专题05二元一次方程组应用专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题05二元一次方程组应用专项训练 题型01.行程问题(难点+重点) 题型02.销售利润问题(重点高频) 题型03.工程问题(常考点高频) 题型04.和差倍分问题(基础高频) 题型05.方案选择问题(重点) 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 题型07.列二元一次方程组(几何) 题型08.分配问题(常考点) 题型09.数字问题(常考点) 题型10.古代问题(常考点) 题型11.图表信息问题 题型12.年龄问题 题型13.几何问题 题型14.其他实际应用问题 知识点01.解题六步秘籍｜万能通关流程 1.审：圈画已知量、未知量，挖出两个等量关系（题眼！缺一个列不出方程组） 2.设：直接设（求啥设啥）或间接设（复杂题设中间量），必写单位 3.列：把等量关系转化为代数式，组成二元一次方程组（设几个未知数列几个方程） 4.解：用代入消元 / 加减消元法解方程组，算出未知数的值 5.验：双重检验！①是否是方程组的解 ②是否符合实际意义（人数、长度不能为负） 6.答：完整写答案，带上单位，别漏答！ 知识点02.常见应用题型与等量关系 ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点03.应用题型方法速查表 知识点04.避坑指南｜避开失分重灾区 这些错误 90% 的同学都会犯，看完直接绕开！ 1.单位不统一：如路程单位千米 / 米、钱数元 / 角，先统一单位再列方程 2.漏写检验：求出解后不验证实际意义，如人数算出小数，直接失分 3.设 / 答漏单位：设未知数、写答案时，单位一定要跟上（如设 x 千克，不是设 x） 4.等量关系找错：配套问题比例搞反、行程问题顺逆速度弄混，审题要仔细 5.方程组列错：代数式表示错误，如 “x 的 2 倍与 y 的和” 写成 2 (x+y)，注意运算顺序 题型01.行程问题(难点+重点) 1．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，第一天比第二天少走．设第一天和第二天行军的平均速度分别是、．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程=速度×时间，两天的平均速度分别乘以两天的行军时间等于两天行军总路程可列出方程，根据第一天比第二天少走，用第二天的路程减去第一天的路程等于2可列方程． 【详解】解：根据题意得： 故选 A 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，分别找到等量关系列出方程是解题的关键． 2．小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为，小明骑山地车的速度是，小强骑自行车的速度是，若小强先出发，则小明追上小强时，两人距离B地________． 【答案】4.8 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地，根据“A，B两地之间的距离为”“ 小强先出发”列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地， 由题意，得， 解得， 即小明追上小强时，两人距离B地． 故答案为：4.8． 3．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 4．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 题型02.销售利润问题(重点高频) 5．已知买20支铅笔、3块橡皮共需32元，买39支铅笔、5块橡皮共需58元，则购买10支铅笔与10块橡皮共需（    ）元． A．16 B．60 C．30 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，铅笔单价为x元，橡皮单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组可求出x、y的值，进而计算10支铅笔与10块橡皮的总价． 【详解】设铅笔单价为x元，橡皮单价为y元． 根据题意得， 解得， ∴， ∴购买10支铅笔与10块橡皮共需60元， 故选：B． 6．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 【答案】2000 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本，根据总本数和总花费建立方程组，求解即可． 【详解】解：设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本， 由题意得，， 解得， 即丁种练习本共买了2000本． 故答案为：2000． 7．下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元． 食材 价格（单位：份） 加料（单位：份） 小份 大份 粉干、面 元 元 元 (1)求小龙订的大份、小份的份数； (2)求大、小份加料后另外需付的总费用． 【答案】(1)小龙订的小份份，大份份 (2)大、小份加料后另外需付的总费用是元 【分析】（1）设小龙订的小份份，大份份，则小份的加料数为，大份的加料数为，根据“小份的加料数比大份的加料数多份；已知大、小份均未加料共需付元”列出方程组求解即可； （2）求出小份的加料数及大份的加料数之和再乘以即可． 【详解】（1）解：设小龙订的小份份，大份份， 依题意，得：， 解得：， 答：小龙订的小份份，大份份； （2）解： （元）， 答：大、小份加料后另外需付的总费用是元． 8．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 【答案】每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元 【分析】设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元，根据题意，得解方程组即可； 【详解】解：设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元， 根据题意，得 解得 答：每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元． 题型03.工程问题(常考点高频) 9．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 10．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 11．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 12．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【分析】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 题型04.和差倍分问题(基础高频) 13．某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______． 【答案】 【分析】根据等量关系：①全班共用箩筐56只；②全班共用扁担36根，列方程组求解． 【详解】解：设男生，女生各有x人、y人． 根据题意，得 故答案为： 【点睛】此题中关键要正确理解：每个男生需要1条扁担和2个箩筐，每2个女生需要1条扁担和1个箩筐． 14．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为____________元 【答案】120 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论． 【详解】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元， 依题意可得：， 解得：， ∴大套装的单价为120元． 故答案为：120． 15．我国是水资源相对缺乏的国家之一，水资源的人均占有量比世界人均占有量少，仅是世界人均占有量的，我国和世界水资源的人均占有量分别是多少立方米？ 【答案】我国水资源的人均占有量为2200立方米，世界水资源的人均占有量为8800立方米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设我国水资源的人均占有量为x立方米，世界水资源的人均占有量为y立方米，分别根据水资源的人均占有量比世界人均占有量少，是世界人均占有量的，列出二元一次方程，组成方程组求解即可． 【详解】解：设我国水资源的人均占有量为x立方米，世界水资源的人均占有量为y立方米， ∵水资源的人均占有量比世界人均占有量少， ∴； ∵是世界人均占有量的， ∴； 即， 解得：． 答：我国水资源的人均占有量为2200立方米，世界水资源的人均占有量为8800立方米． 16．在数学游艺会上，小勇负责一个游戏项目“猜猜哪个数最大”，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取3张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这3张卡片分别记为A，B，C，小勇依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． (1)下表是小勇抽取的三张卡片A，B，C中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，A 两数的和 64 50 32 确定哪张卡片上的数最大，并说明理由； (2)若小勇改变游戏规则，随机抽出4张卡片，分别记为D，E，F，G，他将卡片上的数之间存在关系的部分信息告诉参与者，让参与者说出这4张卡片中最大的数．已知提供的信息：卡片F上的数是卡片D上的数的3倍，卡片G上的数是卡片E的2倍，且这四张卡片上的数总和为20．求这四张卡片中最大的数是多少？ 【答案】(1)卡片B上的数最大，理由见解析； (2)这四张卡片中最大的数是8． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设卡片A上的数为x，则卡片B上的数为，卡片C上的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）设卡片D，E上的数分别为m，n，则卡片F，G上的数分别为，，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设卡片A上的数为x， 根据题意得：卡片B上的数为，卡片C上的数为， ， 解得：， ∴卡片A，B，C上的数分别为23，41，9， ∴卡片B上的数最大； （2）解：设卡片D，E上的数分别为m，n，则卡片F，G上的数分别为，， 根据题意，得， ， ∵m，n为正整数， ∴， ∴这四张卡片的数分别为2，4，6，8 ∴这四张卡片中最大的数是8． 题型05.方案选择问题(重点) 17．周末小希跟几位同学在某快餐厅吃饭，下表为此快餐厅的菜单．已知他们所点的餐食总共为8份盖饭，杯饮料，份凉拌菜． A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 如果，且，，套餐均至少点了1份，那么最多有______种点餐方案． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 根据题意，计算得套餐和套餐的总数为：份，再根据、、套餐均至少点了1份，通过计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴套餐和套餐的总数为：份 ∴套餐的数量为：份 ∵、、套餐均至少点了1份 ∴情况1：套餐：1份，套餐4份； 情况2：套餐：2份，套餐3份； 情况3：套餐：3份，套餐2份； 情况4：套餐：4份，套餐1份； ∴最多有4种点餐方案． 故答案为：4 18．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 19．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 20．解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 【答案】(1)甲型挖掘机需租用6台，乙型挖掘机需租用3台. (2)共有3种租用方案：方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台；方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台. 租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； (3) 【分析】（1）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租用方案； （3）求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意列出关于，的二元一次方程组与w的关系，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台； （2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； （3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元． 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 21．2026年春节假期，河南省文旅市场实现开门红，其中公共文化场馆进馆943.4万人次，惠民文化活动达2.3万场次．河南博物院推出多款文创产品，由甲厂和乙厂共同生产．若甲厂和乙厂每天生产共计1620件文创产品，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了4000件，求甲、乙两厂每天分别生产多少件文创产品？设甲厂每天生产件文创产品，乙厂每天生产件文创产品，根据题意列出的方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用.解题思路为根据题干的两个等量关系，分别列出方程，组成方程组即可 【详解】解：根据题意，甲厂每天生产件文创产品，乙厂每天生产件文创产品， 由“甲厂和乙厂每天生产共计件”，可得方程： 由“甲厂生产天、乙厂生产天共同完成了件”，可得方程： 因此列出的方程组为 22．如今户外骑自行车已经成为很多人的一种锻炼方式，就一对新自行车轮胎而言，后轮轮胎磨损要比前轮轮胎快，经测试，一般自行车前轮轮胎行驶11000千米后报废，后轮轮胎行驶9000千米后报废，可见当行驶了9000千米，后轮轮胎报废时，前轮轮胎还可使用，这样势必造成一定的浪费，如果前后轮轮胎互换一次，使前后轮轮胎同时报废，则自行车行驶的路程会更长，那么应在自行车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使自行车的前、后轮轮胎同时报废？设每个新轮胎报废时的总磨损量为1．又设行驶时交换前后轮轮胎，交换位置后走了，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，已知每个轮胎总磨损量为1，分别分析交换前后两个轮胎的磨损量，根据总磨损量为1建立等量关系即可得到正确方程组，找准等量关系是解题关键． 【详解】设行驶时交换前后轮轮胎，交换位置后走了，每个轮胎总磨损量为1， 对于原来在前轮位置的轮胎： ∵交换前它作为前轮行驶，前轮每千米磨损为，交换后它作为后轮行驶，后轮每千米磨损为，报废时总磨损为1， ∴； 对于原来在后轮位置的轮胎： ∵交换前它作为后轮行驶，后轮每千米磨损为，交换后它作为前轮行驶，前轮每千米磨损为，报废时总磨损为1， ∴， 因此可得方程组， 故选：C． 23．河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 【答案】；；70； 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意得到y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意，得 ， 解得， 所以应选用A种食品4包，B种食品2包． 故答案为：，，70；． 题型07.列二元一次方程组(几何) 24．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 25．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 26．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 题型08.分配问题(常考点) 27．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 28．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 29．根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系． （1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系； （2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程． 【详解】（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数； 等量关系为：图书数学生数；图书数学生数 （2）解：∵图书有本，学生有人， 由“每人分6本，剩40本”得：； 由“每人分8本，缺50本”得：． ∴． 30．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 【答案】(1)第一层最少有个图案， (2)不可以，理由见解析． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键． （1）先求出与的最小公倍数为，进而得出答案； （2）设图案的层数为，图案的层数为，列出方程组，进而得出答案． 【详解】（1）解：与的最小公倍数为， （个）， 答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有个图案． （2）不可以，理由如下： ∵的形状分别为公分公分的长方形，的形状分别为公分公分的长方形， ∴， ∵第一层的图案数量与（1）求出之值相同， ∴第二层的图案最少有个， 设图案的层数为，图案的层数为， ， 解得：， ∵为整数， ∴不可以． 题型09.数字问题(常考点) 31．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是______． 【答案】615 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个三位数为． 故答案为：． 32．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， 右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 33．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 34．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【答案】(1)原来的两位数为； (2)，检验见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【详解】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 题型10.古代问题(常考点) 35．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组. 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为. 36．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意得： ． 37．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【答案】共50人合伙买金，金价为14600钱 【分析】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识．设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱， 依题意得：， 解得：． 答：共50人合伙买金，金价为14600钱． 38．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【答案】“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条，根据共有300条狗，“三多”的每群狗比“一少”的那个群里狗的数量多40条列方程组求解即可． 【详解】解：设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条， 由题意得， 解得， 答：“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 题型11.图表信息问题 39．传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一图案．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列得二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 整理得， 解得， 解得：； 故答案为：2． 40．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则的值为（　　） A．1 B．5 C．25 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组，有理数乘方运算的运用，根据题意列式，再根据解二元一次方程组的方法求出的值，代入，根据有理数乘方运算即可求解，掌握解二元一次方程组，有理数乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可得：， 由①，可得：， 由②，可得：， 由③④，可得：， 解得， 把代入①，解得， ∴． 故选：C． 41．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 42．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】(1)； (2)500吨 (3)790500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 【详解】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 题型12.年龄问题 43．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是__岁． 【答案】13． 【分析】设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意：小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁， 由题意得： 解得： 即现在小新的年龄是13岁， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程组求解. 44．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 45．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 46．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型13.几何问题 47．如图，用块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是的大长方形，则每个小长方形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关键． 设每个小长方形的长为，宽为，由此列方程组得到长和宽，由面积的公式计算即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴每个小长方形的面积是， 故答案为： ． 48．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设小长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， ， 解得：， 所以图中阴影部分的面积之和为． 故选B． 49．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，求此图形的面积． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图形找准等量关系、列出二元一次方程组成为解题的关键． 设小长方形的长为，宽为．然后根据题意列方程组求得，然后根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由题意，得，解得， ∴． 答：此图形的面积为8． 50．如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 题型14.其他实际应用问题 51．某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 【答案】 7 5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设甲种原料购买了，乙种原料购买了，根据该种营养液含的钾，购买原料共花费82元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了， 根据题意得：， 解得：， 即甲种原料购买了，乙种原料购买了． 故答案为：7；5． 52．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设两种吉祥物的单价，根据题意得到两个基础关系式，结合已知方程的由来，对两个基础关系式作差即可得到另一个方程． 【详解】解：设购买1件“冰墩墩”的价格为元，购买1件“雪容融”的价格为元， 根据题意可得， 已知给出的方程是得到的结果，对两个方程做减法运算， ，左边，右边为， ，即另一个方程为． 53．为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 【答案】(1)第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. (2)需要准备855米电缆. 【分析】（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解； （2）先求解需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，再进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意得， ， 解得：， 答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. （2）解：∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致， ∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组， ∵每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆， ∴要满足这个供电需求，需要准备电缆. 54．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料（原料全部制成食品，制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费40500元，铁路运费53000元．已知公路运费为3元/（千米·吨），铁路运费为2元/（千米·吨）． (1)求该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利406500元，求卖出的食品每吨售价是多少元？ 【答案】(1)这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米． (2)该食品厂买进原料吨，卖出食品吨． (3)卖出的食品每吨售价是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程组或方程． （1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据食品厂到地的距离是到地的2倍且，、两地间的距离为150公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，根据两次运输第一次：地到食品厂，第二次：食品厂到地共支出公路运费40500元、铁路运费53000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利406500元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里， 根据题意，得：， 解得：， 答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米． （2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨， 由题意得：， 解得：， 答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：卖出的食品每吨售价是元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组应用专项训练 题型01.行程问题(难点+重点) 题型02.销售利润问题(重点高频) 题型03.工程问题(常考点高频) 题型04.和差倍分问题(基础高频) 题型05.方案选择问题(重点) 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 题型07.列二元一次方程组(几何) 题型08.分配问题(常考点) 题型09.数字问题(常考点) 题型10.古代问题(常考点) 题型11.图表信息问题 题型12.年龄问题 题型13.几何问题 题型14.其他实际应用问题 知识点01.解题六步秘籍｜万能通关流程 1.审：圈画已知量、未知量，挖出两个等量关系（题眼！缺一个列不出方程组） 2.设：直接设（求啥设啥）或间接设（复杂题设中间量），必写单位 3.列：把等量关系转化为代数式，组成二元一次方程组（设几个未知数列几个方程） 4.解：用代入消元 / 加减消元法解方程组，算出未知数的值 5.验：双重检验！①是否是方程组的解 ②是否符合实际意义（人数、长度不能为负） 6.答：完整写答案，带上单位，别漏答！ 知识点02.常见应用题型与等量关系 ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点03.应用题型方法速查表 知识点04.避坑指南｜避开失分重灾区 这些错误 90% 的同学都会犯，看完直接绕开！ 1.单位不统一：如路程单位千米 / 米、钱数元 / 角，先统一单位再列方程 2.漏写检验：求出解后不验证实际意义，如人数算出小数，直接失分 3.设 / 答漏单位：设未知数、写答案时，单位一定要跟上（如设 x 千克，不是设 x） 4.等量关系找错：配套问题比例搞反、行程问题顺逆速度弄混，审题要仔细 5.方程组列错：代数式表示错误，如 “x 的 2 倍与 y 的和” 写成 2 (x+y)，注意运算顺序 题型01.行程问题(难点+重点) 1．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，第一天比第二天少走．设第一天和第二天行军的平均速度分别是、．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为，小明骑山地车的速度是，小强骑自行车的速度是，若小强先出发，则小明追上小强时，两人距离B地________． 3．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 4．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 题型02.销售利润问题(重点高频) 5．已知买20支铅笔、3块橡皮共需32元，买39支铅笔、5块橡皮共需58元，则购买10支铅笔与10块橡皮共需（    ）元． A．16 B．60 C．30 D．66 6．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 7．下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元． 食材 价格（单位：份） 加料（单位：份） 小份 大份 粉干、面 元 元 元 (1)求小龙订的大份、小份的份数； (2)求大、小份加料后另外需付的总费用． 8．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 题型03.工程问题(常考点高频) 9．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 10．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 11．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 12．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 题型04.和差倍分问题(基础高频) 13．某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______． 14．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为____________元 15．我国是水资源相对缺乏的国家之一，水资源的人均占有量比世界人均占有量少，仅是世界人均占有量的，我国和世界水资源的人均占有量分别是多少立方米？ 16．在数学游艺会上，小勇负责一个游戏项目“猜猜哪个数最大”，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取3张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这3张卡片分别记为A，B，C，小勇依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． (1)下表是小勇抽取的三张卡片A，B，C中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，A 两数的和 64 50 32 确定哪张卡片上的数最大，并说明理由； (2)若小勇改变游戏规则，随机抽出4张卡片，分别记为D，E，F，G，他将卡片上的数之间存在关系的部分信息告诉参与者，让参与者说出这4张卡片中最大的数．已知提供的信息：卡片F上的数是卡片D上的数的3倍，卡片G上的数是卡片E的2倍，且这四张卡片上的数总和为20．求这四张卡片中最大的数是多少？ 题型05.方案选择问题(重点) 17．周末小希跟几位同学在某快餐厅吃饭，下表为此快餐厅的菜单．已知他们所点的餐食总共为8份盖饭，杯饮料，份凉拌菜． A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 如果，且，，套餐均至少点了1份，那么最多有______种点餐方案． 18．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 19．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 20．解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 21．2026年春节假期，河南省文旅市场实现开门红，其中公共文化场馆进馆943.4万人次，惠民文化活动达2.3万场次．河南博物院推出多款文创产品，由甲厂和乙厂共同生产．若甲厂和乙厂每天生产共计1620件文创产品，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了4000件，求甲、乙两厂每天分别生产多少件文创产品？设甲厂每天生产件文创产品，乙厂每天生产件文创产品，根据题意列出的方程组为______． 22．如今户外骑自行车已经成为很多人的一种锻炼方式，就一对新自行车轮胎而言，后轮轮胎磨损要比前轮轮胎快，经测试，一般自行车前轮轮胎行驶11000千米后报废，后轮轮胎行驶9000千米后报废，可见当行驶了9000千米，后轮轮胎报废时，前轮轮胎还可使用，这样势必造成一定的浪费，如果前后轮轮胎互换一次，使前后轮轮胎同时报废，则自行车行驶的路程会更长，那么应在自行车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使自行车的前、后轮轮胎同时报废？设每个新轮胎报废时的总磨损量为1．又设行驶时交换前后轮轮胎，交换位置后走了，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 23．河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 题型07.列二元一次方程组(几何) 24．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 25．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 26．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 题型08.分配问题(常考点) 27．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本. 28．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 29．根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 30．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 题型09.数字问题(常考点) 31．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是______． 32．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 33．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 34．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 题型10.古代问题(常考点) 35．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 36．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 37．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 38．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 题型11.图表信息问题 39．传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一图案．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则的值为___________． 40．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则的值为（　　） A．1 B．5 C．25 D．32 41．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    42．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 题型12.年龄问题 43．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是__岁． 44．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 45．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 46．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型13.几何问题 47．如图，用块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是的大长方形，则每个小长方形的面积是______． 48．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 49．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，求此图形的面积． 50．如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 题型14.其他实际应用问题 51．某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 52．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 53．为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 54．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料（原料全部制成食品，制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费40500元，铁路运费53000元．已知公路运费为3元/（千米·吨），铁路运费为2元/（千米·吨）． (1)求该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利406500元，求卖出的食品每吨售价是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $