6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

课时夯基过关练了 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 素养目标 1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两向量 的夹角； 2.使学生体验利用坐标法解决向量的模、夹角及垂直问题的优越性，培养学生数学运算 的核心素养。 核心素养达标夯实基础 一、选择题 A.充分不必要条件 1.(多选)已知平面向量a=(1,0),b=(2,2), B.必要不充分条件 下列叙述正确的有() C.充要条件 A.a与b的夹角为45° D.既不充分也不必要条件 B.a与b的夹角为135° 5.（多选)已知平面向量a=(2,2),b=(1,m), C.|a-bl=√5 且|2a-b|=|a+b,则() D.b在a上的投影向量为2a A.a·b=4 B.a∥b 2.(多选)已知向量a=(sin0,cos0),b=(1, C.m=-1 D.|bl=√2 √3)，c=(3,√3)，则( ) 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, A.若a∥b,则0=哥 m),若(a+2c)⊥b,|a+c-b|=() Bb在c方向上的投影向量为2c A号 B号 c号 D.16 2 7.已知平面向量a=(1,1),b=(1,一1)，若实 C.存在0，使得a在c一b方向上投影向量的 模为1 数m,n满足mn=一1，则a+mb与a+nb D.|a-b的取值范围为[1,3] 的夹角为( ) 3.已知向量a=(日号》，b=(一，)c A晋 B.Z C. D. 6 二、填空题 (一1，√3)，则向量c在向量a-b上的投影向 8.已知向量OA=(k,1),O克=(-1,2)，且 量为( ) OA⊥O克，则= ,OA-0B= A(分，) B(2,) 9.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+b|最 c停》 D(-》 小，则实数t的值为 4.已知向量a=(3,3),b=(x,一2)，则“x<2” 10.已知向量a=(2,-4),b=(-3,m).若 是“a与b的夹角为钝角”的( ) |a|b+a·b=0,则实数m= ·数学·15 、第六章平面向量及其应用 三、解答题 12.(1)已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(3, 11.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4, 0),求证：AB∥CD; y),且a∥b,a⊥c. (2)已知向量e1,e2不共线，且M2=4e1+ (1)求b与c; 2e2,PQ=2e1+e2,求证：M,P,Q三点 (2)若m=2a-b,n=a十c,求向量m,n夹 共线 角的大小 核心素养培优拓展提升 1.(多选)已知△ABC是边长为2a(a>0)的等 ,求P吃·P心的最大值. 4AC 边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则 PA·(P克+PC)的值可能是() A.-2a2 B.a c- D.-a2 2.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对 任意的a=(m,n),b=(p,q),令a￥b= 5.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点， mq一n中.下面说法错误的是(） OA=(4,0),Oi=(2,2√3)，O心=(1- A.若a与b共线，则a￥b=0 )OA+1O(入2≠). B.a￥b=b￥a (1)求OA·O克及OA在OB上的投影向量； C.对任意的入∈R,有(a)￥b=λ(a*b) (2)证明A,B,C三点共线，且当AB=BC D.(a*b)2+(a·b)2=la|2|b|2 时，求入的值； 3.在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的 (3)求1O心的最小值， 中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM 的取值范围是 4.已知A恋1AC,A=,AC=,若P点 是△ABC所在平面内一点，且A治 16 ·数学·6.3.2 平面向量的正交分解及 坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的 则Dt-A=号A点=号a, 坐标表示 Bt-Nt-N随-A市-2A$=b-2a, 6.3.4 平面向量数乘运算的 MN=CN-CM=-A市-号c市- 坐标表示 -A市+}A点=a-b. 核心素养达标·夯实基础 1.D2.A3.AB4.B5.C6.B 用基底表示向量的关键是利用三角形或 平行四边形将基底和所要表示的向量联 7.Ac8109.210g号 总 系起来.解决此类题时，首先仔细观察所 11.解：设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5), 给图形.借助于平面几何知识和共线向 D(z,y). 量定理，结合平面向量基本定理解决， ①若平行四边形为ABCD1,则AD= 12.解：M=A市+A心， BC. AD=(x+1,y),BC=(-2,-5), ·AM=圣(Mi-M)+(M心 .由AD=BC,得 「x+1=-2, MA), 解得 y=-5, MB+MC-0..MC-3 BM. =-3D,(-3,-5. y=-5, -既 ②若平行四边形为ACD2B,则AB= 核心素养培优·拓展提升 CD,. 1.ABD2.B3.BD4.C5.2 Ai=(4,0),CD2=(x-1,y+5), 红一1=4解得 x=5, 6.1+@a+(2+②k7.8 y+5=0, y=-5. .D2(5,-5). 8.解：(1)因为励=}B心=(C-A市)= ③若平行四边形为ACBD,则AD 号就-号A恋，所以A动=A砧+动= CB. AD=(x+1,y),C克=(2,5)， A本+（传3AC-号A)-号A恋+号AC x=1, .D3(1,5). y=5. (2)依题意知，A市-号A市，A市=1A心， 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐 AG-多a市-号A忘+日AC, 标为(-3，-5)或(5，-5)或(1,5). 12.解：由a=2b, 所以=-G-=号A心-居A站， 知+2=2m, 2-cos 2a=m+2sin a, Fi=A在-A本=AC-号A成】 因为E,F,G三点共线，所以F心=λF它， cosin 所以日-a,一品=-台，解得=号。 :.入=2m-2=2-2 m m 157 .'cos2 a+2sin a=-sin2a+2sin a+1 6.C7.B82而9.-号 10.6 =-(sina-1)2+2,-1≤sina≤1， ∴.-2≤cos2a+2sina≤2， 11.解：(1)因为a∥b,所以3x=4×9,所以 .-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0, ∴<m≤2， 所以y=-3,所以b=(9,12),c=(4,-3). -6≤2-2≤1， (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)= m (一3，-4)， 即-6≤分≤1， n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为0， 的取值范围为[-6,1]. m m·n= 核心素养培优·拓展提升 则c0s0=mm 1.D 2.B 3.BCD -3×7+(-4)×1 √(-3)2+(-4)2·√72+1 4.(1)解：.a=(1,1),b=(1,0), ∴.f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)= -25=-2 25√2 2 (0,2×0-1)=(0,-1). (2)解：设c=(x,y),则f(c)=(y,2y 因为0E[0,],所以0=3.即m,n的 x)=(p,q), ==2-g, 夫角为 (2y-x=q,y=p, 12.解：(1)点A(0,1),B(1,0),C(1,2), .c=(2p-9,p). D(3,0), (3)证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2), .Ai=(1,-1),C市=(2，-2). 则ma+nb=(ma1十nb1,ma2+nb2）, :A站=2市， .f (ma+nb)=(maz nb2,2maz+ AB∥CD.又直线AB,CD不重合，故 2nb2-ma1-nb1）. AB∥CD. 又，mf(a)=m(a2,2a2-a1),nf(b)= (2)Mp=4e1+2e2,P=2e1十e2, n(b2,2b2-b1), ∴.M巾=2P夜，即M∥P夜， .mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+ M巾，P夜有共同的起点P, n(b2,2b2-b1)=（ma2+nb2,2ma2+ M,P,Q三点共线. 2nb2-ma-nb). 核心素养培优·拓展提升 故对任意的向量a,b及常数m,n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. 1.BCD 2.B 3[2] 对于信息题的处理应注意以下两点： 4.解：以A为坐标原，点，建立平面直角坐 规 (1)要注意概念的内涵与外延，认真领会题 中所给信息： 标系，如图所示，则B(?,0,C(0,0, (2)注意题中的条件与结论，将所得到的信 Ap=(1,0)+4(0,1)=(1,4),即P(1, ,息应用到题目中去，即解块实际问题、 0,所以=(}-1，-4），心=(-1， 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 t-4),因此Pi.P℃-1-1-4+16 核心素养达标·夯实基础 1.ACD 2.BCD 3.A 4.B 5.ABD 17-(任+)，因为+4≥2√·4= 158 4,所以市，P元的最大值等于13，当 4,即=2时等号成立。 y个 (0,)C 、B A (,0) 5.(1)解：OA·Oi=4×2+0×2√3=8， 设OA与Oi的夹角为0， 0才.0i8=1 则0s0=粉品文4克 .OA在O范上的投影向量为|OA cos0· 毫=xg×2,2=1同 4 (2)证明：AB=O范-O才=(-2， 23), B武-O元-Oi=(1-)OA-(1-A)Oi= Q-1)AB,且2≠λ， A,B,C三点共线. 当AB=BC时，λ一1=1，解得λ=2. (3)解：OC12=(1-λ)2OA2+2(1-λ)· OA·0范+2O=162-16x+16= 16(a-）°+12， “当X=7时，0心取符最小值，为2w 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 核心素养达标·夯实基础 1.D2.A3.B4.D5.AC6.-√5 将 8.解：以平行于斜坡方 F2 向为x轴，垂直于斜 坡方向为y轴，建立 30 G 如图所示的平面直