精品解析：贵州黔南州长顺县广顺中学、长顺二中2026年初中学业水平考试中考模拟试题数学

长顺县广顺中学2026年初中学业水平考试（中考）试题卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将班级、姓名、学生证号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：2的相反数是， 故选：B． 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义逐项分析求解即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意； D． 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键． 由，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到，结合已知，，然后等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 4. 年，我国新能源汽车产销量均超万辆，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为是位整数，科学记数法要求，所以需要将的小数点向左移动位，得到，，所以． 【详解】解：． 5. 如图，在菱形中，，是对角线，．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可知，再根据即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ，，， ， ，， ， . 6. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况， ∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 8. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 9. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 10. 在温度不变的条件下，一次又一次地对气缸顶部的活塞增压（在安全状态下），增压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比，关于的函数图像如图所示．若压强由增压至，则气体体积的变化情况是（ ） A. 增大了 B. 增大了 C. 减小了 D. 减小了 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ∴， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴气体体积的变化情况是气体体积减小了， 故选：． 11. 如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质、矩形的性质求出，即旋转角为，，即弧对应的半径为，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即旋转角为， ， 又， ， 弧的长为． 故选：B． 12. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即， ∴当时，y有最小值，即为， ∴当x为任何值，都有，即，故③正确； ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交负半轴于点，对称轴为， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，， 则由图象可知：当时，，故①正确， 当时，则有， 由可得：，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述：①③④正确，共有3个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【详解】解：由是一元二次方程的一个根，可知：， ∴． 15. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的基本性质，等腰直角三角形的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过证得，得到与所成的角为，进而当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值，此时为等腰直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），1 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的锐角三角函数值，零次幂以及二次根式的化简法则，进行计算； （2）先对分式进行化简，再代入求值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. 天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． 【小问2详解】 令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：本次抽样调查的样本容量是________，________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）80；0.1；126 （2）180 （3） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量、频率、扇形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握以上知识点的概念及计算公式是解题的关键． （1）根据C（语音类人工智能）的人数和所占百分比列式即可的样本容量；进而根据样本容量即可求得a类型的频率；直接利用360度乘以C（语音类人工智能）的占比即可的圆心角度数； （2）根据九年级的人数乘以D（视觉类人工智能）的频率列式计算即可； （3）根据题意列出表格，得到所有等可能的结果数和两位同学选的项目一样的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为（人）， ， 扇形统计图中C（语音类人工智能）所对应的圆心角的度数为； 故答案为：80；0.1；126． 【小问2详解】 解：（人）， 估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”专业意向的学生约有180人． 故答案为：180． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果， 由于甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”， 因此两位同学选的项目一样的结果有：甲，乙；乙，甲，共2种， 这两位同学选的项目一样的概率为． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 【答案】（1） 证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 21. 2026年是丙午马年，一款有关马的吉祥物玩偶深受大家喜爱，该款玩偶的进价为35元，规定销售单价不低于40元，且不高于49元．某商家在销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出200个，且销售单价每上涨1元，每天销量减少8个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将玩偶的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩偶获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将玩偶的销售单价定为49元时，商家每天销售玩偶获得的利润最大，最大利润是1792元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件写出关系式； （2）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，再求出最大利润； 【小问1详解】 解：根据题意得， 规定销售单价不低于40元，且不高于49元， . 即； 【小问2详解】 根据题意得，， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：将玩偶的销售单价定为49元时，商家每天销售玩偶获得的利润最大，最大利润是1792元． 22. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】任务1：6.6米；任务2：3.8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； 任务2：在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为6.6米. 任务2：在中，由勾股定理可知： ， 在中， ， ， ． 答：的长约为3.8米. 23. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ． ， ． 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据题意可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在中，， ． 24. 石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． 米 0 0.4 1 1.6 … 米 2 2.16 2.25 2.16 … （1）求与的函数解析式； （2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为米，求此时球与地面的高度； （3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【答案】（1） （2）此时球与地面的高度为米 （3）①应前进米；②两球的高度差不能超过1米． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性质求得抛物线的对称轴为，得到最高点的坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案； （2）把代入（1）中所求解析式，求出值，即可得答案； （3）①求得当时，的值，即可求解；②通过计算得到高度差，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知：时，，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，时，， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线解析式为， ∴当时，， ∴此时球与地面的高度为米． 【小问3详解】 解：①∵球拍在（2）中高度还能接到球， ∴当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴球拍的接球位置应前进米； ②两球与发球机的水平距离相同， ∴两球的高度差为 ， ∵， ∴当时，两球的高度差最大为米， ∴两球的高度差不能超过1米． 25. 【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． （1）【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将等边沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．写出图1中与相等的角： ；连接，则与的位置关系是 ； （2）【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将边长为的正方形沿直线折叠，点落在点处，点恰好落在边的中点处，折痕分别交，于，两点，设与交于点． ①求的值； ②求的长； （3）【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图，与都是等腰直角三角形，，，点是边上的动点，交于点．当时，直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（）连接，由等边三角形的性质得，根据折叠的性质可知，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （）①由题意易得，，，由折叠的性质可知：，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理建立方程求解即可；②由①可知：，，，，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （）证明，然后利用相似三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：，， ∴， ∴， 即， 解得； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵与都是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长顺县广顺中学2026年初中学业水平考试（中考）试题卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将班级、姓名、学生证号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 年，我国新能源汽车产销量均超万辆，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，是对角线，．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 10. 在温度不变的条件下，一次又一次地对气缸顶部的活塞增压（在安全状态下），增压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比，关于的函数图像如图所示．若压强由增压至，则气体体积的变化情况是（ ） A. 增大了 B. 增大了 C. 减小了 D. 减小了 11. 如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 15. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 16. 如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：本次抽样调查的样本容量是________，________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 21. 2026年是丙午马年，一款有关马的吉祥物玩偶深受大家喜爱，该款玩偶的进价为35元，规定销售单价不低于40元，且不高于49元．某商家在销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出200个，且销售单价每上涨1元，每天销量减少8个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将玩偶的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩偶获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 22. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 23. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． 米 0 0.4 1 1.6 … 米 2 2.16 2.25 2.16 … （1）求与的函数解析式； （2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为米，求此时球与地面的高度； （3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 25. 【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． （1）【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将等边沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．写出图1中与相等的角： ；连接，则与的位置关系是 ； （2）【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将边长为的正方形沿直线折叠，点落在点处，点恰好落在边的中点处，折痕分别交，于，两点，设与交于点． ①求的值； ②求的长； （3）【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图，与都是等腰直角三角形，，，点是边上的动点，交于点．当时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $