精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高二下学期月考数学试卷（一）

2025-2026学年河南省实验中学高二（下）月考数学试卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ） A. B. 31 C. D. 以上都不正确 3. 将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 24种 D. 120种 4. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 6. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 10 7. 将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 80种 D. 160种 8. ，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为13 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 13. 在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为____． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (1)化简求值：； (2)解方程：； 16. 已知函数，为常数． （1）若在处有极值，求a的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）若在上是增函数，求实数a的取值范围． 17. 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的最小的整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省实验中学高二（下）月考数学试卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 2. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ） A. B. 31 C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】设的公比为，，由等差数列性质可得，进而可得，再由等比数列前项和公式计算即可. 【详解】设的公比为，， 由已知得， 即， 因为，所以． 解得或（舍去），则， 所以． 故选：B． 3. 将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 24种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】先将4个相同的商品分成两个组，再从4个货架上选两个放入这两组商品，利用分步计数原理求解即可. 【详解】将4个相同的商品分成两个组有两种不同的分法，即1，3分组或2，2分组， 当1，3分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 当2，2分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 故有且仅有2个货架上有商品的放法有. 故选：A. 4. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 5. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中；结合题中函数图像，判定函数的单调性，进而可得极值点. 【详解】由题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中， 由图像可得，当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 所以有两个极大值点和；有一个极小值点. 故选：D. 【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型. 6. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分离参数，并构造新函数确定零点个数得m的范围即可. 【详解】，令，得， 由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 又，，，所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，，即的最小值为． 故选:B． 7. 将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 80种 D. 160种 【答案】C 【解析】 【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可. 【详解】一侧的种植方法有种排法， 另一侧的种植方法有种排法 再由分步计数原理得不同的种植方法共有种排法， 故选:C. 8. ，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将不等式变形，通过构造函数将条件转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立，分离参数后根据自变量范围求出参数的最小值。 【详解】，，当时，，整理可得，即， 即，即， 令，，则，，当时，， 所以函数在上单调递减，即，， 即，由，得，所以， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为13 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天， A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有3！种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，B正确． C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的． 排法数为，C正确． D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确. 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于，则； 所以，解得，所以； 又，所以，解得. 故答案为：. 13. 在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为____． 【答案】101 【解析】 【详解】偶数项的和，奇数项的和为，设公差为， ∵奇数项的和-偶数项的和为， 又，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴ ， ∴，故答案为. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (1)化简求值：； (2)解方程：； 【答案】(1)329；(2). 【解析】 【分析】(1)根据组合数的性质，在算式前面加上一项即可逐步计算； (2)由排列数和组合数的公式展开即可计算. 【详解】(1) ； (2)由组合数和排列数可知， 原方程可化为， 则，即为，即， 解得或(舍). 方程的根为. 16. 已知函数，为常数． （1）若在处有极值，求a的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）若在上是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1），极小值点 （2） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出，从而求出单调区间，判断出是的极小值点；（2）问题转化为，求出，从而求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 ∵定义域为，； 若在处有极值，则， ∴， 此时，． ∵， ∴，， 当时，，为减函数． 当时，，为增函数． ∴是的极小值点． 【小问2详解】 由条件知在上恒成立，即， ∴在上恒成立，只需， ∵， ∴，即，即a的取值范围为． 17. 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式求数列的通项公式，进而得到，再利用求数列的通项公式. （2）利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消求和法求. 【小问1详解】 由题意：，， 又数列为等差数列，设数列的公差为， 由. 所以. 所以. 当时，， 当时，. 时，上式也成立. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，，，…，. 以上各式相乘，可得当时，， 又，所以，， 所以. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； （2）①由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得；②由对任意的恒成立，转化为恒成立，令，求得数列是递减数列，得到的最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. ②因为对任意的恒成立，所以， 则对任意的恒成立. 令，可得， 所以数列是递减数列， 当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的最小的整数值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出的具体形式，然后分离参数，进而讨论函数最值的范围，得出整数参量的取值范围. 【详解】解：（1）．由题意，函数的定义域为， 当时，，单调增区间为： 当时，令， 由，得，， 的单调递增区间为，的单调递减区间为： （2）．由， 因为对任意的恒成立 当时对任意的恒成立， ， 只需对任意的恒成立即可． 构造函数 ， 且单调递增， ， 一定存在唯一的，使得 即，. 单调递增区间，单调递减区间． 的最小的整数值为 【点睛】本题考查用导数讨论函数单调性和函数的最值问题，其中用构造函数，属于函数导数不等式的综合题，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $