期中复习冲刺（压轴篇） 【精英班课程】 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学下学期同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 期中复习冲刺（压轴篇） 题型一、选择压轴精练 1. （24-25崇明区六年级下九校联考）某商品打九折后，价格是a元，则原价是（ ） A. 0.9a元 B. 元 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】某商品打九折后，现价是a元，则原价为a除以即可． 【详解】解：原价=a÷=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了打折的含义和比例的应用，掌握打几折现价就是原价的十分之几是解答本题的关键． 2.（2024-2025松江区下六年级期中） 两个盛有同样质量盐水的水杯，第一个杯中盐与水的质量比为，第二个杯中盐与水的质量比为，现将两个杯子中的盐水全部倒入一个空杯中，则新杯中盐与水的质量比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了比的应用，理解题意是解题关键．设两个水杯的盐水质量为“1”，分别求出两杯盐水中盐与水的质量，再求出新杯中盐与水的质量比即可． 【详解】解：设两个水杯的盐水质量为“1”， 第一个杯中盐与水质量比为， 则第一个杯中盐的质量为，水的质量为， 第二个杯中盐与水的质量比为， 则第二个杯中盐的质量为，水的质量为， 现将两个杯子中的盐水全部倒入一个空杯中， 则新杯中盐与水的质量比是， 故选：A． 3. （2024-2025松江区下六年级期中）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：=．故选B． 4.如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，AB＝2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．则在此运动过程中，⊙O扫过的面积是（　　） A． B．3π2 C． D．5πr2 【分析】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，⊙O扫过的面积S＝S圆O+S矩形ABED+S扇形BEF+S矩形BCGF ＝πr2+πr×2rπr×2r ＝πr2+2πr2+πr2+πr2 ＝5πr2； 故选：D． 【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法是正确解答的关键． 5. （24-25金山区六年级下期中）如图两个边长相同的正方形和，都是半圆，现有一个点要沿图中的实线从点A运动到点B，有以下几个方案： 方案1：沿从点A运动到点B； 方案2：先沿从点A运动到点F，再沿从点F运动到点B； 方案3：分别沿线段、、从点A运动到点B； 方案4：先分别沿线段、从点A运动到点E，再沿从点E运动到点B． 以上四种方案中，这个点运动路线最长的是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长，理解每个方案的线路是解题关键．根据四个方案分别求出点运动路线长度，即可得到答案． 【详解】解：设正方形和的边长为， 方案1：点运动路线长度为； 方案2：点运动路线长度为； 方案3：点运动路线长度为； 方案4：点运动路线长度为， 因为， 所以点运动路线最长的是方案3， 故选：C． 6. 如图，小海将边长为的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），那么所得扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积。掌握扇形面积（l为弧长，r为半径）是解题关键．根据题意求出扇形的弧长和半径，即可求出面积． 【详解】解：因为正方形边长为， 所以， 所以弧长为， 因为扇形以为圆心，为半径， 所以扇形的面积是， 故选：B． 7. （2024-2025浦东新区下六年级期中）已知一个圆的半径为，圆周长为，圆面积为，一个半圆的半径为，半圆弧长为，半圆面积为，那么下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长和面积公式，解题的关键是掌握相关知识．分别表示出圆的周长和面积，半圆的弧长和面积，即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， 故选：A． 8. 下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的是（ ） A. （1）（4） B. （2）（4） C. （1）（2）（3） D. （1）（2）（4） 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形的面积公式和圆的面积公式的应用．根据题意，左图与图（1）、（2）、（4）中空白部分的图形可以分别组成一个以正方形的边长为直径的圆，阴影部分的面积可用正方形的面积减去里面最大圆的面积即可，图（3）中的阴影部分的面积就是正方形内最大圆的面积，可设正方形的边长为2，根据正方形的面积公式和圆的面积公式进行计算即可得到各个图形中阴影部分的面积，然后再进行比较即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为2， 正方形的面积为：， 正方形内最大圆的半径就为：， 里面最大圆的面积为：， 图（1）、（2）、（4）与左图的阴影部分的面积都为：， 图（3）中阴影部分的面积为， 故选：D 9．如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为,半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为…，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的，并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径， ，，，， ，，，， ，， 的半径为， 的弧长． 故选：C． 题型二、填空压轴精练 10. （24-25上海第四中学六年级下期中）如果，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比的化简和求比值，根据，转化成，代入原式化简即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. （24-25上海交大附属二中六下期中）已知2、3、30及一个比它们都小的数能组成比例，则这个数是___________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了比例的性质，分情况求解即可． 【详解】解：设未知数为x，且．根据比例的基本性质，四个数可以组成不同的比例式， 以下分情况讨论∶ 情况1∶比例式为 解得∶，，符合条件． 情况2∶比例式为 解得∶，，符合条件． 情况3∶比例式为 解得∶，，符合条件． 其他情况(排除不符合解) 若比例式为，解得(不符合)． 若比例式为，解得(不符合)． 其余排列方式均会导致，故舍去 综上，唯一符合条件的解为： 故答案为：． 12.（24-25崇明区六年级下九校联考） 一种商品的售价是元，月份先提价，元月份又降价，那么现在的价格是__________元． 【答案】211.2 【解析】 【分析】本题考查百分数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 根据题意，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， （元）． 故答案为：211.2． 13. （24-25上海交大附属二中六下期中）张老师将1000元存入银行，年利率是，存期一年，到期需支付的利息税，则到期后张老师可以拿到本利和共___________元． 【答案】1016 【解析】 【分析】本题考查了利率问题的计算；根据“本息和=本金+利息，利息=本金×利率×存期”即可完成． 【详解】解：（元）； 14. （24-25上海交大附属二中六下期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆的半径，周长，弧长，长方形的周长等知识，先求出圆的半径，长方形为的长，最后根据阴影部分的周长计算即可． 【详解】解：根据题意， 则圆的半径为：， 圆的面积为：， 长方形的面积为，则长方形的长为： ， 则阴影部分的周长为：， 故答案为：5 15. （24-25上海交大附属二中六下期中）某商场开展促销活动，一次性购物金额超过500元便根据消费情况给出优惠，并标出详细的优惠如下表．小王一个月去该商场购物3次，月末整理账单时发现，第二次购物享受了打折；若第一次、第二次一起购物，比分开购物便宜65元；若第二次、第三次一起购物，比分开购物便宜60元；如果三次一起购物，比三次分开购物便宜140元．则小王第二次购物金额是___________元． 优惠类型 一次性购物金额 优惠 1 消费超过500元不足1000元 5 2 消费超过1000元 0元至500元部分 5 超过500元至1000元的部分 10 超过1000元的部分 15 【答案】600 【解析】 【分析】本题涉及到根据不同的购物组合和优惠金额来确定每次购物的金额，设出未知数，建立方程求解即可． 【详解】解：设第一、二、三次的购物金额分别为元，设第二次实际消费为元， 依题意，若消费超过1000元，则至少省元， 又第二次购物享受了打折，则， ∴ 第一次、第二次一起购物，比分开购物便宜65元 ∴ 即① 第二次、第三次一起购物，比分开购物便宜60元 ∴ 即② ①②得，③ ∵三次一起购物，比三次分开购物便宜140元． ∴ 即④ ③④得， ∴ 即第二次购物金额为元． 故答案为：． 16.如图，某年级为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给同学们布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中的一个内容进行手抄报的制作．A．“北斗卫星”；B．“时代”；C．“智轨快运系统”；D．“东风快递”；E.“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选“高铁”所占的百分率为 ．      【答案】 【分析】本题考查了频数分布折线图，先计算出全体人数，然后用选择“高铁”的人数除以全体人数即可得出答案． 【详解】解：由图可得：全体总人数为：（人）， 选择“高铁”的人数为人， ∴选“高铁”所占的百分率为， 故答案为：． 17. （2024-2025浦东新区下六年级期中）在一个扇形统计图中，有三个扇形，其中两个所占圆的百分比分别是、，画扇形图时，剩下的第三个扇形对应的圆心角度数是_____． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查学生对扇形统计图的理解，扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图．先根据题意求出剩下的第三个扇形所占圆的百分比，再乘以求解即可． 【详解】解：扇形统计图中，有三个扇形，其中两个所占圆的百分比分别是、， 则剩下的第三个扇形所占圆的百分比是， 那么剩下的第三个扇形对应的圆心角度数是， 故答案为：108． 18. （2024-2025松江区下六年级期中）如图，三个圆的直径分别为10、8、6．若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和，那么与的数量关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积，掌握圆的面积公式是解题关键．先求出大圆的面积和两个小圆的面积和，再表示出和即可得到答案． 【详解】解：因为三个圆的直径分别为10、8、6， 所以，大圆的面积为，两个小圆的面积和为， 若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和， 则，， 则， 故答案为：． 19. （2024-2025虹口区下六年级期中）圆直径是，按下图的规律画下去，则第个图的周长（外围）是___________．（保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的周长，规律的探索，熟练根据题意找出图形周长的规律是解题的关键．先根据图形得出图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，再找出图形外围部分的线段长总和的规律，即可解答． 【详解】解：如图， 图中图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，周长为， 图1中图形外围部分的线段长总和为； 图2中图形外围部分的线段长总和为； 图3中图形外围部分的线段长总和为； 图4中图形外围部分的线段长总和为； 图中图形外围部分的线段长总和为； 则第个图的周长（外围）是， 故答案为：． 题型三、组合图形的面积和周长 20. 图中两块阴影部分的面积之和为_______平方厘米（结果保留，单位：厘米）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积，观察图形可知阴影部分的面积等于四分之一圆的面积减去直角边长为10厘米的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可． 【详解】解： 平方厘米， 故答案为：． 21. （24~25存志学校六年级下期中）如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是________平方厘米．（取3.14） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，解决本题的关键掌握扇形的面积公式．如图：记与小圆的交点为，连接，则，为面积相等的等腰直角三角形，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：记与小圆的交点为，连接， 为直径 即 ∵ 则，为面积相等的等腰直角三角形； ∵（厘米）， ∴的面积的面积， ∴ （平方厘米）． 故答案为：． 22. 图1是一张扇形纸片，，，现将该纸片按图2方式折叠，则图2中图形阴影部分面积为______（取）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的判定，掌握扇形面积的计算是关键． 根据题意，如图所示，过点作于点，，，由代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，沿折叠得到， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为： ． 23. 如图，请计算阴影部分的周长和面积．（取） 【答案】阴影部分周长是，面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，扇形面积计算，阴影部分面积计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式和扇形面积公式，先根据图形求出，，再求出阴影部分周长即可；先求出，，然后求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 所以，阴影部分的周长是，面积是． 题型四、统计图表 24. （24-25崇明区六年级下九校联考）请阅读以下材料，并解决下列问题： 调查主题 某中学六年级春季社会实践活动需求 调查人员 每个班级男生和女生若干人 调查方法 抽查 背景介绍 某中学组织六年级学生前往上海个活动场所中的一个参加社会实践活动，这个活动场所为A：上海野生动物园；B上海千古情；C上海海昌海洋公园；D上海欢乐谷；E上海冰雪大世界雪上活动．被抽查学生针对六年级学生的意向目的地开展抽查并出具如下调查报告（注：每位被抽查的学生选择且只能选择个意向前往的场所）． 报告内容（说明：以下仅展示部分内容） 问：   （1）求本次被抽查的学生人数； （2）在扇形统计图中，表示D的扇形的圆心角是多少度； （3）请把条形图补充完整，意向去往A的学生人数比去往D的学生人数多百分之几； （4）观察分析两个统计图中的数据，你能给学校的决策者提出什么建议？ 【答案】（1）人 （2）度 （3）条形统计图见解析，意向去往A的学生人数比去往D的学生人数多 （4）由条形统计图和扇形统计图可知，意向去往A的学生人数最多，所以学校应该组织六年级学生前往A地参加社会实践活动 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，求扇形统计图的圆心角度数，补全条形统计图，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用A的人数除以A所占的百分比即可； （2）用D的人数除以总人数再乘以即可； （3）求出意向去A的人数，补全条形统计图；求出意向去往D的学生人数所占的百分比，再用意向去往A的学生人数所占的百分比减去意向去往D的学生人数所占的百分比即可； （4）由条形统计图和扇形统计图可知，意向去往A的学生人数最多，所以学校应该组织六年级学生前往A地参加社会实践活动． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次被抽查的学生人数为人； 【小问2详解】 解：， 答：表示D的扇形的圆心角是度； 【小问3详解】 解：意向去A的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 意向去往D的学生人数所占的百分比为， 所以意向去往A的学生人数比去往D的学生人数多； 【小问4详解】 解：由条形统计图和扇形统计图可知，意向去往A的学生人数最多，所以学校应该组织六年级学生前往A地参加社会实践活动． 25. 随着社会的经济发展，支付方式也在变得多样，为了了解岁居民“最喜欢的支付方式”，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），下发520份问卷，经统计回收的有效问卷，并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． （1）将图2补充完整，并计算___________． （2）扇形统计图中，“微信支付”部分所对应的扇形的圆心角为___________ （3）根据相关信息，你认为在岁之间，使用微信支付人数比支付宝支付的人数少___________． （4）请根据图中信息估计该社区中岁的居民约，估算其中40岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为___________人． 【答案】（1）见解析；35 （2） （3） （4）300 【解析】 【分析】（1）根据喜欢支付宝支付人数其所占各种支付方式的比例参与问卷调查的总人数，然后再求出现金支付的人数，最后补全条形统计图；用微信支付的人数除以总人数，求出微信支付所占的百分比即可； （2）用360度即可得出“微信支付”部分的圆心角的度数； （3）根据统计图求出在岁之间，使用微信支付的人数与支付宝支付的人数之差，再求出百分比即可； （4）用样本估计总体，即可求出结论． 【小问1详解】 解：（人）， 即参与问卷调查的总人数为500人， 现金支付的总人数为：， 现金支付的总人数中岁的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： ， 即． 【小问2详解】 解：， 答：扇形统计图中，“微信支付”部分所对应的扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， ， 答：在岁之间，使用微信支付的人数比支付宝支付的人数少． 【小问4详解】 解：（人） 答：其中40岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为300人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 题型五、图形的运动 26．（22-23六年级上·上海浦东新·期末）一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14）      【答案】25 【分析】当三角形的放置方式与初始的放置方式一样时，旋转为一个周期．点走过的路程为以为半径和以为半径的两个扇形的弧长． 【详解】解：， ， 点走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长和， 三角形旋转一个周期．点走过的路程为： ， ， 答：从初始位置开始至少经过25个周期，点走过的路程会超过． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，掌握点经过的图形的形状是关键． 27. 如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．根据题意可得，圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的和，据此求解即可． 【详解】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和， ∴圆心所经过的路程是． 故答案为：． 28. （24-25南洋模范中学六年级期中）已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点经过的路径；确定点O的路径是关键；点O的路径是两个半径为3且圆心角为的弧，而平移的距离是一条线段，其长度是扇形工件的弧长，利用弧长公式可求得圆心O所经过的路线长． 【详解】解：∵， ∴， 当旋转到与地面垂直时，旋转角度为，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧； ∴圆心O所经过的路线长为：； 故选：C． 29. （2024-2025浦东新区下六年级期中）如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上，则点运动的路线长为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形周长，找到点运动的路线事解题关键．仔细观察点O经过的路线可得，点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：如图，点运动的路线为，线段，， 由题意可知，四边形是长方形，且， 则， 所以点运动的路线长为， 故答案为：． 30. 最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积； （2）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （3）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （4）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是． 【详解】解：（1）由图得，扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积， 扫过的面积是． 故答案为：． （2）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积 （3）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积． （4）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是， 扫过的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含圆的组合图形的面积计算、扇形的面积公式，解题关键是理清楚圆的滚动过程． 题型六、几何压轴 31. （24-25宝山淞谊实验学校六年级下期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． （1）如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ （2）拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【答案】（1）100 （2）这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它一个后轮滚动了100圈， 【小问2详解】 解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分， ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 32. （24-25奉贤世界外国语六年级下期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． （1）如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） （2）如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） （3）如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【答案】（1）最内侧跑道的直道长是米 （2）超前米 （3）， 【解析】 【分析】本题考查圆的周长的应用； （1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【小问1详解】 解：米， 答：最内侧跑道的直道长是米； 小问2详解】 解：应该超前米， 答：第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前米； 【小问3详解】 解：小海跑的路程为米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：，． 33. 生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． （1）若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） （2）乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，读懂勒洛三角形和勒洛五角形的定义是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得出，，进而可知弧弧弧，进而根据弧长公式可求出每段的弧长，最后乘以3即可得出答案． （2）设与交于点P，与相交于点Q，设，，，，，由三角形内角和定理和平角的定理等量代换可得出，再由弧长公式分别求出每段的弧长，最后相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∴弧弧弧 由弧长公式得：弧的长 ∴勒洛三角形的周长为： 【小问2详解】 解：设与交于点P，与相交于点Q，如图所示： 设，，，，， ∵，， ∴， 同理可得出：， ∴， 在中，， ∴， 即．， 由弧长公式得∶弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ 弧长长为∶ ∴勒洛五边形的周长是∶ 34. 有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） （1）如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． （2）如图2所示，当这个长方形长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握矩形面积、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据进行计算即可； （2）根据题意可得当时，，进而代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解：由题意得，， 当时，即， ∴， ∴． 35. 某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圏直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道（取）． （1）最内圈跑道的长度是多少米？ （2）塑胶跑道的面积是多少平方米？ （3）为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买每满元减元． 【答案】（1）最内圈跑道的长度是米； （2）塑胶跑道的面积是平方米； （3）乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长，圆环面积，长方形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可知直道总长最内圈圆的周长即为最内圈跑道的长度，然后列式计算即可； （）用两个长方形面积加上圆环面积即可； （）分别求出甲销售点和乙销售点得费用，然后比较即可． 【小问1详解】 解：最内圈跑道的长度： 直道总长：（米）， 圆的周长：（米）， 所以最内圈跑道的长度是（米）， 答：最内圈跑道的长度是米； 【小问2详解】 解：塑胶跑道的面积是 （平方米）， 答：塑胶跑道的面积是平方米； 【小问3详解】 解：甲销售点： （元）； 乙销售点：原价（元） 减免次数为： 所以总费用： （元） 由于， 答：乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 36. 小明用长度为的铁丝分别围成了正三角形、正方形和正五边形，之后又分别用半径为的圆沿着这些图形的外围滚了一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，观察图形，并完成下列问题（结果保留） （1）如图1，半径为的圆沿着正三角形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； （2）如图2，半径为的圆沿着正方形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； （3）如图3，半径为的圆沿着正五边形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为_________，的面积为_________； （4）根据上述规律，尝试探索并归纳：半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为________． 【答案】（1）；； （2）；； （3）；； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算和长方形面积计算，图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键； （1）三个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为，三个长方形都是长为，宽为的长方形，据此求解即可； （2）四个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为，四个长方形都是长为，宽为的长方形，据此求解即可； （3）五个阴影部分的扇形圆心角度数之和为，半径为，五个长方形都是长为，宽为的长方形，据此求解即可； （4）半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为n个扇形面积加上n个长方形的面积，据此仿照前面计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，三个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为， ∴； ∵三个长方形都是长为，宽为的长方形， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，四个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为， ∴； ∵四个长方形都是长为，宽为的长方形， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，五个阴影部分的扇形圆心角度数之和刚好为，半径为， ∴； ∵五个长方形都是长为，宽为的长方形， ∴； 【小问4详解】 解：由前三问可知半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为n个扇形面积加上n个长方形的面积，且五n个扇形的圆心角度数之和为，半径为，n个长方形的长都为，宽都为， ∴半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 期中复习冲刺（压轴篇） 题型一、选择压轴精练 1. （24-25崇明区六年级下九校联考）某商品打九折后，价格是a元，则原价是（ ） A. 0.9a元 B. 元 C. D. 2.（2024-2025松江区下六年级期中） 两个盛有同样质量盐水的水杯，第一个杯中盐与水的质量比为，第二个杯中盐与水的质量比为，现将两个杯子中的盐水全部倒入一个空杯中，则新杯中盐与水的质量比是（ ） A. B. C. D. 3. （2024-2025松江区下六年级期中）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（　　） A. B. C. D. 4.如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，AB＝2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．则在此运动过程中，⊙O扫过的面积是（　　） A． B．3π2 C． D．5πr2 5. （24-25金山区六年级下期中）如图两个边长相同的正方形和，都是半圆，现有一个点要沿图中的实线从点A运动到点B，有以下几个方案： 方案1：沿从点A运动到点B； 方案2：先沿从点A运动到点F，再沿从点F运动到点B； 方案3：分别沿线段、、从点A运动到点B； 方案4：先分别沿线段、从点A运动到点E，再沿从点E运动到点B． 以上四种方案中，这个点运动路线最长的是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 6. 如图，小海将边长为的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），那么所得扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. （2024-2025浦东新区下六年级期中）已知一个圆的半径为，圆周长为，圆面积为，一个半圆的半径为，半圆弧长为，半圆面积为，那么下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的是（ ） A. （1）（4） B. （2）（4） C. （1）（2）（3） D. （1）（2）（4） 9．如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为,半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为…，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是（    ）    A． B． C． D． 题型二、填空压轴精练 10. （24-25上海第四中学六年级下期中）如果，则_______ 11. （24-25上海交大附属二中六下期中）已知2、3、30及一个比它们都小的数能组成比例，则这个数是___________． 12.（24-25崇明区六年级下九校联考） 一种商品的售价是元，月份先提价，元月份又降价，那么现在的价格是__________元． 13. （24-25上海交大附属二中六下期中）张老师将1000元存入银行，年利率是，存期一年，到期需支付的利息税，则到期后张老师可以拿到本利和共___________元． 14. （24-25上海交大附属二中六下期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为___________． 15. （24-25上海交大附属二中六下期中）某商场开展促销活动，一次性购物金额超过500元便根据消费情况给出优惠，并标出详细的优惠如下表．小王一个月去该商场购物3次，月末整理账单时发现，第二次购物享受了打折；若第一次、第二次一起购物，比分开购物便宜65元；若第二次、第三次一起购物，比分开购物便宜60元；如果三次一起购物，比三次分开购物便宜140元．则小王第二次购物金额是___________元． 优惠类型 一次性购物金额 优惠 1 消费超过500元不足1000元 5 2 消费超过1000元 0元至500元部分 5 超过500元至1000元的部分 10 超过1000元的部分 15 16.如图，某年级为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给同学们布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中的一个内容进行手抄报的制作．A．“北斗卫星”；B．“时代”；C．“智轨快运系统”；D．“东风快递”；E.“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选“高铁”所占的百分率为 ． 17. （2024-2025浦东新区下六年级期中）在一个扇形统计图中，有三个扇形，其中两个所占圆的百分比分别是、，画扇形图时，剩下的第三个扇形对应的圆心角度数是_____． 18. （2024-2025松江区下六年级期中）如图，三个圆的直径分别为10、8、6．若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和，那么与的数量关系为__________． 19. （2024-2025虹口区下六年级期中）圆直径是，按下图的规律画下去，则第个图的周长（外围）是___________．（保留） 题型三、组合图形的面积和周长 20. 图中两块阴影部分的面积之和为_______平方厘米（结果保留，单位：厘米）． 21. （24~25存志学校六年级下期中）如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是________平方厘米．（取3.14） 22. 图1是一张扇形纸片，，，现将该纸片按图2方式折叠，则图2中图形阴影部分面积为______（取）． 23. 如图，请计算阴影部分的周长和面积．（取） 【答案】阴影部分周长是，面积是 题型四、统计图表 24. （24-25崇明区六年级下九校联考）请阅读以下材料，并解决下列问题： 调查主题 某中学六年级春季社会实践活动需求 调查人员 每个班级男生和女生若干人 调查方法 抽查 背景介绍 某中学组织六年级学生前往上海个活动场所中的一个参加社会实践活动，这个活动场所为A：上海野生动物园；B上海千古情；C上海海昌海洋公园；D上海欢乐谷；E上海冰雪大世界雪上活动．被抽查学生针对六年级学生的意向目的地开展抽查并出具如下调查报告（注：每位被抽查的学生选择且只能选择个意向前往的场所）． 报告内容（说明：以下仅展示部分内容） 问：   （1）求本次被抽查的学生人数； （2）在扇形统计图中，表示D的扇形的圆心角是多少度； （3）请把条形图补充完整，意向去往A的学生人数比去往D的学生人数多百分之几； （4）观察分析两个统计图中的数据，你能给学校的决策者提出什么建议？ 25. 随着社会的经济发展，支付方式也在变得多样，为了了解岁居民“最喜欢的支付方式”，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），下发520份问卷，经统计回收的有效问卷，并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． （1）将图2补充完整，并计算___________． （2）扇形统计图中，“微信支付”部分所对应的扇形的圆心角为___________ （3）根据相关信息，你认为在岁之间，使用微信支付人数比支付宝支付的人数少___________． （4）请根据图中信息估计该社区中岁的居民约，估算其中40岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为___________人． 题型五、图形的运动 26．（22-23六年级上·上海浦东新·期末）一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14）      27. 如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是______厘米． 28. （24-25南洋模范中学六年级期中）已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ） A. 6 B. C. D. 29. （2024-2025浦东新区下六年级期中）如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上，则点运动的路线长为_____．（结果保留） 30. 最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 题型六、几何压轴 31. （24-25宝山淞谊实验学校六年级下期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． （1）如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ （2）拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 32. （24-25奉贤世界外国语六年级下期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． （1）如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） （2）如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） （3）如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 33. 生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． （1）若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） （2）乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 34. 有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） （1）如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． （2）如图2所示，当这个长方形长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 35. 某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圏直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道（取）． （1）最内圈跑道的长度是多少米？ （2）塑胶跑道的面积是多少平方米？ （3）为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买每满元减元． 36. 小明用长度为的铁丝分别围成了正三角形、正方形和正五边形，之后又分别用半径为的圆沿着这些图形的外围滚了一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，观察图形，并完成下列问题（结果保留） （1）如图1，半径为的圆沿着正三角形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； （2）如图2，半径为的圆沿着正方形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； （3）如图3，半径为的圆沿着正五边形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为_________，的面积为_________； （4）根据上述规律，尝试探索并归纳：半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $