第十六讲 函数的应用-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

新中考重难点精析数学 第十六讲 重点难点 1.了解函数与方程、不等式之间的 联系 2.对一些含有变量的简单几何图形及 应用问题，能建立函数关系模型 3.能用函数的性质解决问题， 4.逐步领会函数思想、数形结合思想， 并尝试去分析具体问题， 二列题精讲 【例1】一段笔直的公路AC长20千 米，途中有一处休息点B,AB长15千米， 甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲 以15千米/时的速度匀速跑至休息点B,原 地休息半小时后，再以10千米/时的速度 匀速跑至终点C;乙以12千米/时的速度匀 速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、 乙两人出发后2小时内运动路程y(千米) 与时间x(时)函数关系的图象是( y/千米 Ay/千米 20 15 352x/时 /千米 y千米 2x/时 2x/时 D 568 函数的应用 【分析】分别求出甲、乙两人到达终 点C的时间，再结合已知条件即可解决 问题. 【解】由题意，甲用1小时到了休息 点B,在休息点B休息了半个小时，2小时 正好到终点C,乙用？小时到了终点C,甲 到终点C时，乙已经在终点C休息了号 小时： 由此可知正确的图象是A.故选A. 【点评】本题考查了一次函数的图 象，函数图象反应了两个变量之间的紧密 变化关系 【例2】现从A,B两个蔬菜市场向 甲、乙两地运送蔬菜，A,B两个蔬菜市场各 有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙 地需要蔬菜13吨，从A蔬菜市场到甲地的 运费为50元/吨，到乙地为30元/吨；从B 蔬菜市场到甲地的运费为60元/吨，到乙 地为45元/吨. (1)设从A蔬菜市场运送蔬菜x吨到 甲地，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A蔬莱市场 x B蔬菜市场 (2)设总运费为W元，请写出W与x 之间的函数表达式. (3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【分析】(1)根据题意，A,B两个蔬 莱市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜 15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解. (2)根据从A到甲地运费50元/吨，到 乙地30元/吨；从B到甲地运费60元/吨， 到乙地45元/吨可列出总运费，从而可得 出答案 (3)首先求出x的取值范围，再利用W 与x之间的函数关系式，求出函数最值 即可. 【解】 (1) 运往甲地（单位：吨）》 运往乙地（单位：吨》 A蔬莱市场 x 14-x B蔬菜市场 15-x x-1 (2)根据题意，得 W=50x+30(14-x)+60(15-x)+ 45(x-1),整理，得W=5.x+1275. (3)从A,B两个蔬菜市场运送到甲、 乙两地的蔬菜量为非负数， x≥0， 14-x≥0， 解不等式组，得1≤x 15-x≥0， x-1≥0， ≤14. 在W=5x+1275中，.k=5>0,∴.W 随x的增大而增大， ∴.当x最小，即x为1时，W有最小值 为1280. ∴.运费最少的调运蔬菜方案为从A蔬 菜市场运往甲地1吨，运往乙地13吨；从B 蔬菜市场运往甲地14吨，运往乙地0吨. 【点评】本题考查运用一次函数解决 调配问题. 第三单元函数及其图象 【例3】某校学生在基地参加社会实 践活动时，带队老师问学生：基地计划新建 一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够 长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏 围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的 出人口，如图1所示，如何设计才能使园地 的面积最大？图2是两位学生争议的 情景。 图1 小军：把它围成一个 正方形，这样的面积一 定最大 小英：不对啦！面积最 大的不是正方形 图2 请根据上面的信息，解决问题： (1)设AB=x米(x>0),试用含x的 代数式表示BC的长， (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ 【分析】(1)根据等式x+x+BC=69 +3,可以求出BC的表达式.(2)构建二次 函数，利用二次函数的性质即可解决问题 【解】(1)依题意，得BC的长为(72- 2x)米. (2)小英的说法正确. 理由：矩形面积S=x(72-2x)=-2 (x-18)2+648 72-2x>0,x<36.∴.0<x<36. g心心m 8578 aang 新中考重难点精析数学 ∴.当x=18时，S取得最大值，此时x ≠72-2x,∴.面积最大的不是正方形 【点评】本题考查二次函数在几何中 的实际应用，结合二次函数的最值解决 问题。 【例4】图中是抛物线形拱桥，P处有 一照明灯，水面OA宽4m,从O,A两处观 测P处，仰角分别为a,A且tana=号tang 心 ,以0为原点，OA所在直线为工轴建 立直角坐标系， y (1)求点P的坐标. (2)水面上升1m,水面宽变为多少？ (√2取1.41，结果精确到0.1m) 【分析】(1)添加辅助线，各自建立直 角三角形，通过三角函数用点P坐标(x,y) 的纵坐标表示水面OA宽4m,建立方程就 可解决问题 (2)利用A,P两点坐标求出抛物线对 应的二次函数表达式，将水面上升1m后水 面的纵坐标代入求解即可. 【解】(1)如答图，过点P作PB」 OA,垂足为B.设点P坐标为(x,y).在 Rt△POB中， gGec。 858 o5o59 '.'tang= B.:.OB=PB=2y. tana 在Rt△PAB中， tang AB,..AB=PB-2 P tan3y. OA=OB+AB,即2y+=4. .y= 2x=2× 3 “点P的坐标为3，多)： (2)设这条抛物线对应的二次函数为y =ax2 +bx. 由函数y=ax2+bx的图象经过(4， 16a+4b=0, 0.3,)两点，可得 9a+3b= 3 , 解方程组，得 b=2, 这条抛物线对应的二次函数为y= -22+2x 当水面上升1m时，水面的纵坐标为 1,即-22+2x=1 解方程，得x1=2-√2，x2=2+√2. x2-x1=2+√2-(2-√2)=22≈ 2.8. 因此，水面上升1m,水面宽约2.8m. 【点评】本题主要考查运用三角函数 的能力，以及用二次函数来解决实际问题 的能力. 三、一课练 (一)选择题 1.有一个装有水的容器，如图所示，容 器内的水面高度是10cm,现向容器内注 水，并同时开始计时，在注水过程中，水面 高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容 器注满水之前，容器内的水面高度与对应 的注水时间满足的函数关系是() A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系 2.如图，甲、乙两人分别从离O地8千 米和12千米的地方出发，同向而行1小时 后两人相遇，则2小时后，两人的位置情况 是 /千米 0 小厨 A.甲在乙前面2千米 B.甲在乙后面2千米 C.甲在乙前面4千米 D.甲在乙后面4千米 3.1887年，海因里希·鲁道夫·赫兹 证实了电磁波的存在，这成了后来大部分 无线科技的基础.电磁波波长入（单位：米） 第三单元函数及其图象 与频率f(单位：赫兹)满足函数关系入f=3 ×10°，下列说法正确的是 () A.电磁波波长是频率的正比例函数 B.电磁波波长为20000米时，对应的 频率为1500赫兹 C.电磁波波长小于30000米时，对应 的频率小于10000赫兹 D.电磁波波长大于50000米时，对应 的频率小于6000赫兹 (二)填空题 4.航天飞机在某个时间t秒时，其飞 行高度为h=-10+700t+21000(单位： 英尺).人处在不低于31000英尺的高度时 会感觉到失重，则整个飞行过程中能体会 到失重感觉的时间为 秒. 5.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈 抛物线形，左右两个抛物线是全等的.正常 水位时，中间的大孔水面宽度为20m,顶点 距水面6m,小孔顶点距水面3m.当水位上 涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 m, 6.如图，线段AB的长为2，C为AB 上一个动点，分别以AC,BC为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和 △BCE,连结DE,DE长的最小值 是 D ge心m 8598 9o5o59 新中考重难点精析数学 (三)解答题 7.小明同学训练某种运算技能，每次 训练完成相同数量的题目，各次训练题目 难度相当.当训练次数不超过15次时，完 成一次训练所需要的时间y(单位：秒)与训 练次数x(单位：次)之间满足如图所示的反 比例函数关系.完成第3次训练所需时间 为400秒. (1)求y与x之间的函数表达式， (2)当x的值为6,8,10时，对应的函 数值分别为y1,y2,y,比较(y1-y2)与(y2 -y3)的大小：y1-y2 y2-y3 y 1200 1000 800 600 400 200 O23468101214 w。m g60 o59 8.小丽老师家有一片种植了80棵桃 树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园 产量，但是如果多种树，每棵树所受到的光 照就会减少，单棵树的产量随之降低.该桃 园每棵桃树产桃量y(千克)与增种桃树x (棵)之间的函数关系如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式， (2)在投入成本最低的情况下，增种桃 树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750 千克？ (3)如果增种的桃树x(棵)满足20≤x ≤40，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的 总产量最少是多少千克？ y(千克) 74 69 12 28x(棵) 9.2020年5月16日，“钱塘江诗路” 航道全线开通.一艘游轮从杭州出发前往 衢州，线路如图1所示.当游轮到达建德境 内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同 样的线路从杭州出发前往衢州.已知游轮 的速度为20km/h,游轮行驶的时间记为t (h),两艘轮船距离杭州的路程s(km)关于 t(h)的图象如图2所示（游轮在停靠前后的 行驶速度不变). (1)写出图2中点C横坐标的实际意 义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长. 第三单元函数及其图象 (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢 州.问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12km？ 杭州 s(km) EC 280km 420 280 A B o七里扬帆 140km 衢州 D 23(h) 图1 图2 ge心 8618 hovong第十六讲函数的应用 1.B 2.C甲、乙在O的同侧，且两人出发点与O共线，由题意得，每 4千米 小时甲比乙多行4千米，故2小时后甲比乙多行8千米，，一开始 甲落后乙4千米，故最终甲在乙前面4千米， 另解（几何解法)：如图，△APB≌△DPC·AB=CD=4,故甲在乙 ”时 前面4千米. 3.D4.305.1026.1 7.(1)设y与x之间的函数关系式为：y=上(k≠0，x>0),把(3,400)代入y=上得， 40=亭解：k=120,y与x之间的函数关系式为y=1200《>0 .(2)>. 8.解：(1)设函数的表达式为y=+b,该一次函数过点(12,74)，(28,66)， 1 得12k+b=74解得 28k+b=66 2,“该函数的表达式为y=-,x+80. (b=80 (2)根据题意，得（-0.5x+80)(80+x)=6750,解得，x1=10,2=70. 投入成本最低.2=70不满足题意，舍去. ∴.增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克. (3)根据题意，得w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5x2+40x+6400=-0.5(x-40)2+7200 .a=-0.5<0,∴.抛物线开口向下， 当20≤x≤40，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， .当x=20时，w最小值=7000.∴.桃园的总产量最少是7000千克. 9.(1)C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发到达衢州共用了23h. .游轮在“七里扬帆”停靠的时长=23-420÷20=23-21=2(h). (2)①280÷20=14，.点A(14,280),点B(16,280), 36÷60=0.6(h),23-0.6=22.4,.点E（22.4,420), 设BC的解析式为s=20什b,把B(16,280)代入s=20t+b,可得b=-40, ∴.s=20t-40（16≤t≤23)， 同理由D（14,0),E（22.4,420)可得DE的解析式为s=50t-700(14≤t≤22.4)， 新中考重难点精析·数学·答案12 由题意：20t-40=50t-700,解得t=22,,22-14=8(h),.货轮出发后8小时追上游轮. ②相遇之前相距12km时，20t-40-(50t-700)=12,解得t=21.6. 相遇之后相距12km时，50t-700-（20t-40)=12,解得t=22.4, 当游轮离开杭州12km时，根据图象可知货轮就在杭州，所以此时两船也是相距12km,即在 0.6h的时候，两船也相距12km, ∴.0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km. 第十七讲线段、角、相交线和平行线 1.D2.A3.B4.D5.垂线段最短6.76 7.解：，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB-40°，∠COE-60°， ∴∠B0C-∠A0B=40°∠C0D-1∠C0E-1x60°=30°∠B0D=∠B0C+∠C0D=40°+30°=70° 2 8.解：设这个角为x,则(180°-x)-3(90°一x)=10°，2x=270°-180°+10°，x=50° .补角=180°-50°-130°.故答案为：130° 9.解：：∠AEC-42°，.∠AED=180°-∠AEC-138°，EF平分∠AED, ∠DEF-∠AED-69,又AB/CD,∠AFE=∠DEF-69. 10.(1)解：，AD∥BC,∴.∠B+∠BAD=180°.，∠B=80°，.∠BAD=100°. (2)证明：AE平分∠BAD,∴.∠DAE=50°·AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAE=50°· ,∠BCD=50°，∴.∠AEB=∠BCD,∴AE∥DC. 第十八讲三角形与全等三角形 1.C2.B3.C4.15.9 6.(1).AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,∴.∠ACB=∠DFE=90°. BC=EF LACB=∠DFE 在△ABC和△DEF中，(AC=DF ,.∴.△ABC≌△DEF(SAS). (2)△ABC≌△DEF,∴.∠B=∠DEF,∴.AB∥DE 7.如图，△ABC为所作. 新中考重难点精析·数学·答案13