8.1 成对数据的统计相关性讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.1 成对数据的统计相关性 目录 题型01 相关关系 4 题型02 散点图 5 题型03 散点图的应用 7 题型04 相关系数 10 题型05 相关系数的应用 11 建体系 新知廊 知识点1： 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 知识点2： 散点图 1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关． 2．如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． 3．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 知识点3： 样本相关系数 1．样本相关系数：． 2．样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征． 3．当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． 知识点4： 相关系数的强弱 1．样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． 2．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强． 3．当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 4．当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 5．当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 求甚解 1．相关关系的判断． (1)相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响． (2)函数关系是一种确定关系，相关关系是非随机变量与随机变量的关系． (3)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． (4)相同点：均是指两个变量的关系． (5)不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系． 2．散点图． (1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图． (2)如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． (3)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． (4)在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现． 3．样本相关系数． (1)用样本相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器． (2)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强． (3)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强． 4．相关系数的应用． (1)当样本相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强． (2)当样本相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱． 练题型 题型01 相关关系 典型例题 典例 01 （2025春•喀什市校级期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（　　） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【分析】根据相关关系的定义判断即可． 【解答】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误． 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025春•钦州校级月考）下列各关系不属于相关关系的是（　　） A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 【变式练2】（2025春•裕安区校级期末）下面属于相关关系的是（　　） A．气温和冷饮销量之间的关系 B．速度一定时，位移和时间的关系 C．亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系 D．正方体的体积和棱长的关系 【变式练3】（多选）（2025春•疏附县期末）有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④角的度数与它的正弦值．其中，具有相关关系的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型02 散点图 典型例题 典例 02 （2025春•洛阳期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，据此可以推断变量x与y之间（　　） A．很可能存在负相关 B．一定存在负相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在正相关 【答案】A 【分析】根据变量间相关关系可解． 【解答】解：根据变量x与y的成对样本数据的散点图， 可以推断变量x与y之间很可能存在负相关． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2025•河西区一模）对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图1；对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 【变式练2】（2025•岳阳校级开学）在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（　　） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【变式练3】（2025春•青秀区校级期中）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 题型03 散点图的应用 典型例题 典例 03 （2025秋•南海区校级期中）如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为r1，B组成对数据的样本相关系数为r2，则r1与r2的大小关系为（　　） A．r1＝r2 B．r1＜r2 C．r1＞r2 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据散点图中点的分布趋势以及紧密程度，可判断出相关系数的大小关系，即得答案． 【解答】解：由题图（1）可知，散点几乎分布在一条直线上，且成正相关，∴r1＞0， 由题图（2）可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关，∴r2＞0， 图（1）中的散点分布更紧密，因此A组成对数据的线性相关程度比B组强一些， ∴r1＞r2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•信阳期末）根据如图的散点图，变量x和变量y的样本相关系数r的值为（　　） A．﹣0.81 B．﹣0.20 C．0.34 D．0.88 【变式练2】（2025•香坊区校级四模）对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（　　） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数r1小于图2相关系数r2 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【变式练3】（2025秋•浦东新区校级期中）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（　　） A．r1 B．r2 C．r3 D．r4 题型04 相关系数 典型例题 典例 04 （2025春•永寿县校级期末）一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2…xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2…n）都在直线y＝﹣3x+1上，则这组样本数据相关系数为　　　　． 【答案】﹣1 【分析】根据题意，回归直线方程是y＝﹣3x+1，可得这两个变量是负相关，结合相关系数，判断即可． 【解答】解：因为所有样本点（xi，yi），（i＝1，2…n）都在直线y＝﹣3x+1上，所以回归直线方程是y＝﹣3x+1，可得这两个变量是负相关， 故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（xi，yi），（i＝1，2…n）都在直线上，则有|r|＝1， ∴相关系数r＝﹣1， 故答案为：﹣1． 即学即练 【变式练1】（2025秋•邢台月考）若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为﹣0.91，﹣0.45，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（　　） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【变式练2】（2025秋•皇姑区校级期中）已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为r1＝﹣0.625，r2＝﹣0.985，r3＝0.211，r4＝0.718，则线性相关程度最强的是（　　） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【变式练3】（2025春•海东市月考）关于样本相关系数r，下列说法错误的是（　　） A．﹣1≤r≤1 B．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．当r＝0时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，也没有其他相关关系 题型05 相关系数的应用 典型例题 典例 05 （2025春•郑州期末）如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（　　） A．新能源汽车销量与月份呈现正相关 B．可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C．新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D．燃油车销量与月份的相关系数r接近1 【答案】D 【分析】根据统计图中信息逐项判断即可． 【解答】解：对于A，由折线图可知，新能源汽车销量逐月增加，所以新能源汽车销量与月份呈现正相关，故A正确； 对于B，由折线图可知，燃油车销量逐月减少，所以可预测燃油车销量仍呈下降趋势，故B正确； 对于C，由折线图可知，新能源汽车销量逐月增长率大致相同，故C正确； 对于D，由折线图可知，燃油车销量逐月减少，所以燃油车销量与月份的相关系数r接近﹣1，故D错误． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025春•遂宁期末）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为﹣0.93，0.42，﹣0.79，0.85，则（　　） A．丁组数据变量间的线性相关程度最强，甲组数据变量间的线性相关程度最弱 B．甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱 C．丁组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱 D．甲组数据变量间的线性相关程度最强，丙组数据变量间的线性相关程度最弱 【变式练2】（2025春•上饶月考）在某生态系统中，研究人员发现两种生物近期的数量线性相关，且相关系数为0.75，这说明（　　） A．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量会减少 B．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量也增长 C．两种生物的数量增减性有相同的趋势 D．两种生物的数量增减性有相反的趋势 【变式练3】（2025秋•天津校级月考）某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论： 结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92； 结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝﹣0.12； 结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75． 下列说法正确的是（　　） A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因 B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联 C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强 D．结论一中|r1|接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 成对数据的统计相关性 目录 题型01 相关关系 4 题型02 散点图 6 题型03 散点图的应用 9 题型04 相关系数 12 题型05 相关系数的应用 14 建体系 新知廊 知识点1： 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 知识点2： 散点图 1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关． 2．如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． 3．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 知识点3： 样本相关系数 1．样本相关系数：． 2．样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征． 3．当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． 知识点4： 相关系数的强弱 1．样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． 2．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强． 3．当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 4．当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 5．当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 求甚解 1．相关关系的判断． (1)相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响． (2)函数关系是一种确定关系，相关关系是非随机变量与随机变量的关系． (3)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． (4)相同点：均是指两个变量的关系． (5)不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系． 2．散点图． (1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图． (2)如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． (3)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． (4)在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现． 3．样本相关系数． (1)用样本相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器． (2)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强． (3)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强． 4．相关系数的应用． (1)当样本相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强． (2)当样本相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱． 练题型 题型01 相关关系 典型例题 典例 01 （2025春•喀什市校级期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（　　） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【分析】根据相关关系的定义判断即可． 【解答】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误． 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025春•钦州校级月考）下列各关系不属于相关关系的是（　　） A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 【答案】B 【分析】根据相关关系的定义判断． 【解答】解：对于选项A，产品的样本与生产数量是相关关系，故A正确； 对于选项B，球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误； 对于选项C，家庭的支出与收入是相关关系，故C正确； 对于选项D，人的年龄与体重是相关关系，故D正确． 故选：B． 【变式练2】（2025春•裕安区校级期末）下面属于相关关系的是（　　） A．气温和冷饮销量之间的关系 B．速度一定时，位移和时间的关系 C．亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系 D．正方体的体积和棱长的关系 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义逐一对四个选项进行判断． 【解答】解：对于A，气温和冷饮销量之间的关系是正相关关系，故A正确； 对于B，速度一定时，位移与时间成正比例关系，是确定关系，不是相关关系，故B错误； 对于C，亩产量为常数时，土地面积与产量成正比例关系，是确定关系，不是相关关系，故C错误； 对于D，因为正方体的体积等于棱长的立方，所以正方体的体积与棱长是确定关系，不是相关关系，故D错误． 故选：A． 【变式练3】（多选）（2025春•疏附县期末）有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④角的度数与它的正弦值．其中，具有相关关系的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】根据相关关系的概念判断． 【解答】解：根据题意，①③具有相关关系，②④具有确定的关系，即函数关系． 故选：AC． 题型02 散点图 典型例题 典例 02 （2025春•洛阳期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，据此可以推断变量x与y之间（　　） A．很可能存在负相关 B．一定存在负相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在正相关 【答案】A 【分析】根据变量间相关关系可解． 【解答】解：根据变量x与y的成对样本数据的散点图， 可以推断变量x与y之间很可能存在负相关． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2025•河西区一模）对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图1；对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 【答案】C 【分析】观察图象中两个变量的总体趋势下结论． 【解答】解：由图可知， 在图1中，u变大，v也变大，则u与v正相关； 在图2中，x变大，y变小，则y与x负相关； 故选：C． 【变式练2】（2025•岳阳校级开学）在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（　　） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【答案】C 【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案． 【解答】解：根据题意，分析4个散点图： （1）中点没有明显的变化趋势， （2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为线性关系， （3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y和x之间呈现负相关且为线性关系， （4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为非线性关系， 但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强， 分析选项：可得A、B、D正确，C错误． 故选：C． 【变式练3】（2025春•青秀区校级期中）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 【答案】C 【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关， u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关． 【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关， 由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关． 故选：C． 题型03 散点图的应用 典型例题 典例 03 （2025秋•南海区校级期中）如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为r1，B组成对数据的样本相关系数为r2，则r1与r2的大小关系为（　　） A．r1＝r2 B．r1＜r2 C．r1＞r2 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据散点图中点的分布趋势以及紧密程度，可判断出相关系数的大小关系，即得答案． 【解答】解：由题图（1）可知，散点几乎分布在一条直线上，且成正相关，∴r1＞0， 由题图（2）可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关，∴r2＞0， 图（1）中的散点分布更紧密，因此A组成对数据的线性相关程度比B组强一些， ∴r1＞r2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•信阳期末）根据如图的散点图，变量x和变量y的样本相关系数r的值为（　　） A．﹣0.81 B．﹣0.20 C．0.34 D．0.88 【答案】A 【分析】由散点可得变量x和变量y负相关，且相关性较强，可得结论． 【解答】解：由散点图知，变量x和变量y负相关，且相关性较强， 所以r＜0，且|r|接近于1， 观察四个选项，A选项r＝﹣0.81符合． 故选：A． 【变式练2】（2025•香坊区校级四模）对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（　　） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数r1小于图2相关系数r2 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质求解． 【解答】解：对于选项A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，故A正确； 对于选项B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关， 图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对于选项C，图1正相关，图2负相关，所以r1＞r2，故C错误； 对于选项D，因为图2相关程度更强，所以r1+r2＜0，故D正确． 故选：C． 【变式练3】（2025秋•浦东新区校级期中）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（　　） A．r1 B．r2 C．r3 D．r4 【答案】B 【分析】先利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，再由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【解答】解：由散点图变化趋势可知，r1＞0，r3＞0，r2＜0，r4＜0， 又图2中的散点更为集中，更接近于一条直线， ∴|r2|＞|r4|，即r2＜r4， 故样本相关系数最小的是r2． 故选：B． 题型04 相关系数 典型例题 典例 04 （2025春•永寿县校级期末）一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2…xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2…n）都在直线y＝﹣3x+1上，则这组样本数据相关系数为　　　　． 【答案】﹣1 【分析】根据题意，回归直线方程是y＝﹣3x+1，可得这两个变量是负相关，结合相关系数，判断即可． 【解答】解：因为所有样本点（xi，yi），（i＝1，2…n）都在直线y＝﹣3x+1上，所以回归直线方程是y＝﹣3x+1，可得这两个变量是负相关， 故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（xi，yi），（i＝1，2…n）都在直线上，则有|r|＝1， ∴相关系数r＝﹣1， 故答案为：﹣1． 即学即练 【变式练1】（2025秋•邢台月考）若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为﹣0.91，﹣0.45，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（　　） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】A 【分析】根据相关系数的含义，其绝对值越接近1，线性相关性越强． 【解答】解：因为|﹣0.91|＞|0.88|＞|﹣0.45|＞|0.23|， 所以线性相关性最强的是甲组． 故选：A． 【变式练2】（2025秋•皇姑区校级期中）已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为r1＝﹣0.625，r2＝﹣0.985，r3＝0.211，r4＝0.718，则线性相关程度最强的是（　　） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】B 【分析】比较相关系数的绝对值大小，即可得结论． 【解答】解：由题意可知，|﹣0.985|＞|0.718|＞|﹣0.625|＞|0.211|， 所以|r2|＞|r4|＞|r1|＞|r3|， 因为相关系数的绝对值越接近于1，线性相关程度越强， 所以线性相关程度最强的是B组． 故选：B． 【变式练3】（2025春•海东市月考）关于样本相关系数r，下列说法错误的是（　　） A．﹣1≤r≤1 B．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．当r＝0时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，也没有其他相关关系 【答案】D 【分析】根据相关系数的定义及性质逐项判断各命题即可． 【解答】解：对于A，相关系数取值范围为﹣1≤r≤1，故A正确； 对于B，C，|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，故B正确，C正确； 对于D，当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系，故D错误． 故选：D． 题型05 相关系数的应用 典型例题 典例 05 （2025春•郑州期末）如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（　　） A．新能源汽车销量与月份呈现正相关 B．可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C．新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D．燃油车销量与月份的相关系数r接近1 【答案】D 【分析】根据统计图中信息逐项判断即可． 【解答】解：对于A，由折线图可知，新能源汽车销量逐月增加，所以新能源汽车销量与月份呈现正相关，故A正确； 对于B，由折线图可知，燃油车销量逐月减少，所以可预测燃油车销量仍呈下降趋势，故B正确； 对于C，由折线图可知，新能源汽车销量逐月增长率大致相同，故C正确； 对于D，由折线图可知，燃油车销量逐月减少，所以燃油车销量与月份的相关系数r接近﹣1，故D错误． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025春•遂宁期末）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为﹣0.93，0.42，﹣0.79，0.85，则（　　） A．丁组数据变量间的线性相关程度最强，甲组数据变量间的线性相关程度最弱 B．甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱 C．丁组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱 D．甲组数据变量间的线性相关程度最强，丙组数据变量间的线性相关程度最弱 【答案】B 【分析】根据相关系数的性质求解． 【解答】解：因为相关系数的绝对值越接近于1，变量间的线性相关程度最强， 所以甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱． 故选：B． 【变式练2】（2025春•上饶月考）在某生态系统中，研究人员发现两种生物近期的数量线性相关，且相关系数为0.75，这说明（　　） A．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量会减少 B．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量也增长 C．两种生物的数量增减性有相同的趋势 D．两种生物的数量增减性有相反的趋势 【答案】C 【分析】根据给定的相关系数，易知有正相关且增减性有相同趋势，即可得． 【解答】解：由题意可知，两种生物近期的数量线性相关，且相关系数为0.75， 所以两种生物的数量正相关， 所以两种生物的数量增减性有相同的趋势． 故选：C． 【变式练3】（2025秋•天津校级月考）某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论： 结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92； 结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝﹣0.12； 结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75． 下列说法正确的是（　　） A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因 B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联 C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强 D．结论一中|r1|接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系 【答案】D 【分析】根据相关系数大于0，表示正相关，相关系数小于0表示负相关，且相关系数的绝对值越接近于1，表示线性相关性越强，越接近于0则表示线性相关性越弱，依次判断各选项即可． 【解答】解：对于A，r1＝0.92仅表明PM2.5浓度与机动车保有量线性正相关，且相关性很强， 但并不意味着机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，故A错误； 对于B，r2＝﹣0.12表示绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率线性负相关，且相关性极弱， 但仍有轻微线性相关性，且还可能存在非线性相关关系，所以不能判断无关联，故B错误； 对于C，因为|r3|＝0.75＜|r1|＝0.92， 所以工业能耗与近地面臭氧浓度比结论一的线性相关性更弱，故C错误； 对于D，|r1|＝0.92非常接近1，表明两者存在极强的线性相关关系，故D正确． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $