湖南长沙市中嘉高级中学2026年高二学业水平合格性考试数学试题

2026年长沙市中嘉高中学业水平合格性考试 数学试题（参考答案） 1.【答案】C 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 2.【答案】A 【分析】判断两个命题的关系，当时，是充分条件；当时，是不充分条件；当时，是必要条件；当时，是不必要条件. 【详解】当时，，∴“”是“”充分条件； 当时，，此时满足要求，而，故不一定成立，∴“”是“”不必要条件. 故选：A. 3.【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：A. 4.【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 5.【答案】C 【分析】由可求函数的定义域. 【详解】由 . 所以函数的定义域为：. 故选：C 6.【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 7.【答案】C 【分析】根据指数的运算律可判断AB，由对数式的运算规则及换底公式可判断CD. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误． 故选：C. 8.【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 9.【答案】A 【分析】根据扇形的面积计算公式可得. 【详解】由扇形的面积公式，可得， 故选：A. 10.【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案. 【详解】由于， 故，则角可以为， 故选：C 11.【答案】A 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 12.【答案】C 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 13.【答案】D 【分析】根据圆柱的体积公式计算. 【详解】根据题意，圆柱的体积为. 故选：D. 14.【答案】A 【分析】根据空间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 15.【答案】B 【分析】先求出抽样的比例，在计算女运动员的人数即可. 【详解】总人数有, 抽样比例为, 所以女运动员应抽取人. 故选：B. 16.【答案】C 【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案. 【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为， 参加理化类的人数为， 故参加数学类的人数比参加理化类的人数多， 故选：C 17.【答案】C 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 18.【答案】B 【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，， ，，，共6个对数，其中为整数的有2个， 所以概率. 故选：B 19.【答案】 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 20.【答案】 【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 21.【答案】锐角 【分析】根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解. 【详解】因为，，两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形， 故答案为：锐角 22.【答案】30 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为：30. 23.【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 24.【答案】(1)证明见解析； (2)12. 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接， 由，得F是的中点，而E为的中点，则， 又平面，平面，所以平面． （2）由，得，则， 由直三棱柱，得平面，而平面，则， 平面，于是平面， 所以四棱锥的体积. 25.【答案】(1)中位数为，众数为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用中位数和众数的定义可求得结果； （2）利用平均数和方差公式可求得两种麦苗株高的平均数和方差，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）甲种麦苗株高由小到大依次为：、、、、、， 中位数为，众数为. （2）甲种麦苗株高的平均数为， 方差为， 乙种麦苗株高由小到大依次为：、、、、、， 乙种麦苗株高的平均数为， 方差为， 所以，，， 所以乙麦苗普遍长得高，但是高低质量差异明显. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长沙市中嘉高中学业水平合格性考试 数学试题 （试卷满分：100分 考试用时90分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的。 1.已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 4.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 5.函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6.已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9.已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 10.若，则角可以为（   ） A． B． C． D． 11.下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 12.已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 13.已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 14.如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 15.一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 16.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（    ） A．16 B．30 C．32 D．62 17.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 18.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 19.已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 20.已知锐角满足，则 . 21.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 22. 某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则 ． 三、解答题：本大题共3小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 23.已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 24.如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 25.“仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着亿人口的大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了了解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数． 甲 乙 9 0 8 0 1 1 1 1 4 3 0 1 0 2 2 (1)求甲种麦苗株高的中位数和众数； (2)分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性. 学科网（北京）股份有限公司 $