精品解析：河南焦作市第一中学等校2026届高三下学期4月联考数学试题

HN202604 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，过点P作C的准线l的垂线，垂足为Q．若为等腰直角三角形，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知是奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 6. 某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 18 7. 在四棱锥中，底面是面积为的正方形，，，分别是棱，的中点，设四棱锥被过，且平行于的平面截得的截面面积为，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 能将曲线上所有的点都包含进去的最小的圆（点可以在圆上）的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设等差数列的公差为d，前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知双曲线的左焦点为F，左、右顶点分别为，，两条渐近线的夹角为，点P，Q在双曲线C上，且，设直线PQ与y轴的交点为R，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为I，若存在，使得曲线在点，处有相同的切线，则称具有性质P．下列结论正确的是（ ） A. “在定义域上不单调”是“具有性质P”的充分条件 B. 函数具有性质P C. 函数具有性质P D. ，函数都不具有性质P 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 13. 如图，曲线与x轴的其中两个交点为B，C，与y轴的交点为D，若，则________． 14. 盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． （1）若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； （2）若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 16. 已知数列满足，． （1）令，求数列的通项公式； （2）设的前n项和为，若，求n的最大值． 17. 已知函数有两个极值点，． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 18. 如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面ABCD． （1）若，， ①求四棱锥的体积； ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值． （2）设点B在直线AP上的射影为H，点H到平面ABCD的距离为d，求的最大值． 19. 已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． （1）求的方程； （2）若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ HN202604 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】易知，又， 所以． 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意求出复数z的表达式，再根据公式即可求解，也可以根据复数模的定义求解. 【详解】由，可得， 方法一：故． 方法二：， 所以. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若， 则或，故充分性不成立； 反之，由，可得，故必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 4. 已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，过点P作C的准线l的垂线，垂足为Q．若为等腰直角三角形，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由抛物线的定义，可知，所以必然是以P为顶点的等腰直角三角形． 由题可知，则，所以． 设l与x轴的交点为E．因为轴，所以， 则四边形PQEF为正方形，所以． 5. 已知是奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以当时，有， 又因为当时，有，所以， 根据恒等式可知：，， 所以． 6. 某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊元素优先及分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】先从甲、乙两人中选出1人，再从除甲、乙外的4人中选出2人， 最后从选出的3人中选1人负责主程序编写， 根据分步乘法计数原理，可得参赛队的人员安排方法数为． 7. 在四棱锥中，底面是面积为的正方形，，，分别是棱，的中点，设四棱锥被过，且平行于的平面截得的截面面积为，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】如图，取，的中点，，连接，，并延长交于点，连接，， 又因为，分别是棱，的中点，得，， 而不在平面，平面，则平面， 平面，又，平面，因此平面平面， 四边形即为所求的截面，依题意，，， 则，由，得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 8. 能将曲线上所有的点都包含进去的最小的圆（点可以在圆上）的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先分析曲线对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，再将曲线变为，再借助基本不等式进行放缩得到，进而求出答案. 【详解】将点代入方程， 发现均满足方程，则曲线C关于x轴、y轴、原点、直线和对称， 因此最小的圆圆心必在坐标原点，从而最小的圆的半径为曲线上点到原点距离最大值， 因为， 所以，又因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得，所以所求的最小的圆的半径为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设等差数列的公差为d，前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，，则，所以，但不一定成立，故B错误； 对于C，，则，所以，故C正确； 对于D，由，可得，则，解得，则为常数列，故D正确． 10. 已知双曲线的左焦点为F，左、右顶点分别为，，两条渐近线的夹角为，点P，Q在双曲线C上，且，设直线PQ与y轴的交点为R，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式可判断A；根据向量相等的定义可判断四边形的形状，进而可判断B；根据对称性可得，进而判断C；根据B选项可得出点P，Q的坐标，进而根据数量积的坐标运算可判断D． 【详解】对于A，由题可知双曲线C的两条渐近线的方程为， 设渐近线和的倾斜角分别为，， 则，， 所以，故A错误； 对于B，由双曲线C的方程可知，，， 由，可得四边形为平行四边形， 所以，所以，故B正确； 对于C，由PQ与x轴平行，可得P，Q关于y轴对称，如图， 所以，则， 所以四边形为平行四边形，所以，故C正确； 对于D，由B知，将代入双曲线C的方程，可得， 不妨取，则， 所以，， 所以，故D错误． 11. 已知函数的定义域为I，若存在，使得曲线在点，处有相同的切线，则称具有性质P．下列结论正确的是（ ） A. “在定义域上不单调”是“具有性质P”的充分条件 B. 函数具有性质P C. 函数具有性质P D. ，函数都不具有性质P 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数来求切线斜率，利用点斜式来写函数在某点处的切线方程，再由不同的两点处切线相同，则斜率相等和截距相等，从而得到等式关系，再来分析解的情况，即可得到选项的判断. 【详解】对于A，设，求导得， 因为，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 任给满足的， 曲线在点和处的切线方程分别是， ， 而，所以两斜率相等的切线不重合， 所以“在定义域上不单调”不是“具有性质P”的充分条件，故A错误； 对于B，，当和时，均有， 又当和时，均有， 所以曲线在点与处的切线方程均为， 则具有性质P，故B正确； 对于C，，若具有性质P，则存在， 使得，即， 解得（，且）， 曲线在点和处的切线方程分别是，， 由两切线重合可知①， 当（，且）时，①式即， 所以不妨取，即可，此时切线方程为，即具有性质P，故C正确； 对于D，，设的图象在点，处的切线重合， 则， 由前两个式子可得， 所以，即②， 同理③， ，得， ，得④， 由对数平均不等式可得， 同理，两式相乘，可得， 与④式矛盾，故不具有性质P，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，再表示出其侧面积与底面积计算即可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，则其母线长， 该圆锥的底面积为，侧面积为， 所以其侧面积与底面积的比值为． 13. 如图，曲线与x轴的其中两个交点为B，C，与y轴的交点为D，若，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题可知，则，即， 代入，可得，又，所以， 则当时，，而， 又因，则， 可得，所以． 14. 盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 【答案】7 【解析】 【分析】设第n次取出的数字为，根据题意分析可知对任意的，，结合题中期望的性质运算求解. 【详解】设第n次取出的数字为，则，， 所以，， 设第1次取出的数字是k，则第2次只能从剩下的5个数字中取， 此时第2次取出的数字的期望为， 对所有可能的k求期望，可得， 同理，对任意的，， 所以，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． （1）若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； （2）若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． 【小问2详解】 该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 16. 已知数列满足，． （1）令，求数列的通项公式； （2）设的前n项和为，若，求n的最大值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）先应用累加法及等比数列求和公式计算得出通项公式； （2）应用分组求和及等比数列求和公式计算得出，最后应用指数函数单调性计算求解. 【小问1详解】 由，可得，即， 当时，有， 累加，得 ， 又，所以， 验证可知也符合上式， 所以． 【小问2详解】 因为，且，所以， 所以， 则， 令，得，解得， 所以n的最大值为7． 17. 已知函数有两个极值点，． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：由，， 可得，， 所以． 设，，则， 令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，故． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再换元结合二次方程有两个正根列式求解即可； （2）应用韦达定理化简，再构造函数，求出导函数由导函数的正负得出单调性结合最值即可证明. 【小问1详解】 由题可知． 由题可知在上有两个变号零点，， 设，，，则，是方程的两个不等正根， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面ABCD． （1）若，， ①求四棱锥的体积； ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值． （2）设点B在直线AP上的射影为H，点H到平面ABCD的距离为d，求的最大值． 【答案】（1）① ；② （2） 【解析】 【分析】（1）①作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由锥体体积公式得到答案； ②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值； （2）设，，表达出其他各边长，结合余弦定理，换元法，导函数求出的最大值． 【小问1详解】 ①如图，作于点E，连接BE． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面， 所以平面ABCD，即PE为四棱锥的高． 因为四边形ABCD为矩形，，， 所以，． 因为，，AC为公共边，所以， 故，所以， 故． 所以四棱锥的体积． ②如图所示，以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz， 则，，，， 所以，，． 设平面CPD的法向量为， 则，即，可取， 所以平面CPD的一个法向量为． 同理，设平面APD的一个法向量为， ， 解得，令，则， 可得平面APD的一个法向量为． 设平面APD与平面CPD的夹角为， 则． 【小问2详解】 作，垂足为I，与（1）同理，可得平面ABCD． 设，，则，，． 由平面ABCD，可得，所以． 在中，由余弦定理可得， 在中，， 因为，所以． 设，，则， 设，，则，令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为． 19. 已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． （1）求的方程； （2）若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长及离心率求出，，进而求出，即可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程求出点，坐标，联立直线与椭圆方程求出点，坐标，利用两点式求出直线，方程，联立求解即可. （3）设出点，，及直线方程，利用三点共线得到，联立直线与椭圆方程，得到及，得到点所在直线，结合点关于直线对称求解最小值即可. 【小问1详解】 设的半焦距为． 由题可得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由题意得的方程为，即， 联立，整理得，即， 解得或． 将和分别代入的方程，可得和， 又点在点的上方，所以，． 由题意得的方程为， 将代入的方程，可得，解得， 又在第二象限，可得，． 所以直线：，直线：， 联立直线，的方程，可得， 故点的坐标为． 【小问3详解】 ，，，的斜率为，则其方程为． 由，，三点共线可得， 因此， 同理，可得， 故． 令，则，，即， 与的方程联立，可得，， 则，， 所以， 所以，即， 化简得， 代入，可得点在直线：上． 作点关于的对称点，则，当且仅当为与的交点时等号成立． 设，由对称及垂直关系可得，解得，即， 于是， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $