第三章 图形的平移与旋转题型练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

图形的平移与旋转题型练习(利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型、图形旋转中的模型) 考点1: 利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型 · 模型归纳 图形的周长为2(a＋b) S空白＝(a－x)(b－x) S阴影＝SABEM 练习1. 1. 利用平移的知识可求出如图所示的图形的周长为 14 . 2. 如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为 8cm2 3. 如图，某住宅小区内有一块长方形空地，若在长方形空地内修筑同样宽的小路(图中阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽均为2m，则绿化的面积为 540 m2 4. 如图，已知直角三角形ABC，∠A＝90°，AB＝4厘米，AC＝3厘米，BC＝5厘米，将△ABC沿AC方向平移1.5厘米，线段BC在平移过程中所形成图形的面积为 6 平方厘米． 5. 一块长为a cm，宽为b cm的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲).若把裂缝右边的一块向右平移1cm(如图乙)，则产生的裂缝的面积是 b cm2. 考点2: 图形旋转中的模型 1. 特殊三角形中的“手拉手”模型 条件：△ABC，△ADE为任意等腰三角形(AB＝AC，AD＝AE)，且∠BAC＝∠DAE. 结论：①△ABD≌△ACE；②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角等于∠BAC或∠BAC的补角(当△ABC，△ADE为等边三角形时，直线BD与直线CE的夹角为60°或120°；当△ABC，△ADE为等腰直角三角形时，BD⊥CE). 2. “对角互补”模型 (1)全等型—90° 条件：①∠AOB＝∠DCE＝90°；②OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S四边形ODCE＝S△OCD＋S△OCE＝OC2 (2)全等型—120°： 条件：①∠AOB＝2∠DCE＝120°；②OC平分∠AOB 结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S△COD＋S△COE＝OC2 · 通过旋转构造“手拉手”模型 解题思路:在共点等线的背景下，通常将线段或三角形旋转60°，90°或120°构造全等三角形解决问题. ①等边三角形含半角(∠BDC＝120°，BD＝CD)： 结论：△DFG≌△DFE，EF＝FC＋BE. ②等腰直角三角形含半角： 结论：△ADE≌△AFE，FC⊥BC 练习2. 1. 如图，若点M是等边△ABC的边BC上一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，连接MN，则下列结论：①∠BMN＝30°；②MN＝AM；③BN∥AM，其中正确的个数有( C ). A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2. 如图，等边三角形ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 4 3. (1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，将△DCE旋转，使点A，D，E在同一条直线上，连接BE. ①∠AEB的度数为 60° . ②线段AD，BE之间的数量关系是 AD＝BE (2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE－90°，点A，D，E在同一条直线上.若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a，b，c之间的数量关系. 解：(2) a2＋b2＝c2 巩固练习： 1. 如图，在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AFE，连接CE、BF，则下列结论：①BC＝FE，②AC∥EF，③∠ABF＝∠ACE，④EF⊥BF，其中正确的有( A ). A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 2. 如图，四边形ABCD是一块长方形的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，A，B两处人口的路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 5000 m2. 3. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM.若AE＝1，则MF的长为 . 4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E都在BC上，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝5，则DE的长为 . 5. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ.则CQ长的最小值为 4 6. 图形操作：(本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度) 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A′B′，得到封闭图形AA'B'B(阴影部分)； 在图2中，将折线ABC(其中点B叫做折线ABC的一个“折点”)向上平移1个单位长度到折线A′B′C′，得到封闭图形AA'B'C'CB(阴影部分)． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，则S1＝ 40 平方单位； 并比较大小：S1 ＝ S2(填“＞”“＝”或“＜”)； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路的宽度是1个单位长度)，长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．(用含a，b的式子表示) 解：(1)如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；(3)(ab－a) 7. 新定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫作等补四边形. (1)如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D(不与B，C重合),连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为点E，请根据给出的定义判断，四边形ADCE 是 等补四边形(填“是”或“不是”). (2)如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°,若S四边形ABCD＝8，则BD的长为 4 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＋∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值. 解：(3)四边形ABCD面积的最大值为 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形的平移与旋转题型练习(利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型、图形旋转中的模型) 考点1: 利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型 · 模型归纳 图形的周长为2(a＋b) S空白＝(a－x)(b－x) S阴影＝SABEM 练习1. 1. 利用平移的知识可求出如图所示的图形的周长为 . 2. 如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为 3. 如图，某住宅小区内有一块长方形空地，若在长方形空地内修筑同样宽的小路(图中阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽均为2m，则绿化的面积为 4. 如图，已知直角三角形ABC，∠A＝90°，AB＝4厘米，AC＝3厘米，BC＝5厘米，将△ABC沿AC方向平移1.5厘米，线段BC在平移过程中所形成图形的面积为 平方厘米． 5. 一块长为a cm，宽为b cm的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲).若把裂缝右边的一块向右平移1cm(如图乙)，则产生的裂缝的面积是 cm2. 考点2: 图形旋转中的模型 1. 特殊三角形中的“手拉手”模型 条件：△ABC，△ADE为任意等腰三角形(AB＝AC，AD＝AE)，且∠BAC＝∠DAE. 结论：①△ABD≌△ACE；②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角等于∠BAC或∠BAC的补角(当△ABC，△ADE为等边三角形时，直线BD与直线CE的夹角为60°或120°；当△ABC，△ADE为等腰直角三角形时，BD⊥CE). 2. “对角互补”模型 (1)全等型—90° 条件：①∠AOB＝∠DCE＝90°；②OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S四边形ODCE＝S△OCD＋S△OCE＝OC2 (2)全等型—120°： 条件：①∠AOB＝2∠DCE＝120°；②OC平分∠AOB 结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S△COD＋S△COE＝OC2 · 通过旋转构造“手拉手”模型 解题思路:在共点等线的背景下，通常将线段或三角形旋转60°，90°或120°构造全等三角形解决问题. ①等边三角形含半角(∠BDC＝120°，BD＝CD)： 结论：△DFG≌△DFE，EF＝FC＋BE. ②等腰直角三角形含半角： 结论：△ADE≌△AFE，FC⊥BC 练习2. 1. 如图，若点M是等边△ABC的边BC上一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，连接MN，则下列结论：①∠BMN＝30°；②MN＝AM；③BN∥AM，其中正确的个数有( ). A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2. 如图，等边三角形ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 3. (1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，将△DCE旋转，使点A，D，E在同一条直线上，连接BE. ①∠AEB的度数为 . ②线段AD，BE之间的数量关系是 (2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE－90°，点A，D，E在同一条直线上.若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a，b，c之间的数量关系. 巩固练习： 1. 如图，在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AFE，连接CE、BF，则下列结论：①BC＝FE，②AC∥EF，③∠ABF＝∠ACE，④EF⊥BF，其中正确的有( ). A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 2. 如图，四边形ABCD是一块长方形的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，A，B两处人口的路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m2. 3. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM.若AE＝1，则MF的长为 . 4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E都在BC上，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝5，则DE的长为 . 5. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ.则CQ长的最小值为 6. 图形操作：(本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度) 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A′B′，得到封闭图形AA'B'B(阴影部分)； 在图2中，将折线ABC(其中点B叫做折线ABC的一个“折点”)向上平移1个单位长度到折线A′B′C′，得到封闭图形AA'B'C'CB(阴影部分)． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，则S1＝ 平方单位； 并比较大小：S1 S2(填“＞”“＝”或“＜”)； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路的宽度是1个单位长度)，长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．(用含a，b的式子表示) 7. 新定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫作等补四边形. (1)如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D(不与B，C重合),连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为点E，请根据给出的定义判断，四边形ADCE 等补四边形(填“是”或“不是”). (2)如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°,若S四边形ABCD＝8，则BD的长为 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＋∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $