山东省泰安市高新技术产业开发区2025-2026学年八年级下学期期中重难点题型练习

泰安市高新区2026年八年级下学期期中重难点题型练习 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）计算的结果是（   ） A．5 B． C． D． 3．（本题4分）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 4．（本题4分）把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 5．（本题4分）下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 7．（本题4分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（本题4分）芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 10．（本题4分）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）_____ 12．（本题4分）若代数式有意义，则的取值范围为________． 13．（本题4分）若方程的两个根是和，则的值为______． 14．（本题4分）如图，矩形中，，垂足为，且，，则___________． 15．（本题4分）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为________________________ 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）解下列方程： (1) (2) 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题9分）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为0，求m的值以及另一个根． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．（本题9分）如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 20．（本题10分）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 21．（本题10分）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 22．（本题11分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 23．（本题12分）如图，正方形中，点是边的中点，延长至点，使得． (1)求证： ； (2)的平分线交于点，若正方形的边长为，求的长． 24．（本题13分）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：___________； (2)化简“理想二次根式”：___________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市高新区2026年八年级下学期期中重难点题型练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A D A B D C A 1．D 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：，故A不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件， 故选项D是最简二次根式，符合题意． 2．A 【分析】本题考查二次根式的基本性质，利用公式即可直接计算出结果． 【详解】解：． 3．B 【分析】由根与系数的关系求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴， ∴． 4．A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 5．D 【分析】化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，同类二次根式可以合并，只需将各选项化为最简二次根式，对比被开方数即可得到结果． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求， B．，被开方数为，与可以合并，不符合要求， C．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求， D．，被开方数为，不等于，与不能合并，符合要求． 6．A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．B 【分析】根据矩形的性质，三角形的中位线定理，得到，即可得出结果. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴. 8．D 【分析】根据题意，得挂图是一个长为，宽为的矩形，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 9．C 【分析】根据已知条件，结合正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 平行四边形是矩形，不能判定为正方形． B、∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，无法判定为正方形． C、， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． D、，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形，无法判定为正方形． 10．A 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 11． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】． 12．且 【分析】根据题意得到，解不等式组即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得且． 13．2025 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 14．8 【分析】由矩形的性质得，进而可证垂直平分，可得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ． 15． 【分析】根据增长率为x，可得第三天为万元即可列方程． 【详解】解：将增长率记作x， 根据题意得：． 16．(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （2）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 17．(1)18 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)，另一个根为 (2)证明见解析 【分析】（1）方程变形为，设方程的另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）计算根的判别式即可证明． 【详解】（1）解：方程变形为， 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得，， 解得， ∴，另一个根为． （2）证明：方程变形为， ∵， ∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 21．(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 22．(1) (2)每件应降价5元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低元，根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设降价y元， ， 整理得， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价5元． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，进而可证明结论； （2）证明，得到．设，则，，结合勾股定理，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∴． 在和中 ，，， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）证明：根据题意可知，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 设，则，． ∵， ∴． ∴． ∴． 24．(1)； (2)； (3)3； (4)2025． 【分析】本题考查了分母有理化、理想二次根式的化简及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法和理想二次根式的化简技巧，利用平方差公式和完全平方公式进行化简． （1）中分子分母同乘，利用平方差公式去分母中的根号； （2）中将拆成，凑成完全平方; （3）中先对分母有理化得，对中根号内化简为理想二次根式得，再相加； （4）中每个分式分母有理化后，中间项相互抵消，只剩首尾两项，再利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． ． （4）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $