第四单元 正比例与反比例（易错专项讲义）数学北师大版六年级下册

该小学数学第四单元“正比例与反比例”易错专项讲义通过易错知识点梳理框架系统构建知识体系，将“相关联的量理解”“正反比例判断”等5个核心易错点以实例分析形式呈现，结合表格对比（如圆柱体积与半径关系）、统计图解读（如出租车里程票价变化）等工具，清晰展示重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于“典例剖析+分层训练”设计，如通过出租车里程票价统计图培养几何直观（数学眼光），借助正反比例判断题强化推理意识（数学思维），结合工厂生产零件等实际问题渗透模型意识（数学语言）。易错专练涵盖选择、填空、实际应用等题型，基础学生可通过错题纠正巩固概念，优秀学生能通过综合题拓展思维，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

第四单元 正比例与反比例易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 2 易错点2：正比例、反比例判断错误。 4 易错点3：错误理解正比例图象。 6 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 9 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 11 模块一 易错知识点梳理 1、没有正确分析变量的变化规律。 例如出租车都有起步价,在一定里程内票价一定,超过范围后,票价随里程的增加而增加。 2、没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 例如圆柱问题，当圆柱的高一定时,圆柱的体积与半径的平方或底面积成正比例。 3、错误理解正比例图象。正比例图象是一条直线。 4、不能正确判断哪两个量成反比例。 两种相关联的量,必须乘积一定才成反比例,否则不成反比例。 5、没有正确理解正、反比例的意义。 两种相关联的量,必须“比值一定”才成正比例,“乘积一定”才成反比例。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 【典例1】下面是李明乘坐出租车的里程与票价统计图:说一说票价是如何随里程的变化而变 化的。 【错误答案】答:里程增加,票价也随着增加。 【错解分析】此题错在没有正确分析统计图中的折线变化情况,前3 km票价没有变化。 【正确答案】在3 km以内票价没有变化,都是5元,超过3 km,票价随里程的变化而变化,里程增加,票价也随着增加。 【易错专练1】下列说法错误的是（    ）。 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 【易错专练2】下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 【易错专练3】骆驼的体温随着时间的推移呈（ ）变化。    【易错专练4】小恒在一个U型的滑道中练习滑板，他两次滑行的高度随时间的变化情况如下图所示。 （1）运动过程中，到达的最高点高度是（ ）m，最低点高度是（ ）m。 （2）第一次滑行的全过程中，（ ）的时间范围内高度逐渐增加，（ ）的时间范围内高度逐渐降低。 （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要（ ）秒。 【易错专练5】在烧开水时，水达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的部分数据。 加热时间/分 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … （1）水的温度随着时间的增加而（ ），到（ ）℃恒定。 （2）水的初始温度为（ ）℃，烧水8分时，水的温度为（ ）℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加（ ）℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是（ ）℃。 （4）为了节约能源，应在（ ）（填时间）后停止烧水。 易错点2：正比例、反比例判断错误。 【典例2】判断:正方形的面积与边长成正比例关系。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】虽然正方形的面积与边长是两种相关联的量，但是正方形面积=边长,边长不是一个常量,所以正方形面积与边长不成正比例关边长系,应与边长的平方成正比例关系。 【正确答案】判断 【易错专练1】下面几组相关联的量中，成正比例的是（    ）。 A．王强读一本书，已读的页数与未读的页数 B．报纸的单价一定，总价与购买的份数 C．烧煤的总量一定、每天烧煤量和所烧的天数 D．长方形的周长一定，这个长方形的长和宽 【易错专练2】下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【易错专练3】下列各种数量关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．已知，y与x B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．出油率一定，大豆的质量和大豆油的质量 【易错专练4】下列说法错误的是（    ）。 A．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 B．一本书的总页数一定，已看页数和未看页数成反比例 C．正方形的周长与边长成正比例 D．出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例 【易错专练5】下列选项中的两种量成正比例关系的是（    ）。 A．订《中国少年报》的份数和总钱数 B．梯形面积一定，它的上底、下底之和与高 C．工作总量一定，工作效率和工作时间 D．小猫的体重和年龄 易错点3：错误理解正比例图象。 【典例3】下面是某书店语文课外读本销售数量与销售金额的统计表。 请你把这两个量的变化情况画在图中。 【错误答案】 【错解分析】此题错在没有理解正比例图象的特征。当销售数量为0时,销售金额为0元。所以该图象应该经过(0,0)点;销售金额随着销售数量的增加而增加,所以该图象应该向右无限延伸。图中只画出了一条线段。 【正确答案】 【易错专练1】下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快B．斑马的奔跑速度快C．一样快D．不确定谁的奔跑速度快 【易错专练2】某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成（ ）比例关系，环卫队每小时清扫（ ）米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的（ ）%。 【易错专练3】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成（ ）比例，照这样计算，6时行驶（ ）千米，要行驶720千米需要（ ）时。 【易错专练4】下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 （1）点A表示的意思是：______________________________ （2）从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成（ ）比例关系。 （3）如果汽车行驶120km，需要耗油（ ）L。 【易错专练5】下图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况： （1）这个进水管2小时进水量是（ ）立方米。 （2）这个进水管的进水量与时间成（ ）比例关系。 （3）照这样的速度，如果给这个游泳池注水，9小时能注水（ ）立方米；如果要给这个游泳池注水240立方米，需要（ ）小时。 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 【典例4】下表中，若x和y成正比例，则★代表的数是（ ）；若x和y成反比例，则★代表的数是（ ）。 x 4 1.6 y 5 ★ 【错误答案】12.5 2 【错解分析】本题错在对正反比例的理解错误，导致计算错误。 【正确解答】2 12.5 4÷5＝0.8 1.6÷0.8＝2 所以，若x和y成正比例，则★代表的数是2。 4×5÷1.6 ＝20÷1.6 ＝12.5 所以，若x和y成反比例，则★代表的数是12.5。 【易错专练1】如表所示，如果和成正比例，那么“？”处应填___________。如果和成反比例，那么“？”处应填___________。 3 ？ 90 150 【易错专练2】如表，当a和b成正比例时，“？”表示的数是（ ），当a和b成反比例时，“？”表示的数是（ ）。 a 6 0.4 b ？ 2.4 【易错专练3】 x 2 ？ y 600 300 如果x与y成正比例，那么“？”是（ ）；如果x与y成反比例，那么“？”是（ ）。 【易错专练4】表格中，如果A和B成正比例，＝（ ），如果A和B成反比例，＝（ ）。 A 2 8 B 0.5 【易错专练5】表格中，如果与两个量成正比例关系，那么的值是_____；如果与两个量成反比例关系，那么的值是_____。 8 40 64 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 【典例5】某工厂生产一批零件，每天生产的数量和需要的天数如下： 每天生产数量/个 100 200 300 400 需要天数/天 12 6 4 3 判断每天生产数量和需要天数成什么比例？为什么？ 【错误答案】成正比例，因为每天生产数量增加，天数减少。 【错解分析】错误原因有二：1、正比例是同向变化，这里是反向变化；2、没有用数据验证。 【正确解答】成反比例 因为：每天生产数量×需要天数=总产量（一定） 验证：100×12=1200，200×6=1200，300×4=1200，400×3=1200 【易错专练1】李晴家装修房子。如果用面积是25平方分米的方砖铺地，需要320块；如果改用边长为8分米的方砖铺地，需要多少块？ 【易错专练2】为了预防冬季感冒，校医室按1∶200的配比配制了消毒液。现在有2瓶105毫升的药液，需要加入多少毫升水？（用比例知识解答） 【易错专练3】打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【易错专练4】亮亮要用一些纸装订草稿本。 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … （1）判断草稿本每本的页数与装订的本数是否成反比例，并说明理由。 （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 【易错专练5】同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理时，做了如下实验，现在杠杆左边刻度4处挂3个砝码。再分别在杠杆右边不同刻度处挂不同的砝码，使杠杆保持平衡。（如图1、图2） （1）右边分别在其他刻度上挂几个砝码才能保持平衡呢？把下面表格补充完整。 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 （2）观察上图刻度数和所挂砝码数成什么比例，为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 正比例与反比例易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 2 易错点2：正比例、反比例判断错误。 6 易错点3：错误理解正比例图象。 9 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 14 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 19 模块一 易错知识点梳理 1、没有正确分析变量的变化规律。 例如出租车都有起步价,在一定里程内票价一定,超过范围后,票价随里程的增加而增加。 2、没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 例如圆柱问题，当圆柱的高一定时,圆柱的体积与半径的平方或底面积成正比例。 3、错误理解正比例图象。正比例图象是一条直线。 4、不能正确判断哪两个量成反比例。 两种相关联的量,必须乘积一定才成反比例,否则不成反比例。 5、没有正确理解正、反比例的意义。 两种相关联的量,必须“比值一定”才成正比例,“乘积一定”才成反比例。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 【典例1】下面是李明乘坐出租车的里程与票价统计图:说一说票价是如何随里程的变化而变 化的。 【错误答案】答:里程增加,票价也随着增加。 【错解分析】此题错在没有正确分析统计图中的折线变化情况,前3 km票价没有变化。 【正确答案】在3 km以内票价没有变化,都是5元,超过3 km,票价随里程的变化而变化,里程增加,票价也随着增加。 【易错专练1】下列说法错误的是（    ）。 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 【答案】B 【分析】变量与常量的概念：变量是会发生变化的量，常量是固定不变的量，需判断各选项中量的性质。 【解答】A.《科技报》的单价固定，总钱数＝单价×数量，数量是变量，总钱数随数量变化，说法正确。 B.圆周率是固定的常数（约3.14159），不会变化；圆的面积随半径变化，而非圆周率，说法错误。 C.路程固定时，时间＝路程÷速度，速度是变量，时间随速度变化，说法正确。 D.汽车的单位路程耗油量固定，耗油量＝单位耗油量×行驶路程，路程是变量，耗油量随路程变化，说法正确。 故答案为：B 【易错专练2】下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 【答案】A 【分析】相关联的量必须满足一个量变化，另一个量也随之变化的关系。根据这样的定义判断。 【解答】A.正方形面积＝边长×边长，正方形的面积随着边长的变化而变化，所以正方形的面积与边长是两个相关联的量。 B.人的身高与长相没有固定的数学依赖关系，人的身高不会随着长相变化而变化，所以人的身高与长相不是两个相关联的量。 C.自行车的款式与行驶的路程没有固定的数学依赖关系，自行车的款式不会随着行驶的路程变化而变化，所以自行车的款式与行驶的路程不是两个相关联的量。 D.天气和时间没有固定的数学依赖关系，天气不会随着时间变化而变化，所以天气与时间不是两个相关联的量。 故答案为：A 【易错专练3】骆驼的体温随着时间的推移呈（ ）变化。    【答案】周期性 【分析】通过观察骆驼体温变化图，可以知道：骆驼的体温在0时至4时体温从37度下降到35度，4时至16时体温从35度逐渐上升40度，从16时到28时体温从40度逐渐下降至35度，然后又从35度逐渐上升。是一个周期性的变化过程。 【解答】骆驼的体温随着时间的推移呈（周期性）变化 【点睛】从折线统计中找出体温变化的规律是解答的关键。 【易错专练4】小恒在一个U型的滑道中练习滑板，他两次滑行的高度随时间的变化情况如下图所示。 （1）运动过程中，到达的最高点高度是（ ）m，最低点高度是（ ）m。 （2）第一次滑行的全过程中，（ ）的时间范围内高度逐渐增加，（ ）的时间范围内高度逐渐降低。 （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要（ ）秒。 【答案】（1）2.5 0 （2）3秒至6秒 0秒至3秒 （3）6 【分析】根据题意观察图像，可以发现最高点的高度是2.5m，最低点的高度是0m；从最高点滑出到再次到达最高点为完整的一次滑行，第一次滑行的过程中，观察哪个时间范围内高度逐渐增加，哪个时间范围内高度逐渐降低；通过计算两次到达最高点的时间差，即为下次到达最高点所需要的时间；据此解答。 【解答】（1）运动过程中，到达的最高点高度是2.5m，最低点高度是0m； （2）第一次滑行的全过程中，3秒至6秒的时间范围内高度逐渐增加，0秒至3秒的时间范围内高度逐渐降低； （3）（秒） 则到达最高点后，下一次再到达最高点需要6秒。 【易错专练5】在烧开水时，水达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的部分数据。 加热时间/分 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … （1）水的温度随着时间的增加而（ ），到（ ）℃恒定。 （2）水的初始温度为（ ）℃，烧水8分时，水的温度为（ ）℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加（ ）℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是（ ）℃。 （4）为了节约能源，应在（ ）（填时间）后停止烧水。 【答案】（1）增加 100 （2）30 86 14 （3）100 （4）10分钟 【分析】（1）观察表格可知，随着时间从0分钟增加到10分钟，水的温度从30℃逐渐升高到100℃，10分钟后温度保持100℃不变，所以水的温度随着时间的增加而增加，到100℃恒定。 （2）从表格中可以直接看出，时间为0分钟时，水的初始温度为30℃；时间为8分钟时，水的温度为86℃；10分钟内，时间从0分钟到10分钟，共推移了10分钟，温度从30℃升高到100℃，升高了℃，10分钟里有（）个2分钟，所以时间每推移2分，水的温度就增加℃。 （3）因为10分钟后水的温度恒定在100℃，推测16分钟时水的温度。 （4）由于10分钟后水已经沸腾且温度恒定，为了节约能源，应在水达到沸腾状态后停止加热，据此解答。 【解答】（1）由分析可知，水的温度随着时间的增加而增加，到100℃恒定。 （2）由分析可知，水的初始温度为30℃，烧水8分时，水的温度为86℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加14℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是100℃。 （4）由分析可知，为了节约能源，应在10分钟后停止烧水。 易错点2：正比例、反比例判断错误。 【典例2】判断:正方形的面积与边长成正比例关系。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】虽然正方形的面积与边长是两种相关联的量，但是正方形面积=边长,边长不是一个常量,所以正方形面积与边长不成正比例关边长系,应与边长的平方成正比例关系。 【正确答案】判断 【易错专练1】下面几组相关联的量中，成正比例的是（    ）。 A．王强读一本书，已读的页数与未读的页数 B．报纸的单价一定，总价与购买的份数 C．烧煤的总量一定、每天烧煤量和所烧的天数 D．长方形的周长一定，这个长方形的长和宽 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断两种量是否成正比例，需满足两个条件：一是两个量有相除的关系，二是商一定。 【解答】A．王强读一本书，已读的页数与未读的页数。 已读的页数＋未读的页数＝一本书的页数，两个量是相加的关系，不符合正比例的特征。 B．报纸的单价一定，总价与购买的份数。 总价÷份数＝单价（一定），两个量是相除的关系，且商一定，符合正比例的特征，总价与份数成正比例。 C．烧煤的总量一定、每天烧煤量和所烧的天数。 每天烧煤量×所烧的天数＝总量（一定），两个量是相乘的关系，不符合正比例的特征。 D．长方形的周长一定，这个长方形的长和宽。 （长＋宽）×2＝长方形的周长（一定），两个量是相加的关系，不符合正比例的特征。 成正比例的是“报纸的单价一定，总价与购买的份数”。 【易错专练2】下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终是一个固定不变的常数，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【解答】A．根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以时间与速度不成正比例。 B．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S表示面积，a表示底，h表示高），当面积一定时，ah＝2S（一定），是乘积一定，所以底和高不成正比例。 C．因为被减数＝减数＋差，当被减数一定时，减数与差是和一定，不是比值或乘积一定的关系，所以减数与差不成比例。 D．圆柱的体积公式为V＝Sh（V表示体积，S表示底面积，h表示高），当高一定时，V÷S＝h（一定），是比值一定，所以体积和底面积成正比例关系。 所以选项D中的两个量成正比例关系。 故答案为：D 【易错专练3】下列各种数量关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．已知，y与x B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．出油率一定，大豆的质量和大豆油的质量 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】A．已知（一定），则y与x成正比例关系； B．由“”可知，（一定），则正方体的表面积和它的一个面的面积成正比例关系； C．由“前项÷后项＝比值”可知，后项×比值＝前项（一定），则比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系； D．大豆油的质量÷大豆的质量＝出油率（一定），则出油率一定，大豆的质量和大豆油的质量成正比例关系。 【易错专练4】下列说法错误的是（    ）。 A．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 B．一本书的总页数一定，已看页数和未看页数成反比例 C．正方形的周长与边长成正比例 D．出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；如果两种关系都不满足，则这两种量不成比例；据此解答。 【解答】A．因为圆柱的底面积×高＝体积（一定），底面积和高的乘积一定，所以圆柱的体积一定，底面积和高成反比例；原说法正确； B．已看页数＋未看页数＝一本书的总页数（一定），因为已看页数和未看页数既不满足乘积一定也不满足比值一定，所以一本书的总页数一定，已看页数和未看页数不成比例；原说法不正确； C．因为正方形的周长÷边长＝4（一定），正方形的周长与边长的比值一定，所以正方形的周长与边长成正比例；原说法正确； D．因为＝出油率（一定），花生油的质量和花生的质量的比值一定，所以出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例；原说法正确。 故答案为：B 【易错专练5】下列选项中的两种量成正比例关系的是（    ）。 A．订《中国少年报》的份数和总钱数 B．梯形面积一定，它的上底、下底之和与高 C．工作总量一定，工作效率和工作时间 D．小猫的体重和年龄 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。 【解答】A．订《中国少年报》时，总钱数÷份数＝每份《中国少年报》的单价（一定）。也就是订报的份数和总钱数相对应的比值一定，所以订《中国少年报》的份数和总钱数成正比例关系。 B．梯形的面积公式为S＝（a＋b）h÷2（S表示面积，a、b分别表示上底和下底，h表示高），当面积S一定时，（a＋b）h＝2S（一定），即上底、下底之和与高的乘积一定。所以梯形面积一定时，它的上底、下底之和与高成反比例关系。 C．工作总量＝工作效率×工作时间，当工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定。所以工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系。 D．小猫的体重和年龄不是相关联的量，体重不会随着年龄的变化而按照固定的比值变化（比如小猫在不同生长阶段，体重增长不是均匀的）。所以小猫的体重和年龄不成正比例关系。 所以符合正比例关系的是选项A中的说法。 故答案为：A 易错点3：错误理解正比例图象。 【典例3】下面是某书店语文课外读本销售数量与销售金额的统计表。 请你把这两个量的变化情况画在图中。 【错误答案】 【错解分析】此题错在没有理解正比例图象的特征。当销售数量为0时,销售金额为0元。所以该图象应该经过(0,0)点;销售金额随着销售数量的增加而增加,所以该图象应该向右无限延伸。图中只画出了一条线段。 【正确答案】 【易错专练1】下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快B．斑马的奔跑速度快C．一样快D．不确定谁的奔跑速度快 【答案】B 【分析】看图可知，长颈鹿10分钟跑了8千米，斑马10分钟跑了16千米。速度＝路程÷时间，据此分别求出长颈鹿和斑马的速度，再比较得出谁的奔跑速度更快即可。 【解答】长颈鹿速度：8÷10＝0.8（千米/分） 斑马速度：16÷10＝1.6（千米/分） 1.6＞0.8，所以斑马的奔跑速度快。 故答案为：B 【易错专练2】某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成（ ）比例关系，环卫队每小时清扫（ ）米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的（ ）%。 【答案】正 50 125 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；清扫长度与所用时间的比值就是环卫队每小时清扫街道的长度；这条长250米的街道原来需要5小时完成清扫，现在需要（5－1）小时完成清扫，现在的清扫速度＝街道的总长度÷清扫时间，把原来的清扫速度看作单位“1”，现在速度比原来提高的百分率＝（现在的清扫速度－原来的清扫速度）÷原来的清扫速度×100%，最后加上1求出现在速度应提高到原来的百分率，据此解答。 【解答】由图可知，（一定），所以清扫的街道长度与所用时间成正比例关系，环卫队每小时清扫50米。 250÷（5－1） ＝250÷4 ＝62.5（米） （62.5－50）÷50×100% ＝12.5÷50×100% ＝0.25×100% ＝25% 1＋25%＝125% 所以，速度应提高到原来的125%。 【易错专练3】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成（ ）比例，照这样计算，6时行驶（ ）千米，要行驶720千米需要（ ）时。 【答案】正 540 8 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，计算可知，行驶的路程和时间的比值是90，所以行驶的路程和时间成正比例关系，再根据“路程＝速度×时间”求出6时行驶的路程，最后根据“时间＝路程÷速度”求出行驶720千米需要的时间，据此解答。 【解答】由图可知，（一定），所以行驶的路程和时间成正比例。 90×6＝540（千米） 720÷90＝8（时） 所以，6时行驶540千米，要行驶720千米需要8时。 【易错专练4】下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 （1）点A表示的意思是：______________________________ （2）从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成（ ）比例关系。 （3）如果汽车行驶120km，需要耗油（ ）L。 【答案】（1）汽车行驶30km时，耗油量是3L（答案不唯一） （2）正 （3）12 【分析】（1）观察图象，横轴代表路程，纵轴代表耗油量，点A对应的横轴数量是30km，纵轴数量是3L，所以点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。从图中选取几组数据，如行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；再看行驶80km时，耗油量是8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）因为路程和耗油量成正比例，比值为10，即每耗油1L可行驶10km，如果汽车行驶120km，用路程除以每升油行驶的路程即可计算出耗油量。 【解答】（1）点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。（答案不唯一） （2）行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；行驶80km耗油8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）120÷10＝12（L） 如果汽车行驶120km，需要耗油12L。 【易错专练5】下图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况： （1）这个进水管2小时进水量是（ ）立方米。 （2）这个进水管的进水量与时间成（ ）比例关系。 （3）照这样的速度，如果给这个游泳池注水，9小时能注水（ ）立方米；如果要给这个游泳池注水240立方米，需要（ ）小时。 【答案】（1）20 （2）正 （3）90 24 【分析】（1）观察图片，横轴为时间，纵轴为进水量，故而从中可以得出这个进水管2小时进水量是20立方米； （2）正比例是指两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值（或商）一定，那么它们的关系称为正比例关系。观察图片，进水量与时间的比值一定，都是10，故而得出这个进水管的进水量与时间成正比例关系； （3）由（2）可知，每小时进水量＝进水量÷时间，可得进水量＝每小时进水量×时间，代入数据计算即可得到9小时能注水多少；由每小时进水量＝进水量÷时间，可得时间＝进水量÷每小时进水量，代入数据计算即可得到注水240立方米需要几个小时。 【解答】（1）横轴为时间，纵轴为进水量，结合图形可知这个进水管2小时进水量是20立方米； （2），，进水量与时间的比值一定，都是10。所以进水管的进水量与时间成正比例关系； （3）（立方米），9小时能注水立方米； （小时），如果要给这个游泳池注水240立方米，需要小时。 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 【典例4】下表中，若x和y成正比例，则★代表的数是（ ）；若x和y成反比例，则★代表的数是（ ）。 x 4 1.6 y 5 ★ 【错误答案】12.5 2 【错解分析】本题错在对正反比例的理解错误，导致计算错误。 【正确解答】2 12.5 4÷5＝0.8 1.6÷0.8＝2 所以，若x和y成正比例，则★代表的数是2。 4×5÷1.6 ＝20÷1.6 ＝12.5 所以，若x和y成反比例，则★代表的数是12.5。 【易错专练1】如表所示，如果和成正比例，那么“？”处应填___________。如果和成反比例，那么“？”处应填___________。 3 ？ 90 150 【答案】5 1.8 【分析】如果x和y成正比例，那么x和y对应的比值相等，据此列比例：3∶90＝？∶150，解比例即可。 如果x和y成反比例，那么x和y对应的乘积相等，据此列比例：3×90＝？×150，解比例即可。 【解答】x和y成正比例。 3∶90＝？∶150 解：90？＝3×150 90？＝450 ？＝450÷90 ？＝5 x和y成反比例。 3×90＝？×150 解：150？＝270 ？＝270÷150 ？＝1.8 如果和成正比例，那么“？”处应填5。如果和成反比例，那么“？”处应填1.8。 【易错专练2】如表，当a和b成正比例时，“？”表示的数是（ ），当a和b成反比例时，“？”表示的数是（ ）。 a 6 0.4 b ？ 2.4 【答案】36 0.16 【分析】根据正比例的意义：正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。反比例的意义：指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答即可。 【解答】当a和b成正比例时： 解：设？为x。 6∶x＝0.4∶2.4 0.4x＝2.4×6 0.4x÷0.4＝2.4×6÷0.4 x＝36 当a和b成反比例时： 解：设？为x。 6x＝0.4×2.4 6x÷6＝0.4×2.4÷6 x＝0.16 当a和b成正比例时，“？”表示的数是36，当a和b成反比例时，“？”表示的数是0.16。 【易错专练3】 x 2 ？ y 600 300 如果x与y成正比例，那么“？”是（ ）；如果x与y成反比例，那么“？”是（ ）。 【答案】1 4 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），那么x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），那么x和y成反比例关系。据此分别列出正比例和反比例算式，计算即可。 【解答】2∶600＝？∶300 解：600？＝600 600？÷600＝600÷600 ？＝1 300？＝2×600 解：300？＝1200 300？÷300＝1200÷300 ？＝4 如果x与y成正比例，那么“？”是1；如果x与y成反比例，那么“？”是4。 【易错专练4】表格中，如果A和B成正比例，＝（ ），如果A和B成反比例，＝（ ）。 A 2 8 B 0.5 【答案】2 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为（一定）。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，用字母表示为（一定）。根据正、反比例的意义列出比例式，再解比例求出的值。 【解答】如果A和B成正比例，则。 解： 如果A和B成反比例，则。 解： 所以，如果A和B成正比例，＝2，如果A和B成反比例，＝。 【易错专练5】表格中，如果与两个量成正比例关系，那么的值是_____；如果与两个量成反比例关系，那么的值是_____。 8 40 64 【答案】12.8 5 【分析】两个量成正比例关系，则两个量有相除的关系，且比值一定；两个量成反比例关系，则两个量有相乘的关系，且乘积一定。 【解答】如果与两个量成正比例关系，则可得： 如果与两个量成正比例关系，那么的值是12.8。 如果与两个量成反比例关系，则可得： 如果与两个量成反比例关系，那么的值是5。 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 【典例5】某工厂生产一批零件，每天生产的数量和需要的天数如下： 每天生产数量/个 100 200 300 400 需要天数/天 12 6 4 3 判断每天生产数量和需要天数成什么比例？为什么？ 【错误答案】成正比例，因为每天生产数量增加，天数减少。 【错解分析】错误原因有二：1、正比例是同向变化，这里是反向变化；2、没有用数据验证。 【正确解答】成反比例 因为：每天生产数量×需要天数=总产量（一定） 验证：100×12=1200，200×6=1200，300×4=1200，400×3=1200 【易错专练1】李晴家装修房子。如果用面积是25平方分米的方砖铺地，需要320块；如果改用边长为8分米的方砖铺地，需要多少块？ 【答案】125块 【分析】因为房子的总面积是固定不变的，即每块方砖的面积×所需方砖的块数＝房子的总面积（一定），所以每块方砖的面积和所需方砖的块数成反比例关系。由此设需要块，列出方程求解即可。 【解答】解：设需要块。 答：需要125块。 【易错专练2】为了预防冬季感冒，校医室按1∶200的配比配制了消毒液。现在有2瓶105毫升的药液，需要加入多少毫升水？（用比例知识解答） 【答案】42000毫升 【分析】根据题意可知，药液和水的比1∶200，它们的比值一定，成正比例关系，现有2瓶105毫升的药液，即2×105＝210毫升，假设需要加水x毫升，根据比例的意义（两个比相等的式子），可列出比例1∶200＝210∶x，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得x＝210×200，计算出210×200的结果，即可求出需要加入多少毫升水。。 【解答】药液总体积： （毫升） 解：设需要加入毫升水。 答：需要加入 42000 毫升水。 【易错专练3】打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）40，50（2）反（3）20分 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。通过计算已知数据可知成反比例关系，总字数固定为每分钟打字个数与所需时间的乘积，计算空白处的值。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （3）利用总字数除以每分钟打字个数，求出所需时间。 【解答】（1）120×25＝3000（个） 100×300＝3000（个） 3000÷75＝40（分） 3000÷60＝50（分） 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）每分钟打字个数和所需时间的乘积为3000（一定），因此每分钟打字个数和所需时间成反比例关系。 （3）3000÷150＝20（分） 答：打完这篇稿子需要20分。 【易错专练4】亮亮要用一些纸装订草稿本。 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … （1）判断草稿本每本的页数与装订的本数是否成反比例，并说明理由。 （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 【答案】（1）成反比例；理由见详解 （2）150；3 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 （2）根据每本的页数＝总页数÷装订的本数；装订的本数＝总页数÷每本的页数，列式计算即可。 【解答】（1）15×20＝300、20×15＝300、25×12＝300、30×10＝300、50×6＝300… 答：草稿本每本的页数与装订的本数成反比例，因为每本的页数×装订的本数＝总页数（一定）。 （2）300÷2＝150（页）、300÷100＝3（本） 若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是150页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成3本草稿本。 【易错专练5】同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理时，做了如下实验，现在杠杆左边刻度4处挂3个砝码。再分别在杠杆右边不同刻度处挂不同的砝码，使杠杆保持平衡。（如图1、图2） （1）右边分别在其他刻度上挂几个砝码才能保持平衡呢？把下面表格补充完整。 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 （2）观察上图刻度数和所挂砝码数成什么比例，为什么？ 【答案】（1）12；4   12；12；12；12 （2）反比例；右边刻度×所挂砝码数＝12（一定） 【分析】（1）看图可知，图1，左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度2处挂6个砝码，4×3＝2×6；图2，左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度4处挂3个砝码，4×3＝4×3，由此可知，右边刻度×所挂砝码数＝12，12÷右边刻度＝所挂砝码数，据此计算后填表。 （2）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【解答】（1）12÷1＝12、12÷3＝4 1×12＝12、2×6＝12、3×4＝12、4×3＝12 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 12 6 4 3 乘积 12 12 12 12 （2）刻度数和所挂砝码数成反比例，因为右边刻度×所挂砝码数＝12（一定）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $