵ OD+OC≥CE ∴ 当且仅当C，O，D三点共线时，CE的值最大，最大值CE=OC+OD= 此时AC=BC，最大，最大值为 ∴ 点C到AB的最大距离为 ，此时最大，最大值为 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ． 【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点E在以AB为直径的半⊙O上， 连接CO交⊙O于点E′， ∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE′＝2， ∵BC＝6， ∴OC＝， 则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2， 故答案为2﹣2． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键． 模型9：定角定高 题目条件中含有定角+该角对边的高线为定值，解决最值问题时，考虑用此模型A C D B 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=α（定角），AD是边BC上的高，且AD=h（定高） 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时， （1）BC的长最小；（2）；（3）△ABC的周长最小 证明：证明结论（1）（2） 如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点EC B O A 图1 设⊙O的半径为r ∵ ∠BAC=α ∴ ∠BOE=∠BAC=α 在Rt△OBE中， ∴ ， ∵ α是定值 ∴ 都是定值 ∴ BE和OE的大小由r决定 ∴ BC=2BE=2r ∵ OA+OE≥AD，即 ∴ 当且仅当A，O，E三点共线时，r有最小值，此时BC的长最小，AB=AC，且 证明结论（3） 如图2，延长CB至点H，使得BH=AB，延长BC至点F，使得CF=CA，连接AH，AF 则△ABC的周长为AB+BC+AC=BH+BC+CF=HF ∴ 当HF的长最小时，△ABC的周长最小 ∵ AB=BH，AC=CF ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ ∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠3 ∵ 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°敲黑板，记重点 利用定角定高模型解题的方法： ① 找定角定高：若未直接给出，需转化； ② 作外接圆：设其半径为r，并用含r的代数式表示弦心距和底边长； ③ 求r的范围：利用“半径+弦心距≥定高”求r的取值范围； ④ 求最值：求出底边和面积的最小值. ∴ 2∠1+2∠3+∠BAC=180° ∴ ∠1+∠3= 又∵ △AHF中，∠HAF+∠2+∠4=180° ∴ ∠HAF+∠1+∠3=180° ∴ ∠HAF=180°－（∠1+∠3） =180°－（）= ∴ 当∠BAC=α为定值时，∠HAF=为定值 作△AHF的外接圆⊙G，再利用结论（1）即可求得HF的最小值 【例1】如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 模型10：最大张角 题目条件中含有视野最好或角最大等问题时，考虑用此模型A D P M N B 已知：如图，A，B是∠MDN的边DN上的两个定点，P是边DM上的动点 结论：当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 证明：如图，作△ABP的外接圆 设点P’是DM上不同于点P的任意一点，连接P’A，P’B，P’A与⊙O交于点C，连接BC ∴ ∠ACB＞∠AP’B，∠APB=∠ACB ∴ ∠APB＞∠AP’B ∴ 当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 A D P M N B C P’ O 敲黑板，记重点 解决最大张角问题时，可以考虑结合相似三角形或者切割线定理进行求解. 【例1】如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆． （1）点的纵坐标为 ； （2）当最大时，点的坐标为 ． 【分析】（1）根据三角形外心的定义，可得出的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即可求解； （2）点P在切点处时，最大，而四边形是矩形，由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴线段的垂直平分线为直线， ∵点M在的垂直平分线上， ∴点M的纵坐标为4， （2）过点，，作与x轴相切，则点P在切点处时，最大， 理由： 如上图，若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点， 设交于点E，连接，则， ∵是的外角， ∴， ∴，即点P在切点处时，最大， ∵经过点，， ∴点M在线段的垂直平分线上，即点M在直线上， ∵与x轴相切于点P，轴，从而，即的半径为4， 设AB的中点为D，连接，如上图，则， ，， ∵，轴，， ∴四边形是矩形，从而， 由勾股定理，得 ， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键． 模型11：四点共圆 题目条件中含有两个三角形有一条公共边且所对的角相等或四边形的对角互补时，考虑用此模型 四点公园的性质：（1）如图1，共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等，即同弧所对的圆周角相等，∠A=∠B . （2）如图2，圆内接四边形对角互补，∠A+∠C=180° . （3）如图3，圆内接四边形的外角等于其内对角，∠BCE=∠A . 敲黑板，记重点 四点共圆问题的解题方法：同侧角相等，对角互补，四点共圆，再次导角. B A O C D E 图3 A B O C D 图2 C O B A D 图1 【例1】如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得． 【详解】弧、弧的长度分别为、 圆的周长为 （圆内接四边形的对角互补） 弧所对圆心角的度数为 则弧的长度为 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键． 【例2】如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么 ． 【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论． 【详解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点， ∴AE=EB=EC=ED， ∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上， ∵∠BAD=32°， ∴∠DCB=∠BAD=32°， 又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点， ∴∠ECB=45°， ∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°． 故答案为：13． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强． 实 战 演 练 【垂径定理 】 1．如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，先根据已知求得，再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：连接， ∵的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 2．一半径为的小球放在一个无盖的长方体盒子上，其主视图如图所示．已知边的长为，边的长为，则圆到边的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设点为圆心，过点作于，交于点，交于点，连接，则的长为到边的最短距离，由垂径定理得，由勾股定理得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，设点为圆心，过点作于，交于点，交于点，连接，则的长为到边的最短距离， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴圆到边的最短距离为， 故选：． 3．如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（   ） A． B． C．12 D． 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，连接， ， ∴为的中点， ，为的中点， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：，即 ， 解得， 故选： B． 4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为 米． 【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可． 【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ， ，， ， . 米，， 米 设，则， 在中，， ， 即的半径长为米． 故答案为：． 5．如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为 ． 【分析】由折叠的性质得，，，连接，当点为和的交点时，的周长最小，最小值为．由垂径定理得，由勾股定理得，证明为正三角形，求出，然后利用勾股定理求出，进而可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，设翻折前后点O的对称点为D，连接， ∵点翻折到点，点在上， ∴，，． 连接，当点为和的交点时，的周长最小， 此时，，周长的最小值为． ，， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， ∴为正三角形． ∵为中点， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定出点P的位置是解答本题的关键． 6．如图，是的直径，弦于点，，求的长． 【分析】本题考查垂径定理．根据垂径定理求出的长，利用求出即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点，， ∴，，， ∴， ∴． 7．如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理等知识．连接OC．由垂径定理得到，设半径为r，则，．在中，根据勾股定理，得到方程，解得，即可求出的面积． 【详解】解：连接OC． ∵是的直径，，， ∴； 设半径为r，则，． 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项得， 解得， ∴的面积为． 【相交弦定理】 8．如图，已知的弦，交于点，且，若，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据相交弦定理和垂径定理求解． 【详解】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2， 再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4． 故选B． 【点睛】考查了相交弦定理和垂径定理的应用，根据垂径定理得出CP，PD的长是解题的关键． 9．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（    ） A．6 B．12 C．8 D．不能确定 【详解】试题分析：由相交弦定理可得出AP•BP=CP•DP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD=6，从而得出 CD =PC+PD=2+6=8． 故选C． 考点：相交弦定理 10．如图，P是直径AB上的一点，且PA＝2，PB＝6，CD是过点P的弦，那么下列PC的长度，符合题意的是     （　　） A．PC＝1；PD＝12 B．PC＝3；PD＝5 C．PC＝7；PD＝ D．PC＝；PD＝ 【分析】求出直径AB的长，连接AC，BD，易证ΔAPC∽ΔDPB,得出PA×PB=PC×PD，代入即可判断答案正确与否． 【详解】∵PA=2，PB=6， AB=2+6=8， 即圆O的直径是8， ∵CD是圆O的弦， ∴CD≤AB， 连接AC，BD， ∵∠A=∠D,∠C=∠B, ∴ΔAPC∽ΔDPB, ∴，即PA×PB=PC×PD， A、CD=PC+PD=13，故本选项错误； B、符合CD≤AB，且PD×PC≠PA×PB，故本选项错误； C、CD=PD+PC=8>8，PA×PB=PC×PD=12，故本选项错误； D、CD=PD+PC=5<AB，PC×PD=2×3=12，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了直径和弦的大小关系，用到了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质. 11．如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【分析】作于，由相交弦定理可求的长，再由垂径定理可求的长 ，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，相交弦定理，勾股定理，解题的关键是作于，构造直角三角形从而运用勾股定理解决问题． 12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E．若AC＝AE，CE＝4，DE＝6，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点O作OH⊥CD于点H，过点A作AM⊥CD于点M，通过过圆心且垂直于弦的直线垂直平分弦以及等腰三角形的三线合一可以得到HE、EM，根据平行线的性质，进而得出AE、EO的比例，表示出AE、BE即可得出结论． 【详解】如图，过点O作OH⊥CD于点H，过点A作AM⊥CD于点M ∵DE=6，CE=4 ∴CD=10 ∵OH⊥CD ∴DH=CH=CD=5 ∴HE=1 ∵AE=AC，AM⊥CE ∴EM=CM=CE=2 ∵OH⊥CD，AM⊥CD ∴OH∥AM ∴ 设OE=x,则AE=2x ∵OB=OA=3x ∴BE=OE+OB=3x+x=4x ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握并综合运用是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，连接AC，PA，PC，若，求点P的坐标； （3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长． 【分析】（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，可得二次函数的解析式为，由此即可解决问题． （2）根据，构建方程即可解决问题． （3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．根据，根据方程求出，再利用中点坐标公式，求出点的纵坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点， 二次函数的解析式为， 即． （2）如图甲中，连接．设． 由题意，，， ， ， 整理得，， 解得或（舍弃）， ． （3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，． 理由：如图乙中，连接，，，设，，，． 由题意，， ， 解得， ，， ， ， ， 点在运动过程中线段的长是定值，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【切割线定理】 14．如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交于点P，若C是的中点，且，那么的长为（　　） A．9 B．7 C．3 D． 【分析】根据圆的内接四边形对角互补可得，从而得到，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答． 【详解】解：∵C是的中点，， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 解得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的内接四边形和三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，相似三角形对应边成比例． 15．如图,点C、O在线段AB上，且AC=CO=OB=5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（ ） A．5 B．6 C． D．10 【分析】利用切割线定理得到AD2=AC×AB，而AC=5，AB=AC+CO+OB=15，代入计算可以求出AD的长． 【详解】解：∵AD是⊙O的切线，ACB是⊙O的割线， ∴AD2=AC×AB， 又AC=5，AB=AC+CO+OB=15， ∴AD2=5×15=75， ∴AD=5．（AD=-5不合题意舍去）． 故选C． 【点睛】本题考查的是切割线定理，利用切割线定理列出等式，然后把AC，AB的长代入计算求出线段AD的长． 16．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】试题分析：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PAPB=PCPD，∵PA=2，PC=CD=3， ∴2PB=3×6，解得：PB=9．故选D． 17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD，则AB的长为 ． 【分析】利用相似三角形的判定证明△BDC∽△CBA，得到，再设CD=x，列方程求出CD的长，再求AB的长即可． 【详解】∵BC是⊙O的切线， ∴AB⊥BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC=∠BDC=90°， ∵∠BCD=∠ACB=90°， ∴△BDC∽△CBA， ∴ 设CD=x， 则， 解得：x=， ∴ ∴AC=． ∴． 故答案为 4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质、切线的性质是解题的关键． 18．如图，是的直径，是的切线，，、交于、，，，那么 ． 【分析】连接BE，可证△ABE为直角三角形，根据边之间的关系可证∠A=60°，根据切线的性质定理∠ABC=90°，由此可证∠C=30°，根据30°角的直角三角形可求出AC，由此可得EC. 【详解】解：连接BE ∵是的直径， ∴∠AEB=90° ∵， ∴ ∴在Rt△ABE中，∠ABE=30°，∠A=60° ∵BC为的切线， ∴∠ABC=90°， ∴∠C=90°－∠A=30°， ∴AC=2AB=4， ∴EC=AC-AE=3 故填3. 【点睛】本题考查了切线的性质定理，30°的直角三角形，直径所对的圆周角是90°.能根据切线的定理和直径所对的圆周角是90°证明△ABE和△ABC为直角三角形，并根据AB=2OF=2AE证明∠ABE=30°是解决此题的关键. 19．如图，内接于，为优弧上的点，弦与相交于点，且，延长到点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求的长． 【分析】（1）连接，，与交与点，利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂径定理得到，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）通过延长交于点，连接、，可判断出．根据是的中点，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，，与交与点，如图， ， ， ， ∽， ， ， ． ． ， ， ， ． ， ， ， ． ． 为的半径， 是的切线． （2）解：延长交于点，连接， 是的直径， ， ． ， ． ， ． ． ， ∽． ． ． 是的中点，， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【双切线模型】 20．如图，、是的切线，切点分别为、，点、在上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，即可求出，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：连接，则， 又∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 21．如图，内接于⊙，是的切线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再求出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 故选：B． 22．如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），，分别切于点，．若，则的度数为 度． 【分析】本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质．连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为， 故答案为：． 24．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【分析】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【三角形内切圆】 25．已知与各边相切于点，，则的半径（  ）    A． B． C． D． 【分析】根据内切圆的性质，得到，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG⊥AC于点G，然后求出BG的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径. 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，作BG⊥AC于点G，    ∵是的内切圆， ∴，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3， ∴AC=8，AB=7，BC=5， 在Rt△BCG和Rt△ABG中，设CG=x，则AG=，由勾股定理，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题. 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.△ABC的内切圆⊙O切AB于点D，切BC于点E，切AC于点F，AD＝4，BD＝6，则Rt△ABC的面积= ． 【分析】设内切圆半径为r,根据内切圆的性质和勾股定理求出r即可. 【详解】 设内切圆半径为r,则OE＝OF＝OD＝r 易知BD＝BE＝6,AD＝AF＝4 ∴Rt△ABC中,AC2＋BC2＝(4＋r)2 ＋(6＋r)2 ＝AB2＝100 解得r＝2,则AC＝6,BC＝8 ∴S△ABC＝24 【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键. 27．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A=80°，点P为⊙O上任意一点（不与E、F重合），则∠EPF= ． 【分析】有两种情况：①当P在弧EDF上时，连接OE、OF，求出∠EOF，根据圆周角定理求出即可；②当P在弧EMF上时，∠EPF=∠EMF，根据圆内接四边形的性质得到∠EMF+∠ENF=180°，代入求出即可． 【详解】 有两种情况： ①当P在弧EDF上时，∠EPF=∠ENF，连接OE、OF， ∵圆O是△ABC的内切圆，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°， ∵∠A=80°，∴∠EOF=360°−∠AEO−∠AFO−∠A=100°，∴∠ENF=∠EPF=∠EOF=50°， ②当P在弧EMF上时，∠EPF=∠EMF，∠FPE=∠FME=180°−50°=130°. 故答案为50°或130°. 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、垂线、多边形内角与外角、圆周角定理、正多边形和圆，解题的关键是掌握它们的概念和性质进行解答. 28．如图，中，， ，，分别切，，于D，E，F，求的内心I与外心O之间的距离． 【分析】本题考查的是直角三角形的外心与内心概念，内切圆的性质，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．连接，，，，证得四边形为正方形，即得，从而得到，，再在中根据勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，连接，，，， 在，，，， ∴， ∴为外接圆半径，， 设的内接圆的半径为r，则，， ∵四边形是正方形， ∴，，， 即， 解得， ∴， ∴， 在中，． 29．如图，⊙O是△ABC的内切圆． （1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E， ① 求∠BOC的度数； ② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论； （2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离． 【详解】分析：（1）①由点O是内心得∠BOC＝120°； ②由切线长定理可证得. （2），连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M，由以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求得EF=3.6，再证明△AOE∽△ABN，求得，再证明△AED∽△ABC，得ED=3.2，即可求解. 详解：（1）①∵∠A＝60° ∴∠ABC＋∠ACB＝120° ∵⊙O是△ABC的内切圆 ∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB ∴∠DBC＋∠ECB＝60° ∴∠BOC＝120° ②BC= BE＋CD 作∠BOC的平分线OF交BC于点F， ∵∠BOC＝120° ∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60° 在△BOE与 △BOF中 ∴ △BOE≌△BOF（ASA） ∴ BE=BF 同理可证：CD=CF ∴ BC= BE＋CD （2）如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M ∵⊙O是△ABC的内切圆   ∴ AO是∠BAC的平分线， 又 AB＝AC， ∴ AN⊥BC ∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝      ∴ AN＝8，BN＝6 由切线长定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4， ∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN， ∴△AOE∽△ABN，，即 解得 ∴ ∵，∠BAC=∠BAC ∴△AED∽△ABC ∴ ， 以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形 ∴∠DEF＝90° ∴ 是⊙O 的直径 ∴ ∴平移的距离是 点睛：本题考查了切线的性质、矩形的性质． 【三角形外接圆】 30．已知：⊙O是的外接圆，，则的大小为(   ) A． B． C．或 D．或 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AOB=80°，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图： ∵OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=50°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=80°， ∴∠ACB=∠AOB=40°． 当点C在点C′的位置时，∠AC′B=180°-40°=140°． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 31．如图，点D、E分别是的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若的半径为2，则DE的长等于　　 A． B． C．1 D． 【分析】连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径，证∠BCF=90°，∠F=∠A=60°，求出BF=4，BC=，根据三角形中位线性质得：DE=BC=． 【详解】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径， ∴∠BCF=90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∴∠F=∠A=60°， ∵⊙O的半径为2， ∴BF=4， ∴BC=， ∵点D、E分别是AB、AC边上的中点， ∴DE=BC=． 故选A 【点睛】本题考核知识点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的性质;3．三角形中位线定理．解题关键点：理解相关知识点. 32．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 【详解】试题分析：作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC，根据垂径定理求出AF，根据中位线得出OF，再根据勾股定理求出OA即可． 作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，如图所示： ∵AH为直径， ∴∠HCA=∠HBA=90°， ∵CN⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CNA=∠BEA=90° ∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA， ∴HB∥CN，HC∥BE， ∴四边形HBMC为平行四边形， ∴BM=HC=4， ∵OF⊥CC，OF过O， ∴根据垂径定理：CF=FA=AC=4， ∵AO=OH， ∴OF为△ACH的中位线， ∴OF=HC=2， ∴在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=22+42=20， ∴AC=2； 33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC=4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE= ． 【分析】如图，连接BD，CD，EC．只要证明DE=DC，△DCB是等腰直角三角形即可解决问题. 【详解】解：如图，连接BD，CD，EC． ∵点E是△ABC的内心， ∴∠DAB=∠DAC，∠ECA=∠ECD， ∵∠DCB=∠DAB，∠DEC=∠EAC+∠ECA，∠ECD=∠ECB+∠DCB， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC， ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∵∠DAB=∠DAC， ∴=， ∴BD=DC， ∵BC=4， ∴DC=DB=2， ∴DE=2， 故答案为2. 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是证明DE=DC. 34．已知锐角的外接圆圆心为，半径为． （1）求证：； （2）若中，求的长及的值． 【分析】（1）如图1，连接并延长交于，连接，于是得到，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）由，同理可得：，于是得到，即可得到，如图2，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）如图1，连接并延长交于，连接， 则， ， ； （2）， 同理可得：， ， ， 如图2，过作于， ， ， 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【定点定长作圆】 35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【分析】根据题意求出AB的长，以A为圆心作圆，与x轴交于C，求出C的坐标即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为（−3，0）、（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5， ∵以A为圆心作圆，与x轴交于C， ∴AC＝AB=5， ∴C点坐标为（2，0）或（−8，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质，作出辅助圆是解题的关键． 36．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可． 【详解】解：连接AM，如图所示： ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵在矩形ABCD中，AC＝， AM＝AB＝3， ∴CM＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹． 37．如图，，如果是的倍，那么是的 倍． 【分析】根据，得到点、、在以为圆心的圆上，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得解． 【详解】解：， 点、、在以为圆心的圆上，如图： ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 38．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 ，点到线段的最短距离是 ． 【分析】如图：连接，作于，由可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，再由勾股定理可得，然后根据的最小值；然后证明四边形是矩形可得，进而求得点到线段的最短距离． 【详解】解：连接，作于， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为， ， 四边形是矩形， ， 点到线段的最短距离是2． 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查了辅助圆问题、矩形的性质、勾股定理等知识点，正确画出辅助圆是解答本题的关键． 【定弦定角】 39．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4 【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P， 此时PC取得最小值， ∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6， ∴OB=OP=AB=4， 由勾股定理得CO=， PC= 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离． 40．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 41．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小． 【详解】解：如图，连接CE． ∵AP∥BC， ∴∠PAC=∠ACB=60°， ∴∠CEP=∠CAP=60°， ∴∠BEC=120°， ,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作 ∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120° ∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°， ∵∠BCM=30°，BC=， ∴MB=MC=8， ∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小． ∵∠ACB=60°，∠BCO=30°， ∴∠ACM=90°， ∴MA==， ∴AE的最小值为=． 故答案为：2 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 42．问题提出： (1)如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________． 问题探究： (2)如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决： (3)如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过作于，根据已知算出的长，即可求出面积； （2）作的外接圆，当点在的中点时，最大，根据题意，此时是等腰 三角形，，，根据锐角三角函数求得的长，进而求出的最大 面积； （3）存在，如图③，以为斜边作等腰，使得，再以点为圆心， 长为半径作圆，过作于，延长交于点，根据圆周角定理得出 ，根据等腰直角三角形的性质，求出，算出的半径，算出的长与比较 得出此时的顶点在矩形的边的外侧，与有两个交点，故在上存在 点，满足，再根据勾股定理算出的长，进而得到结论． 【详解】（1）解：如图①：过作于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图②，作的外接圆，当点在的中点时，最大， 根据题意，此时是等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在，如图③，以为斜边作等腰，使得，再以点为圆心，长为半径作圆，过作于，延长交于点， ∵， ∴， ∵在等腰中，米，， ∴米， ∴的半径米， ∴米， ∵米， ∴， ∴此时的顶点在矩形的边的外侧， ∴与有两个交点，故在上存在点，满足． 记与的两个交点为，，过点作于，过点作于，因此，，连接， ∵ ，， ∴（米）， ∵在中，米， ∴（米）， ∴（米）， 同理（米）， ∴在墙面区域上存在点满足，且的长度为8米或12米． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆心角与圆周角的关系，这是一道几何综合题，学会灵活运用所学知识解决问题是解本题的关键． 【定角定高】 43．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且CD=6，则△ABC的面积最小值是 ． 【分析】作的外接圆，连接、、，作于，设．根据圆周角和等腰三角形的性质得，，再由三角形三边关系可得最小值，最后根据三角形面积公式答案． 【详解】解：作的外接圆，连接、、，作于，设． ，， ，，，， ，， ，， ，， ， ， 的最小值为2． 为中点， ， 的最小值为， 的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查等三角形面积最小值，涉及的知识多，不等式性质，等腰三角形性质，圆的性质，三边关系，难度较大，利用辅助线准确作出图形是解题关键． 44．如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，根据，在上方以为斜边作等腰，根据等腰直角三角形边之间的关系可得的取值范围，再利用当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时，最小可得答案． 【详解】解：如图①， ∵，在上方以为斜边作等腰， 以为半径作的外接，连接， 取的中点为P，的中点为Q，连接， 设的半径为r， 在中，， 在中，， ∴，，， ∵， ∴； 如图②， 当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时， ，此时r最小， 解得， ，即的最小值为， 故答案为：． 45．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4． 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABM+∠ABC＝180°， ∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°， ∠EAF＝60°，AE＝AE， ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K， ∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF， 过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°， ∴∠EOF＝120°， ∴∠NOF＝60°， 设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x， ∴ON+OA＝OF+ON＝x， ∵OA+ON≥AK， ∴x≥2， ∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4， ∴△AEF面积的最小值是4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键． 46．问题提出 （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角为直角解决问题即可． （2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂线段最短得到AO+OE≥AD，从而算出BC的最大值，即可得到结果； （3）分别延长AB、DC交于点M，根据等腰直角三角形的性质求出四边形ABCD的面积，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，得到A、D、E′三点共线，从而得到当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，设△CE′F的外接圆半径为rm，求出r的取值范围，得到当点O在CD上时，E′F最短，从而可以求出四边形AECF面积的最大值. 【详解】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求． （2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， 则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°， 设OA=OB=OC=r， 则OE=r，BC=2BE=r， ∵AO+OE≥AD，AD=3， ∴r+r≥3， 解得r≥2， ∴BC=r≥， ∴S△ABC=BC·AD≥××3=， ∴△ABC面积的最小值为． （3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M， 则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形， ∵CB=CD=6m， ∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m， ∴S四边形ABCD =S△ADM-S△CBM =DM2-BC2 =×（6+）2-×62 =（36+）m2． 将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′， 则A、D、E′三点共线． ∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F ∵S四边形ABCD为定值， ∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值． ∵∠E′CF=135°-90°=45°， ∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F， 则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆， 设△CE′F的外接圆半径为rm， ∴E′F=rm， 又∵OC+OD≥CD， ∴r+r≥6， ∴r≥12-， 当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（-12）m， ∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2， ∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【最大张角】 47．如图，平面直角坐标系中，直线：与抛物线相交于，两点，点为轴上一动点，当最大时，点的坐标为 ． 【分析】本题考查了二次函数和切线定性质；先通过联立方程求出交点坐标，再利用圆的性质和距离公式求解点坐标，关键在于理解最大时的几何特征．先联立直线与抛物线方程求出、两点坐标，再根据圆的性质，当最大时，过、、三点的圆与轴相切于点，设出圆心坐标，利用圆心到、距离相等以及圆心到轴距离等于半径求解点坐标． 【详解】解： ∴ ∴ 解得，． 当时，，所以； 当时，，所以． 如图，轴， ∵ ∴当最大时，过、、三点的圆与轴相切于点，设圆心坐标为，则半径，． 根据圆心到、距离相等可得： ∴ ∴ ∴ 又因为，的距离等于半径，即即． 将代入得： 解得：或（舍去） ∴点的坐标为 48．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，连接，，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点，的坐标分别是，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点．    【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理． 【四点共圆】 49．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【详解】 如图，AB=AC=AD ∵ ， 故选A． 50．如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 【分析】由矩形的性质得出，，，由证明，①正确；由的面积的面积，得出的面积的面积，②不正确；证明、、、四点共圆，得出，③正确；延长交矩形的外接圆于，连接，由圆周角定理得出，由三角形的外角性质得出，得出，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴②不正确； ∵， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴③正确； ∵、、、四点共圆， 如图所示： 延长交矩形的外接圆于，连接， 则， ∵， ∴， ∴④正确； 正确的代号是①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角的性质，掌握四点共圆的证明方法进行转化是解题关键． 51．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 52．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P． （1）探究AE、BF的关系，并说明理由； （2）求证：A、D、F、P在同一个圆上； （3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围． 【分析】（1）证明，得AE=BF，，再根据三角形内角和定理和等量代换即可得； （2）由得到，再利用同角的余角相等，解得，最后90°角所对的弦是直径解答即可； （3）如图，先计算AB=2a，由 可得在以为圆心，半径为的圆上，再确定点落在上的两个临界点，即两圆外切与两圆内切时，从而可得答案． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中， AB=BC, ， 在和中， AE=BF， ∵， ， ∴， AEBF AE=BF，且AEBF； （2）由（1）知， A、D、F、P在以AF为直径的同一个圆上； （3） 的中点的坐标为： 如图， 结合（1）可得： 在以为圆心，半径为的圆上， 要在以为圆心，半径为的圆上， 当外切时，过作于 则 而 如图，当内切时，过作于 则 同理可得： 所以：当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．a的取值范围为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，90°所对的弦是直径、两圆的外切与内切的性质，四点共圆的知识，解题的关键是判断两圆外切与内切是解题的临界位置． 1 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