6.4.3 余弦定理，正弦定理-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

课时夯基过关练了 6.4.3余弦定理、正弦定理 6.4.3.1余弦定理 “7入素养目标 1.掌握余弦定理的推导过程及适用范围； 2.能灵活应用余弦定理解三角形； 3.在解题过程中，培养学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 A.若a·b<0且b·c<0,则△ABC为锐角 6,则 1.在△ABC中，AB=1,AC=2,c0SA= 三角形 B.若a·b>0,则△ABC为钝角三角形 BC=( ) C.若a·b=c·b,则△ABC为等边三角形 A.1 B号 c D.15 D.若(a十c-b)·(a十b-c)=0,则△ABC 为直角三角形 2.如图，由边长为1的小正方形 6.(多选)在△ABC中，AB=√3，AC=1, 构成的网格中，点A,B,C都 在格点上，以AB为直径的圆 B=否，则角A的可能取值为() 经过点C,D,则cos∠ADC的值为( A.交 B. c. D.受 A.2155 B. 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, c号 n号 b,c若车。十。千6≥1，则角A的取值范国 是() 3.在△ABC中，|BC1=3,1CA|=5,|AB1= 7,则C第·CA的值为() A.(0,]B.[,)C.(0,]D.[) A一多B含 c-5 D号 二、填空题 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b,c,若b=3,c=2,A=60°，则a= b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是 sin 2C= ( 9.在△ABC中，边a,b的长是方程x2-5x+ A.钝角三角形 B.直角三角形 2=0的两个根，C=60°，则边c= C.锐角三角形 D.等边三角形 10.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c 5.(多选)在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b, 满足(a十b)2-c2=4,且C=60°，则ab的值 在下列命题中，是真命题的有() 为 …数学· 19 、第六章平面向量及其应用 三、解答题 12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, 11.如图，在△ABC中，已知BC=a,AC=b, bc,且c0sA=,a=4,6+c=6,i<c,求 AB=c,边BC和AC所夹的角为C. (1)关系式a2+b2-c2=2 abcos C是否 b,c的值. 成立； (2)证明(1)中你的结论， 核心素养培优拓展提升 1.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度 分别为品品号则下列结论正确的是( A名9 取一+因 A.不能作出这样的三角形 c-9 D+9 B.作出一个锐角三角形 4.已知△ABC中，D在BC上，AD平分 C.作出一个直角三角形 ∠BAC,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°，则 D.作出一个钝角三角形 AD- 2.（多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 5.在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程 为a,b,c,若(a2+c2-b)tanB=√3ac,则角 x2-2√3x十2=0的两根，2cos(A十B)=1. B的值为() (1)角C的度数为 A.8 B.5 C. D. (2)AB的长为 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 3.在平面四边形ABCD中，∠BAD=30°， b,c,已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0. ∠ABC=75°，∠ADC=105°，AB=2,AD= (1)求角B的大小； √3.若点E为线段CD上的动点，则AE· (2)若a十c=1,求b的取值范围. B的最小值为() 20 ·数学· 课时夯基过关练了 6.4.3.2正弦定理 素养目标 1.掌握正弦定理的推导过程及适用范围； 2.能灵活应用正弦定理解三角形； 3.运用定理解题的过程中，培养学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 6.如图，已知在⊙O的内接四边形ABCD中， 1.在△ABC中，sinA:sinB：sinC=k:(k+ AB=2,BC=7,AD=CD=4,AC=() 1):2k(≠0)，则k的取值范围是( A.(2,+o∞) B.(-o∞，0) c(-3o) D(分+o) 2在△MBC巾，若C2B,则0沿等于( A.610B.10 5 C.630D.30 5 5 A. B号 C.a a D. 7.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对 3.在△ABC中，若b=2√2，a=2,且三角形有 两解，则A的取值范围是() 边，若cos号-6，则△ABC的形状为 A.0°<A<30° B.0°<A<45° C.0°<A<90° D.30°<A<60° A.正三角形 4.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分 B.直角三角形 别为a,b,c,已知(b+c):(c+a):(a+ C.等腰三角形或直角三角形 b)=4:5:6,则下列结论正确的有( D.等腰直角三角形 A.sin A:sin B:sin C=7:5:3 二、填空题 B.CA·C第<0 8.在△ABC中，若(sinA+sinB)：(sinA+ C.若c=6,则△ABC的面积是15 sinC):(sinB+sinC)=4:5:6,且该三 D.若6+c=8,则△ABC外接圆半径是7y3 3 角形的面积为15√3，则△ABC的最大边长 5.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的 等于 对边，且9=（心+e-a,若6=46=3 9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边 b 则△ABC的外接圆直径为( 长分别为a,b,c,则a A.2√13 B.v39 3 C.263 D.239 10.在△ABC中，若A=2B,则号范围是 3 3 …数学· 21 、第六章平面向量及其应用 三、解答题 12.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 别为a,b,c,若a+c=2b,且2cos2B- a,b,c,且B=60°，c=4,b=6. 8cosB+5=0,求角B的大小并判断 (1)求sinC; △ABC的形状. (2)求△ABC的面积. 核心素养培优拓展提升 1.托勒密是古希腊天文学家、地理 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, 学家，托勒密定理就是由其名字 c已知cos2C=- 4,则sinC- ;当 命名，该定理指出：圆的内接凸四 边形两组对边乘积的和等于两条 a=2,2sinA=sinC时，则b= 对角线的乘积.则四边形ABCD为圆O的内接 5.已知函数f(x)=msin x+√2cosx(m>0)的 凸四边形，BD=6,BC=2AB,且△ACD为等边 最大值为2. 三角形，则圆O的直径为( (1)求函数f(x)在[0，π]上的值域； A B.② c.22I D.4②1 (2)已知△ABC的外接圆半径R=√3，fA 3 3 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, T)+f(B-)=46 Ssin Asin B,.角A,B所 c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1十 2cosC)=2 sin Acos C+cos Asin C,则下列 对的边分别是a6,求日+号的值 等式成立的是( A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,若a。 b coA=2c0sB=3cosC则 A= 22 ·数学· 课时夯基过关练了 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例 ⌒素养目标 1.利用正弦、余弦定理解决生活实践中有关距离测量问题； 2.培养合理提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发探索精神； 3.培养学生数学运算和数学建模的核心素养。 核心素养达标 夯实基础 一、选择题 1.老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东15°方向 上的B地，立刻以10√3m/s的速度进行追 捕，与此同时，野鹿乙以10√2m/s的速度往 A.18米 B.19米 北偏东75°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直 C.20米 D.21米 线运动，且AB=500(√6-√2)m,则甲能够 4.如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之 一次性捕获乙的最短时间为() 一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处 A.60s B.80s 建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上 C.100s D.120s 的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测 2.如图，设A,B两点在河的两岸，要测量两点 量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取 之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河 了C,D两点，测得塔的仰角分别为45°和 岸边选定一点C,测出AC的距离为m,a= 60°，C,D间的距离是12米.则宝塔的高度 48°，=62°，则A,B两点间的距离为() AB是( )米.（结果保留根号） m-Ba 45°601 D A.sin48° B.sin48° 图 图2 sin62° sin70° A6√3 B.12√2 C.msin 62. msin70° sin70° D. in48°+sin62 C.12+6√3 D.18+6√3 3.湖南岳阳楼与湖北黄鹤楼、江西滕王阁并称 5.北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要 为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名 成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨 楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与 道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道 底部水平的直线AC,如图，测得∠DAC= 高度约为36000km(轨道高度是指卫星到地 30°，∠DBC=45°，AB=14米，则岳阳楼的高 球表面的距离).将地球看作是一个球心为 度CD约()（√2≈1.414，√3≈1.732） O,半径r为6400km的球，若地球表面上的 …数学· 23 、第六章平面向量及其应用 观测者A与某颗地球静止同步轨道卫星B 9.如图，一辆汽车在一条水 处于相同经度，且A能直接观测到B,设点A 平的公路上向正西方向 的纬度(OA与赤道平面所成角的度数)的最 行驶，到A处时测得公路 大值为a,则cosa=() 北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶 A貂 B品C品 D. 600m后到达B处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度 6.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中 CD= m. 国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化 10.我国古代数学家刘徽在 底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在 《九章算术·主释》中指 新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料 出：“凡望极高、测绝深 30°B∠459 得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角 A100 而兼知极远者，必用重 度，比如在弯折位置通常采用30°，45°，60°， 差.”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近 90°，120°，150°等特殊角度下.为了判断“冬” 进行测量时，必须用两次（或两次以上）测量 的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该 的方法加以实现.为测量某山的高度，在A,B 同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5, 测得的数据如图所示（单位：m),则山高 BD=6,AC=4,AD=3,若点C恰好在边 MN- ,A到山顶的距离AM= BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值( 三、解答题 11.如图，A,B两点都在河的对岸（不可到达）， 若在河岸选取相距20米的C,D两点，测 A哥 B.2延C.22 D.14 9 6 6 得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB= 7.为测量A,B两地之间的距 45°，∠BDA=60°，那么此时A,B两点间的 离，甲同学选定了与A,B不 距离是多少？ 共线的C处，构成△ABC,以 下是测量数据的不同方案：①测量∠A, IAC,BC;②测量∠A,∠B,|BC引；③测 量∠C,|AC,IBCI;④测量∠A,∠B,∠C. 要求甲同学选择的方案能唯一确定A,B两 地之间的距离，这样方案的个数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题 8.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处， 乙船正以a nmile/h的速度向北行驶.已知甲 船的速度是√3 a nmile,/h,甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇. 24 ·数学· 课时夯基过关练了 核心素养培优 拓展提升 1.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量 步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B, 的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如 然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游 图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG 客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的 50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车 高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和 到B,在B处停留1min后，再从B匀速步行到 EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 “表目距的差”，则海岛的高AB=() 130m/min,山路AC长为1260m,经测量， asA最msC=是当乙出发 min 时，乙在缆车上与甲的距离最短。 4.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号， 表高×表距十表高B.表高×表距-表高 表目距的差 表目距的差 我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船 表高×表距+表距D 表高×表距 在方位角为45°，距离为10海里的C处，并 C 表目距的差 表目距的差 一表距 测得渔船正沿方位角为105°的方向，以 2.（多选)如图，某人 10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军 在一条水平公路旁 舰艇立即以10√3海里/小时的速度前去营 的山顶P处测得小 救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. 车在A处的俯角为 30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶 7.5min后，到达B处，此时测得俯角为45°. 已知小车的速度是20km/h,且 COS∠AOB=- 则(） 5.如图，在地面上共线的三点A,B,C处测得 A.此山的高PO=√3km 一建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，60°，且 B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的 AB=BC=60m,求建筑物的高度. 最小仰角为30° C.PA=2 km D.小车从A到B的行驶过程中观测P点 30°> -45 的最大仰角的正切值为201四 609 111 3.如图，游客从某旅游景区的 景点A处下山至C处有两 种路径.一种是从A沿直线 …数学· 25角坐标系，则F1=(-|F|,0),F2=(0, (2)证明：如图， -|F2|). 设C第=a,C才=b,AB= 又由已知可得G=(100sin30°，100cos30)= c,则c=a一b C (50,50√3). 由cl2=c·c=(a- 且G+F1+F2=O, b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+ 所以(50,50√3)+(-|F1|,0)+(0, b-2a·|bl·cosC,故a2+b2-c2= -F2|)=(0,0), 2 abcos C成立. 从而可得|F1|=50N,|F2=50√3N. 12.解：c0sA=},a=4,由余孩定理 核心素养培优·拓展提升 a2=b2+c2-2bc·cosA,得16=b2+ 1.B2.B3.B 4.1[6-23,6+23] c2-26c=(6+c)-号6c,:6+c=6, 5.解：(1)木块受三个力的作用，重力G,拉 ∴36-号e=16,解得be=8,即 力F和支持力N,如图所示， b(6-b)=8,解得b=2或b=4,结合b< c,得b=2,c=4. 核心素养培优·拓展提升 G 1.D2.BD3.B 拉力F与位移s方向相同， 所以拉力对木块所做的功为W。= 4.355.(1)号x(2)0 4 |F|scos0°=20J. 6.解：(1)由已知得-cos(A+B)十 支持力N与位移方向垂直，不做功，所以 cos Acos B-√3sinA·cosB=0,即有 WN=|N|·scos90°=0. sin Asin B-v3sin Acos B=0. 重力G对木块所做的功为Wc=Gscos(90°+ 因为sinA≠0，所以sinB-√3cosB )=|mg·1scos(90°+)=-19.6J. 0.又cosB≠0，所以tanB=√3.又0< (2)木块所受各力对木块做功的代数和 为W=20+0-19.6=0.4(J) B<x,所以B=于. (3)设木块所受合外力的大小为F|, (2)由余弦定理，有b=a2+c2-2 accos B. 则|F合|=|F|-|Gsin30°=0.2(N), 故合外力做功为W=0.2×2=0.4(J). 因为a+6=1,osB-分 故木块所受合外力对木块做的功与木块 所受各力对木块做功的代数和相等. 有=3a-》+ 又0<a<1, 6.4.3余弦定理、正弦定理 于是有<<1，即有2<b<1. 6.4.3.1余孩定理 6.4.3.2正孩定理 核心素养达标·夯实基础 1.D2.B3.C4.A5.BD6.AD 核心素养达标·夯实基础 1.D2.B3.B4.AD5.D6.C 7.C8.74s9.10.号 7 7.B8.149.710.(1,2) 11.（1)解：由余弦定理，得a2十b2一c2= 11.解：(1)B=60°，c=4,b=6, 2 abcos C关系式是成立的. 在△ABC中，由正往定理BC 159 得sinC-csin B4X9 √m2+2, 2- 6 3 所以√m2十2=2. (2)由于b>c,所以B>C,则C为锐角， 又因为m>0,所以m=√2，f(x)= 所以cosC= 3, 2sin(+), 则sinA=sin(B十C)=sin Bcos C十 所以函数f)在[0，] 上单调递增，在 sBc-9×+2×9-30, 3 6 [至x]上单词递减。 所以△ABC的面积S=7 bcsin A 因为f0)=②，()=2，f)=, 12×35+B=6v2+2V5. 6 所以f(x)min=一√2，f(x)mx=2. 12.解：.2cos2B-8cosB+5=0, 故函数f(x)在[0，π]上的值域为[一√2,2]. ∴.2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. (2)由f(（A-)+f(B-) .4c0s2B-8cosB+3=0, Ep(2cos B-1)(2cos B-3)=0. 4V6sin Asin B, 解得cosB=号或cosB=是（合去）. sin A+sin B-2V6sin Asin B. 由正弦定理得2R(a十b)=2√6ab, :0<B<x,B=5.:a+c=26, 因为△ABC的外接圆半径R=3, 由正弦定理得sinA十sinC=2sinB= 所以a+b=a6,所以+名=B, 2sin5=3. 6.4.3.3余孩定理、正孩定理应用举例 ∴sinA+sin(-A）=5, 核心素养达标·夯实基础 1.C2.C3.B4.D5.B6.D7.B snA+sn行sA-as行nA=g 8.北偏东30°9.100√6 10.50(1+√3)100(1+√3) 化荷得号sinA+osA=V5 11.解：根据正弦定理， sin(A+晋）=1. 在△ACD中，有AC= CDsin(45°+60) :0<A<,A+若=受 sin[180°-(30°+45°+60)万 20(sin45cos60°+cos45°sin60)_ A=5,C-8 sin45° 10(1+√3)（米）， .△ABC是等边三角形. 在△BCD中，有BC= 想借助正弦定理可以实现三角形中边角关 CDsin 45 律 系的互化，在转化为角的关系后，常常利 sin[180°-(30°+45+60刀 总 用三角变换公式进行化简，从而进行三角 20(米). 结形形状的判断三角恒等式的证明。。 在△ABC中，由余弦定理得AB= 核心素养培优·拓展提升 √AC+BC-2AC·BCcos∠BCA= 1.D2.A3.4.0 4 4 √6或2v√6 10√6（米）. 5.解：(1)由题意知，f(x)的最大值为 所以A,B两，点间的距离为10√6米. 160 核心素养培优·拓展提升 1.A 2.BCD 3. 4.解：如图所示，设所需时间为t小时，则 AB=10W3t,CB=10t,在△ABC中， ∠ACB=45°+(180°-105)=120°，根 据余弦定理，则有 h105 459 AB2=AC+BC-2AC·BCcos120°， 可得(10W3t)2=102+(10t)2-2×10× 10tcos120°， 整理得2t2一t-1=0,解得t=1或t= (合去). 即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB= 10W3,BC=10, 在△ABC中，由正孩定理得sin乙CAB BC AB sin 1203, 所以sn∠CAB=BCsn120°10 2_1 AB 10W3 2 所以∠CAB=30°，所以舰艇航行的方向 为北偏东75° 5.解：设建筑物的高度为hm,由题图知， PA-2h m,PB-/2h m.PCm. ,∴，在△PBA和△PBC中，由余弦定理，得 c0s∠PBA=60+2h-1,0 2×60×√2h 60+2h-专 coS∠PBC= 2×60X√2h —.② ∠PBA+∠PBC=180°， ∴.cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6 (舍去)，即建筑物的高度为30√6m. 专题集训突破练 专题1平面向量的线性运算 例1(1)C(2)B解析：(1)因为A(0,