精品解析：河南省开封市六校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

高二年级数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列各项表示数列的是（ ） A. △，○，☆，□ B. C. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. 2. 数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 4. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（    ） A. 8 B. 13 C. 14 D. 15 6. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列满足，，则数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足和，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 ，=1， ，则（ ）. A. 数列 是等比数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 是递增数列 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 在R上是增函数 D. 在处的切线斜率是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 14. 已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 16. 设函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，求的最大值； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 18. 已知，直线与曲线和都相切． （1）求的值； （2）若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 19. 已知数列满足． （1）证明：求的值，并证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列各项表示数列的是（ ） A. △，○，☆，□ B. C. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的定义求解即可. 【详解】由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数， 而不能是图形、文字、向量等，故B正确． 故选：B 2. 数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，可知D错误， 当时，，可得A、C错误， 经检验B满足数列的通项公式. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 4. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 5. 设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（    ） A. 8 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，，所以， 所以，又，所以，故数列是递增的等差数列， 所以，，因为， 所以，， 又，所以满足的的最小值为. 6. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 7. 设数列满足，，则数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 8. 已知正实数a，b满足和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 ，=1， ，则（ ）. A. 数列 是等比数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小. 【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确； ，数列 是递增的等差数列，故C，D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 在R上是增函数 D. 在处的切线斜率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的定义判断A；根据导数的运算法则判断B；利用导数判断函数的单调性进而判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 则，所以在R上是增函数，故C正确； 对于D，由，则， 则，所以在处的切线斜率是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D. 【详解】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 14. 已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】分，，，，几种情况，结合双勾函数性质分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 当时，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时，， 此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时， ，，由双勾函数性质可知， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 而，所以当，即，符合题意； 当时，，此时数列的最小项为或， 由题意可得，解得，所以， 当时，即时，必有，不符合题意舍去； 综上，实数的取值范围为，即最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 16. 设函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）由可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【小问1详解】 因为，则，解得，故， 所以，所以， 此时，曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 17. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，求的最大值； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）1，理由如下： 令，则，整理得， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点. 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为． 【解析】 【分析】（1）由对称性可得，计算即可得； （2）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （3）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为； 【小问3详解】 略 18. 已知，直线与曲线和都相切． （1）求的值； （2）若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）不妨设， 由（i）知，， 显然，且，所以， 同理，． 要证，只需证， 只需证． 又，只需证． 令函数，则， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由得，所以显然成立， 综上，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可； （ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可. 【小问1详解】 ． 设与的切点为， 则，解得，所以． 由与相切，同理得， 所以． 【小问2详解】 （i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， 在上单调递减，在上单调递增； ，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，且； ，且， 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为． （ii）略 19. 已知数列满足． （1）证明：求的值，并证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求证：． 【答案】（1） ，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2） （3） 因为 ， 所以 ，即命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $