6.3.1 平面向量基本定理-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第六章平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 入素养目标 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理； 2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用； 3.培养学生利用化归与转化思想解决向量问题的能力. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 A品 B c鼎 D 1.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基底， λ∈R,a=e1十e2,b=2e1,则a与b共线的 5.已知平行四边形ABCD,若点M是边BC的 条件为() 三等分点（靠近点B处），点N是边AB的 中点，直线BD与MN相交于点H,则 A.λ=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0 部( 2.设a,b为平面内所有向量的一组基底，已知向 量AB=a-b,C克=2a十b,Cd=3a-b,若A, A号 B号 c D. B,D三点共线，则实数的值等于() 6.（多选)下列说法正确的有( A.2 B.-2C.10 D.-10 A.在△ABC中，若CA+C第=2CD,则D是 3.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中 AB的中点 点，AE和BD相交于点F.记AB=a,AD=b, B.已知A,B,C是平面内任意三点，则AB+ 则() BC+CA=0 A.CF=2. C.若O,A,B,C是同一平面上的四个点，若 3a- OA=λOB+(1-λ)OC(λ∈R),则A,B, B.C市-2 号a+号0 C三点共线 D.若G+G范+GC=0,则G为△ABC的 C.CP--- 外心 DC-a+号b 7.如图所示，已知点G是 △ABC的重心，过点G作直 4.如图，在△ABC中，Ad=N心，P 线分别与AB,AC两边交于 M,N两点（点N与点C不重合），设AM= 是BN上的一点，若A市=mAB+ 品AC,则实数m的值为() xAB,A立=yAC,则1+1的值为() x y A.3 B.4 C.5 D.6 10·数学· 课时夯基过关练了 8.如图，在△ABC中，满足条件AD=D克， 12.如图，已知M为△ABC的边BC上一点， A位-号武，若D=AB所+rB心，则员十 且满足A立=A在+AC,求△ABM与 1=(） △ABC的面积之比， A.8 B.4 C.2 n 二、填空题 9.若A市-号A店，O市-AOi+O,A,∈R, 则λ十μ= 10.已知e1,e2是两个不共线的向量，a= re+1-2)e与6=2e+3e:共线，则 实数k= 三、解答题 11.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,且AB= 2CD,M,N分别是DC和AB的中点，若 AB=a,AD=b,试用a,b表示DC, BC,MN. 数学 、第六章平面向量及其应用 核心素养培优拓展提升 1.（多选)设a是已知的平面向量，向量a,b,c 5.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点， 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确 AD=AB,BE=号BC,若D迹=恋+2C 的有() A.给定向量b,总存在向量c,使a=b十c (入1,2为实数)，则入1十2的值为 B.给定向量b和c,总存在实数入和4，使 6.南开中学的八角形校徽由 a=b十uc 两个正方形叠加变形而成， C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向 喻意“方方正正做人”，又寄 量c和实数入，使a=b十c 托南开人“面向四面八方， D.若|a=2,存在单位向量b,c和正实数入， 胸怀博大，广纳新知，寓意进取”之精神，如 ,使a=b十c,则λ十>2 图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知 2.如图，△ABC中，B市= 其由一个正方形与以该正方形中心为中心 3DC,A它=mAB,A市= 逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知 向量n,k,则向量a= nAC,m>0,n>0,则1+3=( m n 7.在△ABC中，点D满足BD=子BC,当点E A.3 B.4 c D 在线段AD上移动时，若A它=λAB+μAC, 3.（多选)在任意平面四边形ABCD中，点E, 则t=(入一1)2十2的最小值是 F分别在线段AD,BC上，E市=入AB十 8.如图所示，D,E,F分别是△ABC的边BC, uDC(,u∈R),给出下列四组等式，其中符 CA,AB上的点，AD与EF相交于点G,已 合条件的有( CD=2DB,AF=4FB,AG=mAD, AE=tAC. A.A应-}AD,B-BC (1)试用AB,AC表示AD; B.A在-2AD,B=)BC （2)若m=求：的值， C.AE-}A市，B-号BC D.AE-号AD,B-号BC 4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC= 4,P为线段AB上的点，且C=·哥 C范 y·C方，则xy的最大值为( A.1 B.2 C.3 D.4 12数学·课时训练答案与解析 第六章 平面向量及其应用 核心素养培优·拓展提升 1.B 2.B 3.ABC 4.C 课时夯基过关练 5.解：(1)如图，根据向量相等的定义，AB 与a的方向相同，长度相等，即|A|=2, 6.1平面向量的概念 即可得到向量AB; 核心素养达标·夯实基础 1.A2.B3.C4.A5.D6.ABD 7.菱形8.√39.④ 10.解：(1)因为E,F,D分别是AC,AB, BC的中点， (2)如图，画出一个满足条件的向量AM, 所以，EF∥BC,且EF=BD=DC. 点M的轨迹是以点A为圆心，半径r= 所以，与E市相反的向量为F它，B心，D心 √5的圆. (2)因为△ABC的三边均不相等， 又EF=BD=DC, 所以，与E泸的模相等的向量为F它， Bd,D克，DC,Ci. (3)由(1)(2)可知，与E疗相等的向量为 6.2平面向量的运算 DB.CD 11.解：(1)因为1OA|=3,点A在点O的 6.2.1向量的加法运算 正西方向，故向量OA的图示如下： 北 6.2.2向量的减法运算 -011- 核心素养达标·夯实基础 0 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A 上达达 8.D9.P交10.30° +东 11.解：以OB,O心为邻边作平行四边形 (2)因为Oi|=3√2，点B在点O的北 OBDC,连接OD,AD, 偏西45°方向，故向量O克的图示如下： 所以O市=Oi+O心=b十c, 北 所以A市=O市-OA=b十c-a. 3 12.证明：由题知A0=O心，D0=Oi, 因此Ai=Aò+Oi=O心+Dò=D0+ O心=DC.所以AB,DC平行且相等，因 1AB1=√TOB2-1OA2=3. 此四边形ABCD是平行四边形. 155 核心素养培优·拓展提升 (3)结论：AA十AA,+AA+…+AA 1.C2.A3.AD4.B ="2a+b. 5.2 6.解：设OA,OB,OC三 13.解：B市=BC+C市=(a+mb)+3(a- b)=4a+(m-3)b, 根绳子所受的力分别 为a,b,c,则a十b十 若A,B,D三点共线，则存在实数入，使 B=λAB, c=0. 因为a,b的合力为c=a十b,所以c=|c1. 即4a+(m-3)b=λ(a+b), 如图在平行四边形OB'C'A'中， 4=λ， 所以〈 解得m=7. 因为OB⊥OC,BC=OA, m-3=λ， 所以1OA1>1OB1,1OA1>1OC1,即 故当m=7时，A,B,D三，点共线. la>bl,a>cl. 核心素养培优·拓展提升 1.D 2.B 3.ABD 故细绳OA受力最大】 4.解：(1)如图所示， 6.2.3向量的数乘运算 因为G为△ABC重心， 核心素养达标·夯实基础 所以AG= 1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.A 8.C9-16+310.211.C +A0=号A6+号a6, 12.解：(1)当P,Q是线段BC的三等分，点 所以AG=号AM+A衣， 时，以AB,AC为邻边作平行四边形 因为M,G,N三点共线，所以号x十3y ABDC, 连接AD,交BC于点O,连接PD,QD, 1,即x+y=3. 如图所示， x>1, 1<x<2, 则Ai+AC=A方，因为OB=OC,BP= (2)由题意可知y>1, → (1<y2, CQ=号BC,所以OP=PQ且OA- x十y=3, x-1+y-1=1, OD, 所以四边形APDQ是平行四边形，所 以A市+A夜=AD=AB+A=a+b. a-1+y-1D=3+2g2+ y-1 3+2写3+2 (2)当P,Q,S是线段BC的四等分，点 当且仅当2一=即y-1 y-1 时，如图所示，则Q是BC的中点，AB+ √2(x一1)时取等号， AC-A市+A$=2A, 又x十y=3,所以x=√2，y=3一√2时， 所以A市+A边+A$=(A在+AC 马十，吕取得最小位为3+22 (a+b). 3 6.2.4向量的数量积 核心素养达标·夯实基础 1.C2.C3.B4.B5.C6.AB7.B 156 8c9,410[]18 12.解：(1)a·b=(3e-2e2)·(2e1-3e2)= 6e-13e1·e2+6e吃=6-13cos120°+ 637 2 (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=（a+b):(a-b)_ la+blla-b (5e-5e2)·(e+2）=0, 5e1-5e2e1+e2 所以0=90°，即a十b与a一b的夹角为 90°. 13.解：(1)由已知得a·b=2×1Xcos60°=1. 若c⊥d,则c·d=0. ∴.c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+ (5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2- 10=9m-12=0,.m=4 31 故当m=专时，6与d垂克. (2),(2a-b)·(a+b)=2a+2a·b-a· b-=2a2+a·b-b=2×12+1×1× s12w-1=含a+61=Va+bF= v√a2+2a·b十b2= W1+2×1×1×cos120°+1=1， ÷2a01ba+》-方，即向量2a a+b b在向量0十b方向上的投影为2： 核心素养培优·拓展提升 1.C2.B3.A4.D5.-25 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 核心素养达标·夯实基础 1.A2.A3.A4.C5.C6.ABC 7.A8A9.110.-2或号 11.解：如图所示，连接CN,则四边形 ANCD是平行四边形. 6.3.2 平面向量的正交分解及 坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的 则Dt-A=号A点=号a, 坐标表示 Bt-Nt-N随-A市-2A$=b-2a, 6.3.4 平面向量数乘运算的 MN=CN-CM=-A市-号c市- 坐标表示 -A市+}A点=a-b. 核心素养达标·夯实基础 1.D2.A3.AB4.B5.C6.B 用基底表示向量的关键是利用三角形或 平行四边形将基底和所要表示的向量联 7.Ac8109.210g号 总 系起来.解决此类题时，首先仔细观察所 11.解：设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5), 给图形.借助于平面几何知识和共线向 D(z,y). 量定理，结合平面向量基本定理解决， ①若平行四边形为ABCD1,则AD= 12.解：M=A市+A心， BC. AD=(x+1,y),BC=(-2,-5), ·AM=圣(Mi-M)+(M心 .由AD=BC,得 「x+1=-2, MA), 解得 y=-5, MB+MC-0..MC-3 BM. =-3D,(-3,-5. y=-5, -既 ②若平行四边形为ACD2B,则AB= 核心素养培优·拓展提升 CD,. 1.ABD2.B3.BD4.C5.2 Ai=(4,0),CD2=(x-1,y+5), 红一1=4解得 x=5, 6.1+@a+(2+②k7.8 y+5=0, y=-5. .D2(5,-5). 8.解：(1)因为励=}B心=(C-A市)= ③若平行四边形为ACBD,则AD 号就-号A恋，所以A动=A砧+动= CB. AD=(x+1,y),C克=(2,5)， A本+（传3AC-号A)-号A恋+号AC x=1, .D3(1,5). y=5. (2)依题意知，A市-号A市，A市=1A心， 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐 AG-多a市-号A忘+日AC, 标为(-3，-5)或(5，-5)或(1,5). 12.解：由a=2b, 所以=-G-=号A心-居A站， 知+2=2m, 2-cos 2a=m+2sin a, Fi=A在-A本=AC-号A成】 因为E,F,G三点共线，所以F心=λF它， cosin 所以日-a,一品=-台，解得=号。 :.入=2m-2=2-2 m m 157 .'cos2 a+2sin a=-sin2a+2sin a+1 6.C7.B82而9.-号 10.6 =-(sina-1)2+2,-1≤sina≤1， ∴.-2≤cos2a+2sina≤2， 11.解：(1)因为a∥b,所以3x=4×9,所以 .-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0, ∴<m≤2， 所以y=-3,所以b=(9,12),c=(4,-3). -6≤2-2≤1， (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)= m (一3，-4)， 即-6≤分≤1， n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为0， 的取值范围为[-6,1]. m m·n= 核心素养培优·拓展提升 则c0s0=mm 1.D 2.B 3.BCD -3×7+(-4)×1 √(-3)2+(-4)2·√72+1 4.(1)解：.a=(1,1),b=(1,0), ∴.f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)= -25=-2 25√2 2 (0,2×0-1)=(0,-1). (2)解：设c=(x,y),则f(c)=(y,2y 因为0E[0,],所以0=3.即m,n的 x)=(p,q), ==2-g, 夫角为 (2y-x=q,y=p, 12.解：(1)点A(0,1),B(1,0),C(1,2), .c=(2p-9,p). D(3,0), (3)证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2), .Ai=(1,-1),C市=(2，-2). 则ma+nb=(ma1十nb1,ma2+nb2）, :A站=2市， .f (ma+nb)=(maz nb2,2maz+ AB∥CD.又直线AB,CD不重合，故 2nb2-ma1-nb1）. AB∥CD. 又，mf(a)=m(a2,2a2-a1),nf(b)= (2)Mp=4e1+2e2,P=2e1十e2, n(b2,2b2-b1), ∴.M巾=2P夜，即M∥P夜， .mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+ M巾，P夜有共同的起点P, n(b2,2b2-b1)=（ma2+nb2,2ma2+ M,P,Q三点共线. 2nb2-ma-nb). 核心素养培优·拓展提升 故对任意的向量a,b及常数m,n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. 1.BCD 2.B 3[2] 对于信息题的处理应注意以下两点： 4.解：以A为坐标原，点，建立平面直角坐 规 (1)要注意概念的内涵与外延，认真领会题 中所给信息： 标系，如图所示，则B(?,0,C(0,0, (2)注意题中的条件与结论，将所得到的信 Ap=(1,0)+4(0,1)=(1,4),即P(1, ,息应用到题目中去，即解块实际问题、 0,所以=(}-1，-4），心=(-1， 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 t-4),因此Pi.P℃-1-1-4+16 核心素养达标·夯实基础 1.ACD 2.BCD 3.A 4.B 5.ABD 17-(任+)，因为+4≥2√·4= 158 4,所以市，P元的最大值等于13，当 4,即=2时等号成立。 y个 (0,)C 、B A (,0) 5.(1)解：OA·Oi=4×2+0×2√3=8， 设OA与Oi的夹角为0， 0才.0i8=1 则0s0=粉品文4克 .OA在O范上的投影向量为|OA cos0· 毫=xg×2,2=1同 4 (2)证明：AB=O范-O才=(-2， 23), B武-O元-Oi=(1-)OA-(1-A)Oi= Q-1)AB,且2≠λ， A,B,C三点共线. 当AB=BC时，λ一1=1，解得λ=2. (3)解：OC12=(1-λ)2OA2+2(1-λ)· OA·0范+2O=162-16x+16= 16(a-）°+12， “当X=7时，0心取符最小值，为2w 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 核心素养达标·夯实基础 1.D2.A3.B4.D5.AC6.-√5 将 8.解：以平行于斜坡方 F2 向为x轴，垂直于斜 坡方向为y轴，建立 30 G 如图所示的平面直