第10章 专题集训突破练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

10.解：(1)设A=“甲答对”，B=“乙答对”， 的事件，根据独立性假定，得 则PA)=号，P(B)=号，P()=号， pA)-号×+号×号-合PA) P(B)=是，“甲、乙两往同学格有一个 号×号 39 人答对”的事件为ABUAB,且AB与 P(B)-号×号-P(B,)=是× 3 AB互斥，由三人答题互不影响，知A, B互相独立，则A与B,A与B,A与B均 +×是- 相互独立，则P(A BUAB)=P(AB)十 记事件B=“甲答对的题数比乙多”，则 P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= B=A1B。UA2B。UA2B1,且A1B0, 号×号+号×号=是所以甲，乙两位同 A2B。,A2B1两两互斥，A1与B,A2与 B。,A2与B1分别相互独立，所以 学格有一个人参对的概摩为是 P(B)=P(A:B)+P(A2Bo)+ (2)设C=“丙答对”，则P(C)=p, P(A2B1)=P(A1)P(B)+P(A2)· P(C)=1一，设D=“甲、乙、丙三个人 P(B)+PA,)P(B)-音×G+告× 中至少有一个人答对”，由(1)知， P(D)=1-P(D)=1-P(A)P(B)· 6+号×-号 89 PC)=1-号×号×1-p)=器解得 因此，甲答对的题数比乙多的概率为 p=7,所以p的值为2 9 核心素养培优·拓展提升 11.解：(1)记3道选择题的题号为1,2,3,2 道填空题的题号为4,5， 1.D 2.D 3.D 4.BD5. 则试验的样本空间2={(1,2)，(1,3)， 6.解：(1)事件“恰有一人正确解答”可表示 (1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5) 为AB+AB, (3,4),(3,5),(4,5)}, 因为AB,AB互斥，A与B相互独立， 共有10个样本点，且每个样本点是等 所以P(AB+AB)=P(AB)十 可能发生的，所以这是一个古典概型. P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= 记事件A=“甲至少抽到1道填空 0.2×0.7+0.8×0.3=0.38. 题”，则 (2)该同学错误在于事件A,B不互斥， A={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5), 而用了互斥事件的概率加法公式 (3,4),(3,5),(4,5)}, 正确的解答过程如下： 所以，n(A)=7, “问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少 所以，P(A)=n(A)=7 n(2)10 有一人正确解答了问题”， 因此，甲至少抽到1道填空题的概率为 可以表示为AB+AB十AB,且AB,AB, AB两两互斥，A与B相互独立， 10 所以P(AB+AB+AB)=P(AB)+ (2)设A1,A2分别表示甲答对1道题， P(AB)+P(AB) 2道题的事件， =P(A)P(B)+P(A)P(B)+ B。,B1分别表示乙答对0道题，1道题P(A)P(B)=0.2X0.7+0.8X0.3+ 195 0.8×0.7=0.94. 1L.解：(1)事件A的频率f(A)=17+26 100 或者P(A十B)=1-P(AB)=1-P(A)· P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94. 0.43. 7.解：(1)因为甲同学能答对A类中问题的 (2)事件B的频率f(B)= 概率为，能答对B夹中问题的概率为 10+17+17+26+15+8=0.93. 100 司所以PA)-1-是-号，PA) (3)事件C的颜率f(C)=2+2=0.04. 100 ×(1-2)=0PA)=×号-品 (④)事件D的频率f(D)=100=0.01 2=10 (2)设“乙同学答对1个，2个问题”分别 核心素养培优·拓展提升 记为事件B1,B2, 1.C2.B3.BD 因为乙同学能答对A类中问题的概率 4.解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频 率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲 为号，能答对B类中问题的概率为， 获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为 可得P(B)=号×(1-)= 0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数 的增加，频率偏离概率很大的可能性会 越来越小，相对10次游戏，1000次游戏 设事件C表示“星队能进入决赛”， 时的频率接近概率的可能性更大，因此 可得P(C)=P(A1B2)+P(A2B1)+ 我们更愿意相信1000次时的频率离概 P(AB2)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+ 率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙 P(A2)P(B2) 获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大 =品×+品x号+品×号-0 差距，所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断 所以“星队“能选入决赛的栀率为易 专题集训突破练 10.3频率与概率 专题1事件 核心素养达标·夯实基础 例1解：(1)这个试验的样本空间2 1.D2.BCD3.D4.A5.C6.D {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1, 7.D8.不公平9.54% 6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), 10.解：(1)厨余垃圾投放正确的概率为 (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3, “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量= 400 5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 厨余垃圾总量 400+100+100 (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5, =2 31 4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)， (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A, (6,4),(6,5),(6,6)}. 则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收 (2)这个试验包含36个基本事件. 物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨 求试验的样本空间主要是通过观察，分析、 余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱 模拟试验，列举出各个样本点。对于样本 里厨余垃圾量和可回收物量的总和除 名师 点个数的计算，要保证列举出的试验结果 以生活垃圾总量，即P(A)= 不重不漏.写祥本空间时应注意两大问题： 30+20+100+20+100+30=0.3. 一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是 1000 试验结果是否与顺序有关。 196 跟踪训练1ABC解析：因为记第一枚 骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点 数之差为5，所以第一枚掷出5点，第二 枚掷出2点时，=5一2=3，第一枚掷出 3点，第二枚掷出3点时，=3一3=0，第 一枚掷出1点，第二枚掷出2点时，= 1一2=一1，第一枚掷出6点，第二枚掷 出2点时，=6一2=4，所以{>3}表示 的随机事件不可能是A,B,C,可能是D. 故选ABC 例2ABC解析：由事件A1,A2,A3不一 定两两互斥，所以P（A1UA2)= P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5， P(A2UA3)=P(A2)+P(A3)- P(A2A3)≤0.8，且P[(A1UA2)U A3]≤1，所以(A1UA2)UA3不一-定是 必然事件，无法判断A1UA2与A3是不 是互斥或对立事件，所以A,B,C中说法 错误.故选ABC 1.进行率件的运算时，一是要紧扣运算的 定义，二是要全面考虑同一条件下的试 验可能出现的全部结果，必要时可列出 全部的试验结果进行分析.也可类比集 合的关系和运算，用Venn图分析事件. 2.辨析互斥事件与对立率件的思路 辨析互斥事件与对立事件，可以从以下 几个方面入手： 名师 (1)从发生的角度看： ①在一次试验中，两个互斥事件有可能 都不发生，也可能有一个发生，但不可能 同时发生； ②两个对立事件必有一个发生，但不可 能同时发生.即两事件对立，必定互斥， 但两事件互斥，未必对立.对立事件是互 斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看互斥的概念适 用两个或多个事件，但对立的概念只适 用两个事件， 跟踪训练2AB解析：对于A,因为 P(A)=号，所以P(不)=1-P(A)=1- 日-号故A正确 对于B,因为P(A+B)=P(A)十跟踪训练3解：(1)因为(0.004+a+ P(B)-P(AB)--P(AB), 0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所 又0≤P(AB)≤P(A)且0≤P(AB)≤ 以a=0.006, 由所给频率分布直方图可知，50名同学 P(B),则0<P(AB)≤G, 通关时间低于60分钟的频率为(0.004十 所以}≤2-P(AB)≤2，即}≤ 0.006)×10=0.1,据此估计该校同学通 P(A十B)≤，故B正确； 关时间低于60分钟的概率为0.1. (2)样本中同学通关时间位于区间[50， 对于C,因为A与B互斥，所以 60)的有50×0.006×10=3人，即为 P(AB)=0, A1,A2,A3, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 通关时间位于区间[40,50)的有50× 昌十日一-0叶台放C错误： 0.004×10=2(位)，即为B1,B2, 对于D,记事件A=“抛掷一枚骰子，向 从这5名入样同学中随机抽取2人，所 上的，点数小于3”，事件B=“抛掷一枚骰 有可能的结果共有10种， 子，向上的点数为4”， 分别为{A1,A2},{A1,A3},{A1,B}, 则满足PA-合，P(B)-合，包BCA {A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, 不成立，故D错误； {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}, 故选AB. 所抽取2人的通关时间均位于区间[50， 例3解：(1)由题意可知该环保小组女成 60)的结果有3种，即{A1,A2},{A1,A3}, 员有3人，记为a,b,c;男成员有2人，记 {A2,A},故此2人的通关时间均位于区 为d,e. 从5名成员随机选出3人的情况有abc, 间[50,60)的栀率为P-是-0.3， abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde, 专题2概率与频率 cde,共10种. 例4解：(1)设“甲猜对灯谜”为事件A, 所选的3人中恰有1名男成员的情况有 “乙猜对灯谜”为事件B, abd,abe,acd,ace,bcd,bce,共6种， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事 则所选的3人中恰有1名男成员的概率 p=8=是 件C, (2)所选的3人中至少有2名女成员的 由题意得，PA-品=P(B)=易 情况有abc,abd,abe,acd,ace,bcd,bce, 2 ，且事件A,B相互独立， 共7种， 则所选的3人中至少有2名女成员的概 P(C)=P(AB+AB)=P(AB)+ *P-品 P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B) 古典概型的核率求解步骤 名 1.阅读题目，判断试验是否是古典概型 =3×(1-号)+(1-多)×号=3× 2.计算样本空间中的样本点个数n. 点 3.计算所求事件A包含的样本点个数k, 4.计算所求事件A的概率P(A)=飞， n 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的 197 瓶率为是 百分位数位于区间70,80)内 (2)设“丙猜对灯谜”为事件D, 设第64百分位数为70十x,剥后 “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有 0.64-0.28=0.75,得x=7.5. 0.48 猜对”为事件E, 则由题意，P(E)=P(ABD)= 所以第64百分位数估计为77.5分. P(A)P(B)P(D) (2)由直方图知，A等级的连锁店有25X =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(D)] 0.08=2家，记为a,b, B等级的连锁店有25×0.16=4，记为 =(1-)(1-)(1-0)=号× c,d,e,f. 1-0)-1-器， 从这6家连锁店中任选2家，有 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b, 解得n=10. c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),（c,e), 利用对立事件的概率公式解题的思路 (c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共有15种 1.当对立事件A,B中一个事件的概率易 选法，则n(2)=15 求，另一个事件的概率不易求时，直接计 算符合条件的概率较繁琐，可先间接地 设事件E=“至少抽到1家A等级”，事 计算其对立事件的概率，再由公式 件E包含的样本点有 P(A)+P(B)=1,求出符合条件的事件 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b, 的概率. c),(b,d),(b,e),(b,f),共9个，即n(E) 2.应用对立事件的概率公式时，一定要分 =9. 清事件和其对立事件到底是什么，该公 式常用于“至多”“至少”型问题的求解， 所以P()一品=号即玉少热到1 师 3.求复杂事件的概率的两种方法 3 点 (1)将所求事件转化为几个彼此互斥的 家A等级的概率为行 事件的和事件，一般情况下，当一个事件 例5解：利用计算器或计算机生成0到9 是多个事件的和事件时，要用到互斥事 之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4， 件的概率加法公式的推广，即P(A1十 5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这 A2+…+A.)=P(A1)+P(A2)+·+ 样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采 P(A.). 用三局两胜制，所以每3个随机数作为 (2)若将一个较复杂的事件转化为几个 互斥事件的和事件分类太多，而其对立 一组.例如，产生30组随机数： 事件的分类较少时，可考虑利用对立事 034743738 636964736614 件的概率公式，即“正难则反”.它常用来 698637162332616804 560 求“至少”或“至多”型事件的概率 111410959774246 762 428 跟踪训练4解：(1)直方图中从左至右第 114572042533237322707 一、三、四个小矩形的面积分别为0.28， 360751 0.16,0.08, 就相当于做了30次试验.如果恰有2个 则第二个小矩形的面积为 或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜， 1-0.28-0.16-0.08=0.48. 它们分别是738,636,964,736,698， 因为0.28十0.48=0.76>0.64，则第64 637,616,959,774,762,707,共11个.所 198 以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为 00.367. 求解概率模拟问题的注意点 1.选择适当的替代物，因为替代物的选取 是否合理决定了试验结果的可信度，因 此在用替代物模拟试验中，要求必须在 相同条件下进行 师点 2.用计算机（器）模拟试验时对随机数范围 的确定.例如，有20张大小相同的卡片， 分别写有1~20的数，从中随机抽取一 张，求结果是5的倍数的概率，在这种情 况下，随机数的范围应是1一20内的 整数 跟踪训练5A解析：由题意，该运动员 射击4次恰好命中3次的随机数为 7525,0347,7815,5550,6233,8045, 3661,7424,共8组，则该运动员射击4次 恰好◆中3次的薇率为》-号故选A 易错排查矫正练 易错点1对互斥事件、对立事件理解不到 位致误 1.C解析：A中，A与B是对立事件；B 中，B与C不是互斥事件；C中，A与D 不能同时发生，但是可以同时不发生，是 互斥事件，但不是对立事件；D中，C与 D不是互斥事件 易分 此题易出现对立与互斥混淆的错误. 错析 2.B 解析：掷一枚骰子，记事件A表示事 件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现 4点或5点”， 事件C表示事件“点数不超过3”，事件 D表示事件“，点数大于4”， 对于①，P(A)==合P(B)=名= 日PAB)=名 1专题集训 专题工事件 例1做掷红、蓝两个骰子的试验，用(x, y)表示样本点，其中x表示红色骰子出现的点 数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出： (1)这个试验的样本空间； (2)这个试验包含的基本事件个数. 跟踪训练1（多选)同时抛掷两枚均匀的 骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子 掷出的点数之差为5，则{>3}表示的随机事 件不可能有() A.第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B.第一枚掷出3点，第二枚掷出3点 C.第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D.第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 例2（多选）在一次随机试验中，事件 A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5， 则下列说法错误的有() A.AUA2与A3是互斥事件，也是对立 事件 B.(A1UA2)UA3是必然事件 C.P(A2UA3)=0.8 D.P(A1UA2)≤0.5 专题集训突破练了 突破练 跟踪训练2（多选）已知事件A,B发生的 概率分别为P(A)=3,P(B)=日，则() APA=号 BS<P(A+B)≤2 C.若A与B互斥，则P(AUB)=号 D.一定有BCA 例3某环保小组共有5名成员，其中男 成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某 社区进行环保宣传。 (1)求所选的3人中恰有1名男成员的 概率； (2)求所选的3人中至少有2名女成员的 概率. 跟踪训练32023世界科幻大会在成都 举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校 举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻 知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的 通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同 学的通关时间均位于区间[40,100]，然后把样 本数据分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70， 80),[80,90),[90,100]六组，经过整理绘制成 频率分布直方图（如图所示）. ·数学· 123 、第十章概率 频率 组距 0.028 0.022 0.018 0.0041 0V405060708090100分钟 (1)计算a的值，并估算该校同学通关时 间低于60分钟的概率； (2)拟在通关时间低于60分钟的样本数 据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻 大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间 [50,60)的概率. 专题2概率与频率 例4“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节 的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每 逢元宵节时制谜，猜谜的人众多.开始时是好 事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯 上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴 趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎. 在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜， 三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同 学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假设每道 灯谜被猜对的可能性都相等， (1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有 一个人猜对的概率； 124·数学· (2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中 至少有一个人猜对的概率为器求n的值。 跟踪训练42023年底，某商业集团总公 司根据相关评分细则，对其所属25家商业连 锁店进行了年度考核评估，将各连锁店的评估 分数按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 分成4组，其频率分布直方图如图所示.总公 司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A, B,C,D四个等级，等级评定标准如表所示. 评估分数 「60,70) 「70,80) 「80,90)「90,100 评定等级 D C B A 频率组距 0.028 0.016 0.008-- 0 √60708090100评估分数 (1)估计该商业集团各连锁店评估得分的 第64百分位数； (2)从评估分数不小于80的连锁店中随 机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A 等级的概率. 专题集训突破练了 例5甲、乙两支篮球队进行一场比赛，甲 获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一 次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的 概率. 跟踪训练5经统计某射击运动员随机命 中目标的概率可视为，为估计该运动员射击 4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的 方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随 机数，用0,1,2没有击中，用3,4,5,6,7,8,9 表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4 次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 752502937140985703474373 863878151417555003716233 261680456011366195977424 76104281 根据以上数据，则可估计该运动员射击4 次恰好命中3次的概率为() A号 3 8.0 、之 C.20 ·数学·125