9 2025年章丘区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2026年中考数学3年真题2年模拟1年预测（济南专版）

9 2025年章丘区学业水平第一次模拟试题 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.实数2,0，-√3，-0.4中，最小的数是 A.2 B.0 C.-3 D.-0.4 2.我国自主研发的C919国产大飞机已获多国适航认证。C919可储存约186000升燃油，将数据 186000用科学记数法表示为 ) A.0.186×10 B.1.86×10 C.18.6×104 D.186×103 3.一副三角板按如图所示摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=60°，点A在边EF上，点D 在边BC上，AC与DF相交于点G,且BC∥EF,则∠DGC的度数是 A.100° B.105° C.110 D.125 湖堤 D B D 0 第3题图 第4题图 第8题图 4.实数α，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是 A.ab<O B.a+b>0 C.lal>lbl D.a+1<b+1 5.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 () 色g A B C D 6.下列计算正确的是 A.4a3-3a2=a2 B.(a-b)2=a2+b2 C.(-a)3·a4=a D.（-2a2b3)3=-8a669 7.若关于x的一元二次方程x2+2x-3=0有两个实数根，则k的取值范围是 A.6的1 1 3 B.k≥。 3 C.k≤3且k≠0 D.2号且k0 8.如图，湖边建有A,B,C,D共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过 凉亭A(已经参观过的凉亭，再次经过时不停留)，则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为() A号 B c 9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交 于E,F两点，EF和BC交于点O;②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D;③分别以点D,C 为圆心，大于2CD的长为半径画弧，两弧相交于点M,连接AM,AM与CD交于点N,连接ON。若 49 AB=9,AC=5,则ON的长为 A.2 5 C.4 D.2 10.对于代数式A,B,定义一种新运算：A⑧B=2A2-AB+B。 ①若(+1)85=5，则x=-1或，： ②若x1,x2是一元二次方程(x-1)⑧(x+2)=4的两个根，则x+x2=12; ③若二次两数y=8(一2)在-3长内有故个值-则0=号： ④若y=13⑧(x2+1)1的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则-√2<b<√2。 以上结论正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案） 1.若分式9的值为0，则x x-31 12.如图，小南向图中4×4的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为 B A 0 第12题图 第13题图 13.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C,D分别在OA,AB上，连接BC,CD,点D,0关于直线BC对 称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为 14.A,B两地相距40km,甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时 出发，甲先以12km/h的速度前进1h,然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离A地的距离 s(单位：km)与时间t(单位：h)的关系如图所示，则甲出发 h后与乙相遇。 ◆s/km 40 甲 8 t/h 第14题图 第15题图 5如图，在矩形ABCD中，B=号，点M,N分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在 边CD上的点F处，得到四边形EFNM,连接DE。若折痕MW=2√O,tan L EMD=,则DE的长为 0 —50 三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16(本小题满分7分)计算：w8+2cs60-1-21-(兮)+(m-1)。 4(x-1)≤7x+2, 17.（本小题满分7分)解不等式组{ t+2<+8 并写出它的整数解。 ”3, 18.（本小题满分7分)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是直线AC上两点，且AE=CF。求证： DF=BE。 D h2 19.(本小题满分8分)公交车的站台，一般主要由顶棚、站牌、底座构成。如图是其截面示意图，站牌 截面是矩形ABCD,边AD平行于地面MN,边CD垂直于地面MN,顶棚AE与站牌上端AD的夹角 ∠DAE=22°，底座CF与地面的夹角∠CFM=60°。经测量AE=195cm,AD=49cm,CD=166.7cm, CF=76 cmo (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离。 (结果精确到1cm。参考数据：sin22°≈0.374，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，√3≈1.73) M F 51 20.（本小题满分8分)如图，在⊙0中，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上不同于A,B的两点，∠ABD= 2∠BAC,连接CD。过点C作CE⊥DB的延长线于点E,直线CE与AB的延长线交于点F。 (1)求证：CF是⊙0的切线； (2)当BD=6,inF=3时，求BF的长。 5 21.（本小题满分9分)为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000 名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本 次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统 计图表： 成绩x/分 频数 频率 ↑人数（频数） 50≤x<60 10 0.05 80 60≤x<70 20 0.10 8 0 70≤x<80 30 b 30 20 80≤x<90 a 0.30 10- 0 5060708090100成绩分 90≤x≤100 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： (1)随机抽取的学生人数为 ,a= ,b= (2)请补全频数分布直方图； (3)若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度； (4)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段： (5)若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等级，则该校参加这次竞赛的2000名学生中成 绩为“优良”的约有多少人？ 52 22.（本小题满分10分)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电 桩。已知甲型号充电桩比乙型号充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型号充电桩与用 12万元购买乙型号充电桩的数量相等。 (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型号充电桩的购买数量不超过甲型 号充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用。 23.（本小题满分10分)我们定义：如果一个矩形的周长和面积的值相等，那么我们称这个矩形为“完 美矩形”；如果一个矩形B的周长和面积的值都是矩形A的倍，那么我们就称矩形B是矩形A的 “n倍契合矩形”。 【概念辨析】 (1)①边长为4的正方形 (填“是”或“不是”)“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长为 ,面积为 【深入探究】 (2)问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x,y(x>0,y> 0),依题意x+y=10,y=2,则y=-+10,y=,在图1的平面直角坐标系中作出一次函数1： y=-+10和反比例函数，：y=12的图象来研究，有交点就意味者存在“2倍契合矩形”。那么，长为 3,宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长；若不存在，请说明理由； (3)①如果长为x,宽为y(x>0,y>0)的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2 的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②直接写出周长为20的“完美矩形”的长。（结果精确到0.1。参考数据：√5≈2.2) Y 10 10 8 65 6 12 1 012345678910x 012345678910x 图1 图2 53 24.（本小题满分12分)抛物线y=ax2-2x+c与x轴分别交于A(-1,0),B两点（点A在点B的左侧）， 与y轴交于点C(0,-3)。 (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； 1 (2)如图1，线段BC下方抛物线上是否存在一点E,使S△Ba=3Sg边形1Ca?若存在，请求出点E的 坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，P是抛物线第二象限上一点，连接PB,BD。当∠PBA=2∠CBD时，求点P的坐标。 图1 图2 25.（本小题满分12分)【问题背景】如图1，已知D,E分别是△ABC的边AB和边AC上的点，且DE∥ BC,则△ABC∽△ADE,把△ADE绕着点A按逆时针方向旋转，连接BD和CE。如图2，找出图中的 另外一组相似三角形 ,并加以证明； 【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=√15，AC=√5，D,E,M分别是AB,AC,BC的中 点，连接DE。 ①如图4，把Rt△ADE绕着点A按逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存 在的位置关系和数量关系： ②把Rt△ADE绕着点A按逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE,取CD的中点N, 连接MN。若CE=√3，求MN的长； 【创新应用】如图6，AB=AC=AE=25,BC=4,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE绕着点 BF 2 A旋转，连接BE,F是BB上一点，了，连接CF,请直接写出CF的取值范围。 D 图1 图2 图3 图4 图5 图6 54直线BD的函数表达式为y=-4x+22 3* 39 6 Y=- 联立 解得x= 9 422 2 或x=1(舍去)， 3+3, 点P的坐标为(？)： 24.解：(1)将点A(-1,0),B(3,0)分别代入y=ax2+bx-3, 得0=a-b-3, (0=9a+3b-3, 0侣 ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x-3。 (2)如图1，设抛物线对称轴与x轴的交点为G,过点P作PH ⊥QM于点H。 b 抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=- =1 2a .G(1,0),M(1,-4)。∴.AG=2。 ∠QAG=∠PQH=90°-∠AQG, ∠AGQ=∠PHQ=90°， ∴.△AQG∽△QPH。 AG QG AQ QH PH OP =2。 图1 Qm=24G=1,0G=2Pm。 点P的横坐标为m(m>3), ∴.PH=m-1,QG=2PH=2m-2,HG=QG-QH=2m-3。 .P(m,2m-3)。 将点P代入y=x2-2x-3,得m2-2m-3=2m-3, 解得m=4或0（舍去）， .m=4。 (3)如图2，过点M作MF⊥x轴于点F,过点E作EN⊥MB,交 MB的延长线于点N。 令E(a,0),则EB=a-3。 Y B(3,0),M(1,-4), ∴.BF=2,FM=4。 .BM=√2+4=25。 ,'∠FBM=∠NBE, ∠BFM=∠BNE=90°， ∴.△FMB△NEB。 图2 .BF BN 1 FM NE 2 在Rt△NEB中，2BN=NE,则BE=√BW2+NE=√/5BN, ·BW=⑤ (a-3),NE=2BN=25 5 (a-3)。 在Rt△MNE中，sin L BME=3 3 EN ∴.tan∠BME= 4-MN MN-4 EN=8/5(d 3 15(a-3)。 在Rt△FBM中，MB=25,则MN=MB+BN, 即85 5(a-3)=25+5(a-3) 解得a=9,.E(9,0)。 由题意知，点A,E关于点R对称。 A(-1,0),E(9,0),∴R(4,0)。 .3 25.(1)证明：∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACD∽△ABCO .AC_AD ABAC0AC=AD·AB。 (2)解：如图1，连接AC。在菱形ABCD中， 1 人EAF=号∠BAD,LBAC=2∠BAD=∠EAF ∴.∠BAM=LFAC。 .·AB∥CD,∴.∠BAM=∠M。 .∠FAC=∠M。 又.·∠AFC=∠MFA, ∴.△AFC∽△MFA。 AF FC 图1 MF FA AF2=MF.CF。 .AF=2,CF=1,∴.MF=4。 .CM=MF-CF=3。 (3)337 2 【解析】如图2，过点D作DM⊥BC,交BC的延长 3 线于点M,在BC上取一点Q,使得BQ=之，连接PB,PQ,DQ。 在菱形ABCD中，AB=6,LABC=60°， .BC=CD=AB=6,AB/∥CD。 .∠DCM=LABC=60°。 DM L BM, ∴.∠CDM=90°-∠DCM=30°。 B Cw=2cD=3。 图2 DM=√CD2-CM=√6-3=35， QM=BC+CM-BQ=6+3-3-15 229 00=v0w+0w-√+(3v5-3 29 BQ BP 1 :BQ=,BC=6,BP=3,∴BPBG=)号 ∠PBQ=∠CBP,∴.△BPQ△BCP。 ..OP_Bp 1 PG-BCQP=Pc。 2 PD+QP≥DQ,即PD+QP≥ 37 2 .'PD+- c≥3v37 2 20 PD+2PC的最小值为3，可 92025年章丘区学业水平第一次模拟试题 答案速查 12345678910 CBB C D DDCAB 1.C【解析】-√3<-0.4<0<2。 2.B【解析】186000=1.86×10°。 3.B【解析】小∠EDF=90°，∠E=60°， .∠F=90°-∠E=30°。 :EFBC,.∠GDC=∠F=30°。 ∠BAC=90°，∠B=45°，.∠C=45°。 ∴.∠DGC=180°-∠C-∠GDC=105°。 4.C【解析】由数轴可知，-1<a<0,b>1,故1al<1bl。 5.D【解析】A是轴对称图形不是中心对称图形，B和C既不是 轴对称图形也不是中心对称图形，D既是轴对称图形也是中心 对称图形。 6.D【解析】 选项 分析 正误 A 4a与3a2不是同类项，无法合并 B (a-b)2=a2-2ab+b C (-a)3·a4=-a D (-2a2b3)3=-8a69 7.D【解析】由题意可知，k≠0，△=2-4k×(-3)≥0， 且k≠0。 解得≥-3。k≥- 8.C【解析】根据题意画树状图如下： D CD B 共有4种等可能的情况，其中最后一次参观的凉亭为凉亭D的 情况有2种， 则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概牵为2=1」 4=2° 9.A【解析】由作图可知，EF垂直平分线段BC,AM垂直平分线 段CD,.OB=OC,DN=CN。 0N=2BD。 .'AB=9,AC=AD=5, .BD=AB-AD=9-5=4。 0m4e2 10.B【解析】小(x+1)⑧5=5， .(x+1)☒5=2(x+1)2-5(x+1)+5=5, 即2(x+1)2-5(x+1)=0。 .(x+1)(2x+2-5)=0, 解得1,2弓。故结论①正确 由定义的新运算可得 (x-1)☒(x+2)=2(x-1)2-(x-1)(x+2)+(x+2)=4, 即x2-4x+2=0。 :x1,x2是一元二次方程(x-1)⑧(x+2)=4的两个根， .x1+x2=4,x1x2=20 x7+x号=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×2=12。 故结论②正确： 由定义的新运算可得二次函数 y=x⑧(x-2)=2x2-x(x-2)+(x-2)=x2+3x-2。 y=x2+3x-2= ,31217 x+24’ 1317 、函数图象的项点为（2,4 ”二次函教y=x⑧(x-2)在-3≤x≤a内有最小值1 3 ·a≥2。故结论③错误； 由定义的新运算可得函数 y=138(x2+1)1=12×32-3(x2+1)+(x2+1)1=116-2x21。 -3 令y=0,则16-2x2=0,解得x=±2√2， .函数y=13⑧(x2+1)|的图象与x轴的交点为(-22,0)， (2,0)。 把(-22,0)代入y=x+2b,解得b=√2， 把(22,0)代入y=x+2b,解得b=-√2， .当-√2<b<2时，y=13⑧(x2+1)1的函数图象与直线y=x+ 2b有两个交点。 令16-2x2=x+2b,整理，得2x2+x-16+2b=0, 如图，若△=0，则y=13⑧(x2+1)1的函数图象与直线y=x+2b 有三个交点， 即1-4×2×(-16+2b)=0,解得6=129 16 当6129 >16时，y=138(+1)1的函敦图象与 直线y=x+2b有两个交点。 .若y=138(x2+1)1的函数图象与直线y=x+2b有两个交 点，期-一2<c我6>截培论④特说。 -3【解析折分式的值为0， x2-9=0且x-3≠0，解得x=-3。 27【解析】阴影廊分的面积为2+2=8 正方形面积为4×4=16， ·该棋子落在阴影部分的概率是8=1。 1620 13.6m-35【解析】如图，连接0D,BD, 根据折叠可知，BD=B0,∠BDC=∠BOC=90°，OD⊥BC, OD=0B, .∴.OB=OD=BD。 .∠ODB=∠OBD=∠BOD=60°。 .∠A0D=90°-60°=30°。 .AD=,.. 30π×0A 180=m,解得0A=6。 ∴.OB=OD=BD=OA=6 .OD⊥BC, B∠0BC=LDBC=-)∠0BD=30°，0F=DFE10D=3, 2 在R△0BC中，BC=0B=6=45, cos30°√3 2 BF=√OB2-0F产=35， 1 1 六Sam=2×BCXDF=2×45x3=65, 60m×62 S扇形0BD =6T, 360 Sao00xBF=子x6x3v5=9g。 1 2 S册影=S痛形0BD-S△0aD+S△Bcn=6T-93+65=6T-33。 13 【解标】甲减选后的速度为(40-12)：(5-1)=7(km. 乙的速度为40÷8=5(km/h)。 设甲出发th后与乙相遇。 根据题意，得12+7(t-1)+5t=40, 解得：普即甲出安铝后与乙油通。 12 1596 【解析】如图，连接BF交MN于点K,过点M作MH⊥BC 于点H,过点E作EP⊥AD于点P,标注∠1，∠2，∠3，∠4。 AB2 BC 3 .设AB=2a,BC=3a。 :四边形ABCD是矩形， .AD=BC=3a,CD=AB=2a, ∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90° .∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°。 ..∠2=∠4。 根据折叠的性质，得ME=MA,FN=BN,∠MEF=∠A=90°， ∠NFE=∠ABC=90°，∠BNM=∠FNM,MN⊥BF,BK=FK, .∠EMD+∠1=90°，∠4+∠CNF=90°。 又.'∠1=∠2，∴.∠EMD=∠CNF。 3 3 ','tan∠EMD= anCNF-4 在R△CNF中，an∠CNF=CF-3 CN 4' ∴.设CF=3b,CN=4b。 由勾股定理，得FN=√CF+CN=√(3b)2+(4b)=5b, .FN=BN=5b。 .'BC=BN+CN=56+46=9b 49b=3a。b=30 CF=36=a,FN=56= 3a。 在Rt△BCF中，CF=a,BC=3a, 由勾股定理，得BF=√BC2+CF=√(3a)+a2=√10a, 纸=K=子 1 2a。 ,'MH⊥BC, .∠A=∠ABC=∠MHB=90°。 .四边形ABHM是矩形。 ∴.AM=BH,MH=AB=2a。 在Rt△MHN中，,sinL BNM=Mg MN 在Rt△FKW中，sin∠FWM= FK ENS LBNM=LENM,MN-FN MH FK .∴.FK·MN=MH·FN。 ,MN=210 :0 之<之之一2有军子之—3。 AB=MH=CD-2a=6,AD-BC-3a=9,BN=FN-5 a=5。 在Rt△MHN中， 由勾股定理，得HN=√MW2-M=√(2√10)2-62=2， ∴.AM=BH=ME=BN-HN=5-2=3。 .EP⊥AD, ·在Rt△MEP中，tan∠EMP=EP-3 设EP=3x,MP=4x, 由勾股定理，得ME=√EP+MP2=√(3x)+(4x)2=5x=3, -3 3 ..x= 4EP=3x=9 n-4-号 1218 .PD=AD-AM-MP=9-3- 5=59 在Rt△EPD中， 由约定理，得Ds=vDPm-√（得+(T-9,5 16.解：原式=22+2× 1-2+1-2+1 =22+1-√2+1-2+1 =√2+1。 4(x-1)≤7x+2,① 17.解： +2<② 解不等式①，得x≥-2， 解不等式②，得x<1, .不等式组的解集为-2≤x<1。 .不等式组的所有整数解为-2，-1,0。 18.证明：.·四边形ABCD是平行四边形， .∴AB=CD,ABCD。.∠FCD=∠EAB。 (CD=AB, 在△CFD和△AEB中，{∠FCD=∠EAB, CF=AE. .△CFD≌△AEB(SAS)。 ∴.DF=BE。 19.解：(1)如图，过点E作EG⊥MN于点G,过点D作DH⊥EG于 点H。 ∠DAE=22°，AE=195cm, .AH=AE·cos∠DAE≈195×0.927≈180.8(cm)。 .DH=AH-AD=180.8-49≈132(cm)。 答：站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离约为132cm。 (2)如图，过点C作CP⊥EG于点P,CK⊥MW于点K, ∴.HP=CD=166.7cm,CK=PG。 ∠DAE=22°，AE=195cm, .∴.EH=AE·sin∠DAE≈195x0.374≈72.9(cm)。 :∠CFM=60°，CF=76cm, 3 M KF PG=CK=CF·sin /CFM=-76x2≈6.7(cm)。 .EG=EH+HP+PG=72.9+166.7+65.7≈305(cm)。 答：棚顶边缘点E到地面的距离约为305cm。 酒善总结 解题技巧 解直角三角形实际应用题的一般解题步骤 1.审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形 弄清楚已知量和未知量。 2.构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边、 角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三 角形的问题，若不能在图中体现，则需添加适当的辅 助线，高线是常用的辅助线。 3.列关系式：根据直角三角形（或通过作垂线构造的直 角三角形)元素（边、角）之间的关系解直角三角形。 4.检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数 据，如含有复杂的小数等，因此要特别注意所求数据 是否符合实际意义，同时还要注意题目中对结果的 精确位数有无要求。 20.(1)证明：如图，连接0C,标注∠1，∠2，∠3，∠4。 0A=0C,∴∠1=∠2。 又.∠3=∠1+∠2， .∠3=2∠1。 .∠4=2∠1， .∴.∠4=∠3。 .OCDE。 .CE⊥DE,.OC⊥CF。 又，0C是⊙0的半径， CF是⊙0的切线。 (2)解：如图，连接AD。 :AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°。 DE⊥CF,∴.CF∥AD。 .∠BAD=∠F。 BD 3 ∴.sin∠BAD=sinF= AB 5 AB号0=10， 1 0C=2AB=5。 OCLCF,OC=5,sin F=3 5, ∴.sinF= 0C0C3 OF OC+BF 5 ·Br=10 30 21.解：(1)200600.15【解析】：50≤x<60的频数为10，频 率为0.05 ∴.抽取的样本容量为10÷0.05=200。 30 a=200x0.3=60,6=200=0.15。 (2)补全的频数分布直方图如下。 个人数（频数） 10 0 20. 1 ˇ5060708090100成绩/分 (3)54【解析】：70≤x<80对应的频率是0.15， .分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为360°×0.15=54°。 (4)80≤x<90【解析】样本容量是200，根据频数分布直方图 可知从小到大排列后，第100个和第101个数据都在80≤x< 90这个范围， ,这次比赛成绩的中位数会落在80≤x<90分数段。 (5)2000×(0.3+0.4)=1400(人)。 答：该校参加这次竞赛的2000名学生中成绩为“优良”的约 有1400人。 22.解：(1)设乙型号充电桩的单价是x万元，则甲型号充电桩的 单价是(x+0.2)万元。 由题意，得16=12 x+0.2x 解得x=0.6, 经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意。 .x+0.2=0.6+0.2=0.8。 答：甲型号充电桩的单价是0.8万元，乙型号充电桩的单价是 0.6万元。 (2)设购买甲型号充电桩的数量为m个，则购买乙型号充电 3 桩的数量为(15-m)个。 由题意，得15-m≤2m,解得m≥5。 设所需总费用为w万元。 由题意，得w=0.8m+0.6×(15-m)=0.2m+9, .…0.2>0, .心随m的增大而增大。 .当m=5时，w取得最小值，最小值为0.2×5+9=10。 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元。 23.解：(1)①是【解析】边长为4的正方形的周长和面积的值 均为16，故该正方形为“完美矩形”。 ②2416【解析】由新定义知，矩形A的周长是12，面积是 8,它的“2倍契合矩形”的周长为24，面积为16。 (2)存在。理由如下： 由图象可知两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”。 联立两个函数表达式，得-x+10=12 解得x=5+√13或x=5-√13（舍去）， .矩形的长为5+√3。 (3)①由题意，得矩形的周长为2x+2y,面积为xy, 则2x+2=y,即y=24 x-2° 列表如下。 3 5 6 7 8 9 10 14 8 18 6 4 3 5 3 描点、连线，如图所示。 