9.2.2 总体百分位数的估计&9.2.3 总体集中趋势的估计-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

DCC平面BD1C, ∴.VA-ACD= 3SA4An·CD ∴.DC∥平面BD1C. ……5分 ,A1D∩DC=D,且A1D,DCC平面 =x·√36-x2 3 ADC, ∴.平面A1DC∥平面BD1C.…7分 V4Ac=2x·V36-x 3 ∴VAB,GABc=3 VA -ABC=2x·√36-x (0<x<6),设y=2x√36-x2, 即y=2√36.x2-x=2√x2(36-x2)≤ 2.t+(36-)=36,当x2=18时，即 (2)解：AC=BC,D为AB的中点， 2 .CD⊥AB. x=3√2，三棱柱ABCA1B1C1的体积最 平面A1B1C1⊥平面ABB1A1, 大，VAB,C,-ABc=36.…15分 .平面ABC⊥平面ABB1A1, 且平面ABC∩平面ABB,A=AB,CD⊥ AB,CDC平面ABC, CD⊥平面ABB1A1,CC1∥平面 ABBA1, .CC1与平面ABB1A1的距离x=CD. 第九章统 计 又ADC平面ABBA1,∴.CD⊥AD, 在Rt△A1DC中，AC=6,则AD= 课时夯基过关练 √36-x(0<x<6), 9.1随机抽样 .BD1=√36-x2.…9分 9.1.1简单随机抽样 ,CD⊥平面ABB1A1,则CD1⊥平面 ABB1A1,而AB1C平面ABB1A1, 核心素养达标·夯实基础 ∴.CD1⊥AB1, 1.D 2.C 3.B 4.A 5.ACD 且AB1⊥BC.又C1D1∩BC1=C1, 6.D7.2008.0.21 CD1,BC1C平面BDC1,∴.AB1⊥平面 9.解：文科生抽样用抽签法，理科生抽样用 BD1C,且BD1C平面BD1C,.AB⊥ 随机数法，抽样过程如下： BD1,记交点为E,则三角形AEB为直 (1)先抽取10名文科同学： 角三角形 ①将80名文科同学依次编号为1,2， '△BDE∽△ABE,且AE=AB 3,…,80 BEBD ②将号码分别写在形状、大小均相同的 器=，AB,=6,BD,=V56 纸片上，制成号签； ③把80个号签放入一个不透明的容器 B.E-2,DE-,San m,= 中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一 2BE·DE-5V36-x, 个号签，连续抽取10次； ④与号签上号码相对应的10名同学的 ∴.SAA,AD=S△BB,D,=3SAB,ED1 考试情况就构成一个容量为10的样本. =√36-x2, (2)再抽取50名理科同学： 185 ①将300名理科同学依次编号为1， 9.2用样本估计总体 2,…,300; 9.2.1 ②在电子表格软件的任一单元格中，输 总体取值规律的估计 入“=RANDBETWEEN(1,300)”,生成 核心素养达标·夯实基础 一个1~300范围内的整数随机数，再利1.BCD2.C3.ABC4.A 用电子表格软件的自动填充功能得到5.0.320.366.811 50个没有重复的随机数； 7.解：(1)由频率分布直方图知组距为10， ③这50个号码所对应的同学的考试情 频率总和为1，可得(2a十2a+3a十6a十 况就构成一个容量为50的样本. 7a)×10=1,解得a=0.005. 核心素养培优·拓展提升 (2)由图可知成绩落在[50,60)分的频率 1.B2.B3.D4.30 7 为2a×10=0.1. 5.63 由频数=总数X频率，从而得到成绩落 9.1.2 分层随机抽样 在[50,60)分内的人数为20×0.1=2. 同理，成绩落在[60,70)分内的人数为 9.1.3 获取数据的途径 20×0.15=3. 对总体估计要掌握： 核心素养达标·夯实基础 (1)“表”（频率分布表）； 1.C2.C3.AD4.C5.AD6.B (2)“图”（频率分布直方图）. 7.53.5328.375009.800 规 要熟悉样本颜率分布直方图的作法： 10.解：由于学生的身高会随着年龄的增长 总 (l)求数据极差xms一xmin； 而增高，校医务室想了解全校高中学生 结 (2)决定组距和组数； 的身高情况，在抽样时应当关注高中各 (3)将数据分组； (4)列频率分布表； 年级学生的身高，并且还要分性别进行 (5)画频率分布直方图 抽查.如果只抽取高一的学生，结果一 8.解：(1)以4为组距，列表如下： 定是片面的. 分组 频数累计频数频率 这个问题涉及的调查对象的总体是某 [41.5,45.5) 2 20.0455 校全体高中学生的身高，其中准备抽取 [45.5,49.5) 9 7 0.1591 49.5,53.5) 17 8 0.1818 的50名学生的身高是样本. [53.5,57.5) 33 160.3636 57.5,61.5) 38 5 0.1136 11.解：(1)由题意，得200十100 6 [61.5,65.5) 42 4 0.0909 [65.5,69.5) 44 20.0455 合计 441.00 n 200+400+800+100+100+400,解得 频率分布直方图及频率分布折线图如图所示： n=40. ↑频率/组距 0.10 5 0.08 (2)35岁以下的人数为400100×400=4， 0.06 0.04 35岁以上（含35岁）的人数为00十100 5 0.02 041545549.553.557.561.565.569.5年龄/岁 100=1. (2)从频率分布表可以看出，选择太极拳的 核心素养培优·拓展提升 中老年人的年龄在50岁至60岁之间较 1.2492.63.404.5.7% 多，45岁以下及65岁以上中老年人较少. 186 核心素养培优·拓展提升 1.C2.D3.B 4.解：(1)，(0.015十0.025+0.050+ 0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+ 0.005+a)×3=1, 1 .a=300 用水量在(9,12]的频率为0.065×3= 39 0.195,n=0.195=200(户） (2).(0.015+0.025+0.050+0.065+ 0.085)×3=0.72<0.8, (0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+ 0.050)×3=0.87>0.8, 15+3x89-8:7得=16.6®) (3)设该市居民月用水量最多为m吨，因 为16.6×3=49.8<70，所以m>16.6, 则w=16.6×3十(m-16.6)×5≤70， 解得m≤20.64， 答：该市居民月用水量最多为20.64吨. 9.2.2总体百分位数的估计 9.2.3总体集中趋势的估计 核心素养达标·夯实基础 1.B2.B3.D4.C5.D6.BD 7.x+3,m+3,n+38.1809.78.510.9 11.解：(1)由题意，得10×(0.032十0.03+ a+0.01+0.008)=1, 解得a=0.02. (2)因为(0.01+0.02+0.032)×10= 0.62<0.8, 0.62+0.03×10=0.92>0.8, 所以第80百分位数应位于[30,40)内. 由0+10×80-8.号=36， 可以估计这一年度的空气质量指数的 第80百分位数约为36. 12.解：(1)众数大致的值就是样本数据的 核心素养培优·拓展提升 频率分布直方图中最高小长方形的中1.A2.1n43.229.5 点的横坐标.由直方图可估计出学生身 4.解：(1)由10(a+0.02+0.03+0.04+ 高众数应为174.5cm. a)=1,可得a=0.005, (2)在样本中，有50%的个体小于或等 故此次化学考试成绩的平均值为55× 于中位数，也有50%的个体大于或等 0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+ 于中位数，因此，在频率分布直方图中， 95×0.05=73分 中位数使得在它左边和右边的直方图的 (2)由频率分布直方图知，原始分成绩位 面积相等，由此可以估计中位数的值，如 于区间[90,100]的占比为5%，位于区 图，学生身高中位数约为171.55cm. 间[80,90)的占比为20%， 频率/组距 因为成绩A等级占比为15%，所以等级 0.08 0.07 0.06 A的原始分区间的最低分位于区间[80， 0.05 0.04 36 0.03 90), 0.02 0.220.22 0.01h 0.08 0.12 57162167172177182身高/cm 估计等级A的原始分区间的最低分为 (3)平均数是频率分布直方图的“重 90-15%5%×10=85, 20% 心”，是频率分布直方图的平衡点，因 已知最高分为98，所以估计此次考试化学 此，每个小长方形的面积与小长方形底 成绩A等级的原始分区间为[85,98]！ 边中，点的横坐标的乘积之和为平均数 (3)由98-88=100-T 的估计值.由直方图可估计学生身高的 88-85=-86,解得T=1160≈ 13 平均数为170.6cm. 89,该学生的等级分为89分 (4)因为样本数据的频率分布直方图只 9.2.4总体离散程度的估计 是直观地表明分布的形状，从直方图本 身得不出原始的数据内容，也就是说频 核心素养达标·夯实基础 率分布直方图损失了一些样本数据，得 1.C2.C3.C4.A5.B6.ACD 到的是一个估计值，且所得估计值与数 7.3.28.29.9.71.5110.乙、丁、戊 据分组有关，所以估计的值有一定的 11.解：(1)根据茎叶图，分数在[50,60)之 偏差. 间的女生人数为2，根据频率分布直方 图可得它所占的比率为0.008×10= 1.众数的估计值是频率分布直方图中最 0.08,故高三(1)班全体女生的人数为 高小长方形的中点的横坐标； 2 2.中位数左、右两侧直方图的面积相等； 0.08≈25. 规 3.平均数的估计值等于频率分布直方图 (2)茎叶图中可见部分共有21人，所以 律 中每个小长方形的面积乘小长方形底边 总 分数在[80,90)之间的女生人数为25 中点的横坐标之和， 结 利用频率分布直方图求得的众数、中位 21=4,所以数在[80,90)之间的频率为 数、平均数均为估计值，往往与实际数据 25 =0.16,故频率分布直方图中[80， 得出的不一致，但它们能粗略估计其众 数、中位数和平均数 90之间的矩形的高为006-0.016， 187 (3)由(2)及茎叶图知，众数所在区间为 核心素养培优·拓展提升 [70,80),所以估计该班的测试成绩的1.A2.C3.B4.AC5.ABC 众数为75.把这25个数从小到大排列，6.解：(1)频率分布直方图如图所示： 中位数为第13个数，结合茎叶图可得 频率组距 中位数是73.估计高三(1)班全体女生 的一次数学测试成绩的平均数为55× 元+65×3+75×9+85×号+95× 号=8.8 0002 12.解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均数： 01 758595105115125质量指标值 元，=0×(195+194+196+193+ (2)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38十 194+197+196+195+193+197)= 110×0.22+120×0.08=100. 195,乙厂10个轮胎宽度的平均数： 质量指标值的样本方差为 z。=0×(195+196+193+192+195+ s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2× 194+195+192+195+193)=194. 0.26+(100-100)2×0.38+(110 (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196] 100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104. 内的数据为195,194,196,194,196,195， 所以这种产品质量指标值的平均数的估 平均数：五=日×(195十194+196十 计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比 194+196+195)=195, 例的估计值为0.38+0.22+0.08= 方差：号=日×[(195-195)2+(194- 0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认 195)2+(196-195)2+(194-195)2+ 为该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于95的产品至少要占全部产 (196-195)+(195-195)2门=号， 品的80%”的规定。 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内 专题集训突破练 的数据为195,196,195,194,195,195， 平均数：=合×(195+196十195十 专题1抽样方法 例1③ 194+195+195)=195, 抽样调查是获取数据的重要途径，而样本 方差：号=日×[(195-1952+（196 名师点晴 具有随机性，其好坏直接影响统计分析结 论的可靠性，所以要根据实际情况合理选 195)2+(195-195)2+(194-195)2+ 择抽样方法. (195-195)2+(195-195)]=3, 跟踪训练1C解析：因为小学、初中、 ,两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但 高中三个学段学生的肺活量有较大差 乙厂的方差更小，.乙厂的轮胎相对 异，所以学段对统计结果影响较大.因 更好. 为同一学段男、女生肺活量差异不大， 188 所以性别对统计结果无明显影响，所 以最合理的抽样方法是按学段分层随 机抽样」 例2B解析：根据随机数表的读数规则， 依次从随机数表中读出的有效编号为 32,12,31,02,01,04,15,20,得到选出来 的第8个个体的编号为20.故选B. 跟踪训练2AC解析：A选项，男生抽取 600 100×600+400=60,女生抽取100- 60=40人，A选项正确.C选项，样本平 均复为0×170+0×160=16，可以 用样本平均数估计总体的平均数，C选 项正确：B选项，样本方差为0[15十 a70-16)]+0[30+160-16)]- 93+132=45,所以B选项错误. 55 D选项，男生甲被抽到的概率为品 立D递项错误，故选AC 专题2用样本估计总体 例3(1)0 1 2 (2)甲 名 平均数、众数、中位数都是反映数据的集中 趋势，极差、方差（或标准差）反映的是数据 的离散程度，各有特点和侧重. 跟踪训练3A解析：对于A,去掉最高 分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位 置（从小到大排列）的那个数，不发生改 变；对于B,去掉最高分、最低分后，平均 数是否发生改变与去掉的分数有关，不 能确定是否变化；对于C,去掉最高分、 最低分后，方差的确定和平均数、数据个 数有关，因此方差也不确定；对于D,去 掉最高分、最低分后，极差可能发生改 变，也可能不改变课时夯基过关练了 9.2.2总体百分位数的估计 9.2.3总体集中趋势的估计 入素养日标 1.理解第p百分位数的概念并会计算并应用； 2.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数； 3.能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数，并结合实际，对问 题作出合理判断，制定解决问题的有效方法； 4.能通过对数据的分析为合理的决策提供依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定 性思维的差异 核心素养达标 夯实基础 一、选择题 赛得分如下：91,89,90,92,94,87,93,96， 1.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太 91,85,则这组数据的80%分位数为() 极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名 A.93 B.93.5C.94D.94.5 同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中 3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化 一个社团，各个社团的人数比例的扇形图如 的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某 图所示，其中参加朗诵社团的同学有12名， 市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济 参加太极拳社团的同学有18名，则() 发展环境、推动消费升级，有关部门对某热 朗诵 门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了 10% 合唱 30% 脱口秀 100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行 评分（满分100分），根据评分情况绘制了如 太极拳 舞蹈 25% 图所示的频率分布直方图，估计这组数据的 第55百分位数为( A.这五个社团的总人数为100 B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数 频率组距 0.030 的20% 0.025 0.020 C.这五个社团总人数占该校同学总人数 0 的12% 0.005 0405060708090100成绩/分 D.太极拳社团的人数占五个社团总人数 的18% A.65 B.72 C.72.5D.75 2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比 4.已知100个数据的中位数是8，则下列说法 赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比 正确的是( …数学· 91 、第九章统计 A.这100个数据中一定有且仅有50个数小 数是n,那么将每个数据加上3后得到一组 于或等于8 新数据，则这组新数据的平均数、众数、中位 B.把这100个数据从小到大排列后，8是第 数分别为 50个数据 8.某校有选修物化、物生、政史三种不同类别 C.把这100个数据从小到大排列后，8是第 课程的学生共900人（假设每人只选修一种 50个和第51个数据的平均数 类别的课程)，按照分层随机抽样的方法从 D.把这100个数据从小到大排列后，8是第 中抽取20人参加数学调研检测.已知在这 50个和第49个数据的平均数 次检测中20人的数学平均成绩为119分， 5.记样本x1,x2,…,xm的平均数为x,样本 其中选修物化和物生类别课程学生的数学 y1,y2,…,yn的平均数为y(x≠y).若样本 平均成绩为120分，选修政史类课程学生的 x1,x2,…,xmy1,y2,…,ym的平均数为之= 数学平均成绩为115分，则该校选修政史类 +,则%的值为( 1- 课程的学生人数为 9.某校为了普及消防知识，举行了一次消防知 A.3 B.4 c D.号 识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级 6.(多选)某地教师招聘考试，有3200人参加 参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结 笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含 束后统计这10名同学得分情况如折线图所 20%)的考生有资格参加面试，所有考生的 示，则这10名同学成绩的极差为 笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和 第80百分位数是 扇形统计图所示，则( +人数 个频率组距 0.02 0.0 2345678910成绩份 笔试成绩/分 5060708090100 10.顾客满意度指数是根据顾客对企业产品和 服务质量的评价，通过建立模型计算而获 其他占 比5% 得的一个指数，是一个测量顾客满意程度 80后占 比10%) 90后占 比45% 的经济指标，常用区间[0,10]内的一个数 00后占 来表示，该数越大表示满意程度越高，现某 比40% 商场随机抽取9名顾客进行调查，得到他们 A.90后考生比00后考生多150人 的满意度指数分别为6,9,7,4,8,9,9,7,5，则 B.笔试成绩的60%分位数为80 这组数据的第70百分位数是 C.参加面试的考生的成绩最低为86分 三、解答题 D.笔试成绩的平均分为76分 11.根据新修订的《环境空气质量标准》指出空 二、填空题 气质量指数在0~50，各类人群可正常活 7.若一组数据的平均数是x,众数是m,中位 动.某市环保局在2019年对该市进行为期 92 ·数学… 课时夯基过关练 一年的空气质量检测，得到每天的空气质 12.如图为学生身高频率分布直方图. 量指数，从中随机抽取50个作为样本进行 +频率/组距 0.08 0.07 分析报告，样本数据分组区间为[0,10)， 0.06 0.05 0.04 [10,20),[20,30),[30,40),[40,50),由此 0.03 036 0.02 得到样本的空气质量指数频率分布直方 0.01 0.220.22 0.08 0.12 07 157162167172177182身高/cm 图，如图。 (1)如何在样本数据的频率分布直方图中 y↑频率组距 估计出众数的值？ 09器 (2)如何在样本数据的频率分布直方图中 估计出中位数的值？ o88 0 (3)如何在样本数据的频率分布直方图中 1020304050空气质量指数 估计出平均数的值？ (1)求a的值； (4)从样本数据可知，该样本的众数是 (2)根据样本数据，试估计这一年度的空气 166cm,172cm,中位数是171cm,平均数 质量指数的第80百分位数. 是170.1cm,这与我们从样本频率分布直 方图中得出的结论相比有偏差，你能解释 一下原因吗？ ·数学· 93 、第九章统计 核心素养培优 拓展提升 1.若x是x1,x2,…,x1oo的平均值，a1为x1, 再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原 x2,…,x40的平均值，a2为x41,x42,…,x1o0的 始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个 平均值，则下列式子中正确的是() 等级，各等级人数所占比例及赋分区间如 A.x=40a1t60a:B.c=60a,+40ag 下表： 100 100 等级 A B D E C.x=a1十a2 D.x=a1十a2 人数比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86,100][71,85][56,70][41,55][30,40] 2.已知函数y=f(x),x∈D,若存在常数c,对 将各等级内考生的原始分依照等比例转换 任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得 法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转 f(x)十f(x)=c,则称函数f(x)在D上的 2 换公式为位其中￥出分别 算术平均数为c.已知f(x)=lnx,x∈ 表示原始分区间的最低分和最高分，T1,T2 [2,8],则f(x)=lnx在[2,8]上的算术平 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分， 均数为 Y表示考生的原始分，T表示考生的等级 3.某学校开展一次知识竞赛活动，共有三个问 分，规定原始分为Y1时，等级分为T1.某次 题，其中第1,2题满分都是15分，第3题满 化学考试的原始分最低分为50，最高分为 分是20分.每个问题或者得满分，或者得0 98,呈连续整数分布，其频率分布直方图 分.活动结果显示，每个参赛选手至少答对 如下： 一道题，有6名选手只答对其中一道题，有 频率/组距 12名选手只答对其中两道题.答对第1题的 0.04 0.03 人数与答对第2题的人数之和为26，答对第 0.02 1题的人数与答对第3题的人数之和为24， 答对第2题的人数与答对第3题的人数之 a】 05060708090100成绩 和为22.则参赛选手中三道题全答对的人数 (1)根据频率分布直方图，求a,并估计此次 是 ；所有参赛选手的平均分 化学考试原始分的平均值； 是 (2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化 4.某地启动实施高考综合改革，实行高考科目 学成绩A等级的原始分区间； “3十1十2”模式.“3”指语文、数学、外语三门 (3)用估计的结果近似代替原始分区间，若 统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指 某学生化学成绩的原始分为88，试计算其等 考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学 级分（计算结果四舍五入取整）. 科，以原始分数计人高考成绩；“2”指考生从 政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两 门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案， 94 ·数学·