专题01 幂的运算的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题01 幂的运算的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 类型三、逆用幂的相关公式求值 类型四、利用幂的乘方比较大小 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算或化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、除法及积的乘方运算法则计算即可． （1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式1-1】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 【变式1-2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（是大于3的整数）． (3)（其中）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂，运用幂的相关运算法则进行计算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 。零指数幂：任何非零数的零次幂等于1，注意底数不为零。 负整数指数幂：a⁻ⁿ= 1/aⁿ（a≠0），即取倒数再算正指数。 技巧：先统一底数，化负为正，结合幂的运算法则；注意底数非零条件，结果常以正指数形式呈现。运算时细心避免符号与指数混淆。 例2．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，有理数乘方，负整数幂，零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点化简，然后再计算即可 【详解】解： 类型三、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，，求值； （2）已知，、为正整数，求值． 【答案】（1）675；（2）16 【分析】此题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方，同底数幂除法，正确将原式变形是解题关键． （1）根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方解答即可； （2）根据同底数幂除法，积的乘方解答即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴； （2）， ∵， ∴， ∴原式． 【变式3-1】（24-25八年级下·四川遂宁·月考）（1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则，负整数指数幂的含义计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法和负整数指数幂法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则，得出，，根据，即可得出答案 （3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出，，再代入，解关于s的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：． 【变式3-3】（2025八年级上·全国·专题练习）按要求解答下列各小题． (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法逆用可直接进行求解； （2）根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解； （3）根据同底数幂的乘除法可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：． 类型四、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ________； (2)已知，，，若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的运算，幂的乘方以及逆运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据规定计算即可； （2）根据新定义可得，再根据同底数幂除法法则，即可求解； （3）根据新定义可得，再根据幂的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：因为，所以； 故答案为：4 （2）解：因为，，， 所以， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）规定两个有理数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，． (1)填空：________，________，________； (2)小明在研究这种运算时发现等式成立，他的证明过程如下： 设， 则． ，即． ，即． 仿照上述方法说明：． 【答案】(1)3，2，4． (2)答案见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法，理解同底数幂的除法运算法则（底数不变，指数相减）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的除法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． 故答案为：3，2，4． （2）解：设，，． ，，． ． ， ． ，即 等式成立． 【变式5-2】（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 【变式5-3】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【答案】（1）4，；（2）32 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法及题意是解题的关键． （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解． 【详解】解 ：（1），， 又如果，那么 ； 故答案为：4，； （2）设，， 则，， ， 又如果，那么， ； 故答案为：32． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林·月考）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、， B、， C、无法合并，不等于， D、， 故选：D． 2．（云南省玉溪市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再根据同底数幂的除法法则进行运算即可． 【详解】解： = = = = = ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏·假期作业）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 【答案】 27 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，则，再根据可得答案； （3）可求出，则，据此可得答案． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 13．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得答案； （2）先化简绝对值、计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 16．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若，，用含a的代数式表示b． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，列代数式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算将原式化为，根据同底数幂的乘除法运算法则得到，再解方程即可； （2）由条件可得，再由平方根的定义求解a，由幂的乘方逆运算得到，再求解b，即可求解的值； （3）先将转换为，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：，， ，， ，， ， 或； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01幂的运算的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、零指数暴、负整数指数幂的运算 类型三、逆用幂的相关公式求值 类型四、利用幂的乘方比较大小 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相 加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1.(24-25七年级下·江苏徐州·期末)计算或化简： 04a+(-2a2驴+a÷ad 2a(-a)-3ay+(-2a2y. 【变式1-1】(25-26八年级上河北廊坊月考)计算： 0).a+2a-(-a'a22 22a°-a2.a+-2a÷a 【变式1-2】(25-26八年级上：广西崇左月考)计算： 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①a2a3+-a}3÷a 232a2'+a.a-a÷a2 8(-a+a÷a2+-2a. 【变式1-3】(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： (a-a.a+(-2a)-a+(-a) B+r“-”是大于3的整数). 6x÷[x-)(其中x≠0). 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 。零指数幂：任何非零数的零次幂等于1，注意底数不为零。 负整数指数幂：a-n=l/an(a≠0)，即取倒数再算正指数。 技巧：先统一底数，化负为正，结合幂的运算法则：注意底数非零条件，结果常以正指数形式呈现。运 算时细心避免符号与指数混淆。 例2.(25-26八年级上北京门头沟期末)计算： +x-7”-- 【安式2-】（2526八年领上北京海旋期未)计，+20加6+得. 【变式2-2】(2526九年级上湖南长沙期中)计算--{--314+2 【变式2-3】(25.26八年级上全国课后作业)计算，（←2025-2-（-(驴」 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若”=b(n为正整数)，则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个 (互为相反数)，奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推 导，解决方程求解等问题。 m=32”=5 例3.(25-26七年级上·上海闵行·期中)(1)已知 米2* 值； (2)已知 x-5y-4=0xy 4÷32" 、为正整数，求 值. 【变式3-1】(24.25八年级下四川遂宁月考)1D若10=20,10=5， 犬9÷326 的值： 1 (2)若2x+5y-3=0,求 32 的值 【变式3-2】(25-26八年级上·湖南衡阳·月考)根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： ()尼知a=3,则a“a)= 2若0=2b°=3 请比较a与b大小（请写出过程）. 3)已知7产=4,7=5,3”=10,3=5，解关于5的方程： 2s-7+y(s-2=9P9 【变式3-3】(2025八年级上·全国专题练习)按要求解答下列各小题. 10"=610"=2 0m-n (1)已知 ,求 的值： a+3b=4n3“×27 (2)如果 ,求 的值； ×2”÷16"=215 (3)已知 ,求m的值。 类型四、利用幂的乘方比较大小 1.转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底 数>1时，指数大则幂大：0<底数<1时相反)。 2.转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为正，底数大则幂大)。 3.中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小， 间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例4.(24-25七年级下·江苏宿迁·期中)【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 2,2 方法一：比较 的大小：当>b时，2>2”，所以当同底数时，指数越大，值越大 方法二：比较3”和2”的大小：因为3=3到”=9,2-2到”-8,9>8，所以3”>29. 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大。 根据上述材料，解答下列问题： (四此较大小：2 24,43 2(直接填写“>”或“=”或“<”)· 2)尼知x=45,y=60 试比较'的大小 【变式4-1】(24-25七年级下·江苏泰州期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指 数)相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：2>2,5>45. 2541253 ()比较， 的大小. (2)比较35,4“，53的大小 【变式4-2】(24-25六年级下·山东淄博月考)阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较32和4的大小 解：4=2=22，且3>2， 322>22，即322>41 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小. 材料二：比较2和82的大小. 解：8=2=2，且8>6， .28>26,即28>82. 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 、 (1)比较、 的大小： 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1312741961 (2)比较 、的大小 (3)已知“ =3,6=4,a>0,h>0,比较”、b的大小 12×510310×512 (4)比较 的大小. 【变式4-3】(24-25七年级下·安徽六安·期中)阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义 可以正向运用，也可以逆向运用.例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆 向运用表现为：=a4,。"=a广=a”,如下列探充： 探究一：比较25与32的大小。 解：因为25=(2=32,30=32=81P 又因为32<81，所以323<813，所以25<32. 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较2和82的大小. 解：因为8=(2°=2，且8>6，所以2>25，即2>8， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (①)比较2“，422的大小： 24436348260 (2)比较 的大小： 8)批较3x5"与30x5 与 的大小. 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变 化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中 的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用， 灵活处理含字母的化简或求值。 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例5.(25-26八年级上福建泉州期中)规定两数“，b之间的一种运算，记作@，b):如果0=b,那么 a,b)= 例如：因为2°=8，所以28)=3 . （2,16)= (1)填空： 2已知2,6=0，(212=6,2列=c,若b-a=c,求P的值。 27 3)若(3,8到=a,(5,16)=b,求25的值. 【变式5-1】(25-26八年级上河南鹤壁期中)规定两个有理数“，b之间的一种运算，记作a,),如果 a=b,那么a,)=C,例如：32=9,3,9列=2 0)填空：(2,8=，(416=，-2,16= 2小明在研究这种运算时发现等式4,32)-4,8)=(4,4成立，他的证明过程如下： i设432)=d4,8到=e4,4=f 4=32,4°=8,4/=4 则 ∴.4÷4=4/，即40-e=4. d-e=/,即4,32)-(4,8)=(44 仿照上述方法说明： (5,80)-(5,8=(5,10 【变式5-2】(24-25七年级下北京房山期中)定义：如果=b 0,那么c为a,b的“甜幂指数”，记为 a。.例如3”=9，那么2为39的“甜幂指数”，记为3,9.根据定义回答以下间题： 2 (1)若4,16，则m=;若n,9,则n= 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知a,16,a,4,a,m,x,y,z为正整数，且x+y=z,求m的值： (3)已知当y为正整数，且a>0时，4。=a成立，且满足 ax -a=a,若ab,bm,n为 mn 正整数，且4>0？b>0时，求m+n的值. 【变式5-3】(25-26八年级上·贵州铜仁月考)【概念学习】 我们规定a,b两数之间的一种运算，记作a,0,如果“=b,那么a,=C例如3产=9，记作3,9=2 【初步探究】 (1)根据以上规定直接写出结果：[5,62=： 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有Q·a=a, 2×35=32+5=37 ,例如 小损发现4,2到+4引-4可也成立，并证明如下。 设42☒=x,[43到=y,则4-2,4=3， 因为4×4=4=6，所以4,6=+y, 所以4,2+4,3=x+y=4,6 (2)仿照以上证明，计算2025，利+2025,8=[2025，】，写出计算过程. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 a° 1.(25-26八年级上·吉林·月考)下列各式运算结果为”的是() A.a+a B.a2.a C.ata D.(a 2.(云南省玉溪市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题)下列运算中正确的是() A. B.m+m=m c.(-2)3=y D.-÷(-x3=x 3x+5y-4=08.32' 3.(25-26八年级上内蒙古呼伦贝尔月考)已知 ,则 的值为() A.8 B.16 C.32 D.64 56八年数上国期)者2,6众2，-付.-份，则) A.b<a<d<c B.a<b<d<c C.a<c<b<d D.a<b<c<d 5.(25-26八年级上全国月考)已知43=2021,47=2021，则【x-1-y]m=（) A.1 B.2021 C.-1 D.22021 二、填空题 6.（2526九年级上~上海静安期末)计算：-a÷0= 7.(25-26七年级上·上海·期中)计算： 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.（25-26七年级上江苏假期作业)若0=26=3，c=5d=62 ,则a,b,c,d的大小关系是 ·(提示： 0，n为正整数，那么”>”) x>y> ).(2425七年级上-上海黄浦月考)若等式x+8=1成立，则x的值为一 10.(25-26八年级上福建厦门期末)计算：（1)-2a=一；{-)= (2)若59=12.55°=1 10,则303的值为一 0-3=2,xb+4=5,x1=10 (3)已知 ,则a,b,c三者之间的数量关系是一 三、解答题 1Ⅱ.(24-25七年级上上海黄浦月考)计算：（-2°+（π-3）°+2 12.(25-26八年级上河北廊坊月考)计算： 0a.a3+(2a2)°-(-ay°÷a2 22a-a2.a+-2a}2÷a 13.(25-26八年级上全国期末)计算： (①)2m3m2-(2m23+m÷m2 a6-xx-34-(” 14.(25-26八年级上四川巴中·期中)计算下面各题： 0°=310=5、103a-26 (1)已知 ,求 的值： 3b-4a (2)已知47°=27,423=81，求b的值. 15.(2425七年级下·全国周测)定义一种幂的新运算：t⊕t=+ .如： 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3⊕32=32+3+2=32+33=9+27=36.请利用这种运算规则解决下列问题： 22⊕2 (1)求 的值 P=329=429=92P⊕29 (2)若 ,求 的值 16.(25-26八年级上·吉林长春·周测)阅读：己知正整数a、b、c,显然，当同底数时，指数大的幂也大， 若对于同指数，不同底数的两个幂a”和c”,当a>c时，则有a>c,根据上述材料，回答下列问题. 530 420 ()比较大小： (填写、<或) ②比较2”与3的大小（写出比较的具体过程）. 42025×0.252024-82025×0.1252024 (3)计算： 17.(2025七年级上全国·专题练习)尝试解决下列有关幂的问题： 9×27m÷9m=316 (1)若 求m的值： 24=a2=4 (2)若 值； 3)若0写1.b=93 ,用含a的代数式表示b. 18.(25-26八年级上辽宁大连·期末)著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式， 变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”. 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m,n都是正整数。 ①若a>1 当m=”时，a=当m>时a>a ,当 当m<n 时，a”a ②若a>0b>0 当a=b时，=b 时，a 6,当<b时， am<bm 【理解知识】例如： ①若4=2“，求x的值. 解：法一：4=22=2,22=202x=10..x=5 法二：2=2)=4.4=4x=5 10/11