32 012345678910x ②长为x,宽为y(x>0,y>0)的矩形是一个“完美矩形”，它的 周长为20，则x+y=10,即y=-x+10。 2x 联立y x-2; y=-x+10, 解得x1=5+5,x2=5-√5。 5+5≈7.2,5-5≈2.8，且7.2>2.8， .周长为20的“完美矩形”的长为7.2。 24.解：(1)将点A(-1,0),C(0,-3)分别代人抛物线y=ax2-2x+c, 得20解得1 (c=-3, ∴.抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3。 y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .顶点D的坐标为(1，-4)。 1。 1 (2):S△scE=3Sg选形c=3(SANG+SB△aE), 1 MG=ACE 如图1，分别过点A,E作BC的平行线AG,EH,分别交y轴于 点G,H, .直线AG的表达式为y=x+1,点G(0,1)。 .∴.CG=4。 SAAG =SARCE ch=2cG=2。 点H(0,-5)。 .直线HE的表达式为y=x-5。 联立=22-3解得x=1或=2， (y=x-5, .E(1,-4)或(2，-3)。 (3)由(1)知，点D(1,-4), 图 .CD=√2，直线CD与y轴负半轴的夹角 为45°。 .'∠OCB=45°，∴.CD⊥BC。 如图2，延长DC至点M,使CM=CD,连接BM,则△BMD为等 腰三角形， ∴.∠CBD=∠CBM。∴.∠MBD=2∠CBD=∠PBA。 过点D作DHLBM于点H,则Sw=MD·BC=BM,D。 由点C,D,B的坐标，得MD=2CD=22,BC=32,BD=25=BM, 即2,2×32=25DH。 S。sin HBD=DH3 ·DH=65 BD5 .tan∠HBD= 4=tan L PBA。 3 .直线BP的表达式为y=- 4(x-3)。 (y=x2-2x-3, 图2 联立 3 4(x3), y=- 解得x=- 或x=3(舍去)， 4 点P的坐标为（子）。 善总结 要点巧记 己知直线y=hx+b(k≠0)上两点的坐标求k值的方法 背景 点A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=kx+b(k≠0) 上两点，直线y=x+b与x轴所夹锐角为α。 将A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=kx+b,得 y1=x1+b,① 推理 (y2=kx2+b,② 由①-②，得y1-y2=(x1-x2),所 过程 以k=当 x1-x2 y 图示 tan a 与k的 关系 k=tan o k=-tan a 1.函数y=x+b(k≠0)的飞值等于其图象上任 意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比。 重要 结论 2当>0时，k等于直线与x轴所夹锐角的正 切值；当k<0时，k等于直线与x轴所夹锐角 的正切值的相反数。 3 25.解：【问题背景】△ABD~△ACE。证明如下： .·△ABC∽△ADE, ∠BAC=LDAE,ADAE AB AC AB_AD AC AE .∠BAC=∠DAE, ·.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE。 AB AD ”ACAE ∴.△ABD∽△ACE。 【迁移应用】①BD⊥CEBD=√3CE【解析】如图1，延长 BD,分别交AC,CE于点H,F。 :旋转前D,E分别为AB和AC的中点， AD AE AD AB ABAC·AEAC .∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAD=LCAE。 ∴.△ABD∽△AC .BD_AB5=5。 :∠ABD=LACE,CEAC5 .BD=√3CE。 .·∠ABD=∠ACE,∠AHB=∠FHC, ∴∠HFC=∠BAH=90°。∴.BD⊥CE。 ②由①，得△ABD△ACE, 0北5。 BD AB .BD=J3CE=3。 .M,N分别为BC,CD的中点， MN=28D-2 3 【创新应用】如图2，过点A作AK⊥BC,过点C作CJ⊥AB,连 接FJ。 .·AB=AC=2N5,BC=4,AK⊥BC, .BK=CK=2。 ∴.AK=√AC2-CK2=4。 1 1 2BC·AK=2AB.CJ, c86 图2 AJ=AC-CF=615 BJ=AB-AJ=256,5_45 5=50 BJ:AB=2:5。 BF:BE=2:5,BABE5 BJ BF 2 ∴.FJ∥AE。.△BJF∽△BAE。 JF BJ2 AEBA5。·JF=3AE=45 .CJ-JF≤CF≤JF+CJ。 45 12W5 ≤CF≤ 5 5