精品解析：江苏省前黄中学2026届高三二模适应性练习数学试题

江苏省前黄中学2026届高三二模适应性练习 数 学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分又不必要 D. 充要 【答案】A 【解析】 【分析】应用指数函数单调性结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由指数函数的单调性得， 若，则，所以充分性成立； 若，则不定一成立，如，但，所以必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得：， 则，则. 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】依题意，. 因为知，所以，且， 所以，.再由．得， 再代入，得，由，所以. 故选：B． 5. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6. 化简（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】． 7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比. 【详解】取正四面体各棱中点，如图， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于， 则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6， ，，， 而，因此球的半径， 所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 故选：C. 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D. 若样本数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】由残差的意义判断A；求出样本点的残差判断B；由题意可得，由独立事件的定义判断C；求出新数据的方差判断D. 【详解】对于A，回归分析中，残差平方和是实际值与预测值差的平方和，其值越小说明预测值与实际值越接近，拟合效果越好，故A正确； 对于B，残差定义为观测值(实际值)减去预测值，即，对于样本点，预测值， 所以其残差为，故B错误； 对于C，因为，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确; 对于D，因为样本数据，，…，的方差为， 即，为数据，，…，的平均数， 设数据，，…，的平均数为， 则， 所以数据，，…，的方差为： ，故D错误. 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】由图可得：， 又， ，又， ， 将代入得， 即，， 即，， ， 对于A，最小正周期，故正确； 对于B，令，，解得，， 可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D，， 令，所以， 故最小值为，D正确， 故选：ABD 11. 若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先证明，由此判断A，由条件结合关系当时，，证明，再求，，由此可得，判断C，结合等差数列定义判断B，结合函数的对称性利用分组求和法求，判断D. 【详解】函数的定义域为， 由已知， 所以， 所以， 又，， 所以，所以的图象关于点对称．故A正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以，又， 所以， 所以，故， 所以，所以．C错误； 所以当时，，所以数列是等差数列，故B正确， 所以，，，，， 所以， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用双曲线渐近线定义计算即可得. 【详解】依题意，则双曲线的渐近线为， 又双曲线一条渐近线方程为，所以， 故，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 13. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧．设白球所在抽屉的编号为X，则______. 1 2 3 4 5 6 【答案】##5.6 【解析】 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以. 14. 函数的所有零点的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案; （2）由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得 所以，或 又因为，则，故 故答案为： 【小问2详解】 由（1）知，又，所以 ，则，所以. 又，所以， 在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 16. 已知是等比数列，前n项和为，且. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：. 试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以. （Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列. 设数列的前项和为，则. 【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型： （1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和． （2）通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 17. 已知平面，，，分别为，上的点，且，. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明：因为平面，∴， 又，， ∴平面，∴. 又，， ∴平面，∴. 又，， ∴平面，∴. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，证明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再证明PC⊥平面ADE，即可证明PC⊥DE； （2）过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，根据PC⊥平面ADE，可得是平面ADE的一个法向量，从而向量与所成的角的余弦值的绝对值为，可求PA的值，利用题目条件求出平面的一个法向量，利用夹角公式可得二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）过点作，则平面，如图所示： 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，， 因为平面， ∴是平面的一个法向量， ∴向量与所成的角的余弦值的绝对值为， 又， ， ∴，∴. 在中，，又， ∴为中点，∴， ∴，， 设平面的一个法向量为， 则，∴，∴， 又是平面的法向量， ∴，， 二面角余弦值为. 【点睛】本题考查空间垂直关系的证明与二面角所成平面角的计算，考查空间推理能力与空间建模思想，对学生计算求解能力要求较高，属于中等题. 18. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）0；（ii）48 【解析】 【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决. 【小问1详解】 设直线与轴交于. 由几何性质易得：与相似， 所以， ， 即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 设 （i）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有，此时点纵坐标为， 所以直线的斜率为0. （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因为点在圆上，有，即，代入上式可得： ， 由， 所以时，取到最大价. 所以的最大值为48. 19. 已知定义在上的函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中． ①证明：； ②定义两点间的距离如下：， 证明：． 【答案】（1） （2）①令， 则， 令， 则， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 则，又，所以在区间恒成立， 所以在区间上单调递增，又，则，即. ②当时，，当且仅当时取等号， 所以， 要证，即证明， 也即证明， 令，易知， 则， 令，则， 易知当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 又当时，，所以，则， 所以在区间上单调递增， 又，则， 即，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线的斜率，再由直线的点斜式，即可求解； （2）①构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得在上的单调性，即可求解；②根据条件，转化成证明，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得在上的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省前黄中学2026届高三二模适应性练习 数 学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分又不必要 D. 充要 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6 化简（ ） A. B. C. 5 D. 3 7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D. 若样本数据，，…，方差为，则数据，，…，的方差为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最小值为 11. 若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________. 13. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧．设白球所在抽屉的编号为X，则______. 1 2 3 4 5 6 14. 函数的所有零点的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且面积为，求BC边上的中线AM的长． 16. 已知是等比数列，前n项和为，且. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和. 17. 已知平面，，，分别为，上的点，且，. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 19. 已知定义在上的函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中． ①证明：； ②定义两点间距离如下：， 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $