第12章 图形的平移与旋转 单元测试 2025—2026学年青岛版数学八年级数学下册

第12章 图形的平移与旋转 单元测试 1、 选择题 1、下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2、小明读了“子非鱼焉知鱼之乐乎? ”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，下列选项能够由图中所示的图案平移后得到的是（     ） A． B． C． D． 3、如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 4、如图，△ABC中，∠CAB＝63°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A．54° B．56° C．64° D．66° 5、如图，在中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M．若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为（    ） A．2 B．3 C．4.5 D．1 6、如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（﹣1，2） C．（4，﹣1） D．（1，﹣2） 7、如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（　　） A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2） 8、如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 9、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有（　　）个是正确的． ①∠DAF＝45° ②△ABE≌△ACD ③AD平分∠EDF ④BE2+DC2＝DE2 A．4 B．3 C．2 D．1 10、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　） A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 2、 填空题 11、如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若，则__________． 12、已知点与关于原点对称，则的值为 ． 13、如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　 　度． 14、如图，将绕点按顺时针方向旋转90°到的位置，已知斜边, , 设的中点是,连接，则_____． 15、如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，且AF＝BF＝CH＝DF＝EH．点B在AN上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm．当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm．如图3，当外延长度为120cm时，则BD和GE的间距PQ长为　 　cm． 16、如图的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（O，4），将△OAB沿x轴作连续无滑动的翻滚，依次得到三角形①，②，③，④.则第⑯个三角形的直角顶点的坐标是　 　． 三、解答题 17、如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． (1)若把向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； (2)求的面积； (3)点P为轴上一点，且的面积是面积的一半，则P点坐标为______． 18、如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM． （1）求证：AO＝CM； （2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明． 19、 如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，使落在上．在旋转的过程中，假如第秒时，、、三条射线构成的角中有两个角相等，求此时的值为多少？ （2）将图1中的三角板绕点顺时针旋转（如图2），使在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由． 20、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转． （1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2． ①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ； ②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)． （2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由． 21、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 22解答下列各题． (1)特例探究：如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2)一般探究：如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3)实际应用：如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 图形的平移与旋转 单元测试 1、 选择题 1、下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：、图形不是中心对称图形； 、图形是中心对称图形； 、图形不是中心对称图形； 、图形不是中心对称图形， 2、小明读了“子非鱼焉知鱼之乐乎? ”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，下列选项能够由图中所示的图案平移后得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误； B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误 C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误； D、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确． 3、如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得线段向左平移2个单位，向上平移了3个单位， 则 4、如图，△ABC中，∠CAB＝63°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A．54° B．56° C．64° D．66° 【答案】A 【解析】解：∵DC∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB＝63°， 由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝63°， ∴∠ADC＝∠CAB＝63°， ∴∠CAD＝54°， ∴∠CAE＝9°， ∴∠BAE＝54°， 5、如图，在中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M．若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为（    ） A．2 B．3 C．4.5 D．1 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ∵把沿点A到点E方向平移至处， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴平移距离为2． 6、如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（﹣1，2） C．（4，﹣1） D．（1，﹣2） 【答案】D 【解析】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2）， 7、如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（　　） A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2） 【答案】D 【解析】解：设C1（x，y）， 由题意：BC＝BC1， ∴＝0，＝1， ∴x＝﹣m，y＝2﹣n， ∴C1（﹣m，2﹣n）， 8、如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解： 与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 9、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有（　　）个是正确的． ①∠DAF＝45° ②△ABE≌△ACD ③AD平分∠EDF ④BE2+DC2＝DE2 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】：B． 【解析】解：由旋转可知：△BAE≌△CAF， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴∠EAF＝∠BAC＝90°， ∵∠EAD＝45°， ∴∠EAD＝∠FAD＝45°， ∴AD平分∠EAF， ∵AD＝AD，AE＝AF， ∴△DAE≌△DAF（SAS），故①③正确， ∴DE＝DF， ∵∠ACF∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠DCF＝90°， ∴DF2＝CD2+CF2， ∵DF＝DE，BE＝CF， ∴BE2+CD2＝DE2，故④正确， 无法判断△ABE≌△ACD，故②错误． 10、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　） A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 【答案】：C． 【解析】 解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…， 2019÷4＝504…3， 所以A2019的坐标为（504×2+1，0）， 则A2019的坐标是（1009，0）． 2、 填空题 11、如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若，则__________． 【答案】 【解析】 由旋转性质可得：∠BOD=∠AOC=60°， ∴∠BOD+∠AOC=120°， 即：∠BOA+∠AOD+∠DOC+∠AOD=120°， ∵∠BOC=∠BOA+∠AOD+∠DOC=105°， ∴∠AOD=120°−105°=15°， 故答案为：15°． 12、已知点与关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵点与关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 13、如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　 　度． 【答案】90 【解析】解：如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E ∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E， ∴点E是旋转中心， ∵∠AEA1＝90° ∴旋转角α＝90° 14、如图，将绕点按顺时针方向旋转90°到的位置，已知斜边, , 设的中点是,连接，则_____． 【答案】 【解析】作MH⊥AC于H， 因为M为A′B′的中点，故HM=A′C， 又因为A′C=AC==8，则HM=A′C=×8=4，B′H=3， 又因为AB′=8-6=2，所以AH=3+2=5， AM=cm． 15、如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，且AF＝BF＝CH＝DF＝EH．点B在AN上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm．当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm．如图3，当外延长度为120cm时，则BD和GE的间距PQ长为　 　cm． 【答案】：24． 【解析】解：如图，作FK⊥AB于K，设AB＝2xcm，由题意，FK＝7cm，当AB＝（2x﹣8）cm时，FK＝15cm． 则有AF2＝x2+72＝（x﹣4）2+152， ∴x＝24（cm）， ∴AF＝＝25（cm）， 如图，当OF＝20时，在Rt△DFO中，OD＝＝15（cm）， ∵PQ⊥GI， ∴•FI•DG＝DF•PQ， ∴PQ＝＝24（cm）． 16、如图的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（O，4），将△OAB沿x轴作连续无滑动的翻滚，依次得到三角形①，②，③，④.则第⑯个三角形的直角顶点的坐标是　 　． 【答案】（60，0） 【解析】解：∵点B（﹣3，0），A（0，4）， ∴OB＝3，OA＝4， ∴AB＝＝5， ∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换， ∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5＝12个单位， 而7＝3×2+1， ∴第⑦个三角形和第①个三角形的状态一样，则三角形⑦与三角形⑥的直角顶点相同， ∴三角形⑦的直角顶点的横坐标为2×12＝24，纵坐标为0； 由题意可得：第16个三角形与第1个三角形状态相同，直角顶点的坐标为：（60，0）， 三、解答题 17、如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． (1)若把向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； (2)求的面积； (3)点P为轴上一点，且的面积是面积的一半，则P点坐标为______． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)6 (3)或． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 解：∵，，，把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到， ∴，，； （2）解：由题意得，的面积； （3）解：设点，则有， ∵的面积是面积的一半， ∴， 解得或， 点坐标或． 18、如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM． （1）求证：AO＝CM； （2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，证明见解析 【解析】 （1）证明：∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM ∴∠OBM＝60°，OB＝BM， ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB=CB ∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60° ∴∠ABO＝∠CBM， 在△AOB和△CMB中， ∴△AOB≌△CMB（SAS）， ∴AO＝CM． （2）△OMC是直角三角形；理由如下： ∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM ∴∠OBM＝60°，OB＝BM， ∴△OBM为等边三角形 ∴OB=OM=10 由（1）可知OA=CM=8 在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100， ∴OM2＝OC2+CM2， ∴△OMC是直角三角形． 19、 如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，使落在上．在旋转的过程中，假如第秒时，、、三条射线构成的角中有两个角相等，求此时的值为多少？ （2）将图1中的三角板绕点顺时针旋转（如图2），使在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）t=3或t=12；（2）∠AOM-∠NOC=30º，理由见解析 【解析】解：（1）由题意得， ①当 此时，ON旋转了 ②当此时 此时，ON旋转了 综上所述， （2） 理由如下： 20、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转． （1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2． ①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ； ②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)． （2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由． 【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析． 【解析】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠CAD=90°﹣30°=60°． ∵CA=CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴旋转角为60°． 故答案为：60°． ②如图2中，作CH⊥AD于H． ∵CA=CD，CH⊥AD， ∴∠ACH=∠DCH． ∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， ∴∠ACH=∠B， ∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α， ∴旋转角为2α． 故答案为：2α． （2）小杨同学猜想是正确的．证明如下： 过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3． ∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M， ∴∠BNC=∠EMC=90°． ∵△ACB≌△DCE， ∴BC=EC， 在△CBN和△CEM中， ∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC， ∴△CBN≌△CEM(AAS)， ∴BN=EM． ∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM． ∵CD=AC， ∴S△BDC=S△ACE． 21、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立，理由见解析 （3） 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ∵∠ACB=∠DCE=90°，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在Rt△DCH中：， ∵， ∴，即， 在和△BCH中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 22解答下列各题． (1)特例探究：如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2)一般探究：如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3)实际应用：如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1) (2) (3)18 【详解】（1）解： 如图①：延长到点使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：如图，延长至，使，连接． ，， ． 又，， ． ，． ． 又， ． ． 又，， ≌． ， ∴． （3）解：如图，延长，截取，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $