第三讲 因式分解-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

新中考重难点精析数学 5.若x2+(k-1)x+4是一个完全平 方式，则常数k的值为 () A.5 B.5或3 C.-3 D.5或-3 (二)填空题 6.长春市净月潭国家森林公园门票的 价格为成人票每张30元，儿童票每张15 元.若购买m张成人票和n张儿童票，则共 需花费 元. 7.已知32m=10,3”=5,则32m-” 8.若多项式2x2-3x+b与多项式x2 -bx+1的和不含一次项(b为常数)，则两 个多项式的和为 9.已知x=m时，多项式x2+2x+n2 的值为-1，则x=-m时，该多项式的值为 (三)解答题 10.在乘法公式的学习中，我们采用了 构造几何图形的方法研究问题，借助直观、 形象的几何模型，加深对乘法公式的认识 和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感 悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学 习的经验，解决下列问题： (1)如图1，将一张长方形纸板按图中 第三讲 之重点难点 1.因式分解的方法有提取公因式法、 %6 35.5-4 虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m的大正方形，两块是边长都为n的小正 方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方 形，且m>n,观察图形，用不同的方法表示 这块长方形纸板的面积，可得等式为 (2)将图2中边长为a和b的正方形拼 在一起，B,C,G三点在同一条直线上，连结 BD和BF,若这两个正方形的边长满足a +b=8,ab=12,请求出阴影部分的面积. (3)若图1中每块小长方形的面积为6， 四个正方形的面积之和为48，请直接写出图 中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和. n n m 图1 图2 因式分解 公式法，因式分解时注意，必须把一个多项 式分解到不能分解为止. 2.利用因式分解进行简单的实际 应用 题精讲 【例1】 分解因式：m3n-4mn 【分析】将一个多项式分解因式的一 般步骤是首先看各项有没有公因式，若有 公因式，则把它提取出来，之后再观察是否 可用完全平方公式或平方差公式.因此，提 取公因式mn后继续应用平方差公式分解 即可：m3n-4mn=mn(m2-4)=mn(m+ 2)(m-2). 【解】mn(m+2)(m-2) 【点评】本题考查应用提取公因式法 和公式法分解因式. 【例2】若3x2-mx-2因式分解的 结果为(3x+2)(x-n),则mn= 【分析】先利用多项式乘多项式法则 计算，再利用多项式相等的条件求出m与 n的值，即可求出所求 【解】由题意得：3x2-mx-2=(3x +2)(.x-n)=3x2+(2-3n)x-2m, .∴.-m=2-3,-2=-2n, ∴.m=1,n=1, 则mn=1. 【点评】此题考查了因式分解的意 义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式 分解的意义是解本题的关键， 【例3】已知a,b,c为△ABC的三边 长，且满足a2c2-c2=a4-b,则△ABC 是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 第一单元数与代数 D.等腰三角形或直角三角形 【分析】首先把等式的左右两边分解 因式，再考虑等式成立的条件，从而判定三 角形形状。 【解】由a2c2-b2c2=a4-b,得 (a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b) .(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 (a+b)(a-b)(a2+2-c2)=0 .a+b>0,.a-b=0或a2+b2-c2 =0, 即a=b或a2+b=c2,则△ABC为等 腰三角形或直角三角形.故答案D正确. 【点评】考查因式分解在几何中的 应用. 【例4】如图1，边长为a的大正方形 中有一个边长为b的小正方形(a>b),图2 是由图1中阴影部分拼成的一个长方形. 图1 图2 (1)观察图1和图2，当用不同的方法 表示图形中阴影部分的面积时，可以获得 一个因式分解公式，这个公式是 (2)如果大正方形的边长a比小正方 形的边长b多3，它们的面积相差57，试利 用(1)中的公式，求a,b的值 【分析】(1)根据阴影部分的面积相 等可得出公式 (2)由平方差公式可求得a+b=19,联 立方程组可求解， 【解】(1)由图1可得阴影部分的面 积=a2-b2,由图2可得阴影部分的面积= g心心m 78 5554 新中考重难点精析数学 (a-b)(a+b), .可得公式为a2-b=(a+b)(a-b), 故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b). (2)由题意可得：a-b=3, .a2-b=(a+b)(a-b)=57, .∴.a+b=19, a=11, 解得b=8, ∴.a,b的值分别是11,8. 【点评】本题考查因式分解的应用和 平方差公式的几何背景 三、一课一练 (一)选择题 1.下列各式由左边到右边的变形中， 属于分解因式的是 )》 A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5.x=5.x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x 2.若x2-6x+m=(x-n)2,那么m,n 的值分别是 A.m=3,n=3B.m=9,n=3 C.m=3,n=-3D.m=9,n=-3 3.小强是一位密码编译爱好者，在他 的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x- y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下 列六个字：波、爱、我、宁、游、美，现将(x2一 y2)a2-(x2-y2)2因式分解，结果呈现的 密码信息可能是 A.我爱美 B.宁波游 8 C.爱我宁波 D.美我宁波 4.将下列多项式因式分解，结果中不 含有因式a+1的是 () A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 (二)填空题 5.分解因式：(1)a-ab= (2)4-a2= 6.如图，边长为a,b的矩形，它的周长 为14，面积为10，则ab+ab2的值 为 不 b a 7.已知P=3xy-8.x+1,Q=x-2xy -2,当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y 的值为 8.若a-b=3,则代数式a2+b2+6(a -b)-2ab的值为 (三)解答题 9.分解因式： (1)x3-25x. (2)-2x2y+16xy-32y. 第一单元数与代数 10.老师在黑板上写了三个算式，希望」（其中n为正整数），说明它们的平方差是8 同学们认真观察，发现规律.请你观察这些 的倍数. 算式，解答下列问题， ①32-12=8×1； ②5-32=8×2； ③72-52=8×3： (1)试写出符合上述规律的第五个 算式 (2)设两个连续奇数为2n+1,2n-1 第四讲 分式 重点难点 【点评】本题考查分式有意义的条件. 【例2】若分式 x-1 的值为1，则x的 1了解形如会的式子叫分式，其中A,B 值为 () 为整式，B必须含有字母且B≠0，这是分式 A.-1 B.0 C.1 D.±1 有意义的条件.分式会的值为0的条件是A 【分析】分式的值为1，即分子与分母 相等，.x满足x2-1=x-1,且分母x-1≠ =0且B≠0. 0,解得x=0. 2.能利用分式的基本性质进行约分和 【解】B. 通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除 【点评】有关分式的讨论，都必须在分 运算， 式有意义的条件下进行 二、例题精讲 【例3】 先化简，再求值：（二2 【例】如果分式有意义，那么x 其中=4 3 x-2 的取值范围是 【解】 原式=-3.x+2)(x-2) x-2 【分析】根据分式有意义的条件是分 x-3 母不为0，列出算式，计算得到答案 x+2. 【解】由题意得x+3≠0，即x≠-3， 当x=4时，原式=x+2=6. 故答案为x≠-3. 98《新中考重难点精析·数学》参考答案 第一讲实数 1.D2.B3.D4.A5.46.27.4-√58.42：>9.-2 10.解：(1)（181-172)÷172×100%≈5.2%， 答：与第一届相比增加的百分数是5.2%； (2)711.3÷（1+23%)≈578.3（亿美元） 答：第一届进博会的累计意向成交额约5783亿美元 第二讲整式 1.B2.C3.C4.D5.D6.30m+15n7.28.3x2-29.3 10.解：(1)(m+2n)(2m+n)=2m2+5mn+2n2. （2)阴影部分的面积=2+号b(a+b)=号(2+2-ab)=（ah)2-3a =号×(64-36)=14. 答：阴影部分的面积为14. （3)由题意得：mn=6,2n2+2m2=48, ∴.n2+m2=24,∴.(m+n)2=n2+m2+2mn=24+12=36, .'m>n>0,.mtn=6, .图中所有裁剪线（虚线部分)的长度之和=6(m+n)=36. 第三讲因式分解 1.C2.B3.C4.C5.(1)a(1-b)(2)(2-a)(2+a) 6.707.2 8.279.(1)x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5): (2)-2x2y+16xy-32y=-2y(x2-8x+16)=-2y(x-4)2. 新中考重难点精析·数学·答案1 10.(1)第五个算式为：112-92=8×5. (2)(2+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2+1)(2n+1+2n-1)=2X4n=8n. 故两个连续奇数的平方差是8的倍数， 第四讲分式 A2A9立西密 ”x为正整数，∴号s文<1，故表示x+2)2 2-x+1 -1的值的点落在段②. 4.A x2+4x+4x+1 5.2 x-2 6.47.任务一：①一；分式的性质.②二；去括号没有变号.任务二：1 +2 8.(1)原式=b(a+bx15a2b=3a(2)原式=(x+1(x-1,2x+x2+1_x+1xx=1 5ab2(a+b)(a-b)a-b x(x-1) x(x+1x+1 9.原式=(x+2x-2x-3-1_(x+2(x-2xx-3(x+2)x-2)」 (x+3)(x-3)x-3(x+3)(x-3)x-4(x+3)(x-4) 由不等式2x-3<7,解得：x<5,其正整数解为12,3,4，当1时，原式} 4 10.解：(m+2+5).2m-4 2-m3-m =m2-4-5.2(m-2)=m2-9.2(m-2)-(m+3)(m-32.2(m-2) m-23-mm-23-m m-2 3-m =-2（m+3)=-2m-6, :m≠2，m≠3，∴.当m=0时，原式=-6 当m=1时，原式=-2×1-6=-2-6=-8. 第五讲二次根式 1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.28.-3a 9.D原式-62+W5)6W32)+6x层3-24W4=3-242=3 (2)原式=(x+1-2)2=(x-1)2=（5=3. 10.解：(1)由题意可知：长方体盒子的容积为：(5√2-2√2)2×√2=18V2(cm3), 新中考重难，点精析·数学·答案2