专题16 异面直线所成角、线面角、二面角的技巧与方法（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题16 异面直线所成角、线面角、二面角的技巧与方法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 3 类型一、利用中位线、平行四边形平移求异面直线所成角 3 类型二、补形法求异面直线所成角 5 类型三、定义法与等积法求线面角 6 类型四、求二面角 8 类型五、已知夹角求其他量 10 类型六、夹角问题中点的探索性问题 12 压轴专练 15 一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 二、线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 三、二面角 1、二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3、二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4、二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 类型一、利用中位线、平行四边形平移求异面直线所成角 1．已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．已知四面体各棱长都等于1，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 6．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 7．（24-25高一下·山西·月考）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为__________． 类型二、补形法求异面直线所成角 1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·月考）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，若三棱柱的体积为4，则直线与所成角的余弦值为_____， 3．（24-25高一下·河北·期末）如图，直四棱柱所有棱长均为1，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 类型三、定义法与等积法求线面角 1．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，E为的中点，则AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 6．（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 7．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 8．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 类型四、求二面角 1．如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东梅州·月考）如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 5．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 类型五、已知夹角求其他量 1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 3．已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 6．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 7．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． (1)证明：平面； (2)若M为的中点，证明：平面； (3)若，直线与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积． 类型六、夹角问题中点的探索性问题 1．（23-24高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高一下·云南大理·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 4．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 5．（23-24高一下·浙江丽水·期中）“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结，得到如图（2）所示的四棱锥． (1)求证：平面； (2)若E为棱上一点，记 ①若求直线与平面所成角的正切值； ②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知四棱锥的所有棱长均相等，点，分别为线段，的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·青海海南·期末）在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北保定·月考）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 9．（24-25高一下·河北·月考）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明．如图，这是某中学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形ECDF为矩形，且平面ECDF⊥平面ABC，，，当多面体ABCEF的体积为时，异面直线AE与BC所成角的余弦值为______． 10．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．    11．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 12．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 13．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，二面角为．    (1)若为棱上一点，且，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 14．已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 15．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点. (1)求证：平面； (2)若平面，，且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）写出二面角的正切值.（结论不要求证明） 16．（24-25高一下·湖南长沙·月考）如图，在直三棱柱中，，且，为中点.    (1)求证：平面平面； (2)求和平面所成的角的大小. 17．（24-25高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 18．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 19．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 20．（24-25高一下·四川雅安·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. (1)证明：平面； (2)若，证明：平面； (3)若二面角的正弦值为，求的长. 21．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)当MA为何值时，二面角的余弦值为． 22．（23-24高一下·重庆·期末）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 23．（23-24高一下·山东烟台·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)求证：∥平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的正切值； (3)在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由. 24．如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥. (1)求证：平面； (2)若为棱上一点，记 （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 异面直线所成角、线面角、二面角的技巧与方法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 3 类型一、利用中位线、平行四边形平移求异面直线所成角 3 类型二、补形法求异面直线所成角 10 类型三、定义法与等积法求线面角 13 类型四、求二面角 22 类型五、已知夹角求其他量 30 类型六、夹角问题中点的探索性问题 39 压轴专练 53 一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 二、线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 三、二面角 1、二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3、二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4、二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 类型一、利用中位线、平行四边形平移求异面直线所成角 1．已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 4．已知四面体各棱长都等于1，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点，连接，则可得，所以为异面直线与所成角或其补角，然后利用余弦定理求解即可 【详解】连接，取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 正四面体的棱长为1，则，, 所以， 所以在中，由余弦定理得 , 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B 5．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】将直线与所成角的余弦值转化为直线与所成角的余弦值，在中，求出即可求出答案. 【详解】因为， 则直线与所成角的余弦值即为直线与所成角的余弦值， 设正方体的棱长为，则， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，（或其补角）就是与CN所成的角，进而计算求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则，则（或其补角）就是与CN所成的角， 因为M为BC的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，，所以， 因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以， 所以，即，所以， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，所以与CN的夹角为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·山西·月考）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】/ 【分析】连接和相交于点，连接，，根据已知证明，进而有与所成角为或其补角，最后求其余弦值. 【详解】如图，连接和相交于点，所以点为的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 又是的中点，所以， 所以平行且相等，则四边形是平行四边形， 所以，所以与所成角为或其补角， 又，易得，， 在中，由余弦定理得． 所以所求余弦值为． 故答案为： 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为__________． 【答案】 【分析】由正棱台的性质可知为异面直线与所成角，即可求出，再连接，过点作交于点，过点作交于点，求出即为棱台的高，再由台体的体积公式计算可得. 【详解】如图，在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，且，所以． 连接，过点作交于点，过点作交于点， 则平面且， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积． 故答案为： 类型二、补形法求异面直线所成角 1．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 2．（24-25高一下·山西·月考）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，若三棱柱的体积为4，则直线与所成角的余弦值为_____， 【答案】/ 【分析】先根据题中信息得出，将直三棱柱补形成棱长为的正方体，取的中点，将问题转化为求，最后利用余弦定理即可. 【详解】因，，则，则， 则， 因三棱柱的体积为4，且为直三棱柱， 则，得， 故可将直三棱柱补形成棱长为的正方体， 取的中点，连接， 因且，且， 故四边形和均为平行四边形，故，， 则直线与所成角和直线所成角相等， 容易得，，， 则在种利用余弦定理可得，， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 3．（24-25高一下·河北·期末）如图，直四棱柱所有棱长均为1，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】/ 【分析】根据题意，可得，在直四棱柱的左侧再补一个相同的直四棱柱，易得即为异面直线与所成角或其补角，在 中，由余弦定理求得答案. 【详解】由题，，可得,解得， 在直四棱柱的左侧再补一个相同的直四棱柱，连接， 则，所以即为异面直线与所成角或其补角， 在中，由， 由余弦定理得，所以， 又因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 类型三、定义法与等积法求线面角 1．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以， 故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 2．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，找到线面角，然后根据台体体积公式计算高度，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M，    由题可知：， ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 3．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，E为的中点，则AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AE与平面的关系，先找到直线AE与平面所成的角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得AE与平面所成角的正弦值． 【详解】连接、相交于点M，连接， 由题意可知是平行四边形，所以是的中点， 因为E为的中点，所以，所以，同理可， 又，平面，所以平面， 所以即为AE与平面所成的角， 设正方体的棱长为2， 则，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以 故选：D. 4．在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，可证平面，由线面夹角可得，求相应长度即可得体积. 【详解】作，垂足为，连接，    因为平面，平面，则，， 且，平面，可知平面， 可知直线与平面所成的角为， 且，则， 又因为，则，， 且，可得， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 6．（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证平面，最后利用面面垂直的判断定理即可得证； （2）过点作交于点，连接，则与平面所成角即为与平面所成角，由平面，即为直线与平面所成角，在中计算即可. 【详解】（1）平面平面，， ，又，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ，四边形为平行四边形， ， ， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案； （2）利用等体积法求出到面的距离，进而得到与面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面. （2） 取中点为，连接， 因为为正三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 设，，， 所以在中，， 由（1）得平面， 又因为，所以平面， 又因为平面， 所以， 所以，， 设到面的距离为，因为， 所以， 所以， 设与面所成角为， 则， 所以与面所成角的正弦值为. 8．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论., 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， . 类型四、求二面角 1．如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，根据条件得到，从而为二面角的平面角，再利用几何关系，即可求解. 【详解】取中点，连接，因为和都是等边三角形， 则，所以为二面角的平面角， 又，则，，所以， 所以二面角的大小为. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东梅州·月考）如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，过作，求证为二面角的平面角，最后在中求出余弦值即可. 【详解】过点作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 因，，则为的中点，，， 因，，则为等边三角形， 则为边上靠近点的四等分点，， 则，则， 则， 故二面角的余弦值为. 故选：B 3．如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，连接，，根据等腰三角形性质，可证，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，作于点，连接，可得是二面角的平面角，求得各个长度，根据余弦函数的定义，即可得答案. 【详解】如图，设的中点为，连接，， 在中，，，则， 且， ，为的中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 作于点，连接， ，平面，，平面， 平面，， 是二面角的平面角， 在中，，有，即， ， 在中，， 在中，， . 故选：B. 4．（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【答案】60° 【分析】过点作于，连接，由条件证明是的中点，求得，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于，即可求得其大小. 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 5．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由平面平面可得平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）过点作，垂足为，过点作，连接，先证明，从而可得是二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）∵四边形是正方形，∴， 又平面平面平面，平面平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面， ∴平面. （2）由题意，，，，则，， 过点作，垂足为，过点作，连接. 由（1）知平面平面，∴. 又平面， ∴平面，又平面， 又平面平面. 又平面， 是二面角的平面角， 在中，，则， 则， 由图可知，二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面，再应用线面垂直的性质得出线线垂直即可； （2）应用线面角定义得出即为侧棱与底面所成角，再应用等体积得出，即可求出角的值； （3）应用二面角定义结合面面垂直的性质定理得出即为二面角的平面角，再结合正切函数的值域计算求解. 【详解】（1）取中点，连接、、，    由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2）∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面的射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． （3）由（1）知平面．平面，    ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 类型五、已知夹角求其他量 1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证平面，所以为直线与底面所成的角，所以，可求得体积． 【详解】∵，点E为的中点， ∴， ∵，，两两垂直，则， 平面，∴平面， ∴为直线与底面所成的角， 由题意可知，， ∴， ∴三棱锥的体积． 故选：C． 2．如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 3．已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可得解. 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为， 取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则，因为，， 所以，在中，， 所以，解得或，即. 故选：D. 4．（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 6．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质可推出平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）过作于D，说明是与平面ABC所成的角，作，说明为二面角的平面角．进而结合解三角形可得，利用三角恒等变换，即可求得答案. 【详解】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 7．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． (1)证明：平面； (2)若M为的中点，证明：平面； (3)若，直线与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1或 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）利用中位线证明，再利用线面平行的判定定理证明即可； （3）先得出是直线与平面所成的角，再证明三棱柱的高，设，利用勾股定理和正切函数建立关于的等式求解；然后根据有两种解分别利用体积公式求出体积即可． 【详解】（1）因为为的斜边，所以， 由直棱柱的性质知，平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，又平面ABD，所以． 又因为，平面BCD，平面BCD，， 故平面． （2）如图，连接， 易得平面，因为在中，E为的中点，M为的中点，所以， 又平面，平面， 所以由直线与平面平行的判定定理， 可得平面． （3）如图，过点D作，垂足为N，连接， 则由直棱柱的性质可得平面，故是直线与平面所成的角，由，可得． 不妨设，因为，， 所以，即． 又，所以，即， 所以， 化简得，解得或． 当时，，即三棱柱的高为1， 此时三棱柱的体积． 当时，，即三棱柱的高为， 此时三棱柱的体积． 综上，三棱柱的体积为1或． 类型六、夹角问题中点的探索性问题 1．（23-24高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 2．（24-25高一下·云南大理·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可； （3）作出二面角的平面角，再结合三角函数值求出的长度即可判断. 【详解】（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 3．（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析 【分析】（1）通过勾股定理求出边长，证明线线垂直，再通过面面垂直判断定理，证明面面垂直即可. （2）根据定义，做出二面角的平面角，并证明，求出平面角的正切值即可. （3）做出线面角的平面角，求出平面角的正切值的表达式，根据范围解出当正切值为时，边长的比值即可. 【详解】（1） ，，，， ，，， 又，面，面， 面，面， 面面. （2） 由题意知侧棱，为中点，所以，且，所以为正三角形， 如图所示，作中点,连接，过作交延长线于，连接， 可知，因为面面，面面，，面， 所以面，又，面，面， 所以面，又因为面，所以， 所以即为二面角的平面角， , . （3） 如图所示，作面，因为面，所以，所以为在面上的射影，所以三点共线，连接，再过作于. 所以为与底面所成角的平面角， 因为面，所以，在矩形中， 因为，面，面， 所以面，所以，因为，所以. 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，则， 在中，， 可得， 当时，即，平方后化简得， 解得或（舍）， 当时，即时，， 所以当时与底面所成角的正切值等于. 4．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在且，使得二面角的余弦值为. 【分析】（1）的中点为，连接，可证，结合线面平行的判定定理可得平面. （2）将正三棱台补成正三棱锥，可证为与平面所成的角，利用解直角三角形可求其余弦值，从而可得正弦值. （3）当时，可证为二面角的平面角，结合解直角三角形可得此时. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由正三棱台的性质可得，而，故， 而，故，故， 而平面，平面，故平面. （2）由棱台的性质可知侧棱所在的直线交于一点，如图所示， 设，则，如（1）取的中点为，连接， 因为，故，故， 故为等边三角形，故， 而平面，，故平面， 而平面，故平面平面， 过作，垂足为，因为平面平面， 平面，故平面， 故为与平面所成的角， 而， 故，而为三角形内角， 所以， （3）存在且，使得二面角的余弦值为. 证明如下： 由（2）可得，连接，由（1）得， 而，故，故， 而平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角. 在中，， 显然为等腰三角形，且 ，故为的中点， 故，则， 故. 5．（23-24高一下·浙江丽水·期中）“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结，得到如图（2）所示的四棱锥． (1)求证：平面； (2)若E为棱上一点，记 ①若求直线与平面所成角的正切值； ②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在 【分析】（1）利用，，可得到平面，从而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面； （2）①由平面，可知直线与平面所成角就是，从而利用已知数据进行计算即可； ②由可得或其补角为直线与直线所成角，再利用余弦定理解得,利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到关于的方程，从而可解得. 【详解】（1） ①连结AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴, 由题可得，，且平面 ，平面， ∴平面，又平面∴ ∵，平面 ，平面， ∴平面． （2） ①连结SO交CE于点G，由（1）得平面, ∴为直线CE与平面SBD所成角, ∵，AD＝CD＝1，, ∴, ∵，∴， 在三角形中，由，，所以由余弦定理得： ， ∴，即 ∴， ∴直线与平面所成角的正切值为． ②连结，∵, ∴或其补角为直线与直线所成角,则假设存在点，满足， 由得，, 在三角形中，由，所以由余弦定理得： ， 过点作，交于， 由平面，平面，得，所以， 由可得，因为，所以，， 在三角形中，由余弦定理得： ， 再由，平面可得平面， 又因为平面，所以， 在直角三角形中，由勾股定理得： ． 在三角形中，又因为，所以由余弦定理得： , 解得, ∴存在使得直线与直线所成角为． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论； （2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可； （3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值. 【详解】（1）如图： 在上任取一点，过作交于， 在上任取一点，过作交于， 由平面平面，平面平面，平面 所以：平面， 同理有平面，从而有， 平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，平面， 从而有，即平面. 从而三棱柱是直三棱柱. （2） 当时，连接延长交直线于，所以， 又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点， 过作，交于点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又，平面，平面平面， 所以平面，所以平面， 从而截面为直角梯形，， 所以， 从而直角梯形的面积为. （3） 延长交于点，过作于， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角， 由，，可知，， 若直线与平面所成角的正切值为，即， 从而，即，，从而易得， 即点为上靠近的一个三等分点，. 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知四棱锥的所有棱长均相等，点，分别为线段，的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，可得为异面直线与所成角，进而证明为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】连接交于点，连接，∥，则为异面直线与所成角， 因为四棱锥棱长均相等，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以，所以为正方形，所以， 所以，所以， 所以为等腰直角三角形,所以． 所以异面直线与所成的角为. 故选：B. 2．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小. 【详解】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，， 若是中点，连接，则，且， 由面面，面，面面， 所以面，则直线与平面所成角为锐角， 且面，则， 由题意，在中，则，故. 故选：A 3．如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出. 【详解】设F为的中点，连接，如图， 因为平面，平面， 所以，， 所以， ， 因为F是BC的中点，E是MC的中点， 所以，，， 则异面直线与所成角为或其补角， 而在正三角形中，， 所以在中，由余弦定理可知. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 4．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 5．（24-25高一下·青海海南·期末）在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取棱的中点，连接，，，根据异面直线的定义说明是异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示，    因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 6．（25-26高一下·河北保定·月考）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知找到侧棱与底面所成的角，依据正切值为2算出高的大小，然后求出斜高，从而可以求出侧面与底面的二面角正弦值. 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面. 即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角， 设底面边长为，则， 因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，即， 又因为，所以. 所以， 所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的正弦值为. 7．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 8．已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据棱台的体积公式求出棱台的高，设和的中心分别为，作平面ABC交平面ABC于点，即为直线与平面ABC所成的角，利用锐角三角函数求得线面角的正切值. 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 9．（24-25高一下·河北·月考）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明．如图，这是某中学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形ECDF为矩形，且平面ECDF⊥平面ABC，，，当多面体ABCEF的体积为时，异面直线AE与BC所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】以为邻边作矩形，求证即可，先证平面，结合体积求出，即可利用长度计算，最后在中利用余弦定理即可. 【详解】以为邻边作矩形，连接． 因为，所以为异面直线与所成的角或补角， 因为四边形是矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以， 因为，且为边的中点，所以， 因为平面，，所以平面， 因为，所以， 则多面体的体积， 解得，故， ，， 在中，由余弦定理可得，则异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 10．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．    【答案】/0.25 【点睛】利用补形法，作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，从而可求得异面直线和所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由题可知直三棱柱为正三棱柱，如图作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，连结， 则易知为异面直线所成角或其补角．    设， 则，，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. （2）由线面角的概念可得即为直线与平面所成的角，再结合定义法得解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 12．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； （2）取中点，作，且，连接，证明平面，作于点，连接，证明是直线与平面所成角，然后求出其正弦值. 【详解】（1）取中点，连接，如图， 由已知，所以，且， 中，， 又，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2）取中点，作，且，连接， 则是平行四边形，所以，是中点，则，所以， 因为平面，平面，所以平面，即平面， 所以平面. 由（1）知平面，平面，所以，同理， 所以， 作于点，连接， 因为，平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为平面，所以平面， 平面，则， 所以是直线与平面所成角， 在中，由得， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，二面角为．    (1)若为棱上一点，且，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在棱上取点，使得，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，证得，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据题意，证得和，得到为二面角的平面角，所以，得到，连接，得到，结合，求得点到平面的距离为，设与平面所成的角为，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：在棱上取点，使得，连接，则， 所以，且， 又因为，所以， 因为，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）解：因为平面，平面，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 所以，所以，又，所以， 连接，则，则的面积， 所以三棱锥的体积， 在直角梯形中，由，且，可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 所以， 所以， 所以的面积, 设点到平面的距离为， 因为，所以，即，所以， 设与平面所成的角为，则， 即与平面所成角的正弦值为．    14．已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为 【分析】（1）由题意得到平面，即得，再由可证平面，由线面垂直可得； （2）过在平面内作于，连接，证明平面，得到为二面角的平面角，在中，利用三角函数的定义求解即得； （3）由平面得到到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积求得，设直线与平面所成的角为，求得，推得当时，最小，从而的值最大，由此即得点的位置. 【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以． （2）    如图，过在平面内作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以，故为二面角的平面角， 因菱形中，，则，， 又是等边三角形，故， 由，知， 在中，，故二面角的正切值为. （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 因为，所以， 即， 所以， 设直线与平面所成的角为，则，， 因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小， 此时，由对称性知，， 所以，此时， 故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为. 15．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点. (1)求证：平面； (2)若平面，，且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）写出二面角的正切值.（结论不要求证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析; （ⅱ） 【分析】（1）取的中点，连接，证明，可得，再由线线平行证得线面平行； （2）（ⅰ）由条件先证明，再由线线垂直证明平面，即得；（ⅱ）过点作于点，证明平面，得，则得即二面角的平面角，利用平面几何知识推理即可在中，求得其正切值. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接， 因E为的中点，故， 又，，则， 故得，则， 因平面，平面， 故平面. （2）（ⅰ）因平面，平面，则， 因，且平面，则平面， 因平面，故. （ⅱ）如图，在平面内，过点作于点，连接， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故即二面角的平面角. 设，则，， 在中，由面积相等，，可得， 在中，， 即二面角的正切值为. 16．（24-25高一下·湖南长沙·月考）如图，在直三棱柱中，，且，为中点.    (1)求证：平面平面； (2)求和平面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直判断定理证明即可； （2）法一：取的中点，设，连接，设，连接，判断平面，根据线面角定义得线面角平面角，计算即可求解；法二：由（1）可得和平面所成的角即为，在中计算即可；法三：设到平面的距离为，由等体积法求得后，计算即可求解. 【详解】（1）因为直三棱柱中平面，平面， 所以，又，所以平面， 又平面，所以. 矩形中，，所以. 从而，所以. 由，得平面. 又平面，所以平面平面； （2）法一：取的中点，设，连接，设，连接， 为的中点，所以，且， 又，且所以且， 又，所以四边形为正方形，所以， 直三棱柱中，平面，平面，所以， 又因为，为中点，所以，所以平面， 因此，又，所以平面， 所以为和平面所成的角， 又，    所以，又，所以， 即和平面所成的角的大小为； 法二：由（1）知平面平面，设交于G， 所以可推得和平面所成的角即为， 由平面，得，在中，， 所以在中，， 在中， 在等腰，， 又，所以.即和平面所成的角的大小为； 法三：设和平面所成的角为，设到平面的距离为， 设到平面的距离为， 的面积， 的面积， 又三棱锥的体积，即， 从而得， 所以，， 又，所以，即和平面所成的角大小为. 17．（24-25高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用菱形性质得，结合及等腰三角形三线合一得，再依据线面垂直判定定理，即可证得结果. （2）（i）取中点，设，可证得平面，则即为直线与平面所成的角，根据已知计算即可得出的长； （ii）由（i）可知为二面角的平面角，作于，可得为二面角的平面角，设二面角的大小为，则计算即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点． 因为，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，所以平面． （2）（i）取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，所以平面， 所以，所以， 设，连接，则平面，且即为直线与平面所成的角. 所以，所以， 因为，所以，，， 所以，所以，所以． （ii）由（i）可知为二面角的平面角， 且， 连接，因为，所以，所以平面， 作于，连接，则为二面角的平面角， 且， 所以，所以， 设二面角的大小为，则． 18．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，根据三线合一性质得到，，从而证明出线面垂直； （2）解法1：设点到平面的距离为，先求出点到的距离，由（1）知，平面，先计算出，并求出，由等体积法求出； 解法2：过C作，垂足为E，由（1）得面面垂直，推出平面，则即为点到平面的距离，求出点到的距离，根据三角形面积得到方程，求出，点C到平面的距离为； （3）求出，由余弦定理得，由勾股定理逆定理得，，连接，即为二面角的平面角，由勾股定理逆定理得，求出，得到答案. 【详解】（1）证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以，， 又因为为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面. （2）解法1：设点到平面的距离为， 在中，，， 可得点到的距离为， 由（1）知，平面， 所以， 又因为，所以. 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过C作，垂足为E，所以平面， 则即为点到平面的距离， 在中，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点C到平面的距离为；    （3）由（2）知，，， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 解得， 又，则，所以， 故四边形为矩形，， 又为等边三角形，故，又， 则，所以， 设，连接，，所以， 又，所以即为二面角的平面角， 因为，，，所以， 由勾股定理逆定理得， 所以，所以二面角的正弦值为. 19．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）由勾股定理逆定理求得，再借助三角形的中位线性质证得，，从而得到平面，进而得证； （2）先求出，再算出，根据等体积法，，从而得到点到平面的距离； （3）与平面所成的角为，设，在中，用余弦定理表示出，再在中，表示，，列方程求解即可. 【详解】（1）在中，，，所以， 所以，又点，分别为边，的中点， 所以，，，所以，， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 因为，，所以二面角的平面角为， 所以，又，所以是等边三角形， 取的中点，连接，如图所示，所以，，， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中，，，， 所以， 设点到平面的距离为，又，所以， 解得，即点到平面的距离为． （3）由（2）知平面，所以与平面所成的角为． 在中，，，，设， 由余弦定理得． 因为平面，又平面，所以， 所以， 即，所以， 整理得，解得或， 故在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 的长为或． 【点睛】方法点睛：翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 20．（24-25高一下·四川雅安·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. (1)证明：平面； (2)若，证明：平面； (3)若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【详解】（1） 如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2） 如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故,    又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 21．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)当MA为何值时，二面角的余弦值为． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）在平面内过点作于，利用线面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得. （3）过作于，连接，确定二面角的平面角，借助余弦定理求解即得. 【详解】（1）菱形中，，平面，平面， 则平面， 而平面平面，平面， 所以. （2）在平面内过点作于，平面平面，平面平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，平面， 则，而平面， 因此平面，又， 所以平面. （3）由（2）知平面，平面，则，菱形为正方形， 由平面，平面，得， 过作于，连接， ，而， 则≌，有，于是≌，则， 即，是二面角的平面角， 令，， ，而，在中，由余弦定理得： ，解得， 所以当的值为时，二面角的余弦值为． 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 22．（23-24高一下·重庆·期末）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，使得能取得最大值，理由见解析 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【详解】（1）由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2）过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. （3）设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时，这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 23．（23-24高一下·山东烟台·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)求证：∥平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的正切值； (3)在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接，结合三角形中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）设平面与平面的交线为，则∥，设为中点，连接，由直棱柱的性质结合已知可证得平面， 过作，连接，可得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （3）设在面上射影为，则为与平面所成角，然后利用等体积法可求出，从而可求出，进而在中可求出. 【详解】（1）证明：设，连接， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以∥. 因为平面平面， 所以∥平面. （2）解：设平面与平面的交线为， 又∥平面平面，所以∥. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以 设为中点，连接，则∥，， 因为，，所以，， 因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 过作，因为，平面， 所以平面. 连接，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为∥，所以， 因为， 所以，所以，即，所以. 在中，，所以， 即二面角的正切值为. （3）设在面上射影为，则为与平面所成角. 由，得， 因为，，， 所以，所以， 所以， 因为，所以，解得. 由，所以. 在中，由余弦定理，解得， 所以，在线段上存在点，当时，与平面所成角大小为. 24．如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥. (1)求证：平面； (2)若为棱上一点，记 （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，. 【分析】（1）利用，，可得到平面，从而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面； （2）①由平面，可知直线与平面所成角就是，从而利用已知数据进行计算即可； ②由可得或其补角为直线与直线所成角，再利用余弦定理解得,利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到关于的方程，从而可解得. 【详解】（1）连结AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴, 由题可得，，且，平面 ，平面， ∴平面，又平面，∴， ∵，平面 ，平面， ∴平面． （2）（i）连结SO交CE于点G，由（1）得平面, ∴为直线CE与平面SBD所成角, ∵，，, ∴, ∵，∴， 在三角形中，由，，所以由余弦定理得： ， ， ∴，即 ， ∴， ∴直线与平面所成角的正切值为． （ii）连结，∵, ∴或其补角为直线与直线所成角,则假设存在点，满足， 由得，, 在三角形中，由，所以由余弦定理得： ， 过点作，交于， 由平面，平面，得，所以， 由可得，因为，所以，， 在三角形中，由余弦定理得： ， 再由，平面可得平面， 又因为平面，所以， 在直角三角形中，由勾股定理得： ． 在三角形中，又因为，，所以由余弦定理得： , 解得, ∴存在使得直线与直线所成角为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $